第五章對(duì)流換熱分析-傳熱學(xué)

對(duì)流換熱部分的核心問題確定對(duì)流換熱系數(shù)并揭示對(duì)流換熱系數(shù)與其影響因素的關(guān)系第五章對(duì)流換熱分析§5-1對(duì)流換熱概述§5-2對(duì)流換熱微分方程組§5-3邊界層換熱微分方程組的解§5-4邊界層換熱積分方程組及求解§5-5動(dòng)量傳遞和熱量傳遞的類比§5-6相似理論基礎(chǔ)回顧對(duì)流換熱過程：1.定義：對(duì)流換熱是發(fā)生在流體和與之接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過程。2.實(shí)例：1)暖氣管道;2)電子器件冷卻對(duì)流換熱與熱對(duì)流不同，既有熱對(duì)流，也有導(dǎo)熱；不是基本傳熱方式。(a)導(dǎo)熱與熱對(duì)流同時(shí)存在的復(fù)雜熱傳遞過程(b)必須有直接接觸（流體與壁面）和宏觀運(yùn)動(dòng)；也必須有溫差以簡單的對(duì)流換熱過程為例，對(duì)對(duì)流換熱過程的特征進(jìn)行粗略的分析。yt∞u∞

tw

qwx圖表示一個(gè)簡單的對(duì)流換熱過程。流體以來流速度u和來流溫度t流過一個(gè)溫度為tw的固體壁面。選取流體沿壁面流動(dòng)的方向?yàn)閤坐標(biāo)、垂直壁面方向?yàn)閥坐標(biāo)。3.特點(diǎn)：yt∞u∞

tw

qwx由于固體壁面對(duì)流體分子的吸附作用，使得壁面上的流體是處于不流動(dòng)或不滑移的狀態(tài)。在流體的黏性力作用下會(huì)使流體的速度在垂直于壁面的方向上發(fā)生改變。流體速度從壁面上的零速度值逐步變化到來流的速度值。同時(shí)，通過固體壁面的熱流也會(huì)在流體分子的作用下向流體擴(kuò)散(熱傳導(dǎo))，并不斷地被流體的流動(dòng)而帶到下游（熱對(duì)流），因而也導(dǎo)致緊靠壁面處的流體溫度逐步從壁面溫度變化到來流溫度。4對(duì)流換熱的基本計(jì)算式牛頓冷卻式:一.影響對(duì)流換熱的一般因素§5-1對(duì)流換熱概述1.流動(dòng)起因:2.流動(dòng)狀態(tài)：3.流體有無相變：(4)換熱表面幾何因素(Thegeometricfactors)形狀（shape）相對(duì)位置(relativeposition)表面粗糙情況(surfaceroughness)尺度(scale)內(nèi)流（internalflow）外流（externalflow）(5)流體的熱物理性質(zhì)：熱導(dǎo)率密度比熱容動(dòng)力粘度運(yùn)動(dòng)粘度體脹系數(shù)（流體內(nèi)部和流體與壁面間導(dǎo)熱熱阻?。▎挝惑w積流體能攜帶更多能量）（有礙流體流動(dòng)、不利于熱對(duì)流）（自然對(duì)流換熱增強(qiáng)）綜上所述，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)是眾多因素的函數(shù)：二.對(duì)流換熱過程的分類對(duì)流換熱：導(dǎo)熱+熱對(duì)流；壁面+流動(dòng)對(duì)流換熱的分類：1、流動(dòng)起因：自然對(duì)流：流體因各部分溫度不同而引起的密度差異所產(chǎn)生的流動(dòng)（Freeconvection）強(qiáng)制對(duì)流：由外力（如：泵、風(fēng)機(jī)、水壓頭）作用所產(chǎn)生的流動(dòng)（Forcedconvection）2、換熱表面的幾何因素：內(nèi)部流動(dòng)對(duì)流換熱：管內(nèi)或槽內(nèi)外部流動(dòng)對(duì)流換熱：外掠平板、圓管、管束3、流動(dòng)狀態(tài)：層流：整個(gè)流場呈一簇互相平行的流線（Laminarflow）湍流：流體質(zhì)點(diǎn)做復(fù)雜無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)（Turbulentflow）4、流體有無相變：單相換熱：（Singlephaseheattransfer）相變換熱：凝結(jié)、沸騰、升華、凝固、融化等（Phasechange）：Condensation、Boiling對(duì)流換熱分類三.換熱系數(shù)和換熱微分方程式確定h及增強(qiáng)換熱的措施是對(duì)流換熱的核心問題對(duì)流換熱的基本計(jì)算式：牛頓冷卻公式（1701）壁面上的流體分子層由于受到固體壁面的吸附是處于不滑移的狀態(tài)，其流速應(yīng)為零，那么通過它的熱流量只能依靠導(dǎo)熱的方式傳遞。yt∞u∞

