初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊第二十四章圓單元復(fù)習 獲獎作品

4-7點和圓的位置關(guān)系人教九上一.學(xué)習目標1．掌握點和圓的三種位置關(guān)系，能夠用數(shù)量關(guān)系來判斷點和圓的位置關(guān)系；2．掌握不在一條直線上的三點確定一個圓，能畫出三角形的外接圓，求出特殊三角形的外接圓的半徑；3．了解反證法，會用反證法證明；4．滲透方程思想、分類討論思想。二.知識回顧1．（1）在一個平面內(nèi)，線段OA繞它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，則另一個端點A所形成的封閉曲線叫做圓；（2）圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于r的所有點的組成的圖形．（3）圓上所有的點到圓心的距離都等于半徑．2．請你畫圖并想一想：當點分別在圓外和圓內(nèi)時，點到圓心的距離與半徑分別怎樣呢？經(jīng)過畫圖可知，圓外的點到圓心的距離大于半徑；圓內(nèi)的點到圓心的距離小于半徑．三.新知講解1．點與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：=1\*GB3①點P在圓外?d＞r；=2\*GB3②點P在圓上?d=r；=3\*GB3③點P在圓內(nèi)?d＜r．數(shù)形結(jié)合：位置關(guān)系?數(shù)量關(guān)系。2．過點作圓=1\*GB3①過一點可作無數(shù)個圓；=2\*GB3②過兩點可作無數(shù)個圓；=3\*GB3③過不在一條直線上的三點確定一個圓；=4\*GB3④過在一條直線上的三點不能作圓。3．三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。4．三角形外心的位置歸納：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；

直角三角形的外心在斜邊中點；

鈍角三角形的外心在三角形外。5．外接圓與內(nèi)接三角形一個三角形有且僅有一個外接圓。一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形。四.典例探究1．判斷點和圓的位置關(guān)系【例1】（2015?奉賢區(qū)一模）在直角坐標平面中，M（2，0），圓M的半徑為4，那么點P（﹣2，3）與圓M的位置關(guān)系是（）A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定總結(jié)：要判斷平面上一點與圓的位置關(guān)系，只需比較該點到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系，必要時畫圖來判斷不易出錯。練1（2015?巴中模擬）已知A為⊙O上的點，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點P，，那么點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在⊙O內(nèi)B．點P在⊙O上C．點P在⊙O外D．無法確定2．利用點和圓的位置關(guān)系求半徑【例2】（2014秋?余姚市校級月考）若⊙O所在平面內(nèi)一點P到⊙O上的點的最大距離為7，最小距離為3，則此圓的半徑為（）A．5B．2C．10或4D．5或2總結(jié)：利用點與圓的位置關(guān)系分類討論：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．練2在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，以點B為圓心，3為半徑作圓B，則：（1）AB與AC的中點D，E與圓B有怎樣的位置關(guān)系？（2）若要讓點A和點C有且只有一個點在圓B內(nèi)，則圓B的半徑應(yīng)滿足什么條件？3．求特殊三角形外接圓的半徑【例3】直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是．總結(jié)：（1）（直角三角形外接圓的直徑等于斜邊長；（2）邊長為的等邊三角形外接圓的半徑等于；（3）求等腰三角形外接圓的半徑，通過做底邊的高，構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理、圓周角定理等求解。練3頂角為120°的等腰三角形的腰長為5cm，則它的外接圓的直徑為．4．用反證法證明【例4】用反證法證明：一個圓只有一個圓心．總結(jié)：反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．練4用反證法證明：圓內(nèi)不是直徑的兩條弦不能互相平分．五.課后小測一.選擇題（共9小題）1．（2015?黃石校級模擬）一個點到圓的最小距離為3cm，最大距離為8cm，則該圓的半徑是（）A．5cm或11cmB．C．D．或2．（2014?奉賢區(qū)一模）關(guān)于半徑為5的圓，下列說法正確的是（）A．若有一點到圓心的距離為5，則該點在圓外B．若有一點在圓外，則該點到圓心的距離不小于5C．圓上任意兩點之間的線段長度不大于10D．圓上任意兩點之間的部分可以大于10π3．（2011秋?京口區(qū)校級期末）三角形外接圓的圓心為（）A．三條高的交點B．三條角平分線的交點C．三條垂直平分線的交點D．三條中線的交點4．（2010秋?嶗山區(qū)校級期中）有一個三角形的外接圓的圓心在它的某一邊上，則這個三角形一定是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形5．（2014秋?甌海區(qū)校級期中）一個三角形的外接圓的圓心在這個三角形的外部，則該三角形一定是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形6．