初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)第1章解直角三角形銳角三角函數(shù) 市獲獎(jiǎng)

銳角三角函數(shù)的計(jì)算(二)1.利用計(jì)算器，求銳角α的度數(shù)(精確到1″).(1)sinα＝，則α≈20°20′4″.(2)cosα＝，則α≈64°42′13″.(3)tanα＝，則α≈50°38′3″.2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5).(1)若BC＝3x，則AB＝5x，AC＝4x，tanA＝eq\f(3,4)，tanB＝eq\f(4,3)，sinB＝eq\f(4,5).(2)用計(jì)算器可以求得∠A≈36°52′12″，∠B≈53°7′48″(精確到1″).3.已知梯形的上底長(zhǎng)為10cm，下底長(zhǎng)為15cm，一腰長(zhǎng)為8cm，高線長(zhǎng)為4eq\r(,3)cm，則兩個(gè)下底角的度數(shù)分別為60°，82°4.若一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為6cm，6cm，8°5.現(xiàn)要加工形狀如圖所示的零件，請(qǐng)根據(jù)圖示尺寸(單位：mm)計(jì)算斜角α的度數(shù)(精確到1″).(第5題)【解】∵EG＝DC－AB＝150－124＝26(mm)，∴FG＝EF－EG＝83－26＝57(mm)，∴tanα＝eq\f(FG,AG)＝eq\f(57,140)，∴a≈22°9′12″.6.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，我們知道，對(duì)于任何銳角α，都有sin2α＋cos2α＝1.如果關(guān)于x的方程3x2sinα－4xcosα＋2＝0有實(shí)數(shù)根，求銳角α的取值范圍.【解】由Δ＝16cos2α－24sinα＝16(1－sin2α)－24sinα≥0，得2sin2α＋3sinα－2≤0，∴(sinα＋2)(2sinα－1)≤0.∵sinα＋2＞0，∴2sinα－1≤0，∴sinα≤eq\f(1,2)，∴α≤30°，∴0°＜α≤30°.7.如圖，某城市市民廣場(chǎng)一入口處有五級(jí)高度相等的小臺(tái)階.已知臺(tái)階總高1.5m，為了安全，現(xiàn)要做一個(gè)不銹鋼扶手AB及兩根與FG垂直且長(zhǎng)為1m的不銹鋼架桿AD和BC，且∠(第7題)(1)求點(diǎn)D與點(diǎn)C之間的高度差DH.(2)求所有不銹鋼材料的總長(zhǎng)度(即AD＋AB＋BC的長(zhǎng))(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈【解】(1)DH＝×eq\f(4,5)＝(m).(2)過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AH于點(diǎn)M.∵在矩形BCHM中，MH＝BC＝1m∴AM＝AD＋DH－MH＝1＋－1＝(m)，∴在Rt△AMB中，AB＝eq\f(AM,°)≈3m，∴不銹鋼材料的總長(zhǎng)度為1＋3＋1＝5(m).8.四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別為m,n，可以證明當(dāng)AC⊥BD時(shí)(如圖①)，四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)mn，那么當(dāng)AC，BD所夾的銳角為θ時(shí)(如圖②)，四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)mnsinθ(用含m,n，θ的代數(shù)式表示).(第8題)【解】如解圖，設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F.(第8題解)∵AC，BD的夾角為θ，∴AE＝OA·sinθ，CF＝OC·sinθ，∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝eq\f(1,2)BD·AE＋eq\f(1,2)BD·CF＝eq\f(1,2)BD·(AE＋CF)＝eq\f(1,2)mnsinθ.9.如圖所示，某施工隊(duì)準(zhǔn)備在一段斜坡上鋪上臺(tái)階以便通行，現(xiàn)測(cè)得斜坡上鉛垂的兩棵樹(shù)間的水平距離AB＝4m，斜面距離BC＝4.25m，斜坡總長(zhǎng)(第9題)(1)求坡角∠D的度數(shù)(精確到1°).(2)若這段斜坡用厚度為17cm的長(zhǎng)方體臺(tái)階來(lái)鋪，需要(參考數(shù)據(jù)：cos20°≈，sin20°≈，sin18°≈，cos18°≈.)【解】(1)cosD＝cos∠ABC＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(4,≈，∴∠D≈20°.(2)EF＝DE·sinD＝85×sin20°≈(m)，×100÷17＝170(級(jí))，∴共需170級(jí)臺(tái)階.10.圖①是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖②是小明鍛煉時(shí)上半身由EM位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的EN位置時(shí)的示意圖.已知BC＝0.64m，AD＝0.(1)求AB的傾斜角α的度數(shù)(精確到1°).(2)若測(cè)得EN＝0.85m，試計(jì)算小明頭頂由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的路徑eq\o(MN,\s\up8(︵))的長(zhǎng)度(精確到0.(第10題)【解】(1)過(guò)點(diǎn)A作AF∥DC，分別交BC，NE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，H.∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥BC，∴四邊形AFCD為矩形，∴BF＝BC－FC＝BC－AD＝0.在Rt△ABF中，∵sinα＝eq\f(BF,AB)＝eq\f,，∴α≈18°.(2)∵NE⊥AF，∴∠AEH＝90°－α≈90°－18°＝72°，∴∠MEN＝180°－∠AEH＝108°，∴l(xiāng)eq\o(MN,\s\up8(︵))＝eq\f(108×π×,180)≈(m).11.如圖，延長(zhǎng)等邊三角形ABC的一邊CB到點(diǎn)D，連結(jié)AD.以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE.已知AC＝2，∠D＝20°，求BE的長(zhǎng)(精確到，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈，tan20°≈，sin20°≈，cos20°≈.(第11題)【解】如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G.(第11題解)∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°.在△ABF中，∵sin∠ABC＝eq\f(AF,AB)，∴AF＝sin∠ABC·AB＝eq\r(3)≈.在△ADF中，∵sinD＝eq\f(AF,AD)，∠D＝20°，∴AD＝eq\f(AF,sinD)≈.∵S△ADB＝eq\f(1,2)DB·AF＝eq\f(1,2)AD·BG，DB＝DF－BF＝eq\r(AD2－AF2)－eq\f(1,