從數(shù)學建?；顒涌磩?chuàng)造性

從數(shù)學建模活動看創(chuàng)造性朱道元教授全國研究生數(shù)學建模競賽評審委員會主任南京東南大學2010年10月簡介1：全國數(shù)學建?；顒?010年，全國大學生數(shù)學建模競賽成功舉行,有33個省(市、自治區(qū))的1196所高校的17311隊、近52000多名同學參賽。這種實踐性、多學科性、高強度、協(xié)作性的學術活動受到廣大同學的青睞，有力地證明了數(shù)學建?；顒泳哂型⒌纳驮谂囵B(yǎng)受教育者創(chuàng)造性方面具有明顯的作用。大學生數(shù)學建模競賽和數(shù)學建模與數(shù)學實驗課程是近二、三十年高等教育改革的成果簡介2：建?；顒拥哪繕私；顒拥闹饕康氖桥囵B(yǎng)大學生的創(chuàng)造性和解決實際問題的能力。全國大學生數(shù)學建模競賽既是競賽，也是對我國大學生數(shù)學建模能力、創(chuàng)造性的大規(guī)模的抽樣調(diào)查活動。剖析數(shù)學建?；顒拥某晒?jīng)驗，探索創(chuàng)造性培養(yǎng)的一般規(guī)律。主要內(nèi)容1，對創(chuàng)造性的一些思考2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性3，總結1，對創(chuàng)造性的一些思考這里聲明以下完全是個人看法，不一定全面，更不一定正確，謹供參考，歡迎批評指正。1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關聯(lián)1.4數(shù)學建?；顒拥娜蝿眨号囵B(yǎng)創(chuàng)造性1.1第一種創(chuàng)造性（1）分類標準：根據(jù)創(chuàng)造積累的時間長度、所運用知識的深度來對創(chuàng)造性進行分類。第一種創(chuàng)造性是原創(chuàng)性成果、重大發(fā)明中所包含的創(chuàng)造性，這些創(chuàng)造不是一朝一夕就可以實現(xiàn)的，都需要經(jīng)過長時間的積累，甚至幾代人的努力，所謂“十年磨一劍”就說明這個道理1.1第一種創(chuàng)造性（2）這種創(chuàng)造性需要經(jīng)過漫長的科學攀登，在攻克一系列理論或?qū)嶋H的難題后才能獲得，如載人宇宙飛船的研制和發(fā)射優(yōu)質(zhì)雜交水稻品種的培育和推廣概率論中的中心極限定理的證明哥德巴赫猜想的證明等1，對創(chuàng)造性的一些思考1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關聯(lián)1.4數(shù)學建?；顒拥娜蝿眨号囵B(yǎng)創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性（1）第二種創(chuàng)造性可以粗略地定義為：“一聽就能夠明白，不聽就是想不到，采用后作用重大”。為了說明這個定義，我們舉出這方面的一些例子。1.2第二種創(chuàng)造性：例一獲得諾貝爾經(jīng)濟獎的投入產(chǎn)出理論，雖然在經(jīng)濟界產(chǎn)生重大的影響，但從代數(shù)理論上看并不高深，只是將眾多原材料和產(chǎn)品之間的數(shù)量關系線性化，并用矩陣來表達，然后根據(jù)矩陣有關理論得出經(jīng)濟方面的許多重要結論。1.2第二種創(chuàng)造性：例二再如數(shù)學建模的經(jīng)典范例，著名的萬有引力定律[1]20-25，推導過程是：1先用極坐標方程來表示在橢圓軌道上運動的物體，2再對這個方程進行簡單求導，3最后將開普勒天體三大運動定律的結論帶進求導的結果，就得出了萬有引力定律，過程并不復雜。

