初中數(shù)學(xué)：幾何問題

造師無imwww.SIxuanshLcom初中數(shù)學(xué)：幾何問題幾何題在各類數(shù)學(xué)考試中占了近乎一半的分?jǐn)?shù)，所以是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，但是有很多同學(xué)卻偏偏特別容易在幾何題上失分。幾何題一般涉及證明和計(jì)算，下面我們就分塊進(jìn)行分析。一、證明角的相等1、對(duì)頂角相等。2、角（或同角）的補(bǔ)角相等或余角相等。3、兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等。4、凡直角都相等。5、角平分線分得的兩個(gè)角相等。6、同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角。7、等腰三角形中，底邊上的高（或中線）平分頂角。8、平行四邊形的對(duì)角相等。9、菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。10、等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等。11、關(guān)系定理：同圓或等圓中，若有兩條弧（或弦、或弦心距）相等，則它們所對(duì)的圓心角相等。12、圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。13、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。14、弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。15、同圓或等圓中，如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。16、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

造師無im造師無imwww.SIxuanshLcom17、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。18、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。二、證明直線的平行或垂直1、證明兩條直線平行的主要依據(jù)和方法：⑴定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線平行。⑵平行定理：兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。⑶平行線的判定：同位角相等（內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角），兩直線平行。⑷平行四邊形的對(duì)邊平行。⑸梯形的兩底平行。⑹三角形（或梯形）的中位線平行與第三邊（或兩底）⑺一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊。2、證明兩條直線垂直的主要依據(jù)和方法：⑴兩條直線相交所成的四個(gè)角中，由一個(gè)是直角時(shí)，這兩條直線互相垂直。⑵直角三角形的兩直角邊互相垂直。⑶三角形的兩個(gè)銳角互余，則第三個(gè)內(nèi)角為直角。⑷三角形一邊的中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形為直角三角形。⑸三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和，則這邊所對(duì)的內(nèi)角為直角。⑹三角形（或多邊形）一邊上的高垂直于這邊。⑺等腰三角形的頂角平分線（或底邊上的中線）垂直于底邊。⑻矩形的兩臨邊互相垂直。

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www.SIxuanshLcom⑼菱形的對(duì)角線互相垂直。⑽平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，或平分弦所對(duì)的弧的直徑垂直于這條弦。Q1）半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角。（12）圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。?相交兩圓的連心線垂直于兩圓的公共弦。三、證明線段成比例式或等積式1、比例線段的定義。2、平行線分線段成比例定理及推論。3、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。4、過分點(diǎn)作平行線；5、相似三角形的對(duì)應(yīng)高成比例，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。6、相似三角形的周長的比等于相似比。7、相似三角形的面積的比等于相似比的平方。8、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。9、通過比例的性質(zhì)推導(dǎo)。10、用代數(shù)、三角方法進(jìn)行計(jì)算。11、借助等比或等線段代換。四、幾何作圖1、掌握最基本的五種尺規(guī)作圖⑴作一條線段等于已知線段。

造師無im造師無imwww.SIxuanshLcom⑵作一個(gè)角等于已知角。⑶平分已知角。⑷經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線。⑸作線段的垂直平分線。2、掌握課本中各章要求的作圖題⑴根據(jù)條件作任意的三角形、等要素那角性、直角三角形。⑵根據(jù)給出條件作一般四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形⑶作已知圖形關(guān)于一點(diǎn)、一條直線對(duì)稱的圖形。⑷會(huì)作三角形的外接圓、內(nèi)切圓。⑸平分已知弧。⑹作兩條線段的比例中項(xiàng)。⑺作正三角形、正四邊形、正六邊形等。五、幾何計(jì)算（一）角度與弧度的計(jì)算1、三角形和四邊形的角的計(jì)算主要依據(jù)⑴、三角形的內(nèi)角和定理及推論。⑵、四邊形的內(nèi)角和定理及推論。⑶、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理。2、弧和相關(guān)的角的計(jì)算主要依據(jù)⑴圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。⑵圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。

