立體幾何基礎題題庫

000．．．PS學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除000．．．PS立體幾基礎題庫有詳細答）1、二面角直二面，A設線與成角分別為∠2則（A）∠1+

（）∠≥

（）1+∠2≤90

（）1+∠2＜90

0解：

2分別為直線與面

如圖所示作輔助，分別作兩條與二面角的交線直的線，則1和2所成的角。根據(jù)小角定理：斜線和平面所成的，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線成的一切角中最小的ABO

ABO902.下列各圖是正方體或正四面體PQR分是所在棱的中點，這四個點中不共的一個圖是

P

Q

PR

SQR

PQQQR

SS

SPPQ

P

PQSSRQ

P

S

Q

（A）（B（C）（D）D解：A：PS底對應的中線，中線平行QSPQRS是梯形D'

S

C'A'

P

B'RD

CB項：如

A

B項：是個平行四邊形學習資料

A，0學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除A，0D項：是異面直線。3.有三個平面，β，γ，列命題中正確的是（A）若β，兩相，則有三條交線（若⊥β，⊥γ，則β∥（）若⊥，∩，β∩γb，則⊥

（D）若∥，∩=，∩γ=D解：A項如正方體的一個角，三個平面相交只有一條交線。B項：如正方體的個角，三個平面互相垂直，卻兩相交。a

項：如圖

b4.如圖所示在正方體D的側面內(nèi)一動點到線與直C的離1111相等，則動點所在曲線的形狀為AB

B

A

B

A

P

O

O

O

P1

1A

1

B

1

B

1

B

1

1

1D'

C'A'

B'PDC解：C面ABCPB如：BP點定點B的離與到定直AB的11距離相等，建立標系畫圖時可以以點的點為原點建坐標系。15.在正方體CD中與成60角的對角線的條數(shù)是111（A）4條（B）條C）8（D）10條學習資料

c學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除cD'

C'

A'

B'

D

C

DC解：圖

A

B

這樣的直線有，另外，這樣的

A

B

直線也有條，共。6.設A，B，，是間不共面的四點，且滿足

，

，AB

，eq\o\ac(△,則)是（A）鈍角三角（B）直角三角形C）銳角三角形（）不確定解設ABaAD為AC為c

則BD=

a

cBC=

a

Aa

bcB

D如圖

C

2

則BD最長邊，根據(jù)余弦理222DCB

c22

DCB

最大角為銳角。以△BCD是銳角角形。7.a是兩條不同的直線α、是兩個不同的平面，則下列四個命題

（）①若

abb//

②若

a//

則a③

a

a//

④

若ab,a則其中正確的命題個數(shù)是A0個B個

．2個

D3個

（）B解析：意①中可能α上③中可能在上；④α，均故只有一個正確題學習資料

00學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除008.圖所示，已知正四棱—ABCD側棱長為

，底面邊長為，是的中點則異面直線BE與SC所成角的大小為（）A°．°

B60D30°B解析：移SC到

S

，運用余弦定理算得

9.對于平面M與平N,有列條件:①M、N都直于平面②N都行于平面Q;③M內(nèi)不共線的三點N的離相等;④l,M的兩條直線,且l//M,//N;⑤lm是面直且l////M;l//m//N,則判定平面M與面N平的條件的個數(shù)是（）A1B．2C3D4只有②、⑤能判，B

CA

B已正三棱柱ABC—AB中AB⊥CB，則AB與AC11所成的角為

C

1（A）45

0

（）

A

1

B

1（C）

0

（D）解：作CD⊥AB于D，作D⊥AB于D，連BDAD，易知ADBD是行四邊形，由三垂111線定理得AB⊥AC，選C。11學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除11.正四面體棱長1，其外接球的表積為

3

πB.

35πC.2

π

D.3π解：四面體的中心到底面的離為高的連四個小棱錐得證設如下三個命題：甲：相直線

l

、m都平α內(nèi)，且都不在平β內(nèi)乙：直線

l

、m中至少有一條與平β相交；：平與面相．當甲成立時，A乙是丙的充分而不必要條件．乙丙的充分且必要條件

B乙是丙的必要而不充分條件D．乙既不是丙的分條件又不是丙的必要條件解：當甲成立，即“相交直線

l

、m都平面α內(nèi)，并都不在平內(nèi)”時，若

l

、m中至少有一條與平面相“平α與平β相交立；若“平α與相交“l(fā)、m中少有一條與平β相”也成立．已直線、及面其中m，那么在平面到兩條直線、離相等的點的集合可能是）一條直線）個平面）個點）空集．其中正確的是．解1）成立，如、都在面內(nèi)，則其對稱軸符合條件成立，mn在面同側，且它們到距相等則平面為所求成立當mn所的平面與平面直時平不存在到、n距相等的點空間三條直線互平,由每兩平行線確定一個平面,可確定平面的個數(shù)為）A3B或2C1或D2或解：如棱柱的三個側面。15．若、b為異面直線，線c∥a，則與的位置關系是

（）A相交

B異面

．平

D．異面或相交解：D如方體的長。16．在正方體AB—ABCD中，AC與BD所的的大小為1111學習資料

（）

1學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除1A

6

B

4．

3

D．

2解：DBD在面AC上射影BD與AC直，根據(jù)三垂線定理可得。17如圖，點P、QRS分別正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線Q與RS是異面直線的一個是（）D'

C'A'

B'DC解：AB選中的圖形是平行四邊形，而D選項可見圖：

A

B18如圖，是一個無蓋正方盒子的表面展開圖B為其上的三個點，則在正方盒子中，∠等于

（）A°．90°

B60°D．°ACB解：如★右圖是一個正體的展開圖，在原正方體中，下列命題：學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)①AB與在直線垂直；②與EF所直線平行③AB與MN所直線成°；其中正確命題的號是

④與所直線異面（）A①③

B①④

．②

D．③④解：DD

BE

MFNA

C19．線段OA，，不面，AOB==COA=60，，OB=2=3ABC是（）A等邊三角形銳角三角形

B非邊的等腰三形D．鈍角三形解：B．ACx，AB，z，由余定理知=1+3-3=7，y=1+2-2=3，=2+3-6=7?！唷魇遣坏冗叺牡妊切?，選20．a(chǎn)，是兩兩異的直線與b所成的角是則的取值范圍是

3

，與與b所成的角都是，（）A[

,6

]B[

,32

]

．[

,36

]D．[

,62

]解：D學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除解當l與面線a，所角的平分線平行或重合取最值