1.2第二種創(chuàng)造性：例三統(tǒng)計上著名的正態(tài)分布總體的極大似然估計公式的推導[2]148-150。其思想非常簡單，是：1樣本的頻率應該接近它的概率，將已經(jīng)出現(xiàn)樣本的概率密度合理地猜測為最大；2而在求極大值點時，分析概率密度函數(shù)的特點，分別求均值、方差的極大值點，并根據(jù)常識猜樣本平均值就是極大值點；就很容易推導出有關公式。1.2第二種創(chuàng)造性：例四人們剛開始研究火箭時，火箭發(fā)射的推力不足，無法把比較重的荷載送上天是困擾火箭設計者的大問題。但將火箭從兩節(jié)改成三節(jié)，由于第三節(jié)火箭在燃料用完時被丟棄，減輕了火箭的自重，火箭就可以產(chǎn)生更大的推力。雖然解決了大問題，但想到這一點并不需要高深的專業(yè)知識。1.2第二種創(chuàng)造性：例五如動態(tài)規(guī)劃中著名的“工件排序問題”[1]17-19，要求n個不同的工件都先在A機床、后在B機床上加工，探討在加工總時間最短的條件下的工件排序規(guī)律。如果用一般的窮舉法，當工件數(shù)比較多的時候，即使使用當今世界上最先進的計算機“天河一號”也根本無法找到最優(yōu)解。因為即使n=20,計算所需要的時間也長達地球年齡的上億倍。1.2第二種創(chuàng)造性：例五但是如果只考慮相鄰兩個工件,因為只有很簡單的兩種情況，發(fā)現(xiàn)排序規(guī)律并不難，解決實際問題也只要幾分鐘。這個方法創(chuàng)造性的原理，就是對站在操場上的一排學生，只需要保證相鄰兩名學生的正確排序，就可以實現(xiàn)全體學生從高到低的排序。因為它把問題從比較n!個結果的極其復雜的問題轉(zhuǎn)變成只有兩個結果的簡單比較問題，正是“一聽就能夠明白，不聽就是想不到，采用后作用重大”。1.2第二種創(chuàng)造性：例六再如1994年美國大學生數(shù)學建模競賽題，要求出螺旋線和處于任意位置的指定平面的全部交點[1]35-36。而當螺旋線軸幾乎平行于指定平面時，交點將有成萬上億個，即使使用世界上最快的計算機也無法逐個求出全部交點，并用于實時控制。1.2第二種創(chuàng)造性：例六但在經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化以后，問題已經(jīng)變?yōu)榍蟮慕?。而在高中課程中就有解基本三角方程內(nèi)容，雖然有無窮多解（k取一切整數(shù)），求解卻非常簡單，原因就是無窮多解只需要求出其中的兩個代表。1.2第二種創(chuàng)造性：例六受這點啟發(fā)，當螺旋線軸幾乎平行于指定平面時，根據(jù)精度要求，準周期函數(shù)的成萬上億個交點也只要選擇適當個數(shù)的代表，找到這些代表，也就找到了全部交點。因此現(xiàn)有計算機完全勝任實時控制的要求。雖然解決了非常困難的問題，但道理卻連高中生也完全理解。還可以舉出很多類似的例子。1，對創(chuàng)造性的一些思考1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關聯(lián)1.4數(shù)學建?；顒拥娜蝿眨号囵B(yǎng)創(chuàng)造性

兩種創(chuàng)造性之間的差別第二種創(chuàng)造性與第一種創(chuàng)造性的差別在于，它不需要特別高深的理論和復雜的知識背景，一般當事人已經(jīng)具備或只需要稍加補充即可，甚至道理淺顯近乎常識；它解決問題的過程也比較短暫，無須漫長的積累，甚至“立竿見影”；但采用這些創(chuàng)造性后，對困難的問題就能“勢如破竹，迎刃而解”。兩種創(chuàng)造性之間的聯(lián)系雖然上述兩種創(chuàng)造性相互之間存在明顯的差別，但它們之間的聯(lián)系卻是相當緊密的。實際上，第一種創(chuàng)造性的基礎就是第二種創(chuàng)造性，第二種創(chuàng)造性經(jīng)過長期積累可能升華為第一種創(chuàng)造性；反過來，第一種創(chuàng)造性中蘊涵了大量的第二種創(chuàng)造性，第一種創(chuàng)造性的產(chǎn)生也會大大刺激第二種創(chuàng)造性的涌現(xiàn)。1，對創(chuàng)造性的一些思考1.1第一種創(chuàng)造性1.2第二種創(chuàng)造性1.3兩種創(chuàng)造性之間的關聯(lián)1.4數(shù)學建模活動的任務：培養(yǎng)創(chuàng)造性1.4數(shù)學建?；顒拥娜蝿?培養(yǎng)創(chuàng)造性（1）第二種創(chuàng)造性因為不需要當事人有特別高深的理論和復雜的知識背景（處理實際問題的當事人一般已經(jīng)具備一定的相關知識），限制比較少，適用的范圍比較大，所以是高等教育中創(chuàng)造性培養(yǎng)的重點，也是數(shù)學建?；顒恿λ芗暗娜蝿铡?.4數(shù)學建?；顒拥娜蝿?培養(yǎng)創(chuàng)造性（2）又因為一旦培養(yǎng)出這類創(chuàng)造性，人們的能力就可能大幅提升，工作效率就會有驚人的提高，所以這也是高校教學改革必須追求的目標。第二種創(chuàng)造性的大量存在，說明雖然創(chuàng)造性可以極大地提高效率，突破許多困難，解決重大問題，但創(chuàng)造性并不神秘，并非高不可攀。1.4數(shù)學建?；顒拥娜蝿?培養(yǎng)創(chuàng)造性（3）通過數(shù)學建模活動來培養(yǎng)同學們的第二種創(chuàng)造性，從而增強高校學生從事科學研究的能力與自信心，正是人才培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學建模教學大有可為。2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.1勇于猜測，敢于質(zhì)疑并提出有價值的問題2.2發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問題2.3正確選擇解決問題的“突破口”