下列說法中，正確的是（）A．三點確定一個圓B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等C．三角形有且只有一個外接圓D．圓有且只有一個內(nèi)接三角形7．（2013?北侖區(qū)二模）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應(yīng)先假設(shè)（）A．有一個銳角小于45°B．每一個銳角都小于45°C．有一個銳角大于45°D．每一個銳角都大于45°8．（2011秋?市中區(qū)校級期末）確定一個圓的條件是（）A．兩個點確定一個圓B．三個點確定一個圓C．四個點確定一個圓D．不共線的三個點確定一個圓9．（2013秋?雁塔區(qū)校級月考）下列條件中，能確定圓的是（）A．以已知點O為圓心B．以1cm長為半徑C．經(jīng)過已知點A，且半徑為2cmD．以點O為圓心，1cm為半徑二.填空題（共5小題）10．（2014秋?鄖縣期中）已知矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，以A為圓心作⊙A，使B，C，D三點中，至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則⊙A的半徑r（cm）的取值范圍是．11．等邊三角形的外接圓的半徑等于邊長的倍．12．（2011?煙臺）如圖，△ABC的外心坐標是．13．要證明“一組對邊平行且相等的四邊形是矩形”是假命題，可舉反例．14．（2015?鹽城）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是．三.解答題（共4小題）15．如圖，Rt△ABC的兩條直角邊BC=15cm，AC=20cm，斜邊AB上的高為CD．若以C為圓心，分別以r1=11cm，r2=12cm，r3=13cm為半徑作圓，試判斷D點與這三個圓的位置關(guān)系．16．（1999?遼寧）過A，B，C三點，能否確定一個圓？如果能，請作出圓，并寫出作法；如果不能，請用反證法加以證明．17．用反證法證明：（1）△ABC中至多只能有一個角是直角；（2）在同一個圓中，如果兩條弦不等，那么它們的弦心距也不等．18．（2013?青島校級一模）已知：如圖A、B兩點和線段r．求作：⊙O，使其半徑為r，且經(jīng)過A、B兩點．（任作一個即可）結(jié)論：

典例探究答案：例1．【考點】點與圓的位置關(guān)系；坐標與圖形性質(zhì)．【解析】求得線段MP的長后與圓M的半徑比較即可確定正確的選項．解：∵M（2，0），P（﹣2，3），∴MP==5，∵圓M的半徑為4，∴點P在圓外，故選：C．【點評】考查了點與圓的位置關(guān)系，判斷點與圓的位置關(guān)系，也就是比較點與圓心的距離和半徑的大小關(guān)系．練1．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】根據(jù)題意可知點P可能在圓外也可能在圓上，也可能在圓內(nèi)，所以無法確定．解：∵PA=，⊙O的直徑為2∴點P的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)．故選：D．【點評】本題考查了圓的認識，做題時注意多種情況的考慮．例2．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】由于點P與⊙O的位置關(guān)系不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論．解：設(shè)⊙O的半徑為r，當點P在圓外時，r==2；當點P在⊙O內(nèi)時，r==5．綜上可知此圓的半徑為5或2．故選：D．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，解答此題時要進行分類討論，不要漏解．練2．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】（1）先利用勾股定理計算出AB=5，則得到BD=，易得BE＞3，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷D，E與圓B的位置關(guān)系；（2）由于BC=3，BA=5，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可確定圓B的半徑的范圍．解：（1）如圖，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵D為AB的中點，∴BD=，∴點D在圓B內(nèi)，∵BE＞BC，即BE＞3，∴點D在圓B外；（2）設(shè)圓B的半徑為r，當3＜r＜5時，點A和點C有且只有一個點在圓B內(nèi)．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．例3．【考點】三角形的外接圓與外心；勾股定理．【解析】直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情況：①16為斜邊長；②16和12為兩條直角邊長，由勾股定理易求得此直角三角形的斜邊長，進而可求得外接圓的半徑．解：由勾股定理可知：①當直角三角形的斜邊長為16時，這個三角形的外接圓半徑為8；②當兩條直角邊長分別為16和12，則直角三角形的斜邊長==20，因此這個三角形的外接圓半徑為10．綜上所述：這個三角形的外接圓半徑等于8或10．故答案為：10或8．【點評】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．練3．【考點】垂徑定理；等邊三角形的性質(zhì)．【解析】作輔助線：連接AO交BC于點D、連接OB，構(gòu)建等邊三角形BAO，然后根據(jù)等邊三角形及圓的半徑與直徑的關(guān)系解答．解：連接AO交BC于點D、連接OB．