6

，當l與a的垂線平行時，取最大值

2

，故選21.小想利用樹影樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長，當他馬上測樹高時因靠近一幢建筑物,影子不全落在地上，有一部分影子上了墻如圖所示他測得留在地面部分的影子長留墻部分的影高求高的高度（陽光線可看作為平行光線）_______.4．2米解：高為AB，影長為BECD為樹在墻上的影高2.73.78米，樹高

CD1.21CE0.9

CE=

1.08

米，樹影長

10.9

米。

AD．正四面體

（空間四邊形的

B

CE

四條邊長及兩A

對角線的長都相等）E

中B

E,F

分F

D

別是棱C

的中,則EF和所成角的大小_解：各棱長為，則EF=

2

，取AB中點為M，

cos

即.學習資料

22222學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除2222223OX，OZ是間交同一點O的相垂直的三條直線，點P到這三條線的距離分別為，，，則長為_______.解：在長方體—ZBP中OXOYOZ是交的三條互相垂直三條直線又

OZ，PY

，

，+

，OY

2

=

，

+OZ

，得++=37，OP=．24．設直線a上有6個點，直線b上有個點，則這15個，能確_____不同的平.解：當線ab共時，可確定一個平面；當線，異面時，直線與b9個點可確定不同平面線與a上點可確定6個不平面以點可以確定個不同的平面．在空間四邊形中，E，分是ABBC的中．求證EF和AD為面直線.解：設EF和AD在一平面，…分A，B，）又AAB，∴AB

∴…6分同理C…8分）A，BD與ABCD是空間四邊形矛盾。EF和AD為異直線．在間四邊形ABCD中EH別是ABAD的點F分是CB的中點AC+BD=a，AC

BD，求

EG

FH

.A解：邊形EFGH是平四邊形，…………4分）EHBDF

GC

2

EF22

=

1(AC2)(2)2如圖，在三角形⊿ABC中∠ACB=90o⊿所在平面外一點，PB⊥AB，

M是PA的點ABMC求異面直MC與PB間距.

解MN//AB交PB于⊥AB⊥MN。

（分又學習資料

111111學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除111111AB⊥，∴MNMCMN即為面直線MC與PB的垂段分）長度就與PB之間的距離，則得MN=

11AB=22

a2已長方體—ABCD中AA=AB，EF分別是BD和中點11（）求異面直線CD、EF所成角；1（）證明是面直線AD和BD的垂1（1）解：在平行四邊形

C11

中，也

1

的中點，∴

EF//D1

分）∴兩相交直線DC與CD所的角即異面直線CD與EF所成的角（）又

A，長方體的側1

ABB,CDDC11

都是正方形

B1

A1，DC1

C

E

D∴異面直線、所的角為90°.（7分）1（2）證：設AB=AA=a,∵DF=BF,11

B∴EF⊥BD.分）1

A

F由平行四邊形，知也的中點，且是長體ABCD—ABCD的對稱中心111分）∴EA=ED，EFAD，又EF⊥，∴EF是面直線BD與1AD的公線（14分）C1D1B1

A1E

FB

A⊿ABC是邊為的正三角形，在ABC所平

面外有一點，

73，PA=，長BP至D，2

PBD=

7

E是BC的點AE和CD所角的大小

和這兩條直線間的距.

學習資料

EAB

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除解分連接PECDPE//CDPEA即AE和CD所成角Rt⊿PBE中，7PB=，BE=1，∴。⊿AEP中AE=，2

334322

1=．2∴∠AEP=60，即AE和所角是60o分）∵AE⊥BC，BCPE//DC，∴⊥，∴CE為異直AE和CD的公垂線段分）們之間的距離為1分）在正方體ABCDABD中，F(xiàn)，G，，MN分是方體的棱111,D,DA的點，試，F(xiàn)G，H，MN點共面．1

A1

AB，BC，解：EN//MF∴N與MF共面分又，EF和共分∵不共線的三點EF，確定一個平面分）∴平面重，∴點H分）同理點G分）故E，，G，H，M，N六共面．三互不重合的面把空間分成六個部份時，它的交線有

（）A1條

B2條

．3條

D1條或條D解：類）當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，有兩條交線；）當三個平面交于一條直線時，有一條線，故選D．兩相交的四條直線確定平面的個數(shù)最多的是

（）A4個

B5個

．6個

D8個解：如棱錐的四個側面，

C24

個。33.．在空間四邊形ABCD的、、、DA上分別取E、F、G、H四如EF與交于點M則

（）AM一定在直線AC上學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除BM一在直線BD上．M可在AC上也可能在BDDM不AC上也不在BD上解：平面ABC∩面ACD=AC先證M平面，∈平面ACD，從M∈ACA．用一個平面去截正方體。其截面是一個多邊形，則這個邊形的邊數(shù)最多是.解：6條已知：

b,//.求證:PQ..(12)本題主要考查用面公理和推論證明共面問題的解：PQ∴與確定一個平面a點Ppb

PQ知ABC三線交于QR三證共線）本題主要考查用面公理和推論證明共線問題的法解：A、B是在同一直線上的三點∴過AB、有一個面

又

ABP,且A點P既在設,則l

同理證:Ql,l,Q三點已知：平面學習資料

平a,ba,

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除求證：b、是面線解：證法：若b與不異直線，則b∥或b與相(1)若b//c//c//b與ab矛(2)若b,相于B又A,A盾b是面直線在間四邊形ABCD中，AD=BC=2E、F分別是CD的中點，，求與BC所角的大小（本題考查中位法求異面二直線所成角）解：BD中M連結EMMF，則EM//ADEM

1MF//BC2在MEF

EMMFEFEF3,余弦定理得EMF

異面直線BC成角的大小為

如圖，在正方體ABCD—BD中，、N分為棱AA和BB的點，求異面直線CM11111與D所角的正(14分1（本題考查平移，補形法等求異面二直線所成）解：DD中點G，結BGMG，MBGC得形，記MCBG=01則和MC所的角為異面直線與所的13MA(設正方體棱長a)2BCa

19

BOC

49而CM與D所角的正弦值為519學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除如圖是正角形ABC所在平面外一點分別是和中點PA=PB=PC=AB=a。（）求證是和PC的公垂線（2）求異面二直線AB和之的離解1）連結，BN，△與△是等的正三角形，又N是PC的點∴AN=BN又∵M是的點，∴⊥AB同理可證⊥PC又∵∩AB=M，MN∩PC=N∴MN是和公垂線。（2）在等腰在角形中

