第四節(jié)冪級(jí)數(shù)

1第三節(jié)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算2一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.定義:

前面講過常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),其各項(xiàng)均為一個(gè)常數(shù).若講各項(xiàng)改變?yōu)槎x在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù),便為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。32.收斂點(diǎn)與收斂域:4函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)5例如,

等比級(jí)數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或有和函數(shù)6解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.8原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;91、定義:二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性

下面著重討論的情形,即2、收斂性對(duì)于冪級(jí)數(shù),要解決兩個(gè)問題：(1)如何求出它的收斂域？(2)如何求出收斂域內(nèi)的和函數(shù)？

從冪級(jí)數(shù)的形式不難看出,任何冪級(jí)數(shù)在x=0處總是收斂的.而對(duì)的點(diǎn)處,冪級(jí)數(shù)的斂散性如何呢?先看下列定理.幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域12證明13由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域14推論15規(guī)定問題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?開區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.收斂域可能是收斂區(qū)間是含在收斂域內(nèi)的最大開區(qū)間。冪級(jí)數(shù)的收斂域？?jī)缂?jí)數(shù)的收斂區(qū)間，16證明17（1）由比值審斂法,18定理證畢.例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散解缺少奇次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,例2求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。級(jí)數(shù)發(fā)散,收斂半徑為另解前者收斂,后者發(fā)散所以收斂半徑為R=1/2,收斂區(qū)間為(－0.5，0.5)解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為例3求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.解：令t=(x1),考慮即|x1|<2,1<x<3原級(jí)數(shù)收斂|x1|>2時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散在端點(diǎn)處,x=1,x=3,故收斂區(qū)間為[1,3)另解利用比值判別法故收斂區(qū)間為[1,3)，收斂半徑為2三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1、代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)加減法(其中（2）乘法(其中柯西乘積（3）除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是

2、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，并且積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，并且求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.解兩邊積分得解解設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則在例5