tw

qwxyt∞u∞

tw

qwx由傅里葉定律通過壁面流體層傳導(dǎo)的熱流量最終是以對(duì)流換熱的方式傳遞到流體中或換熱微分方程式給出了計(jì)算對(duì)流換熱壁面上熱流密度的公式，也確定了對(duì)流換熱系數(shù)與流體溫度場之間的關(guān)系。求解一個(gè)對(duì)流換熱問題，獲得該問題的對(duì)流換熱系數(shù)或交換的熱流量，就必須首先獲得流場的溫度分布。換熱系數(shù)與流場的溫度分布有關(guān)，因此，它與流速、流態(tài)、流動(dòng)起因、換熱面的幾何因素、流體物性均有關(guān)?；蛩?、用分析法求解對(duì)流換熱問題的實(shí)質(zhì)及思路實(shí)質(zhì)

求得溫度分布，尤其是近壁處的溫度思路

物理問題―――數(shù)學(xué)描寫（控制方程及定解條件）－――

分析求解（速度場、溫度場）－――阻力系數(shù)、換熱系數(shù)推導(dǎo)微分方程的物理依據(jù):連續(xù)方程――－質(zhì)量方程

動(dòng)量方程――－動(dòng)量守恒

能量方程―――能量守恒如何由溫度分布求得出h――換熱微分方程

近壁處：注意：1)與導(dǎo)熱問題中第三類邊界條件的區(qū)別

2）

非物性，

流體導(dǎo)熱系數(shù)§5-2對(duì)流換熱微分方程組為便于分析，只限于分析二維對(duì)流換熱假設(shè)：b)所有物性參數(shù)（、cp、）為常量a)流體為不可壓縮的牛頓型流體，（即：服從牛頓粘性定律的流體；而油漆、泥漿等不遵守該定律，稱非牛頓型流體）4個(gè)未知量：速度u、v；溫度t；壓力p需要4個(gè)方程:連續(xù)性方程（1）;動(dòng)量方程（2）;能量方程（1）一、連續(xù)性方程流體的連續(xù)流動(dòng)遵循質(zhì)量守恒規(guī)律。從流場中(x,y)處取出邊長為dx、dy的微元體，并設(shè)定x方向的流體流速為u，而y方向上的流體流速為v。單位時(shí)間流進(jìn)和流出微元體的質(zhì)量流量之差(1)＝微元體質(zhì)量隨時(shí)間的變化率(2)。1.建立方程的思路(1)單位時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向流入微元體的凈質(zhì)量：其中單位時(shí)間內(nèi)、沿y軸方向流入微元體的凈質(zhì)量：其中(2)單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)流體質(zhì)量的變化:2、連續(xù)性方程對(duì)于二維、穩(wěn)定、常物性流場：二、動(dòng)量微分方程動(dòng)量微分方程式描述流體速度場—?jiǎng)恿渴睾銊?dòng)量微分方程是納維埃和斯托克斯分別于1827和1845年推導(dǎo)的。Navier-Stokes方程（N-S方程）