AN

12,MNABa2即異面二直線AB間的距離為

22

a.41空有四個點，果其中任意三個點都不在同一條直線上，那么經(jīng)過其中三個點的面[]A．可能有3，也可能有2個B．可能有4，也可能有3個C．可能有3，也可能有1個D可有4個也能有1個解：類，第一類，四點共面則有一個平面，第二類，四點共面，因為沒有任何三點共線，任何三點都確定個平面，共有42.下列命題中正的個數(shù)是[]①三角形是平面形②四形是平面圖形③四邊相等的四形是平面圖形④形一定平面圖形A．1個B．2個C．個D．個解：題①是正確的，因為三形的三個頂點不共線，所以這點確定平面。學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除命題②是錯誤，平面四邊形中的一個頂點在平的上、下方向稍作運動，就形成空間四邊形。命題③也是錯誤，是上一個命題中比較特殊的四形。命題④是正確的因為矩形必須是平行四邊形，一組對邊平行，則確定了一個平。43.如果一條直線有一個點不在平面上，則這條直線與這個平面的公共點最多____1個。解：果有兩個，則直線就在面內(nèi)，那么直線上的所有點都這個平面內(nèi)，這就與已知有一個不在平面上矛盾所以這條直線與這個平面的公點最多有一個。44.空間一條直線不在這條直線上的兩個點果結這兩點的直線與已知_______，它們在同一平面內(nèi)答案相交或行解：據(jù)推論，推論定平面的條件。45.三角形、四邊、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的________3個。解：角形的三個頂點不在一直線上，故可確定一個平面，角形在這個平面內(nèi)；圓上任取三一定不在一條直上，這三點即確定一個平面，確定了這個圓所在的平面，所以是平面圖形；而正六邊形內(nèi)接于，故正六邊形也是平面圖形；四邊形就不一定是平面圖形了，的四個頂點可以不在同一平面內(nèi)46.三條平行直線以確定平_________答：個或3個解：類、一類三線共面，即定一個平面，另一類三線不共，每兩條確定一個，可確定3。47.畫出滿足下列件的圖形。(1)∩=1，(2)∩=a，

α，，∥a

，∩解：圖1-8-1-8-乙學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除經(jīng)過平面兩A，和面直的平面有幾個？解：個或無數(shù)多個。當A，不垂直于平面，只有一個。當A，垂直于平面，無數(shù)多個。49.設空間四邊形，、、G、分是AC、BC、、的中點，若AB＝2，＝4

2

，且四邊形的積為12

，求AB和所成.解：由角形中位線的性知HG，HE，就是異面直線AB和CD所成的.∵EFGH是行四邊形HG1HE＝，＝，2

12

AB＝

2

，

D∴S123.

＝HEsin12

sin∴12

sin

H

G

＝∴＝

22

,故＝45.

A

E

C

F

B∴AB和CD所的角為45注：本例兩異面線所成角在圖中已給，只需指即可。50.點A是BCD所平面外一點AD=BCE、F分別是ABCD的中點，且EF=和成的角圖解：G是AC中點連接DGFG因D、別是AB、

22A

AD，異面直線ADCD中1點，故EG且EG=BCFG，且FG=AD由異面直2成角定義可知EG與FG成銳角或直角為異面直線AD、BC

E

G

線所所成角，即為求。由BC=AD知EG=GF=弦定理可得cos，即°。

12

AD，又EF=AD

B

F

由余學習資料

222學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除222注：本題的平移是AC中G按定義過分作出了兩條異面直線的平行線，然后eq\o\ac(△,)EFG中求角。通常在現(xiàn)線段中點時，常取另一線段點，以構成中位線，既可用平行系，又可用線段的倍半關系。已空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,MN別為BCAD的點。求AM與CN所成角的余弦值；解：連接DM,N作NEAM交DM于，則∠為AM與所的角?！邽锳D的點NE∥AM省∴NE=

12

AM且為的中。133設正四面體的棱為，則NC==且ME=24在eq\o\ac(△,)MEC中CE

=ME

+CM

31=+1616∴∠CNE=

222

2

(

37)2)24163324

23

,又∵∠∈(0,

2

)∴異面直線AM與CN所角的余弦值為

23

.注：、本題的平移點是N，按義作出了異面直線中一的平行線，然后先eq\o\ac(△,在)外計算CE、CN、EN長再回到△CEN中角。2、作出的角可能是異直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只通過解三角形后，根據(jù)這個的余弦的正、負值來判定這個是銳角（也就是異面直線所成的）或鈍角（異面直線所成的角的補角后答時，這個角的余弦值必須為。52.如圖所示空間四邊形ABCD中點EF分是BCAD上的已知AB=4CD=20，AFBE1FD3

。求異面直線AB與CD成的角。解：BD上一點，得

GD

，連結、

CEB

G學習資料

A

F

D

1122學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除1122在BCD中

1，故EG//CD，并且GDBC4

，所以，；類似地，可證FG//AB，且

DF3AD4

，故FG=3ΔEFG中利余弦定理可得∠

1

1

D

CA

O

BFGE=

EG

GF2EF22

，故∠FGE=120°。另一方面，由前得，，所以與FG所的銳角等于與CD所的角，于是與CD所成的角等于60°。53.在長方體ABCD－BC中，AA=c，，AD=b且a＞．與BD所成的角余弦．解：連AC，設AC∩BD=0，則為中點，取CC的中點F，，則∥且

12

，所以∠FOB即DB所的角。在中，OB=

1a，2

a22

，

1bc2

，由余弦定理得∠

D

C

D

A

O

FC

BGA

O

B學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除OB=

14

(a

2

2

112)(a22)bc441a2a224

2

)

=

(

2

a22)(

2

2)解：取AC點O，B中點G．在eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)OG中，∠O即AC1與DB成的角。解長CD到EED=DCABDE為平行四邊形∥BD以∠EAC為ACBD所成的角EC，△AEC1中，AE=

a

，

a

，C1E=

4a

由余弦定理，得∠EAC=1

(

2

)2)2a2a22

2

)