2.4善于把復雜的問題恰當?shù)胤纸鉃橐幌盗泻唵蔚膯栴}

猜測是創(chuàng)造性的搖籃（1）世界上的許多事物是錯綜復雜的，沒有經(jīng)驗的人遇到這類問題經(jīng)常會感到無從下手，甚至不知道應該解決什么問題，不知道應該向什么方向努力，更不知道會有什么結果，只能是“盲人騎瞎馬”。所以提出有價值的問題或新的理念是創(chuàng)造的前提，也是重要的創(chuàng)造性。猜測是創(chuàng)造性的搖籃（2）例如費爾馬大定理，概率論的中心極限定理，宇宙大爆炸的學說等都因為猜測并提出有價值問題而引導有關學科的迅速發(fā)展。創(chuàng)造性之所以被稱為創(chuàng)造，就是因為沒有人這么想過，沒有人這么做過。因此它首先一定是大膽的猜測，雖然要有一定的道理，但也不會有絕對的把握。猜是經(jīng)驗的升華，猜是跳躍式的思考，猜是前進的階梯，猜來自敏銳的洞察力，猜的基礎是對問題本質(zhì)的研究。經(jīng)常猜測有助于活躍思維。猜測與質(zhì)疑緊密相連要解決新問題特別是困難的問題，一定伴隨著思想的突破與飛躍，經(jīng)常會與主流觀念發(fā)生激烈的沖突。如果不敢質(zhì)疑權威，墨守成規(guī)，就不會有大膽的猜測，也就不會有質(zhì)變。愛因斯坦如果不敢質(zhì)疑幾百年來一直占據(jù)統(tǒng)治地位的牛頓運動定律就不會有相對論。因此猜測經(jīng)常和質(zhì)疑緊密相連。培養(yǎng)學生的猜測能力（1）高等教育階段創(chuàng)造性培養(yǎng)的重要內(nèi)容之一就是讓他們敢于質(zhì)疑、勇于猜測，善于提出新問題、新理念、新方法。如對2008年A題中“尋找唐家山堰塞湖的潰壩規(guī)律”問題[3]，[4]，研究生普遍不知道潰壩的規(guī)律所應該包含的內(nèi)容，更無法開展研究，明顯缺乏提出有價值問題的能力。培養(yǎng)學生的猜測能力（2）其實，唐家山堰塞湖會不會潰壩？會發(fā)生哪種形式的潰壩？什么條件下、什么時候會發(fā)生潰壩？潰壩的先兆是什么？潰壩的過程又會怎么樣發(fā)展？發(fā)生潰壩后的最大危險是什么？潰壩后的最大危險將發(fā)生在什么時間、什么地點？這些就是迫切需要研究的潰壩規(guī)律?？茖W發(fā)展的動力無非來自內(nèi)部和外部的需求，據(jù)此就可以提出有價值的問題。提出這些問題其實并不困難，但學生以前缺少這方面的鍛煉，今后應該有意識地加強這方面的培養(yǎng)，應該鼓勵學生挑戰(zhàn)權威，質(zhì)疑經(jīng)典。2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.1

勇于猜測，敢于質(zhì)疑并提出有價值的問題2.2

發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問題2.3正確選擇解決問題的“突破口”

2.4善于把復雜的問題恰當?shù)胤纸鉃橐幌盗泻唵蔚膯栴}

創(chuàng)造性：鼓勵與眾不同的視角為什么會有不同的看法、不同的結論，一般是由于看問題的角度不同。有與眾不同的視角，就很有可能產(chǎn)生創(chuàng)見。為什么會有不同的做法、不同的途徑，多數(shù)源于經(jīng)歷的不同、接受教育的不同。善于借鑒、移植其他學科的方法，就可能另辟蹊徑地解決問題，這是相對而言比較容易實現(xiàn)的創(chuàng)造。實例一：青藏鐵路中的“以橋代路”青藏鐵路要穿過高原活躍凍土帶，地面一年四季溫差變化非常大，經(jīng)過多次融化、冰凍。再堅固的鐵路路基也無法承受，成為世界性難題。如果局限于融化、冰凍規(guī)律無助于問題的解決。但另辟蹊徑，“以橋代路”就是讓鐵路路基穿過凍土層直接建在巖石上，有效地避免了凍土層對鐵路路基的破壞，創(chuàng)造性地解決高原活躍凍土帶施工的世界性難題。實例二：飛行管理問題（1）再如1997年全國大學生數(shù)學建模競賽題“飛行管理問題”[1]52-55中，航空管理局要對正在其管轄范圍內(nèi)、處于同一高度的6架飛機進行管理，保證它們的飛行安全，同時使所有飛機的調(diào)整的幅度達到最小。初看這是一個有6個控制對象的復雜的實時最優(yōu)控制問題，要解決問題似乎非常困難。實例二：飛行管理問題（2）但是如果把這個問題看成在操場上有6個人在騎自行車，怎么讓他們避免發(fā)生碰撞的問題。再基于后者，從常識就知道早調(diào)整一定優(yōu)于（調(diào)整的幅度小）晚調(diào)整，一次調(diào)整到位優(yōu)于多次調(diào)整（這可以用三角形一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角來證明）。由此類推，飛行管理問題估計也應該在6架飛機剛接受該航空管理局管轄時，就做一次到位的調(diào)整，這樣調(diào)整的幅度最小。所以發(fā)出控制操作指令的時間就完全確定了，問題也就轉(zhuǎn)化為一般的優(yōu)化問題，大大降低了難度。實例三：足球隊排名次1994年全國大學生數(shù)學建模競賽“足球隊排名次”[1]124-139問題似乎和高深數(shù)學知識沒有任何聯(lián)系。但如果認為比賽結果反映了兩支球隊的實力之比，則競賽成績矩陣的正特征向量就與各支球隊的實力成比例。根據(jù)代數(shù)上的Perron—Frobenius定理，用冪法求正互反矩陣的特征向量，就能夠?qū)崿F(xiàn)足球隊的正確排序，它完全不同于通常的計算積分的方法，而且可以推廣到少數(shù)球隊之間沒有比賽的情況。實例四：高階對稱矩陣相似對角化高階對稱矩陣相似對角化是線性代數(shù)中的困難問題[2]64-68，到目前為止也沒有找到方法能夠通過一次或有限次的運算一定實現(xiàn)相似對角化。但Jacobi發(fā)現(xiàn)在平面解析幾何中，二次曲線通過旋轉(zhuǎn)坐標軸實現(xiàn)坐標方程標準化，就是對二階對稱矩陣相似對角化。進而提出了高階對稱矩陣相似對角化的Jacobi旋轉(zhuǎn)法，用計算機就可以有效地實現(xiàn)對稱矩陣相似對角化。實例五：中心極限定理眾所周知，概率論的中心極限定理雖然早就提出來了，但花了200年的時間才完成證明，它不是用隨機變量的概率密度函數(shù)，而是用隨機變量的特征函數(shù)來證明的[5]294-306。因為獨立積的概率密度函數(shù)要經(jīng)過卷積才可以得到，但無窮多次卷積根本無法計算，所以長期以來定理始終得不到證明。直到定義了特征函數(shù)，它雖然復雜，而且缺少實際背景，但隨機變量獨立積的特征函數(shù)是特征函數(shù)的乘積，非常方便，從而定理得到嚴格的證明2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.1