作用在微元體上各外力的總和(2)=控制體中流體動(dòng)量的變化率(1)(1)控制體中流體動(dòng)量的變化率1.建立方程的思路牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：x方向上的動(dòng)量改變量：_=從x方向流出元體的質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量從x方向進(jìn)入元體質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量x方向上的動(dòng)量改變量y方向上的動(dòng)量改變量：_=從y方向流出元體的質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量從y方向進(jìn)入元體質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量y方向上的動(dòng)量改變量注意:化簡過程中利用了連續(xù)性方程和忽略了高階小量。(1)體積力：重力、離心力、電磁力設(shè)定單位體積流體的體積力為F，相應(yīng)在x和y方向上的分量分別為Fx和Fy。在x方向上作用于微元體的體積力：在y方向上作用于微元體的體積力：(2)表面力:2.作用于微元體上的外力作用于微元體表面上的力。通常用作用于單位表面積上的力來表示，稱之為應(yīng)力。包括粘性引起的切向應(yīng)力和法向應(yīng)力、壓力等。法向應(yīng)力

中包括了壓力p和法向粘性應(yīng)力。在物理空間中面矢量和力矢量各自有三個(gè)相互獨(dú)立的分量（方向），因而對(duì)應(yīng)組合可構(gòu)成應(yīng)力張量的九個(gè)分量。于是應(yīng)力張量可表示為式中為應(yīng)力張量，下標(biāo)i表示作用面的方向，下標(biāo)j則表示作用力的方向通常將作用力和作用面方向一致的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，而不一致的稱為切應(yīng)力。對(duì)于我們討論的二維流場應(yīng)力只剩下四個(gè)分量，記為σx為x方向上的正應(yīng)力（力與面的方向一致）；σy為y方向上的正應(yīng)力（力與面的方向一致）；τxy為作用于×表面上的y方向上的切應(yīng)力；τyx為作用于y表面上的x方向上的切應(yīng)力。作用在x方向上表面力的凈值為:作用在y方向上表面力的凈值為:斯托克斯提出了歸納速度變形率與應(yīng)力之間的關(guān)系的黏性定律得出作用在微元體上表面力的凈值表達(dá)式：x方向上y方向上3.動(dòng)量微分方程式x方向上y方向上

慣性力體積力壓力粘性力對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：只有重力場時(shí)：三、能量微分方程能量微分方程式描述流體溫度場——能量守恒[導(dǎo)入與導(dǎo)出的凈熱量]+[熱對(duì)流傳遞的凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[總能量的增量]+[對(duì)外作膨脹功]Q=E+WW—體積力(重力)作的功、表面力作的功（2）流體不可壓縮（4）無化學(xué)反應(yīng)等內(nèi)熱源Q內(nèi)熱源=0UK=0、=0

（3）一般工程問題流速低

假設(shè)：（1）流體的熱物性均為常量，流體不做功W＝0Q導(dǎo)熱+Q對(duì)流=U熱力學(xué)能Q=E+W單位時(shí)間內(nèi)、沿x方向熱對(duì)流傳遞到微元體的凈熱量：單位時(shí)間內(nèi)、沿y

方向熱對(duì)流傳遞到微元體的凈熱量：能量守恒方程對(duì)流項(xiàng)+非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)熱傳導(dǎo)項(xiàng)四、對(duì)流換熱微分方程組（常物性、無內(nèi)熱源、二維、不可壓縮牛頓流體）4個(gè)方程，4個(gè)未知量——可求得速度場和溫度場再引入換熱微分方程(n為壁面的法線方向坐標(biāo))，最后可以求出流體與固體壁面之間的對(duì)流換熱系數(shù)，從而解決給定的對(duì)流換熱問題。求解對(duì)流換熱問題的途徑:

1.分析求解a）精確解法（分析解）：根據(jù)邊界層理論，得到邊界層微分方程組，聯(lián)立常微分方程進(jìn)行求解。b）近似積分法：假設(shè)邊界層內(nèi)的速度分布和溫度分布，解積分方程。2.實(shí)驗(yàn)研究3.數(shù)值求解五、對(duì)流換熱單值性條件單值性條件：能單值地反映對(duì)流換熱過程特點(diǎn)的條件完整數(shù)學(xué)描述：對(duì)流換熱微分方程組+單值性條件單值性條件包括四項(xiàng)：幾何、物理、時(shí)間、邊界1、幾何條件：說明對(duì)流換熱過程中的幾何形狀和大小，平板、圓管；豎直圓管、水平圓管；長度、直徑等2、物理?xiàng)l件：說明對(duì)流換熱過程的物理特征，如：物性參數(shù)、、c和

的數(shù)值，是否隨溫度和壓力變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布3、時(shí)間條件：說明在時(shí)間上對(duì)流換熱過程的特點(diǎn)穩(wěn)態(tài)對(duì)流換熱過程不需要時(shí)間條件—與時(shí)間無關(guān)４、邊界條件：說明對(duì)流換熱過程的邊界特點(diǎn)，邊界條件可分為二類：第一類、第二類邊界條件（1）第一類邊界條件：已知任一瞬間對(duì)流換熱過程邊界上的溫度值（2）第二類邊界條件：已知任一瞬間對(duì)流換熱過程邊界上的熱流密度值§5-3邊界層微分方程組的解邊界層的概念是1904年德國科學(xué)家普朗特提出的。（Boundarylayer）

1）定義垂直于壁面的方向上流體流速發(fā)生顯著變化的流體薄層定義為流動(dòng)邊界層。

一.邊界層1.流動(dòng)邊界層流體流過固體壁面時(shí)，由于壁面層流體分子的不滑移特性，在流體黏性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會(huì)從壁面處的零速度逐步變化到來流速度。twt∞u

δt

δ0x普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對(duì)于低黏度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時(shí)，在壁面上流體速度發(fā)生顯著變化的流體層是非常薄的。流體流過固體壁面的流場就人為地分成兩個(gè)不同的區(qū)域。twt∞u

δt

δ0x其一是邊界層流動(dòng)區(qū)，這里流體的黏性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化；其二是勢流區(qū)，這里流體黏性力的作用非常微弱，可視為無黏性的理想流體流動(dòng)，也就是勢流流動(dòng)。2）邊界層的厚度當(dāng)速度變化達(dá)到時(shí)的空間位置為速度邊界層的外邊緣，那么從這一點(diǎn)到壁面的距離就是邊界層的厚度twt∞u

δt

δ0x?。嚎諝馔饴悠桨?，理論關(guān)系式為：u=10m/s：要使邊界層的厚度遠(yuǎn)小于流動(dòng)方向上的尺度(即)，也就是所說的邊界層是一個(gè)薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大,即

因此，對(duì)于流體流過平板，滿足邊界層假設(shè)的條件就是雷諾數(shù)足夠大。由此也就知道，當(dāng)速度很小、黏性很大時(shí)或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。3)臨界雷諾數(shù)

隨著x的增大，δ（x）也逐步增大，同時(shí)黏性力對(duì)流場的控制作用也逐步減弱，從而使邊界層內(nèi)的流動(dòng)變得紊亂。把邊界層從層流過渡到紊流的x值稱為臨界值，記為xc，其所對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即流體平行流過平板的臨界雷諾數(shù)大約是

