《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章 習(xí)題及答案

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章習(xí)題及答案習(xí)題1.11.將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次中的樣本點(diǎn)。解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）(正，正)，（正，反）；（正，正），（反，反）(正，正)，（正，反），（反，正）2.在擲兩顆骰子的試驗(yàn)中，事件分別表示“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)之和小于5”，“點(diǎn)數(shù)相等”，“至少有一顆骰子的點(diǎn)數(shù)為3”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點(diǎn)。解：；；；；；3.以分別表示某城市居民訂閱日?qǐng)?bào)、晚報(bào)和體育報(bào)。試用表示以下事件：（1）只訂閱日?qǐng)?bào)；（3）只訂一種報(bào)；（5）至少訂閱一種報(bào)；（7）至多訂閱一種報(bào)；（9）三種報(bào)紙不全訂閱。解：（2）只訂日?qǐng)?bào)和晚報(bào)；（4）正好訂兩種報(bào)；（6）不訂閱任何報(bào)；（8）三種報(bào)紙都訂閱；（1）（2）（3）；；；（4）（5）（6）（7）（8）（9）;；；或；4.甲、乙、丙三人各射擊一次，事件分別表示甲、乙、丙射中。試說(shuō)明下列事件所表示的結(jié)果：,,,,,.解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。5.設(shè)事件滿足，試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和：，，.解：如圖：6.若事件滿足，試問(wèn)是否成立？舉例說(shuō)明。解：不一定成立。例如：，，，那么，，但。7.對(duì)于事件，試問(wèn)是否成立？舉例說(shuō)明。解：不一定成立。例如：，，，那么，但是。8.設(shè)，，試就以下三種情況分別求：（1），（2），（3）.解：（1）（2）（3）；；。9.已知，，求事件全不發(fā)生的概率。解：=10.每個(gè)路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設(shè)各色燈的開(kāi)閉是等可能的。一個(gè)人騎車經(jīng)過(guò)三個(gè)路口，試求下列事件的概率：“三個(gè)都是紅燈”=“全紅”；“全綠”；“全黃”；“無(wú)紅”；“無(wú)綠”；“三次顏色相同”；“顏色全不相同”；“顏色不全相同”。解：；；；；.11.設(shè)一批產(chǎn)品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件（分三種情況：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），試求：（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：（1）；（2）；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）；（2）；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）；（2）12.從中任意選出3個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：，。解：；或13.從中任意選出4個(gè)不同的數(shù)字，計(jì)算它們能組成一個(gè)4位偶數(shù)的概率。解：14.一個(gè)宿舍中住有6位同學(xué)，計(jì)算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：（1）（3）；（2）；15.從一副撲克牌（52張）任取3張（不重復(fù)），計(jì)算取出的3張牌中至少有2張花色相同的概率。解：或習(xí)題1.21.假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，從中任取一件，結(jié)果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令“取到的是等品”，。2.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令“兩件中至少有一件不合格”，“兩件都不合格”3.為了防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)I和II。兩種報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)I和II有效的概率分別0.92和0.93，在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng)II仍有效的概率為0.85，求（1）兩種報(bào)警系統(tǒng)I和II都有效的概率；（2）系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)I有效的概率；（3）在系統(tǒng)II失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效的概率。解：令則“系統(tǒng)（Ⅰ）有效”，“系統(tǒng)（Ⅱ）有效”（1）（2）（3）4.設(shè)證：：，證明事件與獨(dú)立的充要條件是與獨(dú)立，與也獨(dú)立。：又而由題設(shè)即，故與獨(dú)立。5.設(shè)事件與相互獨(dú)立，兩個(gè)事件只有發(fā)生的概率與只有發(fā)生的概率都是，求和.解：，又與獨(dú)立即。6.證明若>0，>0，則有（1）當(dāng)與獨(dú)立時(shí)，與相容；（2）當(dāng)與不相容時(shí)，與不獨(dú)立。證明：（1）因?yàn)榕c獨(dú)立，所以，與相容。（2）因?yàn)?，而，，與不獨(dú)立。相互獨(dú)立，求證7.已知事件與也獨(dú)立。證明：因?yàn)椤?、相互?dú)立，與獨(dú)立。8.甲、乙、丙三機(jī)床獨(dú)立工作，在同一段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照顧的概率分別為0.7，0.8和0.9，求在這段時(shí)間內(nèi)，最多只有一臺(tái)機(jī)床需要工人照顧的概率。解：令分別表示甲、乙、丙三機(jī)床不需要工人照顧，那么令表示最多有一臺(tái)機(jī)床需要工人照顧，那么9.如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件能正常工作的概率為，（稱為元件的可靠性），假設(shè)各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算下面各系統(tǒng)的可靠性。注：利用第7題的方法可以證明與時(shí)獨(dú)立。解：令“系統(tǒng)（Ⅰ）正常工作”“系統(tǒng)（Ⅱ）正常工作”“第個(gè)元件正常工作”，相互獨(dú)立。那么10.10張獎(jiǎng)券中含有4張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買1張，求（1）前三人中恰有一人中獎(jiǎng)的概率；（2）第二人中獎(jiǎng)的概率。解：令“第個(gè)人中獎(jiǎng)”，(1)或（2）11.在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實(shí)患者，但也有可能將10%的人誤診。根據(jù)以往的記錄，每10000人中有4人患有肝癌，試求：（1）某人經(jīng)此檢驗(yàn)法診斷患有肝癌的概率；（2）已知某人經(jīng)此檢驗(yàn)法檢驗(yàn)患有肝癌，而他確實(shí)是肝癌患者的概率。解：令“被檢驗(yàn)者患有肝癌