勇于猜測，敢于質(zhì)疑并提出有價值的問題2.2發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問題2.3

正確選擇解決問題的“突破口”

2.4善于把復雜的問題恰當?shù)胤纸鉃橐幌盗泻唵蔚膯栴}

創(chuàng)造性：恰當選擇“突破口”（1）因為即使再困難問題也肯定有相對薄弱的部分，選擇從這些的地方攻關，可以快速推進解決問題的進程?？茖W研究如同打仗一樣，能否恰當?shù)剡x擇“突破口”關系著研究的進展，甚至決定著研究的成敗。因為要解決的問題千姿百態(tài)、千變?nèi)f化，要善于分析實際問題的特點，才能從中尋找出薄弱環(huán)節(jié)予以突破，所以選擇“突破口”具有很強的創(chuàng)造性。恰當選擇“突破口”也有規(guī)律（2）另一方面，也不是每個問題“突破口”的選擇都毫無規(guī)律可尋，只是在很大程度上依賴經(jīng)驗的積累，依賴當事人對類似、有部分相同或相似問題的處理經(jīng)歷，依賴當事人對成功解決問題全過程的了解，總之，“熟能生巧”。由于學生數(shù)學建模競賽的題目都是些沒有被解決過的比較困難的實際問題，所以在選擇“突破口”方面，為學生提供了極好的鍛煉機會，并且可以提供多次練習選擇突破口的機會。實例一：“郵政運輸網(wǎng)絡中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”（1）對2007年“郵政運輸網(wǎng)絡中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”中的某縣的郵車調(diào)度問題[6]，從數(shù)學上看是有時間窗的車輛路徑問題，屬于NP—hard問題。具體問題中又增加了約束條件，給出了限制，似乎很難下手。但實際上問題不是更困難了，約束條件給得越多，則可行解就越少，以前是“大海撈針”，現(xiàn)在是“游泳池里找針”，反而降低了優(yōu)化的難度。實例一：“郵政運輸網(wǎng)絡中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”（2）確實，只要考慮郵車在時間和容量方面所受到的限制，很容易決定最少需要三輛郵車。而根據(jù)里程和容量的限制，每輛郵車只能經(jīng)過4-6個支局，求最短郵路可以先把十六個支局分成三個無交的集合，每個集合4-6個點找最短路就非常容易了。所以決定最少需要幾輛郵車就是解決問題的“突破口”。實例二：1994年美國大學生數(shù)學建模競賽題（1）1994年美國大學生數(shù)學建模競賽題，要求出螺旋線和處于任意位置的指定平面的全部交點。首先就要決定螺旋線和指定平面的交點數(shù)，即四個未知數(shù)、四個非線性方程的方程組解的個數(shù)問題[1]28。但目前在數(shù)學上還無法精確決定一般方程組的解的個數(shù)，所以問題是困難的。但這個問題又是必須解決的，否則談不上求出全部交點。如果取平行于螺旋線軸、且垂直于指定平面的一個平面作為投影面，將螺旋線和指定平面向投影面做投影，就將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題。由于空間交點和投影面內(nèi)的交點是一一對應的，求螺旋線和指定平面的全部交點的問題被等價簡化為求投影面內(nèi)一條直線與曲線的全部交點問題。再將螺旋線的參數(shù)方程代入指定平面的方程，最終簡化為求一個未知數(shù)、一個方程即的解的個數(shù)問題。實例二：1994年美國大學生數(shù)學建模競賽題（2）實例三：求多元正態(tài)分布的均值和方差的極大似然估計求多元正態(tài)分布的均值和方差的極大似然估計的公式，本來是十分困難的高維優(yōu)化問題。但仔細分析多元正態(tài)分布的概率密度函數(shù)[2]148-150，可以發(fā)現(xiàn)它是乘積形式，而且除一個因子是均值的函數(shù)外，其他因子都與均值無關，因此選擇先求均值的極大值點作為“突破口”，然后再求方差的極大值點，公式就容易推導了。所以正確選擇解決問題的“突破口”是重要的創(chuàng)造。再如解方程是困難的，但猜出方程的解，進行驗證卻是很容易的事實例四：110警車巡邏路線2009年D題“110警車配置及巡邏方案”[9]