4)要點(diǎn)a.當(dāng)粘性流體沿固體表面流動(dòng)時(shí)，流場劃為主流區(qū)（勢流區(qū)）和邊界層區(qū)。在邊界層區(qū)內(nèi)，速度在垂直于壁面方向劇烈變化。而主流區(qū)速度梯度幾乎為零。主流區(qū)的流動(dòng)視為理想流體的流動(dòng)，用描述理想流體的方程求解。邊界層區(qū)應(yīng)考慮粘性的影響，用粘性流體的邊界層微分方程求解。b.速度邊界層成立的條件是Re>>1。c.邊界層的流動(dòng)狀態(tài)分為層流和紊流。2.熱（溫度）邊界層（Thermalboundarylayer）當(dāng)流體流過平板而平板的溫度tw與來流流體的溫度t∞不相等時(shí)，在壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層。Tw1）定義2）熱邊界層厚度當(dāng)壁面與流體之間的溫差達(dá)到壁面與來流流體之間的溫差的0.99倍時(shí)，即，此位置就是邊界層的外邊緣，而該點(diǎn)到壁面之間的距離則是熱邊界層的厚度,記為湍流：溫度呈冪函數(shù)分布層流：溫度呈拋物線分布湍流邊界層貼壁處的溫度梯度明顯大于層流故：湍流換熱比層流換熱強(qiáng)！在同一位置上熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對(duì)大小與流體的普朗特?cái)?shù)Pr有關(guān)，也就是與流體的熱擴(kuò)散特性和動(dòng)量擴(kuò)散特性的相對(duì)大小有關(guān)。由此式可以看出，熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了Re×足夠大之外還取決于普朗特?cái)?shù)的大小，當(dāng)普朗特?cái)?shù)非常小時(shí)（Pr<<1）,熱邊界層相對(duì)于速度邊界層就很厚，反之則很薄。普朗特?cái)?shù)Pr的物理意義:表征流體的熱擴(kuò)散特性和動(dòng)量擴(kuò)散特性的相對(duì)大小3）速度邊界層厚度與熱邊界層厚度的關(guān)系當(dāng)Pr>1時(shí)，Pr=υ/a，υ>a，粘性擴(kuò)散>熱量擴(kuò)散，速度邊界層厚度>溫度邊界層厚度。當(dāng)Pr<1時(shí)，Pr=υ/a，υ<a，粘性擴(kuò)散<熱量擴(kuò)散，速度邊界層厚度<溫度邊界層厚度。也可以從公式得出T∞u∞T∞x0δδtu∞x0δδt(a)Pr<1(b)Pr>13.引入邊界層概念的意義縮小計(jì)算區(qū)域。對(duì)對(duì)流換熱問題的研究可集中在邊界層區(qū)域內(nèi)邊界層內(nèi)的流動(dòng)與換熱可以利用邊界層的特點(diǎn)進(jìn)一步簡化二、數(shù)量級(jí)分析與邊界層微分方程1.數(shù)量級(jí)分析(orderofmagnitude)1)定義:比較方程中各量或各項(xiàng)的量級(jí)的相對(duì)大小；保留量級(jí)較大的量或項(xiàng)；舍去那些量級(jí)小的項(xiàng)，方程大大簡化例：二維、穩(wěn)態(tài)、強(qiáng)制對(duì)流、層流、忽略重力的對(duì)流換熱為例2)實(shí)例分析主流速度：溫度：壁面特征長度：邊界層厚度：x與l相當(dāng)，即：注意：0(1)、0()表示數(shù)量級(jí)為1和，1>>?！皛”—相當(dāng)于a.定義5個(gè)基本量的數(shù)量級(jí)b.其他量的數(shù)量級(jí)導(dǎo)出u沿邊界層厚度由0到u:由連續(xù)性方程：表明：邊界層內(nèi)的壓力梯度僅沿x方向變化，而邊界層內(nèi)法向的壓力梯度極小。邊界層內(nèi)任一截面壓力與y無關(guān)而等于主流壓力可視為邊界層的又一特性層流邊界層對(duì)流換熱微分方程組：3個(gè)方程、3個(gè)未知量：u、v、t，方程封閉如果配上相應(yīng)的定解條件，則可以求解邊界條件：三、外掠平板層流換熱邊界層微分方程式分析解簡述微分方程：結(jié)果為：(1)建立邊界層積分方程針對(duì)包括固體邊界及邊界層外邊界在內(nèi)的有限大小的控制容積；(2)對(duì)邊界層內(nèi)的速度和溫度分布作出假設(shè)，常用的函數(shù)形式為多項(xiàng)式；(3)利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出和的計(jì)算式；(4)根據(jù)求得的速度分布和溫度分布計(jì)算固體邊界上的§5-4邊界層積分方程組及其求解一.用邊界層積分方程求解對(duì)流換熱問題的基本思想二、邊界層動(dòng)量積分方程邊界層動(dòng)量積分方程是把動(dòng)量定律應(yīng)用于一個(gè)控制容積導(dǎo)出的。取常物性、不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)強(qiáng)制對(duì)流為對(duì)象作分析。u∞u∞δ