=

(

b22)(a

＜0所以∠鈍角．根據(jù)異面直線所角的定義AC與BD所成角的余弦為1

a(a)(a)已AO是面斜線，A是足垂直B為足，則直線AB是線在平

內(nèi)的射影設AC是

內(nèi)的任一條

直線，解：AO與所成角為，AB與AC成角為，1角為，則有cos。12

AOAC所在三棱錐S—中∠SAB=SAC=

∠ACB=90，2,BC）

3,SB29

，求異面直線與所角的大小去該題的由SA⊥平面ABC知，AC為SC在面ABC內(nèi)射，設異面直線SC與成角為，

S則

cosBAC

，

A

BC學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除由

BC

3,SB

得

AB17SA23,SC2∴

cos

12

，

cosBAC

217

，∴

cos

17，即面直線SC與AB所角為arccos17

。已平行六面體ABCDD的底ABCD是菱形，且1111C，證明CC

B

1

A

1C

1

D

1（略去了該題的，3問）

B

A解：射影，

1

在平面內(nèi)射影為HCH

1

在平面ABCD

C

H

D

內(nèi)的∴∴

cosCCDDCH1cosCBCHBCH1

，，由題意

CDCB1

，∴

cosDCHcos

。又∵

BCH∴

，從而為的分線，又四邊形ABCD是形，∴

BD∴

1

與BD所成角為

90

，

即

156..在正四體ABCD中E，分別BC，AD的點，求異面直線AE與CF所角的大。解：連、EF，易證AD⊥面，∴為AE在面BFC內(nèi)射影，設AE與所角為學習資料

，

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除

A∴

cosAEFCFE

，

F設正四面體的棱為，則AEBF

32

a

，

B

E

DC顯然⊥BC∴

EF

22

a

，∴

cosAEF

EF6EF6，cos33

，∴

22，即AE∴與CF所角為arccos33

。三柱

A，平O11111

⊥平面OAB，OOB6090（略去了該題的）

，且

OO2,OA31

，求異面直線

AB1

與

AO1

所成角的大小，解：在面內(nèi)OO1

于，連A，1

O

1

B

1A

1由平面面AOBAOB11AO平面，∴BC，1

知，

A

O

C

B又

AOOO1

，∴BC⊥平面

1

，∴AC為在平面AOOA1

內(nèi)的射影。設

B1

與

AO1

所成角為

，

1

與

AO1

所成角為

2

，則

cos1

2

，由題意易求得

2,A71

，∴

cosC

A2AB

，學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除在矩形

1

中易求得

AC1

與

AO1

所成角

2

的余弦值：

2

714

，∴

BAC12

17

，即與AO所角為arccos1

17

。已異面直線

a

與

所成的角為

50

，為間一定點，過點P且

a

，

所成的角均是

30

的直線有且只有（）A1條

B、

3條

D、4條解：過間一點

a

'∥ab'∥，則由異面直線所成角的義知a與'

的交角為

50

，過P與

a

'，'成角的直線與，b亦等角設'，b確平面'，b

交角的平分線為

l

則過

l

且與

垂直的平面（設

）內(nèi)的任一直線

l

與

'，b'

成等角（證明從上述論知l

與

'，'所成角大于或等

l

與

'

，

'

所成角

，這樣在

內(nèi)

l

的兩側與

'

，

'

成

角的直線各有一，共兩條在a，'相的另一個角130內(nèi)同樣可以作過角分線且與直平述論知，

內(nèi)任一直線與

'，b'

所成角大于或等

，所以

內(nèi)沒有符合要求直線，因此過

a

，b

成

的直線有且只有2，故選（B）垂于同一條直線的兩條直的位置關系是（）平異

相D.以都有能解：Dl、是條面直線，直線、與l、l都相，則、m的位置關系是（）121異或平行異解：D

B.相D.相交或異面學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除在方體ABCD-A’C’D’中與棱AA異面的線共有幾條（）A.4D.10解：A在正方體ABCD-A’C’D中棱中能組成異面直線的總數(shù)是（）A.48對對解：

B.24D.6對D'A'B'D

C'CA

B

棱AA有4條之異面所所有棱能組成×12=48對,每一對都重復計一次,共有對.正體ABCD-A’D中異面直線CD和’所的的度數(shù)是（）°°學習資料

B.60°

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除D'A'DA

C'C解：∠ADC=60即為異面直線CD和BC所成的角的度數(shù)為60°64異面直線a，⊥b，與成30角，則與b成的范圍是（）

B,32A.

,62C.

2,63

D.

2,33

b解A

直線在置時,它與b成角的最大值為°直c位時它與b成的小值是°65..如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對角線長是1，點M在邊AB上運、點在運動，則P、Q的短距離為（）.

3B.C.2學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除解：當M,N分為點時。因為CD為面直線所以N的短距離就是異面直線AB,CD的離為最短連則CD⊥⊥AN=BN,所以NMAB同理接CM,MD可得MN⊥所MN為

BN

2

-BM2

=

312-=442的公垂線為AN=BN＝所在eq\o\ac(△,RT)中＝

求異面直線的距離常利用定義來求，它包括兩個:先證一條段同時與兩異面直線相交垂直再利用數(shù)量關系求解在做綜合題時往往大家只重視二步，而忽略第一步。66空間四邊形ABCD中分別是AB,CD的點EF＝√3，則所的為（）°°

B.60°cosEMF=

2+13

2

=-

12解B注：面直線所成角的念，范圍及求法，需注意的是異面直線所不能是鈍角，而用平行關系構造可求解的三角，可能是鈍

考察異成的角角三角形，望大家注意同時求角的大小是先證明再求這一基本過

程。直線a是面的斜線在平內(nèi)已ab成°且與在平內(nèi)射影成°時，a與所成的是（）

A

的角，°

B.60°

°

O

b

B

C解A學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除A∈，A在的射影是，則⊥于C，⊥b于，則⊥平面ABCOB⊥BCOCOB∵cosAOC=AOB=cos60OAOAOBOCcosBOC=cos45∴cosAOC=OCOAcosAOBcos602===∴AOC=45cosBOCcos452和分別在兩個互相垂直的面α、內(nèi)的兩條直線α與β交于lm和l既不垂，也不平行，那么m和n的置關系是可垂直，但不可能平行B.可平行，但不可能直可垂直，可能平行既可能垂，也不可能平行解：種結構的題目，常常這處理，先假設某位置關系成立在此基礎上進行推理，若無矛盾且推理過程可逆就肯定這個假設；若有矛盾，否定這個假設。設由于在β外，n在β內(nèi)，∴m//β而α過m與交于l∴m//l，這與已知矛盾∴m不行n.設⊥n，內(nèi)直線α⊥∵⊥β∴⊥,∴m⊥a.又由于n和共且相交（若則nl，與知矛盾）∴mβ,∴ml與已知矛盾∴m和不能垂.綜上所述，應選D）如，BD是方體，E、分是ADDD的中點，則面EFCB和所二11111面角的正切值等學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除解：了作出二面角E-BC的平面角，需在一面內(nèi)取一點，過該點向另一個面引垂線（這是用1三垂線定理作二角的平面角的關鍵步驟從圖形特點看，當過E（或F）作面BCC的.解：E作EH⊥，垂足H.過H作HG⊥，足G.連1∵面ABCD面BCC而EH⊥BC1∵⊥面，1EG是BCC的線HG是斜線EG在BCC內(nèi)射影∵HG，∴EG⊥BC1∴∠是面角E-BC-C的平面角。1在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BCC中：1在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中∠C1

=∴HG=

（設底面邊長為1.而，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)EHG中：tg∴∠EGH=arctg故二面角-C等于1學習資料

.

