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PAGEPAGE7直線與平面平行的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.(2015·邯鄲一中月考試題)梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是()A.平行 B.平行或異面C.平行或相交 D.異面或相交[答案]B2.已知直線a、b、c及平面α,下列哪個(gè)條件能確定a∥b()A.a(chǎn)∥α,b∥α B.a(chǎn)⊥c,b⊥cC.a(chǎn)、b與c成等角 D.a(chǎn)∥c,b∥c[答案]D3.正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面BA1CA.AC∥截面BA1C1 B.AC與截面BA1CC.AC在截面BA1C1[答案]A[解析]∵AC∥A1C1,又∵AC?面BA1C1,∴AC∥面BA14.如右圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE,則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面B.平行C.相交D.以上均有可能[答案]B[解析]∵A1B1∥AB,AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.又A1B1?平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1,∴DE∥AB.5.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),EH∥FG,則EH與BD的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.異面 D.不確定[答案]A[解析]∵EH∥FG,F(xiàn)G?平面BCD,EH?平面BCD,∴EH∥平面BCD.∵EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD.6.已知正方體AC1的棱長為1,點(diǎn)P是面AA1D1D的中心,點(diǎn)Q是面A1B1C1D1的對(duì)角線B1D1上一點(diǎn),且PQ∥平面AA1B1A.1 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1,又P為AO1的中點(diǎn),∴PQ=eq\f(1,2)AB1=eq\f(\r(2),2).二、填空題7.若夾在兩個(gè)平面間的三條平行線段相等,那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________.[答案]平行或相交8.如下圖,ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是其四邊上的點(diǎn)且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,當(dāng)EFGH是菱形時(shí),eq\f(AE,EB)=________.[答案]eq\f(m,n)[解析]eq\f(AE,EB)=eq\f(CF,BF)=eq\f(FG,n-FG)=eq\f(m-EF,EF),而EF=FG.∴EF=eq\f(mn,m+n),∴eq\f(AE,EB)=eq\f(m-EF,EF)=eq\f(m,n).三、解答題9.如下圖所示,已知平面α∩β=b,平面β∩γ=a,平面α∩γ=c,a∥α.求證:b∥c.[分析]要證b∥c,只需證明b∥a和c∥a,已知條件中有線面平行,于是可以將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行.[證明]∵a∥α,β是過a的平面,α∩β=b,∴a∥b.同理可得a∥c.∴b∥c.10.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=eq\f(2,3)CD.試問在PC上能否找到一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAD?若能,請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置,并給出證明;若不能,請(qǐng)說明理由.[解析]在PC上取點(diǎn)E,使eq\f(CE,PE)=eq\f(1,2),則BE∥平面PAD.證明如下:延長DA和CB交于點(diǎn)F,連接PF.梯形ABCD中,AB∥CD,AB=eq\f(2,3)CD.∴eq\f(AB,CD)=eq\f(BF,FC)=eq\f(2,3),∴eq\f(BC,BF)=eq\f(1,2).又eq\f(CE,PE)=eq\f(1,2),∴△PFC中,eq\f(CE,PE)=eq\f(BC,BF),∴BE∥PF,而BE?平面PAD,PF?平面PAD.∴BE∥平面PAD.能力提升一、選擇題1.a(chǎn)、b是兩條異面直線,下列結(jié)論正確的是()A.過不在a、b上的任一點(diǎn),可作一個(gè)平面與a、b平行B.過不在a、b上的任一點(diǎn),可作一條直線與a、b相交C.過不在a、b上的任一點(diǎn),可作一條直線與a、b都平行D.過a可以并且只可以作一個(gè)平面與b平行[答案]D[解析]A錯(cuò),若點(diǎn)與a所確定的平面與b平行時(shí),就不能使這個(gè)平面與a平行了.B錯(cuò),若點(diǎn)與a所確定的平面與b平行時(shí),就不能作一條直線與a,b相交.C錯(cuò),假如這樣的直線存在,根據(jù)公理4就可有a∥b,這與a,b異面矛盾.D正確,在a上任取一點(diǎn)A,過A點(diǎn)作直線c∥b,則c與a確定一個(gè)平面與b平行,這個(gè)平面是唯一的.2.過平面α外的直線l,作一組平面與α相交,如果所得的交線為a、b、c、…,那么這些交線的位置關(guān)系為()A.都平行 B.都相交且一定交于同一點(diǎn)C.都相交但不一定交于同一點(diǎn) D.都平行或交于同一點(diǎn)[答案]D[解析]若l∥平面α,則交線都平行;若l∩平面α=A,則交線都交于同一點(diǎn)A.3.有下列四個(gè)結(jié)論:①兩條直線都和同一個(gè)平面平行,則這兩條直線平行;②兩條直線沒有公共點(diǎn),則這兩條直線平行;③兩條直線都和第三條直線垂直,則這兩條直線平行;④一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn),則這條直線和這個(gè)平面平行.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3[答案]A[解析]①兩條直線都和同一個(gè)平面平行,這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能;②兩條直線沒有公共點(diǎn),則這兩條直線平行或異面;③兩條直線都和第三條直線垂直,則這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能;④一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點(diǎn),則這條直線可能與平面相交,也可能在這個(gè)平面內(nèi).4.三條異面直線a,b,c兩兩異面,它們所成的角都相等且存在一個(gè)平面與這三條直線都平行,則a與b所成的角的度數(shù)為()A.30° B.45°C.60° D.90°[答案]C[解析]在已知平面α內(nèi)分別作a′∥a,b′∥b,c′∥c,則a′,b′,c′所成的角即為異面直線a,b,c,所成的角,由異面直線所成的角均相等,得a與b所成角的度數(shù)為60°.二、填空題5.已知A、B、C、D四點(diǎn)不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,則四邊形EFHG是________四邊形.[答案]平行6.長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,其側(cè)面展開圖是邊長為8的正方形.E,F(xiàn)分別是側(cè)棱AA1,CC1上的動(dòng)點(diǎn),AE+CF=8.P在棱AA1上,且AP=2,若EF∥[答案]2[解析]連接AC交BD于O,連接PO.因?yàn)镋F∥平面PBD,EF?平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,所以EF∥PO,在PA1上截取PQ=AP=2,連接QC,則QC∥PO,所以EF∥QC,所以EFCQ為平行四邊形,則CF=EQ,又因?yàn)锳E+CF=8,AE+A1E=8,所以A1E=CF=EQ=eq\f(1,2)A1Q=2,從而CF=2.三、解答題7.如圖所示,已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn),M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),平面PBC∩平面PAD=l.(1)求證:l∥BC;(2)MN與平面PAD是否平行?試證明你的結(jié)論.[證明]方法一:(1)因?yàn)锽C∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD=l,所以BC∥l.(2)平行.如圖①,取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE,可以證得NE∥AM且NE=AM.所以MN∥AE.所以MN∥平面PAD.方法二:(1)因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD=l,所以l∥AD.因?yàn)锳D∥BC,所以l∥BC.(2)平行.如圖②,設(shè)Q是CD的中點(diǎn),連接NQ,MQ,則MQ∥AD,NQ∥PD,而MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD.又因?yàn)镸N?平面MNQ,所以MN∥平面PAD.8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱CC1,BB1上的點(diǎn),點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),EC=2FB=2,若MB∥[解析]若MB∥平面AEF,過F,B,M作平面FBMN交AE于N,連接MN,NF.因?yàn)锽F
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