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1第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂域三、冪級數(shù)的運算2一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.定義:
前面講過常數(shù)項級數(shù),其各項均為一個常數(shù).若講各項改變?yōu)槎x在區(qū)間I上的一個函數(shù),便為函數(shù)項級數(shù)。32.收斂點與收斂域:4函數(shù)項級數(shù)的部分和余項(x在收斂域上)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)5例如,
等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或有和函數(shù)6解由達朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.8原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;91、定義:二、冪級數(shù)及其收斂性
下面著重討論的情形,即2、收斂性對于冪級數(shù),要解決兩個問題:(1)如何求出它的收斂域?(2)如何求出收斂域內的和函數(shù)?
從冪級數(shù)的形式不難看出,任何冪級數(shù)在x=0處總是收斂的.而對的點處,冪級數(shù)的斂散性如何呢?先看下列定理.幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域12證明13由(1)結論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域14推論15規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?開區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間.定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.收斂域可能是收斂區(qū)間是含在收斂域內的最大開區(qū)間。冪級數(shù)的收斂域?冪級數(shù)的收斂區(qū)間,16證明17(1)由比值審斂法,18定理證畢.例1求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散解缺少奇次冪的項級數(shù)收斂,例2求冪級數(shù)的收斂半徑。級數(shù)發(fā)散,收斂半徑為另解前者收斂,后者發(fā)散所以收斂半徑為R=1/2,收斂區(qū)間為(-0.5,0.5)解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為例3求冪級數(shù)的收斂區(qū)間.解:令t=(x1),考慮即|x1|<2,1<x<3原級數(shù)收斂|x1|>2時,原級數(shù)發(fā)散在端點處,x=1,x=3,故收斂區(qū)間為[1,3)另解利用比值判別法故收斂區(qū)間為[1,3),收斂半徑為2三、冪級數(shù)的運算1、代數(shù)運算性質加減法(其中(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是
2、冪級數(shù)的和函數(shù)的分析運算性質即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內可以逐項積分,并且積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內可以逐項求導,并且求導后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.解兩邊積分得解解設其和函數(shù)為s(x),則在例5
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