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除將長為的正方形ABCD沿對角線AC折，使.則三棱錐的體積為解：ACBD交點則AC且AC在折起后，這個垂直關不變，因此BOD是面的面由eq\o\ac(△,)DOB中邊長已知，所以可求出BOD：這是問題的一方一面為了求體求高個實際上eq\o\ac(△,)中OB邊的高DE理由是：∵DE⊥OB∴DE⊥面ABC.由cos∠DOB=∴DE=∴應選（）學習資料

，知∠DOE=

2學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除2球上有三個點A、B、C.A和，A和C間的面距離等于大圓周長的.B和C間的球面距離等于大圓周長的如果球的半徑是R，那球心到截面ABC距離等于解：題考查球面距離的概念空間想像能.如圖所示，圓是球的大圓，且大所在平面與面垂，其中弦EF是AB的圓的直徑，弦心OD就球心到面ABC的離，OE是球的半徑，因此，求，先求出截面圓ABC的半徑下一個圖是過A的.ABAC是兩點之間的線.它的長度要分別在AOB、△AOCeq\o\ac(△,、)COB中求O是心由于A間面距離是大圓周長的以∠×π

，同理∠

，∠.∴|AB|=R|AC|=R，.在ABC中，由于AB+AC.∴∠BAC=90,BC是圓的直徑∴|ED|=從而OD|=.故應選B.如，四棱錐，ABCD是方形⊥底面ABCD，該圖中，互相垂直的面有A.4B.5對對答案（）學習資料

D.7對

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除解：找到一個好的工作方法使得計數(shù)時不至于產(chǎn)生遺漏ABCD各條棱長都相等的三棱.是△ABC垂心，那么AB和所成的角等于_____解：90°CM交AB于N，連DN，知NAB點，AB⊥CN，AB⊥DN.已知PA矩形ABCD在平面M、N分是AB、PC的中點.（）求證⊥；（）若∠PDA=45°，求證⊥分)解：取PD中點為中,連NE則E//

CD又AM//AM//AE

CDAM//四邊形MNE為平行四邊形

PA平ABCDCDCD平ADPCD.(注:或直接用三垂線定理CD面BCD平面A(2)PDA,RtPAD為腰直角三角PD,又//,PD,PDCDD平面P設、Q是位方體AC的AADD面AB的心。11111如圖）證明：∥平面AAB；11（2）求線段的12分學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除證法一:AA,B的點,連MNNQMP1MP//AD,MPAD,NQ//D,NQAD22MP//且MP四邊PQNM為平四邊形//MNMNAAB,AAB//面AAB證法二:連ADAB在D中,顯然,分別是,DB的中1//,且QAB2面AB,AB面AA//面B(2)方法一:PQ

AM

22

a方法二:PQ

12AB2評注：本題提供兩種解法，方法一，通過平行邊形的對邊平行得到“線線平行得線面平行法二，通過三角形的位線與底邊平行得到“線線平行證“線面平行證法較多。如圖，已知求證∥解：

,EA,AB

ll平面laEAaa面al．如圖，ABCD為方形，過A作線段SA⊥面ABCD又過A作SC垂的面交SB、、SD于E、K、H求證：E、H分是點A在直線和SD上射分解：學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除面BCDBCBC平ABCD又ABBCSAABABC面SABBCAE平AHKEAE又SC平BC即為A在SB上射.用理可H是在SD的射.在正方體ABCDABD，G為CC的中O為面ABCD中心。111求證：A平面（分1解：AC

BD平面AAO面AO又A

AA

AO

)

OG

3a)2

G

AC

a)

)a

AOOGAOG

又BDA平面BD如圖已知是兩條相互垂直的異面直線公垂線段AB的長定值m定為（n>m）的線段PQ的個端點分別在a上移動，MN分是、PQ的中點。（1）求證：AB⊥；（2）求證：的是定值14分解：學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除(1)取B中H結HN,HABbHN理B平面平面MN(2)

bb

b平面PABbPBt中,PBPB(1)tPBAPAm(2)(1),(2)兩相加

BQ

n

abMHN

MH

NH

BQ)n22

(定)已：平面

與平面

相交于直線，直線b與

、

都平行，求證：b．證明：在上取點，和P確定平面于a∵∥∥

∴∥且b∴

，

，實際上是，∴∥．有個幾何事，b表直線，示平面)，①a∥b，②∥，③b其中，b面

外．用其中兩個事實為條件，另一個事實作為結論可以構造幾個命題？請用文字語敘述這些命題，并判斷真?zhèn)危慕o出證明，錯誤的舉出反例解：：ab∥

b∥

b在外Ⅱ：ab學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除∥∥a在

外Ⅰ、Ⅱ是同一個題：兩條平行直線都在一個平外，若其中一條與平面平行，則一條也與該平面平行．證明：過作平面

與于a∵∥∵∥

而∥b∴∥a在，∴∥Ⅲ：a

a∥b∥

命題：平行于同個平面的兩條直線平行，這是錯的，如右兩平面同時垂直于一條直線，則兩平面平行．已知：平面，直線l⊥⊥足別為、B．求證：：根據(jù)判定定理證．l證法：過l作

，

δ，過l作平面

CD

Fll學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除ll⊥BDAC∥l、BD共同理AEAC≠，AE故思路：根據(jù)面面平行定義，用反證法．證法：設點P則l與P確平面且，．l

lAPll⊥BPlAP、共面于是在同一平面內(nèi)過一點有兩條直線AP、BP與l垂直，是不可能的．故公點∴已：a是異面直線，平面平面∥求證：證法：在a上取點，顯然∈．于是和確平且共點∴且′和交于，∵∥∴∥′∴′∥學習資料

b′

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除而∥這樣內(nèi)相直線′都平行于∴證法：設AB是、的公垂線段，過AB和b作面