，要求警車在接警后三分鐘內(nèi)，趕到現(xiàn)場的比例不低于90％。還有重點區(qū)域發(fā)生警情，警車必須在兩分鐘內(nèi)到達。要制定全市的巡邏方案顯然是NP問題，但肯定先要決定該市需要多少輛警車，才可能知道需要制定多少條路線，也才可能開始仿真。所以決定需要多少警車是“突破口”。2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.1

勇于猜測，敢于質(zhì)疑并提出有價值的問題2.2發(fā)現(xiàn)與眾不同的視角，善于借鑒、移植，另辟蹊徑地解決問題2.3正確選擇解決問題的“突破口”

2.4

善于把復雜的問題恰當?shù)胤纸鉃橐幌盗泻唵蔚膯栴}的串聯(lián)

創(chuàng)造性:分解復雜的問題（1）解決復雜問題絕不能一蹴而就，飯必須一口一口地吃，戰(zhàn)爭必須一仗一仗地打。解決復雜問題就好像攀登一座高山，要能成功登頂，一定要選擇正確的路線，既要能不斷地前進，又要在前進中逐段上升。同樣解決一個復雜的問題一定要制定一條正確的技術路線，要把技術上的整體跨度分解成若干個可達跨度來實現(xiàn)，把一個復雜的問題恰當?shù)胤纸鉃橐幌盗泻唵蔚膯栴}的串聯(lián)；而且每一個簡單的問題都能夠比較容易得到解決，這樣當所有這些簡單的問題都解決了，則復雜問題也就最終獲得了解決。創(chuàng)造性:分解復雜的問題（2）要制定正確的路線迫切需要創(chuàng)造性和敏銳的洞察力。我們應該不斷用我們熟悉的事物去描述我們不熟悉的事物，應該不斷用確定的內(nèi)容去替換那些尚未確定的內(nèi)容，應該不斷以已經(jīng)獲得的結論為基礎去擴大戰(zhàn)果，要根據(jù)過去的經(jīng)驗去預測預期的成果和可能的結論，而要能夠?qū)崿F(xiàn)這些只能依賴實踐的熏陶。由于學生數(shù)學建模競賽的題目有相當?shù)碾y度，要解決它們一定要制定正確的技術路線，因此對培養(yǎng)同學制定正確的技術路線的創(chuàng)造性很有幫助。這些正是大學生能力結構中的薄弱環(huán)節(jié)。實例一：2008年A題（1）2008年A題“唐家山堰塞湖潰壩時洪水可能淹沒區(qū)域”是水利、尤其是堰塞湖問題研究鄰域的前沿課題[3]，[4]，困難是顯而易見的，必須制定正確的技術路線才會獲得成功。實例一：2008年A題（2）如果意識到只要了解堰塞湖下游地區(qū)十幾個居民點（堰塞湖附近是無人居住區(qū)，對這些地方的水位無需關心）的最大水深、最大流量，就已經(jīng)滿足實際需要，則可以制定解決問題的技術路線如下：潰壩后洪水的最大流量→水流路線→水流速度→各居民點處洪水的最大流量及到達的時間→各居民點處地形圖→各居民點處最大水深→各居民點處淹沒區(qū)域→疏散方案。逐步解決好每個環(huán)節(jié)，則唐家山堰塞湖潰壩時洪水可能淹沒區(qū)域也就獲得了。實例二：生產(chǎn)過程管理（1）產(chǎn)品結構確定，各種生產(chǎn)流水線所需要的人力、設備也完全確定的情況下，準備開辦一個新廠，求當人員、設備可以調(diào)度時的最小生產(chǎn)規(guī)模的“生產(chǎn)過程管理”問題[1]40-45，在無浪費的約束下，數(shù)學上是求Ax(t)=b的最小正整數(shù)向量解b,但是其中調(diào)度方案即t時刻正在生產(chǎn)的各種流水線的條數(shù)x(t)是未知的函數(shù)向量，因此不但求最小生產(chǎn)規(guī)模的條件不足，而且在線性代數(shù)中也從未討論過函數(shù)向量解問題，所以難度是相當大的。實例二：生產(chǎn)過程管理（2）如果先假定x(t)是未知的常數(shù)向量，則可以通過其他條件決定x,從而找到此時的最小生產(chǎn)規(guī)模；進而探討最小生產(chǎn)規(guī)模、調(diào)度方案的性質(zhì)；再根據(jù)當人員、設備可以調(diào)度時的最小生產(chǎn)規(guī)模與當人員、設備不可以調(diào)度時的最小生產(chǎn)規(guī)模之間的關系，就可以最終解決這個困難的問題，甚至已有工廠的轉(zhuǎn)產(chǎn)問題也可以在此基礎上得到解決。實例三：110警車巡邏路線2009年D題“110警車配置及巡邏方案”[9]，前已介紹是很困難的問題，但制定技術路線并不困難，首先確定警車靜止情況下至少需要多少警車，這是警車巡邏情況下至少需要多少警車數(shù)的下界，然后確定每輛警車的巡邏起點（或經(jīng)過的任一點），最后制定規(guī)則在交叉路口如何選擇下一條道路，甚至在途中何時需要調(diào)頭。這就是完整的技術路線。2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.5各學科知識融會貫通、靈活運用

2.6學過的數(shù)學知識巧妙運用于實際問題2.7抓準問題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問題有創(chuàng)意的表達

