第二章可控性與可觀性7

2.6.1概述經(jīng)典控制論中：系統(tǒng)用傳遞函數(shù)描述；注重輸入-輸出間的直接關(guān)系;可控性與可觀性不是問題!2.6可控性與可觀性SISO、低階，輸出可控制亦可測量；現(xiàn)代控制論中：系統(tǒng)復(fù)雜：MIMO，高階，時變，非線性等系統(tǒng)模型：狀態(tài)方程＋輸出方程

輸入是否使?fàn)顟B(tài)發(fā)生希望的變化？

可控性問題要使?fàn)顟B(tài)發(fā)生某種變化，輸入＝？

最優(yōu)控制問題由于輸出狀態(tài)，狀態(tài)輸入所以要得到理想的輸出，首先要控制好狀態(tài) 使輸出隨狀態(tài)發(fā)生變化（1）

輸入狀態(tài)間的問題：（2）

輸出狀態(tài)間的問題：

狀態(tài)可否從輸出得到？

可觀測性問題如何從輸出得到？

最優(yōu)估計問題可控性、可觀性為現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代控制理論應(yīng)用的前提條件！什么是可控性？可觀測性？如何判斷？可控性：系統(tǒng)輸入對系統(tǒng)狀態(tài)的有效控制能力可觀性：系統(tǒng)輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的確切反映能力狀態(tài)可控？系統(tǒng)可控？狀態(tài)不可控？系統(tǒng)不可控？狀態(tài)可觀測？系統(tǒng)可測觀？狀態(tài)不可觀測？系統(tǒng)不可觀測？問題：分析如下4個系統(tǒng)的可控性和可觀測性：2.6.2可控性定義及其判據(jù)2.6.2.1可控性定義：線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：狀態(tài)可控性：對于線性時變連續(xù)系統(tǒng)，如果對取定初始時刻的一個非零初始狀態(tài)，存在一個時刻，和一個無約束的容許控制使?fàn)顟B(tài)由轉(zhuǎn)移到時的則稱此在是可控的。系統(tǒng)可控性：對于線性時變連續(xù)系統(tǒng)，如果所有狀態(tài)在則稱系統(tǒng)在都是可控的，時刻是完全可控的，也稱系統(tǒng)在t0

是可控的。系統(tǒng)不可控：對于線性時變連續(xù)系統(tǒng)，取定初始時刻如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在時刻是不完全可控的，也稱系統(tǒng)不可控。幾點說明：（1）未限制狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡?？煽匦灾槐碚飨到y(tǒng)狀態(tài)運動的一個定性特性。

（2）定義中對控制量的每個分量的大小并未限制，只要求控制量u是容許控制的，這表明控制量的每個分量應(yīng)在時間區(qū)間Tf上平方可積：（3）定義是相對于時間區(qū)間Tf中的一個取定時刻來定義的，對于線性時變系統(tǒng)是完全必要的，而對于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的可控性與初始時刻的選取無關(guān)?？煽匦詢H與系統(tǒng)本身有關(guān)，與輸入量無關(guān)！t1=?（4）定義中規(guī)定由非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。如果將其變更為由零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到非零狀態(tài)，則稱這種情況為狀態(tài)可達(dá)或系統(tǒng)可達(dá)。對于線性定常系統(tǒng)，可控性與可達(dá)性等價。若系統(tǒng)在

則系統(tǒng)在上完全可控。時刻是完全可控的，(5)對線性定常連續(xù)系統(tǒng)：2.6.2.2可控性判據(jù)線性時變連續(xù)系統(tǒng)在使得Gram矩陣為非奇異的或是正定的。時刻可控的充要條件為：存在某個有限時刻（1）Gram矩陣判據(jù)（判別原理？）可控性僅與狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣有關(guān)！分析：線性定常連續(xù)系統(tǒng)使如下定義的Gram矩陣為非奇異的或是正定的。完全可控的充要條件為：存在時刻線性定常連續(xù)系統(tǒng)Gram矩陣判據(jù)：（2）秩判據(jù)假設(shè)線性時變連續(xù)系統(tǒng)的A(t)和B(t)