，

∩b′，過AB和a作面

∩．a(chǎn)∥a∥ab∥

b∥b∴AB

⊥′，⊥

⊥b于是AB⊥已、、c是條不重合的直線，、β、r三個不重合的平面，面六個命題：①a∥，b

a∥b②a∥rb∥r∥；③∥，∥c

α∥β；④∥r，β∥rα∥；⑤a∥，∥ca；⑥a∥rα∥r

a∥α．其中正確的命題

()(A)①④(C)①②③學習資料

(B)①④⑤(D)①⑤⑥

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除解：由公理“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”可知命題正確兩條不重合的直線同平行于一個平面，們可能平行，也可能異面還可相交，因此命題②錯誤；平行于一條直線的兩個不重合的平面可平行，也可能相交，命題③錯；平行于同一平面的兩個不重合平面一定平行，命題④正確；若條直線和一個平面分別平行于一條直線或同一個平面，那么這直線與這個平面或平行，或直線該平面內(nèi)，因此命題⑤、⑥都錯的，答案選A．已直三棱柱－中AC=BCM分是A，的點點在線段上，則11NP與面AMC的置系是()1(A)垂直(B)平行P(C)相交但不垂(D)要P點位而定解：題設知MAN=AN，1四邊形ANBM是平行四形，1故∥，BN∥平面．111又CM，得CN平面AMC，平面NC∥AMC，NP111∴NP平面AMC．1答案選B已：正方體ABCDBD棱長為．1求證：平面A∥平面BD；11求平面A和平DC的離．1證明：(1)在方體－D中，111∵BB平且于DD，11∴四邊形BBD是平行四邊，11∴BDD，11∴BD平面BC．11學習資料

平面，1

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除同理A∥平面D，11又∩BD，1∴平面∥面DC1解：連AC交平面A于M交平面DC于N．11AC是在平面AC上射影，又⊥BD1∴AC⊥BD，1同理可證，AC⊥A，1∴AC⊥面BD，即⊥面，1同理可證MN⊥平面DC．11∴MN的是平面ABD到面DC的距離11設ACBD交于E，則平面BD與面C于直線E．1∵M∈平面BD，M∈AC平面A，1∴M∈AE．1同理∈CF在矩形AAC中，見圖9－，由平面何知識得1MN

13

1

，∴

MN

33

a

．評述：當空間圖較為復雜時，可以分解圖形，其中的平面圖形折出分析，利于楚地觀察出平面上各種線面的位關系．證明面面平行，主要是其中一個平面內(nèi)找出兩條與另一平面平行的相交直線，或者使用證法．已正三棱柱－，底邊長為8，對角線C，D為的點．11學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除求證AB∥面；1求直線到面CBD的距離．11證明：(1)設BC∩=O．1連，則O是的點．1在△ACB中D是中，是B中點．11∴DO∥，1又DO

平面，平面BD，1∴AB∥面C．1解：由三棱柱ABC－C是三棱柱D是中，111∴BDAC且BD，1∴BD平面，1平面⊥平面，CD是交線．111在平面AC內(nèi)AHD，垂足是H，11∴AH平面C，1又AB∥平面C，AH的是直線AB到平面C的離11由BC=8B，得CC，11在eq\o\ac(△,Rt)DC，，11C

4

62

313在eq\o\ac(△,Rt)中ADH=∠C1∴

ADC1

．學習資料

a學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除a即AB到平面距離是11

1213

．評述：證明線面行的關鍵是在平面內(nèi)找出與已直線平行的直線，如本題的DO．本題的2)問，實質(zhì)上進行了“移變換用AB∥面BD把求直線到平面距離變換為求點A到平面距1離．已：直線∥平面

．求證：經(jīng)過a和面

平行的平面有且有一個．證：過平面與于a直線在上任一點，在b確的平面內(nèi)，過P作∥∴∥而∥

．b在，b∴，定的平面

過且平行于

．∵過，的平面只有一個，∴過行于平面平面也只有一個已平面

、

其中

∩

=l

∩

=a

∩

=

a

a∥

a

∩

=，

∩

=

b

，b∥

b

上述條件能否保有若能出證明不能給出一個反例添加適當?shù)臈l件證有．不足以保證如右圖．如果添加條件與b是交直線，那么證明如下：a∥b∥∥∵，兩條相交直線，

lb

＇a

學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除∴∥．90.三個平面兩兩交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點或兩兩平.已知：平面α∩平面β＝，∩γ＝b，平面∩＝.求證：、、相于一點，或∥∥.證明：α∩＝，∩＝∴、

β∴、相或a∥.(1)、b相交時，不妨設∩b＝，P∈，∈而a、，α∴∈β，∈α，故P為和β的公共又∵α∩＝c由公理2知∴、、都過，即a、、線共點(2)a時∵∩＝且α，γ∴∥且∥b∴∥∥故a、、兩平.由此可知、、相交于一點或兩兩平.說明：此結論常作為定理使用，在判斷問題中常被使91.如圖，正方體—在上在BD，且B＝.求證：EF∥平面BBC.學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除證法一：連延交BC于，連結BM∵∥BC∴△∽∴

AFDFFMBF又∵＝，E＝∴＝AE∴FMBE1∴∥M，M

平面BBCC∴∥平面CC.證法二：作∥交AB于H連結HE∵∥BC∴∥BC，C∴∥平面CC由FHAD可得

BFBH又BFB，＝AB∴

BH∴∥B，B面C∴∥平面CC，∩＝H學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除∴平面FHE∥平面BBC

平面∴∥平面CC說明：證法一用證線面平行，先證線線平證法二則是證線平行，先證面面平行，然后說直線在其中一個平面.92.已知：平α∥面β，線段AB分別、β于M、；線段分別交α、β于；線段分交、β于，且AM,n,p，△面積(m+)(+),求：的積解：圖，面分別αβ于，ND，因為α∥，故MC，理∥，得∠＝END∴∶MC＝（+)：和∶＝∶np∶＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)

1212得＝eq\o\ac(△,S)

NDFMMC

×

eq\o\ac(△,S)＝

nmpnpm

n·+)(+)=(+)

∴△END面積為

n

(+p2平單位.93.如圖，在正方ABCDBCD中點在BD上，點M上，并且=.求證:MN平面B.解：題是把證“線面平行轉化為證“線線平行ABB內(nèi)一條直線與平行，除上面的證法外，還可以連長交直線于P，連B，就是所找線，然后再設法證學習資料