τw在流體中劃出如圖的控制容積，包括dx一段邊界層，而z方向?yàn)閱挝婚L度?？刂迫莘e左側(cè)面為ab，右側(cè)面為cd，頂面為bd，底面為壁面的ac部分，即取ac為dx。u∞u∞δ

τw由于在邊界層內(nèi)y方向上的流速很小，因此推導(dǎo)中只考慮x方向上的動(dòng)量變化，不引入流速v。圖中給出了速度的分布曲線。在距壁面y處流速為u，在y≥δ處u=u∞。先計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)出入控制容積的動(dòng)量之差。為此計(jì)算以下各項(xiàng)：（1）穿過控制面ab進(jìn)入控制容積的動(dòng)量為u∞u∞δ

τw而同時(shí)穿過cd面流出的動(dòng)量為凈流出的動(dòng)量為（2）沒有流體穿過固體表面ac。但有流體質(zhì)點(diǎn)穿過bd面。根據(jù)質(zhì)量守恒，穿過bd面流入控制容積的質(zhì)量流量等于流出cd面與流入ab面的質(zhì)量流量之差。流入ab面的質(zhì)量流量為:流出cd面的質(zhì)量流量:于是穿過bd面流入控制容積的質(zhì)量流量為:u∞u∞δ

τw相應(yīng)帶入控制體的動(dòng)量（略去u∞沿x變化引入的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）為根據(jù)動(dòng)量定律，在x方向上的動(dòng)量變化必須等于x方向上作用在控制體表面上外力的代數(shù)和。作用在控制體表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切應(yīng)力τwdx以及ab和cd兩面壓力之差u∞u∞δ

τw于是動(dòng)量定律可表達(dá)為由于存在以下關(guān)系：于是式(c)可改寫成為重新組合可得由伯努利方程知代入(e)式，得根據(jù)邊界層理論，在邊界層外的主流區(qū)u∞-u=0。改寫上式積分上限得這就是卡門在1921年導(dǎo)出的邊界層動(dòng)量積分方程。由積分方程求出的分析解稱為近似解，以區(qū)別于微分方程的精確解.二、邊界層能量積分方程u∞t∞把能量守恒定律應(yīng)用于控制容積可推導(dǎo)出邊界層能量積分方程。x方向上為dx，y方向上大于流動(dòng)邊界層即熱邊界層厚度，而z方向上為單位長度的一個(gè)控制容積如圖所示。在常物性、流速不致引起耗散熱的條件下，考察控制容積的能量守恒。在邊界層數(shù)量級(jí)分析中已經(jīng)得出結(jié)論結(jié)論：推導(dǎo)中僅考慮y方向上的導(dǎo)熱u∞t∞（1）單位時(shí)間內(nèi)穿過ab面進(jìn)入控制容積的熱量為單位時(shí)間內(nèi)穿過cd面帶出控制容積的熱量為（2）單位時(shí)間內(nèi)穿過bd面進(jìn)入控制容積的質(zhì)量流量為由它帶入控制容積的熱量為:u∞t∞（3）穿過ac面，因貼壁流體層導(dǎo)熱帶出控制容積的熱量為在穩(wěn)態(tài)條件下，根據(jù)能量守恒進(jìn)入與帶出控制容積的熱量相等，于是可得:整理后得因?yàn)樵跓徇吔鐚右酝鈚∞-t=0，上式積分上限可改為δt，得三、邊界層積分方程組求解示例作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以穩(wěn)態(tài)常物性流體強(qiáng)制掠過平板層流時(shí)的換熱作為討論對(duì)象。壁面具有定壁溫的邊界條件。在常物性條件下，動(dòng)量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨(dú)求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。1.求解流動(dòng)邊界層厚度及摩擦系數(shù)在本問題中，u∞為常數(shù)，動(dòng)量積分方程式（1）左邊的第二項(xiàng)為0。再引入，式（1）為為求解上式，還需補(bǔ)充邊界層速度分布函數(shù)u=f(y)。選用以下有4個(gè)任意常數(shù)的多項(xiàng)式作為速度分布的表達(dá)式:u=a+by+cy2+dy3