∵點O是等腰三角形ABC的外接圓圓心，∴OA⊥BC，AD是邊BC的中垂線，∴AO∠BAC的角平分線；又∠BAC=120°，∴∠BAO=60°；又OA=OB（圓的半徑），∴∠BAO=∠OBA=60°（等邊對等角），∴∠BOA=60°（三角形的內(nèi)角和定理），∴AB=OA=OB；又AB=5，∴⊙O的直徑是2OA=10cm．故答案是：10cm．【點評】本題主要考查了垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)．解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進行計算．例4．【考點】反證法．【解析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此得出假設(shè)與已知定理矛盾，進而得出答案．證明：假設(shè)⊙O有兩個圓心O及O′，在圓內(nèi)任作一弦AB，設(shè)弦AB的中點為P，連結(jié)OP，O′P，則OP⊥AB，O′P⊥AB，過直線AB上一點P，同時有兩條直線OP，O′P都垂直于AB，與垂線的性質(zhì)矛盾，故一個圓只有一個圓心．【點評】此題主要考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．練4．【考點】反證法．【解析】首先假設(shè)圓內(nèi)不是直徑的兩條弦AC和BD互相平分于P，進而利用平行四邊形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出矛盾，從而得出結(jié)論．證明：假設(shè)圓內(nèi)不是直徑的兩條弦AC和BD互相平分于P，∵四邊形ABCD的對角線互相平分于P，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則∠DAB與∠BCD互補，則∠DAB與∠BCD都是直角（平行四邊形對角相等），AC是直徑，與假設(shè)矛盾，所以原命題正確．【點評】此題主要考查了反證法，正確掌握反證法的一般步驟是解題關(guān)鍵．課后小測答案：一.選擇題（共9小題）1．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】點P應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部位于外部兩種情況討論．當點P在圓內(nèi)時，點到圓的最大距離與最小距離的和是直徑；當點P在圓外時，點到圓的最大距離與最小距離的差是直徑，由此得解．解：當點P在圓內(nèi)時，最近點的距離為3cm，最遠點的距離為8cm，則直徑是11cm，因而半徑是；當點P在圓外時，最近點的距離為3cm，最遠點的距離為8m，則直徑是5cm，因而半徑是．故選：D．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意分兩種情況進行討論是解決本題的關(guān)鍵．2．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進而分別判斷得出即可．解：A、關(guān)于半徑為5的圓，有一點到圓心的距離為5，則該點在圓上，故此選項錯誤；B、關(guān)于半徑為5的圓，若有一點在圓外，則該點到圓心的距離大于5，故此選項錯誤；C、圓上任意兩點之間的線段長度不大于10，此選項正確；D、圓上任意兩點之間的部分不可以大于10π，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：①點P在圓外?d＞r，②點P在圓上?d=r，③點P在圓內(nèi)?d＜r．3．【考點】三角形的外接圓與外心．【解析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)進行判斷．解：A、三角形三條高的交點是三角形的垂心，故A錯誤；B、三角形三條角平分線的交點是三角形的內(nèi)心，故B錯誤；C、由于三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，故C正確；D、三角形三邊中線的交點是三角形的重心，故D錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了三角形外心的性質(zhì)．注意三角形重心、垂心、內(nèi)心、外心的區(qū)別．4．【考點】三角形的外接圓與外心．【解析】根據(jù)三角形的外接圓的圓心在它的某一邊上，而這一點到三頂點距離相等，可以判斷它的所在位置．解：三角形的外接圓的圓心到三頂點距離相等，這樣的點在三角形邊上，只有這個三角形是直角三角形，并且在斜邊上，這樣的圖形只有直角三角形才符合．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的外心與三角形的位置關(guān)系只有三種，外接圓的圓心在它的某一邊上，只是特殊的直角三角形具備．5．【考點】三角形的外接圓與外心．【解析】根據(jù)三角形的外接圓的畫法得出銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在直角三角形斜邊的中點上，鈍角三角形的外心在三角形的外部，根據(jù)以上內(nèi)容得出即可．解：∵銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在直角三角形斜邊的中點上，鈍角三角形的外心在三角形的外部，∴如果一個三角形的外接圓的圓心在這個三角形的外部，則該三角形一定是鈍角三角形．故選：C．【點評】本題考查了對三角形的外接圓和外心的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力，題目比較好，難度不是很大．6．【考點】三角形的外接圓與外心．【解析】此題應(yīng)逐項分析，更要牢記“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，本題可解．