圓錐曲線題型歸類總結(jié)輔導(dǎo)專用

典型例題題型一：定義的應(yīng)用例1、動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。例2、方程 表示的曲線是題型二：圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：1、橢圓：由 , 分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。2、雙曲線：由 , 項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；3、拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。典型例題例1、已知方程x2y2m121表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是m例2、k為何值時(shí),方程x2y21的曲線：(1)是橢圓;(2)是雙曲線.9k5k題型三：圓錐曲線焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題1、橢圓焦點(diǎn)三角形面積Sb2tan；雙曲線焦點(diǎn)三角形面積Sb2cot222、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解3、mn,mn,mn,m2n2四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用；典型例題例1、橢圓x2y21(ab0)上一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的張角∠F1PF2，a2b2求證：△F1PF2的面積為b2tan 。2例2、已知雙曲線的離心率為 2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)， 且 ，1．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法1、a,b,c 三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的值；2、a,b,c 三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的范圍；3、注重?cái)?shù)形結(jié)合思想不等式解法 ;典型例題x2y21（a0,b0）的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正例1、已知F1、F2是雙曲線2b2a三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是例2、雙曲線x2y21（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為121|=2|PF2a2b2F、F,若P為其上一點(diǎn)，且|PF|,則雙曲線離心率的取值范圍為例3、橢圓G：x2y21(ab0)的兩焦點(diǎn)為F1(c,0),F2(c,0)，橢圓上存在a2b2點(diǎn)M使F1MF2M0.求橢圓離心率e的取值范圍；例4、已知雙曲線x2y21(a0,b0)的右焦點(diǎn)為FF且傾斜角為60的直線與雙a2b2，若過(guò)點(diǎn)曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是題型五：點(diǎn)、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷1、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系2點(diǎn)在橢圓內(nèi)x2y21；點(diǎn)在橢圓上x2y21；a2b2a2b2點(diǎn)在橢圓外x2y21;a2b22、直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題：>0 相交=0 相切 （需要注意二次項(xiàng)系數(shù)為 0的情況）<0 相離3、弦長(zhǎng)公式：AB1k2x1x21k2(x1x2)1k2aAB11y1y211(y1y2)11k2k2k2a4、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：1、韋達(dá)定理：2、點(diǎn)差法：1）帶點(diǎn)進(jìn)圓錐曲線方程，做差化簡(jiǎn)2）得到中點(diǎn)坐標(biāo)比值與直線斜率的等式關(guān)系典型例題例1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點(diǎn)M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例2、已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線 L:x+y=1交于A,B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=2 2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為 2/2，求橢圓的方程。題型六：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；32、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立 之間的關(guān)系 ；例1、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線 的距離之和等于4，求P的軌跡方程．2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例2、如線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn) M（m，0） ，端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為 2m，以 x軸為對(duì)稱軸，過(guò) A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；例3、由動(dòng)點(diǎn)P向圓0作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=60，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為例4、點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______例5、一動(dòng)圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為(4)代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程:例6、如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_(kāi)_________(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。4例7、過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)F作直線 交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是直線與圓錐曲線的常規(guī)解題方法總結(jié)：一、設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；②設(shè)為 y=kx+b與x=my+n的區(qū)別）二、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?,即“設(shè)而不求”）三、聯(lián)立方程組；四、消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn)單）五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化； 常有以下類型：①“以弦 AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn) 0”（提醒：需討論K是否存在）OA OB K1 K2 1 OAOB 0 x1x2 y1y2 0②“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題”“直角、銳角、鈍角問(wèn)題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于 0問(wèn)題”x1x2 y1y2>0；③“等角、角平分、角互補(bǔ)問(wèn)題” 斜率關(guān)系（K1 K2 0或K1 K2）；④“共線問(wèn)題”（如：AQ QB 數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法） ；（如：A、O、B三點(diǎn)共線 直線OA與OB斜率相等）；⑤“點(diǎn)、線對(duì)稱問(wèn)題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系；⑥“弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題” 坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問(wèn)題（ 提醒：注意兩個(gè)面積公式的合理選擇） ；六、化簡(jiǎn)與計(jì)算；七、細(xì)節(jié)問(wèn)題不忽略：①判別式是否已經(jīng)考慮；②拋物線問(wèn)題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0.直線與圓錐曲線的基本解題思想總結(jié)：1、“常規(guī)求值”問(wèn)題：需要找等式，“求范圍”問(wèn)題需要找不等式；2、“是否存在”問(wèn)題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解；3、證明定值問(wèn)題的方法： ⑴常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后證明計(jì)算結(jié)5果與參數(shù)無(wú)關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法： ⑴常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明5、求最值問(wèn)題時(shí)：將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；7、思路問(wèn)題：大多數(shù)問(wèn)題只要忠實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來(lái)，即可自然而然產(chǎn)生思路。典例1、已知點(diǎn)F0,1，直線l：y1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且QPQFFPFQ．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）已知圓M過(guò)定點(diǎn)D0,2，圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)DAl1，DBl2，求l1l2的最大值．l2l1例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；(2)過(guò)D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)DM=λ，求λ的取值范圍.DN6x2y21(ab0)的左右焦點(diǎn)。例3、設(shè)F1、F2分別是橢圓C：22ab（1）設(shè)橢圓C上點(diǎn)(3,3)到點(diǎn)F1、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；2（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPMKPN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。例4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l:y kx m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓 C的右頂點(diǎn)，求證：直線 l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．例5、已知橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2在y軸上，短軸長(zhǎng)為22，離心率為2，P是橢圓在第一2象限弧上一點(diǎn)，且PF1PF21，過(guò)P作關(guān)于直線1PA、PB分別交橢圓FP對(duì)稱的兩條直線于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線 AB的斜率為定值；7典型例題：例1、由①、②解得，xa2．不妨設(shè)Aa2,0，Ba2,0，∴l(xiāng)1∴l(xiāng)1l2l12l222a216l2l1l1l2a464③當(dāng)a0時(shí)，由③得，l1l221l2l1