的每個元素分別是n-2和n-1次連續(xù)可微函數(shù)，并記使得令則該線性時變系統(tǒng)在t0時刻完全可控。如果存在某個時刻線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件為：其中n為系數(shù)矩陣A的階次線性定常連續(xù)系統(tǒng)秩判據(jù)系統(tǒng)的可控性矩陣

：n行nm列，如何確定秩為多少？計算技巧？（3）PBH判據(jù)（Popov-Belevitch-Hautus判據(jù)）線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是對系統(tǒng)矩陣的所有特征值其中n為系數(shù)矩陣A的階次（4）約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)1）若系統(tǒng)矩陣A的特征值互異且則線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件為矩陣不包含全為0的行。2）當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的特征值有相同的其中，設(shè)有q-l個相同特征值有l(wèi)個相同特征值其余為互異特征值q-ll小結(jié)（可控性判別要素）：（1）狀態(tài)化成零；（2）僅與狀態(tài)方程有關(guān)；（3）不是求出一個u(t1)，而是判斷其存在否！則系統(tǒng)可控的充要條件是：(b)對應(yīng)于互異特征值部分，中沒有元素全為零的行。(a)對應(yīng)于的相同特征值部分，中與每個約當(dāng)塊最后一行相對應(yīng)的一行元素不全為零；若在有限時間間隔輸出y(t1),則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控。內(nèi)，存在無約束分段連續(xù)函數(shù)u(t)，能使任意初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意最終2.6.2.3輸出可控性及其判據(jù)定義：判據(jù)：線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程表達(dá)式為：系統(tǒng)輸出完全可控的充分必要條件是：的秩等于輸出向量的維數(shù)，即

2.6.3可觀測性定義及其判據(jù)2.6.3.1可觀測性定義：設(shè)線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：A(t),B(t),C(t),D(t):

系統(tǒng)可觀測性：對于線性時變連續(xù)系統(tǒng)，如果對取定初始時刻系統(tǒng)的輸出y唯一確定狀態(tài)向量的初值則稱系統(tǒng)在時間區(qū)間是完全可觀測的存在一個時刻可以根據(jù)簡稱系統(tǒng)可觀測。

可觀性反映可否通過y(t)

確定x(t)問題如何確定?可觀測＝可測量？研究表明，系統(tǒng)可觀性與輸入無關(guān)！系統(tǒng)不可觀測：對于線性時變連續(xù)系統(tǒng)，如果對取定初始時刻系統(tǒng)的輸出y不能唯一確定狀態(tài)向量的初值則稱系統(tǒng)在時間區(qū)間是不完全可觀測的存在一個時刻對于所有簡稱系統(tǒng)不可觀測。2.6.3.2可觀測性判據(jù)（1）Gram矩陣判據(jù)（判別原理？）時刻可觀測的充要條件為：線性時變連續(xù)系統(tǒng)在使得Gram矩陣為非奇異的或是正定的。存在某個有限時刻其中：為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。線性定常連續(xù)系統(tǒng)Gram矩陣判據(jù)：使如下定義的Gram矩陣為非奇異的或是正定的。完全可觀測的充要條件為，存在時刻線性定常連續(xù)系統(tǒng)（2）秩判據(jù)假設(shè)線性時變連續(xù)系統(tǒng)的A(t)和B(t)

的每個元素分別是n-2和n-1次連續(xù)可微函數(shù)，并記使得令則該線性時變系統(tǒng)在t0時刻完全可觀測。如果存在某個時刻線性定常連續(xù)系統(tǒng)秩判據(jù)：N