2.9善于捕捉信息、精于對結果的分析、挖掘、推廣

創(chuàng)造性：融會貫通各學科知識（1）實際問題和已經(jīng)被抽象了的理論問題之間最大的區(qū)別就在于它不僅屬于某個學科，它有許多具體的、各種各樣的屬性，它們的變化受到各種規(guī)律的支配。即使用某個學科最先進的成果來分析復雜的實際問題，也僅僅是從一些側面、某些角度來進行考察，仍然可能無法對錯綜復雜的現(xiàn)象做出全面、合理、本質(zhì)的解釋，因此要解決這類問題，學科交叉、知識融合就是必不可少的。創(chuàng)造性：融會貫通各學科知識（2）尤其在科學技術高度發(fā)達的今天，各門學科之間相互滲透、相互支持已經(jīng)相當普及；由于學科交叉，一門學科某個方面的突破帶動其他學科進展的事例層出不窮；許多重大科技項目都由多學科聯(lián)合攻關；許多重大科技成果的獲得是多學科共同協(xié)作的結晶，正說明了這樣的事實。顯然，學科交叉、知識融合是創(chuàng)造性的源泉之一。現(xiàn)實情況然而受教育者，例如學生們盡管學習過多門學科的大量的科學知識，但在他們的腦海里，各門學科的知識之間的聯(lián)系，與實際問題中各學科的規(guī)律是緊密耦合成一體是迥然不同的，各門學科的知識之間基本上是孤立的，沒有做到融會貫通，因此大大制約了學生創(chuàng)造性的發(fā)揮。實例一：郵政運輸問題如2007年“郵政運輸網(wǎng)絡中的郵路規(guī)劃和郵車調(diào)度”[6]題中，由于要求降低空車率，結果卻出現(xiàn)明明經(jīng)過支局而不丟下郵包，返回時才丟下郵包的不合理現(xiàn)象，竟沒有一個隊想到，借用物理上“效率”的概念即可輕易解決郵車的效益問題，也沒有競賽隊非常有創(chuàng)意地想到，軍事上“切忌孤軍深入”思想可以用于解決改變郵政支局隸屬關系問題。實例二：潰壩問題2008年“唐家山堰塞湖的潰壩問題”，竟沒有一個隊設法從能量守衡的角度去進行研究。再如“飛行管理問題”中要保證飛機的安全，僅根據(jù)飛行的軌跡是無法判定飛機是否會相撞，因為兩架飛機同時在運動。但是如果借用物理上相對運動原理，就可以方便地轉(zhuǎn)化為判定運動物體與另一個靜止物體是否會相撞的簡單問題。然而絕大多數(shù)同學都沒有想到這個簡單的方法。實例三：線性方程組非負解的

充要條件在很多實際問題中都要求線性方程組的非負解。那么存在非負解的充要條件是什么？一般線性代數(shù)教材是不介紹的，但泛函分析中有Farkas引理[7]。如果將定理中BP=d看成線性方程組，P看成未知數(shù)，它實際上就是線性方程組存在非負解的充要條件。因此力求各學科知識融會貫通往往就能夠有新創(chuàng)造。牢記重要規(guī)律借鑒其他學科思想由于在自然界一切小的規(guī)律都是受大規(guī)律支配的，而且不同的事物之間也不是完全截然不同的，經(jīng)常發(fā)生的情況反而是不同的事物之間存在某種共性，不同的實際問題經(jīng)常有相同的數(shù)學模型。因此牢記重要的普遍規(guī)律，借鑒其他學科的思想，開展本學科有關問題的研究經(jīng)常會有意想不到的收獲。2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.5

各學科知識融會貫通、靈活運用

2.6

學過的數(shù)學知識巧妙運用于實際問題2.7抓準問題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問題有創(chuàng)意的表達

2.9善于捕捉信息、精于對結果的分析、挖掘、推廣

創(chuàng)造性：數(shù)學知識的巧妙運用書本上的數(shù)學知識與實際問題之間總存在一定的差距。加之書本上一般情況下，只介紹基本原理、基本方法，很少介紹如何應用于具體的實際問題。即使介紹了個別的具體應用事例，從使用角度看也很不全面。因此學生們常常在接觸不熟悉的問題時，想不到或者想不出辦法把已經(jīng)學習過的數(shù)學知識運用到實際問題中去。實例一：堰塞湖的潰壩問題2008年“唐家山堰塞湖的潰壩規(guī)律及唐家山堰塞湖洪水可能淹沒區(qū)域”中第一個問題，尋找唐家山堰塞湖的庫容和水位高程曲線[8]，實際上是求一系列不規(guī)則物體的體積。學生們早已在高等數(shù)學課程中，學習過對截面積進行積分求體積的方法。但大多數(shù)競賽隊由于理論脫離實際，加之可能不會使用三維地圖，做成了曲線擬合問題。實例二：“110警車配置及巡邏”（1）2009年D題“110警車配置及巡邏方案”[9]