在BC平面并明MN∥

1學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除1P分析二：要證“面平行”也可轉化為證“面面行，本題也可設法過作一個平面，使此平面與平面ABB平行，從而證得∥面ABB.11194.已知EF分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點，EF交于M，垂直于所在平面．（）證：⊥平面GMC．（）AB4，GC＝，求點B到平面EFG的距．解：1小題，證明直線與平垂直，常用的方法是判定定理第2題，如果用定義來求到平面的距離，因為現(xiàn)距離的垂線段無法直觀地畫，因此，常常將這樣的問題轉化直線到平面的距離問題．解：（）結BD交AC于，∵EF是正方形邊AD，的中點AC⊥，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝，∴EF⊥面GMC．（）證BD∥平EFG，由例，正方形中心O到平面EFG學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除95.已知：ABCD是形SA平面ABCD，E是SC上點．求證：BE不能垂直于平SCD．解：到反證法，假設BE⊥平面，∵AB∥；∴AB⊥BE．∴AB⊥，這與eq\o\ac(△,Rt)SAB中∠SBA為銳角矛盾．∴BE不能直于平SCD96.已知PB，PC與平面α所的角分為°4530°PO⊥，為垂足，又斜足A，B，C三點在同一直線上且ABBC＝，求PO的長．學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除解：已：如圖，⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，求證：．解：結AO證明BC平面．已ABCD是矩形SA⊥平面ABCD，M、分是、求證：⊥AB．解：結、MA，證明MBMA．

的中點．已：如圖，平平面直線l∈，AB⊥∈⊥C∈證ACl．證明：∵AB⊥l∴l(xiāng)⊥∵BC，l

∴l(xiāng)⊥BC∵AB＝B∴l(xiāng)⊥面ABC∵AC

平面ABC∴l(xiāng)⊥AC100.已如是所在平面外一點⊥AB為垂足⊥為垂足在面BAC內(nèi)過作⊥AB，過E作⊥AC使得∩＝．連結PF，求：⊥平面．學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除證明：∵PDDF，PDDF＝D∴AB⊥平面PDF∵PF平PDF∴AB同理，AC∵⊥AB，PFACBAAC∴⊥面101.

B

是ABC在面的射，那么

和∠ABC的大關系是()(A)

<

(B)

>(C)

≥∠ABC

(D)不確定解：D一個直角，當有條直角邊平行于平面時，則射角可以等于原角大小，但一般情不等．102.已:如圖△中=90CD,BD和平所的分別為CD=求:D點直線的離解：1先找出點D到直線AB的離即過作DE,從形以及條件可,若把放△ABD不易求解。2、由于CD,把轉化到直角三角形中求從而轉化為先求在面的射影長。解:連AC,過D作DE連則DE為D到線AB的離?！逤D∴BC分別是AD在內(nèi)的影?！郉ACDBC分別是AD和與面所成的角∴DAC=DBC45學習資料

222學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除在中222∵=,DAC=∴AC=

在中∵=DBC∴BC=h∵CDDE∴在中

AChS

1BCAB·2∴

AC·hh∴在eq\o\ac(△,Rt)中DC

2

CE

2

h

2

7)h2∴點D到直線的離為

。103.已知a、b、是平面α內(nèi)交一點的條線而直線l和相交，并和a、c三條線成等角．學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除求證：⊥α證法一別在ac上取點并使==設l經(jīng)O在l上一點P在△、△、△POC中∵PO公，==CO∠=POB∠POC，∴△≌△POB≌△POC∴PBPC．取AB中點D．結OD、PD則OD⊥ABPD⊥AB，∵PDODD∴AB⊥平面∵PO平面POD．∴PO．同理可證BC∵

，BC

，ABB∴PO，即l⊥若l不經(jīng)過時可經(jīng)過O作l

∥．用上述方法證明l

⊥，∴l(xiāng)⊥．證法二采用反法假設l不垂，則l和α斜于．同證法一，得到=PB．過作

于O

，則AO

，是外心．因為O也eq\o\ac(△,是)外心，這樣，△ABC有個外心，這是不可能的．∴假設l不α垂直是不立的．∴l(xiāng)⊥若l不經(jīng)過點，過作l用述同樣的方法可證l學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除∴l(xiāng)⊥評述）證明線面垂直時，一般都采用直接證法（如證法一也用反證（如證法二）或同一法．104.是ABC在平面外一點，O是在平面上射影．（1）若=PBPC則是____________心（2）若點P到ABC的邊的距離相等，則O是_________心．（3）若、、兩垂直，則O是△心（4）若△ABC直角三角形，且==PC則O是的心．（5）若△ABC等腰三角形，且==PC，O是ABC的____________心．（6）若PA、PBPC與面ABC所的相等，O的________；解1）外心．∵=PC∴=OB，∴O是△的心．（2）內(nèi)心（或旁心⊥AB于OEBC于，OF⊥AC，結PDPE、．PO⊥平面，∴OD、OF分為PD平面的射影，由三垂線定理可知PD⊥ABPE⊥BCPF已知PD=OD==O是內(nèi)心答9-23（3）垂心．（）心）外心（6外與平面所成的角為PAO在PAOPBOeq\o\ac(△,、)PCO中PO是共邊∠=∠=∠POC°PAO∠∠△PAOPCO=OB=為△ABC的外心．學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除（此外心又在等三角形的底邊高線上105.將形ABCD沿角線BD折來，使點的新位置求證：

在面ABC上的影E恰AB上分析AC

證

與AC

所在平面直證

⊥平面ACBC⊥

⊥．因此，如何利用三垂線定理證明線線垂就成為關鍵步驟了．證明：由題意，斜線BCABCD上的射影，∵BAAD，由三垂線定理，得C，CDA．∴BC∴BC

⊥平面，C面⊥AC106.已異直線l和l，⊥l，MN是l和l的垂線，MN=，A∈∈lAM=BN=，O12122是MN中點①求l與OB的角．②求A點到距離．1分析：本題若將件放入立方體的“原型”中，住“一個平面四條線”的圖形特及“直線平面垂直”的關鍵性條，問題就顯得簡單明了．解）如圖，畫個相連的正方體，將題目條件一一標在底面上射影NBCD由三垂線定理，OB，又∴OBMA即OB與l成90°1（2）連結BO并長交上底面于E點．學習資料