稱為系統(tǒng)的可觀測矩陣（幾行幾列？）。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充要條件為：其中n為系統(tǒng)矩陣A的階次（3）Popov-Belevitch-Hautus判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是對系統(tǒng)矩陣的所有特征值其中n為系統(tǒng)矩陣A的階次。（4）約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)1）系統(tǒng)矩陣A的特征值互異線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件為矩陣不包含全為0的列。2）系統(tǒng)矩陣A的特征值有相同的其中，設(shè)有q-l個相同特征值有l(wèi)個相同特征值其余為互異特征值(a)中對應(yīng)于A的相同特征值部分，其第一列元素不全為零；(b)中對應(yīng)于A的互異特征值部分，沒有元素全為零的列。2.6.4對偶原理2.6.4.1線性定常系統(tǒng)的對偶關(guān)系有兩個線性定常系統(tǒng)，一個系統(tǒng)另一個系統(tǒng)為是一個r維輸入，m維輸出的n階系統(tǒng)是一個m維輸入，r維輸出的n階系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足下述條件，則稱互為對偶系統(tǒng)：注意：2.6.4.2線性時變系統(tǒng)的對偶關(guān)系有兩個線性時變系統(tǒng)，一個系統(tǒng)另一個系統(tǒng)為若系統(tǒng)滿足下述條件，則稱互為對偶系統(tǒng)：若為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣互為對偶的兩個系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣互為轉(zhuǎn)置逆，即2.6.4.3線性系統(tǒng)的對偶原理若線性定常系統(tǒng)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則系統(tǒng)的可控性等價于系統(tǒng)的可觀測性；系統(tǒng)的可觀測性等價于系統(tǒng)的可控性。反之亦然若線性時變系統(tǒng)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則反之亦然系統(tǒng)的可觀測性等價于系統(tǒng)的可控性。則系統(tǒng)的可控性等價于系統(tǒng)的可觀測性；2.6.5線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測性2.6.5.1線性離散系統(tǒng)的可控性與可達(dá)性線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：可控性：如果對初始時刻和狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)，都存在時刻，m>l,和對應(yīng)的控制u(k),使得x(m)=0，則稱系統(tǒng)在時刻l

完全可控。如果對初始時刻和初始x(l)=0，存在時刻，m>l,和相應(yīng)的控制u(k),使x(m)可為狀態(tài)空間中的任意非零狀態(tài)，則稱系統(tǒng)在時刻l

完全可達(dá)?？蛇_(dá)性：可控性與可達(dá)性等價條件：（1）對線性時變系統(tǒng)，等價的充要條件是：對所有，系統(tǒng)矩陣A(k)為非奇異。（2）對線性定常系統(tǒng)，等價的充要條件是系統(tǒng)矩陣A為非奇異。（3）若離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式是由相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)模型離散化得來，則恒等價。線性定常離散系統(tǒng)可控性判據(jù)：記：稱M為系統(tǒng)的可控性矩陣，則線性定常離散系統(tǒng)完全可控的充要條件是：因

M為nnr矩陣，上面充要條件又等價于：由于

M的行數(shù)總小于列數(shù)，因此在計算時只要所選取的列能判定出其秩為

n，就不必將其余項都列出。例題：2.6.5.2線性離散系統(tǒng)的可觀測性線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：線性定常離散系統(tǒng)可觀測性判據(jù)：系統(tǒng)可觀測性：記：如果對初始時刻的任一非零初始狀態(tài)，都存在有限時刻，m>l,且可由離散時間區(qū)間內(nèi)的輸出y(k)唯一地確定x0，則稱系統(tǒng)在時刻l

完全可觀測。稱N為系統(tǒng)的可觀測矩陣，則線性定常離散系統(tǒng)完全可觀測的充要條件是：例題：2.6.6在[s]平面上的可控性和可觀測性判別方法2.6.6.1狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)（陣）

考慮單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為假設(shè)初值為零，上式兩邊取拉氏變換u-x間的傳遞函數(shù)為：u-y間的傳遞函數(shù)為：由于

因此，u-x間與u-y間的傳遞函數(shù)可寫為二者擁有相同的分母，為系統(tǒng)特征式考慮多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為假設(shè)初值為零，上式兩邊取拉氏變換u-x間的傳遞函數(shù)陣為u-y間的傳遞函數(shù)陣為為傳遞函數(shù)陣二者也擁有相同的分母，為系統(tǒng)特征式。