，要求警車在接警后三分鐘內(nèi)，趕到現(xiàn)場的比例不低于90％。因為該市有多輛警車，都在巡邏中不斷地運動，可以處于任意位置。加之城市街道比較復雜，三分鐘可達道路長度就比較難求。而且不同警車的可達道路之間有重迭，甚至不同時刻可達道路的重迭情況也不相同，所以概率似乎很難計算。實例二：“110警車配置及巡邏”（2）然而利用所有概率論的本科教材上都會介紹的蒙特卡洛方法[5]38-40，很容易計算這個概率?？上Й@獎的競賽隊都沒有想到這個方法，無一例外地采用離散化方法，又沒有辦法去解決精度問題。所以通過學生的數(shù)學建?；顒涌梢约由顚?shù)學課程的理解，增強用所學知識去解決問題的靈活性。對常用數(shù)學方法用得不活在數(shù)學建模競賽中，不少情況下學生們已經(jīng)找到了最優(yōu)解。很可惜，絕大多數(shù)的競賽隊沒有或沒有能力證明他們找到了最優(yōu)解。因而顯著地降低了他們論文的理論價值，如果把結果應用于所解決的實際問題，也會造成不良的影響。其實在數(shù)學課程中經(jīng)常給出是最優(yōu)解的證明，而且證明某個結果是極大值或極小值也有一般的方法。但學生可能對此關注不夠，成了薄弱環(huán)節(jié)。例如“飛行管理問題”找到了幾個最優(yōu)解都沒有能給出證明。2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.5

各學科知識融會貫通、靈活運用

2.6學過的數(shù)學知識巧妙運用于實際問題2.7抓準問題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問題有創(chuàng)意的表達

2.9善于捕捉信息、精于對結果的分析、挖掘、推廣

抓準主要矛盾需要創(chuàng)造性錯綜復雜的事物內(nèi)部有許多矛盾，但在一定時期一定有一種矛盾是主要的，抓住這個主要矛盾,問題就迎刃而解了。要能夠最終徹底解決困難的問題，必須依靠對問題有本質(zhì)的了解。但問題的本質(zhì)又往往被許多表面現(xiàn)象所掩蓋，甚至為一些假象所包裹，要抓住問題的本質(zhì)必須撕開假象、透過表面現(xiàn)象去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。不同水平、不同層次的當事人也往往這種情況下暴露出顯著的差別。抓準主要矛盾、發(fā)現(xiàn)其他人沒有發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就是創(chuàng)造性的體現(xiàn)。抓準主要矛盾需要創(chuàng)造性其實在抓準問題的主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律方面，還是有行之有效的辦法的，就是應該通過壓縮問題的規(guī)模、降低問題的難度、減少變化的條件、削減影響結果的因素的個數(shù)、構造出相對簡單的情況，這樣就容易發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律。通過簡化、固定條件，增加復雜問題和簡單問題之間的可比性。借用對簡單問題已經(jīng)知道的主要矛盾、客觀規(guī)律，去猜測復雜問題的主要矛盾、客觀規(guī)律。

實例一：工件排序問題（1）“工件排序問題”[1]16-17，可以通過只考慮任意相鄰兩個工件的排序規(guī)律，去尋找任意多個工件的排序規(guī)律。為此讓排在這相鄰兩個工件前面、后面加工工件的順序保持完全相同，則A機床加工情況相同，并且只選擇在B機床加工完這兩個工件的時刻考慮問題，規(guī)律就容易發(fā)現(xiàn)了。實例一：工件排序問題（2）這時A機床上加工情況完全不受這兩個工件加工順序的影響，情況完全相同；B機床已經(jīng)加工完的工件集合和還沒有加工的工件集合，也完全不受這兩個工件加工順序的影響，完全相同；唯一不同的，就是B機床加工當前還沒有加工的工件集合的開始時刻，顯然早開工一定不會晚結束，早開工的方案就是好的方案。這樣問題的關鍵找到了，最后的規(guī)律也就容易發(fā)現(xiàn)了。求[2]18-19這是一個困難的問題，首先要知道結果可能是什么，才能向某個方向去努力。如果簡化為一次極值，去除約束條件，采用簡單分母，即,規(guī)律就容易發(fā)現(xiàn)了。由于求極值的函數(shù)是原像x與像Ax的內(nèi)積，x的長度是1，而內(nèi)積是兩個向量長度的乘積再乘上兩個向量之間夾角的余弦，而余弦的最大值是1，此時Ax與x方向相同，因此x是A的特征向量，Ax的最大長度即原來分式的極大值，就是A的最大特征根。實例二：求極值問題（1）實例二：求極值問題（2）這樣問題的規(guī)律就發(fā)現(xiàn)了，極值是矩陣特征根，當有復雜分母時極值是兩個矩陣的相對特征根，有約束條件時是順序特征根，二次極值也是順序相對特征根。現(xiàn)在數(shù)學課上只介紹結論或只講解證明，純粹是知識的傳授。使得學生們認為這些知識只是數(shù)學家的專利，完全抹殺了知識形成過程中的創(chuàng)造性，這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性極其不利。很多學生不會猜測就是因為發(fā)現(xiàn)不了問題的規(guī)律，找不到問題的本質(zhì)。在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.5各學科知識融會貫通、靈活運用

2.6學過的數(shù)學知識巧妙運用于實際問題2.7抓準問題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8