在圖中．CD∥MA

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除ME=BN∴ME=，又=2∴OBOE．作，連結．對于平面而，、AQ、別為垂線、斜線斜線在平面內(nèi)的射影，由三垂線逆定理得⊥EO．在eq\o\ac(△,Rt)MEO中

ME22評述：又在eq\o\ac(△,Rt)AMQ中AQ

2

2

6，題通過補形使較困難的問題變得明顯易解；求點直線的距離，仍然是利用直線平面關鍵條件抓“個面四條線圖形特征來解決的．107.已各長均為a的四面體，E是邊點，連結CE求與面BCD所角的正弦值．解：AH⊥底面，垂足H是正BCD中，連延長交于F，則平面AHD⊥平面BCD作HD于O連結EC則∠ECO是底面所的角則⊥底面．

垂直的的中HD

233DFa3AHAD

HD

a6a3EO

63AHaa，a22學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除∴sinECO

EO

66

a

32

a

23108.已四體－ABC中SA⊥面ABCeq\o\ac(△,，)是銳角三角形是在面SBC的射影求證：H不可是SBC的心．分析：本題因不直接證明，故采用反證法．證明：假設H是SBC的心，連結，并延交于D點，則BHSC∵AH平面，∴BHAB在面的射影

∴SC（三垂線定理）

A

又∵⊥底面ABC，AC是在面的射影B∴AB（三垂線定理的逆定理）∴△ABC是eq\o\ac(△,Rt)與知ABC是角三角形相矛盾于是假設不成立．故H不能是SBC的心．109.已是邊長的正方，E、F別是、AD的點垂直于所在的平面，且GC＝．求點B到平面EFG的距離．解：圖，連結E、、、BD、AC、EFBD別ACHO因為ABCD正方形，、分為和AD中點，故EF∥BDHAO中點．BD不在平面EFG．否則，平面和面ABCD合，從而G平面的BCD，與題設矛盾．由直線和平面平的判定定理∥平面，所以BD和平面的離就是B到平面FG的距離．——分學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除∵BDAC∴⊥．∵⊥面BCD∴⊥GC，∴⊥H．∴平面FG平H，HG這兩個垂直平面的交．6作KHG交HG點，由兩平面垂直性質(zhì)定理OK⊥平FG所以線段的長就是點B到平面EFG的距離—分∵正方形ABCD的邊長為，，∴4

，HO=

，HC

．∴在Req\o\ac(△,t)HCG，HG

．由于t△和eq\o\ac(△,Rt)有一個銳角是公共的，故eq\o\ac(△,Rt)．∴OK=

HOHG

．即點到面的距離為

211

．—10注：未證明BD不平面上不扣分110.已知：與為異面直線，AC＝，ADBD．求證：ABCD．說明）應用判定定理，掌握線線垂的一般思路．（2）思路：欲證線垂直，只需證線面垂直，再證線線垂直，而由已知構造線線垂直關鍵．（3）教學方法，引學生分析等腰三角形三線合一的性質(zhì)構造圖形，找到證明方法．證明：如圖，取中點E，連結CEDE學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除∵AC，E為AB中．∴CE同理DE⊥AB，又∩DEE，且

平面，DE

平面CDE∴AB平面CDE又CD面∴AB111.兩個相平直于第三個平面

，那么它們的交一和第三個平面垂直．證明：

內(nèi)取一點，過P作垂

的交線作PB垂

的交線．∵

且∴⊥⊥∴⊥a且PB⊥∴⊥112.在立體形P－中底面ABCD是正方形，PA⊥底面，PA＝AB，Q是中．，BD交于O．（Ⅰ）求二面角QBD－C的?。海á颍┣蠖娼牵拇笮。猗窠猓哼BQO則∥PA且QO

12

PA

＝

12

∵⊥面ABCD∴⊥學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除面過QO∴面QBD⊥面ABCD故二面角－BD等于90°．（Ⅱ）解：過作OHQD，足H，CH．∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BDCO⊥面QBD

QO

HC

DCH在面QBD的射影是OH∵OHQD∴⊥于是∠OHC是面角的平面．設正方形ABCD邊長2，則OQ1，＝

2

，＝

．∵OHQD＝·∴OH＝又＝

23

．在eq\o\ac(△,Rt)COH中OHC＝＝OH

23

＝

∴∠＝60°故二面角B等于60°．113.如圖在ABC中ADBC，ED=2AE，E作∥BC，且ΔAFG沿FG折AED=60，求證:AE⊥平ABC學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)解：清折疊前后，圖形中各素之間的數(shù)量關系和位置關系

C解∵∥，ADBC

G

D∴'⊥FG

A

EF

B∴'⊥設A'E=a，ED=2a由余弦定理得：A'D=A+ED-2AE?EDcos60°=3a∴ED=AD+AE

∴'⊥AE∴'⊥平面A114.β是個不同的平，n是面及β之外的兩條不同直，給出四個論斷：m，⊥，⊥，m⊥．以其中三個論斷作為條件余下的一個論斷作為結論，出你認為正確的一個命題，并證明它解：m，⊥，⊥

m（或m⊥n，⊥，⊥

⊥）證明如下：過不、內(nèi)的任一點P，作∥，PNn過PM平面r交α于MQ交于．PM//m

PMPMMQ

，同理⊥NQ．因此∠MQN=°，故∠MQN=°∠MPN=°學習資料

學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除即⊥β⊥n．115.已知：

，⊥，⊥，bα，∥．求證：⊥且bγ．解：a上取一點，過作⊥r．∵β⊥，∴∵α⊥，∴

PQPQ

，，∴PQ與重合，故ar．過點P作平面，則和交PQ，和交于，12∵∥，b∥∴∥，且∥PQ．12于是PQ和與合，1故∥a，

而a⊥r，∴b⊥r116.已知PA⊥矩形所平面，且AB＝3＝4PA＝，CD和BD的距．

求點到解：PA⊥平面ABCD，AD，且CD

平面ABCD．∴PDCD（三線定理eq\o\ac(△,Rt)PAD中PD＝3＝5．

PA

2

AD

2

＝又作PH⊥BD于H連結，由三垂線定理的逆定理，有AH⊥BD．這里，為到BD的距離．在eq\o\ac(△,Rt)中AH＝學習資料

＝5

22學習資料收集于絡，僅供學習和參考,如有侵權，請聯(lián)網(wǎng)站刪除22在eq\o\ac(△,Rt)中PH＝

2AH

＝

3693＝117.點在面的影為O且、