同一系統(tǒng)，不同狀態(tài)空間表達(dá)式，同一傳遞函數(shù)陣！u-x間與u-y間的傳遞函數(shù)又可寫為：2.6.6.2可控、可觀測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（陣）特性或傳遞函數(shù)陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是在傳遞函數(shù)如果相約，則在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不可控?；騻鬟f函數(shù)陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是在傳遞函數(shù)如果相約，則在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不可觀測。例題（書上）原因？（見系統(tǒng)分解部分?。?.6.7可控規(guī)范型和可觀測規(guī)范型狀態(tài)變量選擇不同經(jīng)相似（非奇異）變換狀態(tài)空間表達(dá)式不同規(guī)范型可觀測規(guī)范型可控規(guī)范型約當(dāng)規(guī)范型對角矩陣前兩種便于計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和判斷系統(tǒng)可控性、可觀測性；后兩種便于系統(tǒng)綜合和辨識；2.6.7.1可控規(guī)范型單輸入單輸出n階線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，則滿足相似（非奇異）變換不改變系統(tǒng)的可控性、可觀測性；只有系統(tǒng)狀態(tài)完全可控/可觀測，才能化成可控/可觀測規(guī)范型。本節(jié)只討論單輸入/單輸出系統(tǒng)。（1）可控規(guī)范I型若系統(tǒng)是可控的，則存在線性相似變換其中：使其中可控規(guī)范I型為如下特征多項式的各項系數(shù)其中中元素中元素為相乘的結(jié)果:由可控規(guī)范I型的狀態(tài)空間表達(dá)式可直接求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)傳函分母多項式的系數(shù)與矩陣最后一行元素對應(yīng)；系統(tǒng)傳函分子多項式的系數(shù)與矩陣元素對應(yīng)。Example求下列系統(tǒng)的可控規(guī)范I型狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù):（a）判定系統(tǒng)的可控性系統(tǒng)狀態(tài)完全可控（b）計算系統(tǒng)特征多項式則（c）確定（d）寫出規(guī)范型狀態(tài)空間表達(dá)式（2）可控規(guī)范II型若系統(tǒng)是可控的，則存在線性相似變換其中使?fàn)顟B(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)化成其中中元素為如下特征多項式的各項系數(shù)中元素為相乘的結(jié)果Example求下列系統(tǒng)的可控規(guī)范II型狀態(tài)空間表達(dá)式（a）判定系統(tǒng)的可控性系統(tǒng)狀態(tài)完全可控（b）計算系統(tǒng)特征多項式則（c）確定（d）寫出規(guī)范型狀態(tài)空間表達(dá)式2.6.7.2可觀測規(guī)范型仍考慮單輸入n階線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為如果系統(tǒng)狀態(tài)是完全可觀測的，則滿足（1）可觀測規(guī)范I型若系統(tǒng)是可觀測的，則存在線性相似變換其中使得其中可觀測規(guī)范I型其中中元素為如下特征多項式的各項系數(shù)：中元素為相乘的結(jié)果（2）可觀測規(guī)范II型若系統(tǒng)是可觀測的，則存在線性相似變換其中使得其中可觀規(guī)范II型其中中元素為如下特征多項式的各項系數(shù)：中元素為相乘的結(jié)果可觀測I型與可控II型對偶可觀測II型與可控I型對偶分析：2.6.8線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解系統(tǒng)的狀態(tài)變量系統(tǒng)分割成相應(yīng)子系統(tǒng)不可控不可觀測不可控可觀測可控不可觀測可控可觀測特殊相似變換目的：研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)特性的影響；便于系統(tǒng)校正和控制！2.6.8.1按可控性分解設(shè)不可控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)可控性矩陣為若可控性矩陣的秩為經(jīng)相似變換：變換成下列規(guī)范表達(dá)式其中l(wèi)維可控狀態(tài)(n-l)維不可控狀態(tài)(n-l)行l(wèi)行(n-l)行l(wèi)行(n-l)列l(wèi)列(