問題有創(chuàng)意的表達

2.9善于捕捉信息、精于對結果的分析、挖掘、推廣

有創(chuàng)意的表達也會產(chǎn)生創(chuàng)造性錯綜復雜的問題有許多方面，有眾多的表現(xiàn)，問題內(nèi)部有復雜的關系，還經(jīng)常發(fā)生變化。特別，如果是一個新問題，準確、簡潔、全面、嚴格、通俗地把問題表達出來，本身就是創(chuàng)造；做出比以往更簡單、更直觀、或者更本質(zhì)的表達都必須創(chuàng)造。因為準確、全面、嚴格表達問題是解決問題的前提，簡潔、直觀、本質(zhì)的表達是創(chuàng)造性思想的“溫床”，尤其形象生動的圖形更容易讓人產(chǎn)生聯(lián)想，跳躍式思考。數(shù)學建?；顒訌娀私涣鳝h(huán)節(jié)，刺激了學生向其他人清晰表達自己的想法，有利于產(chǎn)生創(chuàng)造性。實例一：槍彈頭痕跡自動比對方法的研究2009年“槍彈頭痕跡自動比對方法的研究”[10]一題，識別發(fā)射子彈的槍支，就是要尋找不同槍支的槍管在子彈表面留下痕跡的特性。通過高科技手段可以非常精確地測量子彈表面的痕跡，其數(shù)據(jù)量達1G以上，如果陷于數(shù)據(jù)的海洋之中就很容易迷失方向，不得要領。反之，將大量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變成圖形就很直觀，易于發(fā)現(xiàn)槍管內(nèi)壁的“毛刺”在子彈表面上留下的擦痕就是特征。實例二：工件排序問題（1）“工件排序問題”[1]14-15中要證明在A、B兩臺機床上加工順序相同的方案集中，必有最優(yōu)排序存在。若從有限個數(shù)中必有極小值出發(fā)，還無法保證這個極小值方案在A、B兩臺機床上加工順序一定是相同的。需要證明從A、B兩臺機床加工順序不同的最優(yōu)排序方案出發(fā)，必定可以找到新的最優(yōu)排序方案，它更接近A、B兩臺機床加工順序相同的方案集，直至找到在兩臺機床加工順序相同的最優(yōu)排序方案。

實例二：工件排序問題（2）為此要嚴格定義各種加工方案到兩臺機床上加工順序相同的方案集的距離，并保證其在上述過程中嚴格單調(diào)下降。如果創(chuàng)造性地定義：某方案到兩臺機床加工順序相同的方案集的距離，為A機床加工順序與B機床加工順序之間的逆序數(shù)。當距離即逆序數(shù)為零時，則兩臺機床加工順序相同，結論就最終得到證明?！帮w行管理問題”在轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問題之后[1]57-65，由于約束條件是“或”，即或，而不是通常線性規(guī)劃中的“且”（即不等式必須同時滿足）。因此每個不等式都要拆成兩個不等式，在化線性規(guī)劃標準型并用通常的方法求解時，15個不等式要拆成215=32748組，問題變成求32748個線性規(guī)劃的解集合中最小值，工作量太大，無法用于實時控制。實例三：飛行管理問題（1）實例三：飛行管理問題（2）但如果用圖形表示，每個“或”形式的不等式僅是從數(shù)軸上去除一個區(qū)間，多個不等式可以用同一個數(shù)軸來表示，僅從中去除多個區(qū)間罷了，即使兩維情況也僅從平面中扣除一個長方形，非常直觀。因此不用計算機根據(jù)圖形就能求解各種目標函數(shù)下的最優(yōu)解。由此可見，表達的巨大的效應。2，在數(shù)學建模中體現(xiàn)出來的各種創(chuàng)造性2.5

各學科知識融會貫通、靈活運用

2.6學過的數(shù)學知識巧妙運用于實際問題2.7抓準問題主要矛盾和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的洞察力

2.8問題有創(chuàng)意的表達

2.9

善于捕捉信息、精于對結果的分析、挖掘、推廣

善于捕捉信息也是創(chuàng)造性：進入信息化社會，數(shù)據(jù)量急劇膨脹。海量數(shù)據(jù)使人目不暇接，熟視無睹，人們對數(shù)據(jù)已經(jīng)近乎麻木，人腦好像已經(jīng)無法再存貯。雖然在統(tǒng)計數(shù)據(jù)以及數(shù)學模型的計算或仿真結果中蘊藏著大量有價值的信息，但擁有同樣的數(shù)據(jù)、同樣的結果，對不同的人卻有完全不同的作用。因此善于捕捉隱藏在數(shù)據(jù)中重要的信息，精于挖掘數(shù)據(jù)背后所包含的規(guī)律就是創(chuàng)造性的體現(xiàn)。因為“巧婦難為無米之炊”，所以防止重要、寶貴的信息從手中不經(jīng)意地滑走是科技工作者十分重要的品質(zhì)。實例一：潰壩問題潰壩由于其發(fā)生的突然性，事先無法預知潰壩的發(fā)生，無法做好準備。事后又忙于應對它所產(chǎn)生的重大危害，無法及時安排科技人員觀察記錄。因此即使在全世界，大型水庫的潰壩數(shù)據(jù)都是空白?，F(xiàn)有的潰壩數(shù)據(jù)都是小型試驗（幾千至上萬立方米）數(shù)據(jù)或發(fā)生潰壩后事后測量、推測的數(shù)據(jù)[11]。而唐家山堰塞湖是具有兩億多立方米的特大型堰塞湖，有許多科技工作者日夜守候在數(shù)十公里的沿線，所以記錄下大量、各方面的數(shù)據(jù)。如果能夠充分意識到這批數(shù)據(jù)特別寶貴，就可以依據(jù)這批數(shù)據(jù)進行開創(chuàng)性研究。實例二：飛行管理問題“飛行