解：A、正確的是不在同一直線上的三個點確定一個圓，故錯誤；B、三角形的外心是邊的垂直平分線的交點，因而外心到三個頂點的距離相等，故錯誤；C、不在同一直線上的三個點確定一個圓，故正確；D、圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形，故錯誤．故選：C．【點評】正確記憶理解定理是解決本題的關(guān)鍵．7．【考點】反證法．【解析】用反證法證明命題的真假，應(yīng)先按符合題設(shè)的條件，假設(shè)題設(shè)成立，再判斷得出的結(jié)論是否成立即可．解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應(yīng)先假設(shè)每一個銳角都大于45°．故選：D．【點評】正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理，會運用反證法證明命題的真假．8．【考點】確定圓的條件．【解析】根據(jù)不在同一直線上的三個點確定一個圓判斷進而得出答案即可．解：根據(jù)不在同一直線上的三個點確定一個圓，故選項D正確．故選：D．【點評】此題主要考查了確定圓的條件，根據(jù)不在一條直線上的三點確定一個圓得出是解題關(guān)鍵．9．【考點】確定圓的條件．【解析】確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，而是半徑，據(jù)此可以得到答案．解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴D選項正確，故選D【點評】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．二.填空題（共5小題）10．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，本題可由勾股定理等性質(zhì)算出點與圓心的距離D．則d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．解：如圖：在矩形ABCD中AC=AB==10．由圖可知圓A的半徑r的取值范圍應(yīng)大于AD的長，小于對角線AC的長，即6＜r＜10．故答案為：6＜r＜10．【點評】本題的實質(zhì)是考查點與圓的位置關(guān)系，需要同學(xué)們樹立數(shù)形結(jié)合的思想．11．【考點】三角形的外接圓與外心．【解析】等邊三角形外接圓的圓心是三條邊垂直平分線的交點，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，同一頂點角平分線與高重合；易得高是邊長的倍，繼而可得外接圓的半徑是角平分線的，所以等邊三角形外接圓的半徑等于邊長的倍．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴設(shè)AB=BC=2x，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，BD=BC=x，∴AD==x，∵點E是△ABC的外接圓的圓心，∴∠EBD=30°，∴AE=BE=2ED，∴AE=x，∴等邊三角形外接圓的半徑BE等于邊長AB的倍．故答案為：．【點評】此題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．【考點】三角形的外接圓與外心；坐標與圖形性質(zhì)．專題：網(wǎng)格型．【解析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心．解：∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，∴作圖得：∴EF與MN的交點O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標是（﹣2，﹣1）．故答案為：（﹣2，﹣1）．【點評】此題考查了三角形外心的知識．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．【考點】命題與定理．專題：開放型．【解析】根據(jù)題意只要舉出是平行四邊形但不是矩形的例子即可．解：含有一個30°角的平行四邊形的一組對邊平行且相等，但不是矩形．【點評】要說明命題不是真命題，主要能舉出一個反例即可．本題答案不唯一．14．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進行判斷．當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，則BD==5．由圖可知3＜r＜5．故答案為：3＜r＜5．【點評】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點與圓的位置關(guān)系．三.解答題（共4小題）15．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【解析】先根據(jù)勾股定理計算出AB=25cm，再利用面積法計算出CD=12cm，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷．解：∵Rt△ABC的兩條直角邊BC=15cm，AC=20cm，∴AB==25cm，∵BC?AC=CD?AB，∴CD==12（cm），∵所以當以r1=11cm作圓，D點在這個圓的外部；當以r2=12作圓，D點在這個圓上；當以r3=13作圓，D點在這個圓的內(nèi)部．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．16．【考點】確定圓的條件；反證法．專題：作圖題．【解析】（1）根據(jù)確定圓的條件及三角形外接圓的作法作圖即可．（2）利用反證法進行證明即可．解：（1）如果A、B、C三點不在同一條直線上，就能確定一個圓，作法：①連接AB，作線段AB的垂直平分線DE；②連接BC，作線段BC的垂直平分線FG，交D