式中，4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即y=0時(shí) U=0且y=δ時(shí) u=u∞且由此求得4個(gè)待定常數(shù)為a=0c=0于是速度分布表達(dá)式為積分得分離變量，并注意到x=0時(shí)δ=0，可得無量綱表達(dá)式為

其中Rex=u∞x/υ,其特性尺度為離平板前緣的距離x。在x處的壁面局部切應(yīng)力:在工程計(jì)算中常使用局部切應(yīng)力與流體動(dòng)壓頭之比，稱為摩擦系數(shù)，亦稱范寧摩擦系數(shù)，其表達(dá)式為2.求解熱邊界層厚度及換熱系數(shù)先求解熱邊界層厚度。為從式（2）求解熱邊界層厚度，除u=f(y)已由式（4）確定外，還需要補(bǔ)充熱邊界層內(nèi)的溫度分布函數(shù)t=f(y)。對(duì)此，亦選用帶4個(gè)常數(shù)的多項(xiàng)式： t=e+fy+gy2+hy3式中，4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及熱邊界層特性的推論確定，即y=0時(shí) t=tw且y=δ時(shí) t=t∞且由此求得4個(gè)待定常數(shù)為:e=twg=0若用以tw為基準(zhǔn)點(diǎn)的過余溫度θ=t-tw來表達(dá)，則溫度分布表達(dá)式為能量積分方程式（2）用過余溫度表示為進(jìn)一步求解中，令熱邊界層厚度與流動(dòng)邊界層厚度之比δt/δ=ζ，并假定ζ<1。這個(gè)假定對(duì)Pr>1的流體顯然是適用的。最后得到：其次求解局部換熱系數(shù)αx