a24，l2a24．22a2282116a22464a4，a64161622．≤218a2642a2當(dāng)且僅當(dāng)a22時(shí)，等號(hào)成立．當(dāng)a0時(shí)，由③得，l1l22．l2l1故當(dāng)a22時(shí)，l1l2的最大值為22．l2l1例2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，∵|PAPBQAQB222|+||=||+||=2125＞|AB|=4.∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓.8設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=25,∴a=5,c=2,b=1.∴曲線C的方程為x2y2=1.5+ykx(2)設(shè)直線l的方程為+2,=代入x2y2=1,得(1+5k2x2kx+15=0.5+)+202k2＞2＞3由圖可知DMx1=(20k)－4×15(1+5)0,得k.λ5DNx2=x1x220k15k2由韋達(dá)定理得15x1x215k2將x1=λx2代入得(1)2x22400k2(15k2)2x221155k2兩式相除得(1)2400k28015(15k2)13(5k2)k23,015,5k21520,即480165k233133(k25)4(1)216,DM0,解得13①3DN3x1DM,M在D、N中間，∴λ＜1②x2DN又∵當(dāng)k不存在時(shí)，顯然λ=DM1DN3綜合得：1/3≤λ＜1.

(此時(shí)直線l與y軸重合)3)在橢圓上，(3)2(3)2例3、解：（1）由于點(diǎn)(3,21得2a=4,2a2b2橢圓C的方程為x2y2，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),(1,0)?4分413（2）設(shè)KF1的中點(diǎn)為B（x,y）則點(diǎn)K(2x1,2y)???????5分9把K的坐標(biāo)代入橢圓x2y21中得(2x1)2(2y)21???7分43432線段KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程為 (x 1)2y 1 ???????8分2 34（3）過(guò)原點(diǎn)的直線 L與橢圓相交的兩點(diǎn) M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)M(x0,y0)N( x0, y0), p(x,y),M,N,P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得x02y02x2y2a2b21，2b21akPMKPN=yy0yy022=b2y2y022xx0xx0xx0a故：kPMKPN的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，同時(shí)與直線L無(wú)關(guān).例4、解：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21．43（Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykx，m聯(lián)立x2y2得(34k2)x28mkx4(m23)0，431.64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，則x1x28mk，34k2x1x24(m223).34k又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23(m24k2)，34k2因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)D(2，0)，kADkBD1，即y1y21，y1y2x1x22(x1x2)40，x12x223(m24k2)4(m23)16mk40，9m216mk4k20．34k234k234k2解得：m2k，m22k，且均滿足34k2m20，17101、當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為yk(x2)，直線過(guò)定點(diǎn)，，與已知矛盾；(20)2、當(dāng)m22k時(shí)，l的方程為ykx2，直線過(guò)定點(diǎn)2，．7770所以，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2，．7例5、解（1）y2x21F1(0,2),F2(0,2)，設(shè)P(x0,y0)(x00,y00)42。則PF1(x0,2y0),PF2(x0,2y0),PF1PF2x02(2y02)1點(diǎn)P(x0,y0)在曲線上，則x02y021.x024y02242從而42y02(2y02)1，得y02，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)（2）由（1）知PF1//x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k(k0)，則PB的直線方程為：