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www.SIxuanshLcom⑶弦切角的度數(shù)等于所夾弧度數(shù)的一半。3、多邊形的角的計(jì)算主要依據(jù)⑴n邊形的內(nèi)角和=(12)*180°⑵正n邊形的每一內(nèi)角=(12)*180°?、钦齨邊形的任一外角等于各邊所對(duì)的中心角且都等于(二)長度的計(jì)算1、三角形、平行四邊形和梯形的計(jì)算用到的定理主要有三角形全等定理，中位線定理，等腰三角形、直角三角形、正三角形及各種平行四邊形的性質(zhì)等定理。關(guān)于梯形中線段計(jì)算主要依據(jù)梯形中位線定理及等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)定理等。2、有關(guān)圓的線段計(jì)算的主要依據(jù)⑴切線長定理⑵圓切線的性質(zhì)定理。⑶垂徑定理。⑷圓外切四邊形兩組對(duì)邊的和相等。⑸兩圓外切時(shí)圓心距等于兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于兩半徑之差。3、直角三角形邊的計(jì)算直角三角形邊長的計(jì)算應(yīng)用最廣，其理論依據(jù)主要是勾股定理和特殊角三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)等。4、成比例線段長度的求法⑴平行線分線段成比例定理；⑵相似形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比;造師無imwww.SIxuanshLcom⑶射影定理;⑷相交弦定理及推論，切割線定理及推論；⑸正多邊形的邊和其他線段計(jì)算轉(zhuǎn)化為特殊三角形。六、圖形面積的計(jì)算1、四邊形的面積公式⑴S^ABCD=a?h⑵S菱形=1/2a?b（a、b為對(duì)角線）⑶S梯形=1/2（a+b）?h=m?h（m為中位線）2、三角形的面積公式WSA=1/2?a?hWSA=1/2?Pt（P為三角形周長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑）3、S圓二nR八24、S扇形=nn=1/2LR5、S弓形=S扇-SA七、證明兩線段相等⑴利用全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等；⑵利用等腰三角形性質(zhì)；⑶利用同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊；⑷利用線段垂直平分線；⑸角平分線的性質(zhì)；⑹利用軸對(duì)稱的性質(zhì)；造師無imwww.SIxuanshLcom⑺平行線等分線段定理;⑻平行四邊形性質(zhì)；⑼垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。推論1：平分一條弦所對(duì)的弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。⑽圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系定理及推論；（11）切線長定理。八、證明弧相等⑴定義：同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧。⑵垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。推論1：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。②垂直平分一條弦的直線，經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。③平分一條弦所對(duì)的弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：兩條平行弦所夾的弧相等⑶圓心角、弧、圓周角之間度數(shù)關(guān)系;（圓心角=弧=2圓周角）⑷圓周角定理的推論1；（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等）九、切線小結(jié)1、證明切線的三種方法：⑴定義一一一個(gè)交點(diǎn)；⑵d=r;（若一條直線到圓心的距離等于半徑，則這條直線是圓的切線）⑶切線的判定定理;（經(jīng)過半徑外端，并且垂直這條半徑的直線是圓的切線）

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www.SIxuanshLcom2、切線的8個(gè)性質(zhì)：⑴定義：唯一交點(diǎn)；⑵切線和圓心的距離等于半徑;（d=r）⑶切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑;⑷推論1：過圓心（且垂直于切線的直線）必過切點(diǎn)；⑸推論2：過切點(diǎn)（且垂直于切線的直線）必過圓心；⑹切線長相等;過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩切線的夾角。⑺連結(jié)兩平行切線切點(diǎn)間的線段為直徑⑻經(jīng)過直徑兩端點(diǎn)的切線互相平行。3、證明切線的兩種類型：⑴已知直線和圓相交于一點(diǎn)證明方法：連交點(diǎn)，證垂直⑵未知直線和圓是否相交于哪點(diǎn)或沒告訴交點(diǎn)證明方法：做垂直，證半徑十、輔助線的作用與添加輔助線是溝通已知與未知的橋梁.現(xiàn)已學(xué)過的添加輔助線方法有:1、梯形的七類輔助線:⑴作梯形的高；⑵延長兩腰；⑶平移一腰；⑷平移對(duì)角線；造師無im

www.SIxuanshLcom⑸利用中點(diǎn)；⑹連結(jié)兩