其無量綱表達(dá)形式為：最后求解平均換熱系數(shù)h

計(jì)算物性參數(shù)用的定性溫度為邊界層平均溫度

四、邊界層積分方程組與微分方程組1.積分方程的推導(dǎo)與微分方程推導(dǎo)的異同差別：微分方程是對(duì)微元控制容積dxdydz推導(dǎo)的，要求微元體范圍內(nèi)每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)都滿足守恒關(guān)系，且對(duì)兩個(gè)方向上的參量均考慮；而積分方程是對(duì)一個(gè)有限的容積ldx來推導(dǎo)的，推導(dǎo)時(shí)，忽略y方向上的參量變化，只注意x方向上的參量變化共同點(diǎn)：是運(yùn)用同樣的守恒定律。2.與微分方程相比，積分方程的近似性何在？從推導(dǎo)過程來看，積分方程只要求控制體在進(jìn)出口截面處整體上滿足守恒關(guān)系，也就是說，只要求在進(jìn)出口截面上的積分平均只滿足守恒定律。微分方程要求微元體范圍內(nèi)每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)都滿足守恒關(guān)系。例如，積分方程推導(dǎo)中，平面ab的質(zhì)量流量為只要相等，即如圖所示的兩根速度曲線與y軸間的面積相等，即認(rèn)為兩者無差別。實(shí)際速度分布完全不同，這是它的解被稱為近似解的原因。例題5-1溫度為30℃的空氣以0.5m/s的速度平行掠過長250mm、溫度為50℃的平板，試求出平板末端流動(dòng)邊界層和熱邊界層的厚度及空氣與單位寬度平板的換熱量。解：邊界層的平均溫度都為空氣40℃的物性參數(shù)分別為v=16.96x10-6m2/s,λ=2.76x102W/m.k,Pr=0.699,在離平板前250mm處，雷諾數(shù)為邊界層為層流。流動(dòng)邊界層的厚度為熱邊界層的厚度為可見，空氣的熱邊界層比流動(dòng)邊界層略厚。整個(gè)平板的平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)1m寬平板與空氣的換熱量為這里以流體外掠等溫平板的湍流換熱為例。湍流邊界層動(dòng)量和能量方程為引入下列無量綱量：湍流動(dòng)量擴(kuò)散率湍流熱擴(kuò)散率§5-5動(dòng)量傳遞與熱量傳遞的類比則有雷諾認(rèn)為：由于湍流切應(yīng)力和湍流熱流密度均由脈動(dòng)所致，因此，可以假定：湍流普朗特?cái)?shù)當(dāng)Pr=1時(shí)，則應(yīng)該有完全相同的解，此時(shí)：而類似地：實(shí)驗(yàn)測定平板上湍流邊界層阻力系數(shù)為：這就是有名的雷諾比擬，它成立的前提是Pr=1當(dāng)Pr1時(shí)，需要對(duì)該比擬進(jìn)行修正，于是有契爾頓－柯爾本比擬（修正雷諾比擬）：式中，稱為斯坦頓（Stanton）數(shù)，其定義為稱為因子，在制冷、低溫工業(yè)的換熱器設(shè)計(jì)中應(yīng)用較廣。當(dāng)平板長度l

大于臨界長度xc時(shí)，平板上的邊界層由層流段和湍流段組成。其Nu分別為：則平均對(duì)流換熱系數(shù)hm為:如果取，則上式變?yōu)椋涸囼?yàn)是不可或缺的手段，然而，經(jīng)常遇到如下兩個(gè)問題:(1)變量太多一.問題的提出A實(shí)驗(yàn)中應(yīng)測哪些量（是否所有的物理量都測）B實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如何整理（整理成什么樣函數(shù)關(guān)系）(2)實(shí)物試驗(yàn)很困難或太昂貴的情況，如何進(jìn)行試驗(yàn)？相似原理將回答上述三個(gè)問題§5-6相似理論基礎(chǔ)二.相似原理的研究內(nèi)容：特征數(shù)方程：無量綱量之間的函數(shù)關(guān)系同名特征數(shù)對(duì)應(yīng)相等；各特征數(shù)之間存在著函數(shù)關(guān)系，如常物性流體外略平板對(duì)流換熱特征數(shù)：研究相似物理現(xiàn)象之間的關(guān)系，物理現(xiàn)象相似：對(duì)于同類的物理現(xiàn)象，在相應(yīng)的時(shí)刻與相應(yīng)的地點(diǎn)上與現(xiàn)象有關(guān)的物理量一一對(duì)應(yīng)成比例。同類物理現(xiàn)象：用相同形式并具有相同內(nèi)容的微分方程式所描寫的現(xiàn)象。三.物理現(xiàn)象相似的特性實(shí)驗(yàn)中只需測量各特征數(shù)所包含的物理量,避免了測量的盲目性——解決了實(shí)驗(yàn)中測量哪些物理量的問題按特征數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到實(shí)用關(guān)聯(lián)式——解決了實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如何整理的問題因此，我們需要知道某一物理現(xiàn)象涉及哪些無量綱數(shù)？它們之間的函數(shù)關(guān)系如何？這就是我們下一步的任務(wù)可以在相似原理的指導(dǎo)下采用?；囼?yàn)

——解決了實(shí)物試驗(yàn)很困難或太昂貴的情況下，如何進(jìn)行試驗(yàn)的問題同名的已定特征數(shù)相等單值性條件相似：初始條件、邊界條件、幾何條件、物理?xiàng)l件四.物理現(xiàn)象相似的條件五.無量綱量的獲得：相似分析法和量綱分析法相似