2021-2022學年天津市薊州區(qū)馬伸橋中學高考臨考沖刺數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.3.設是雙曲線的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點,使(為坐標原點),且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知集合,則=()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若,,,則a,b,c的大小關系是()A. B. C. D.6.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.已知拋物線經(jīng)過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.8.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.9.設是虛數(shù)單位,則“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件10.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.11.已知復數(shù)滿足:,則的共軛復數(shù)為()A. B. C. D.12.已知是的共軛復數(shù),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.①當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為__________.14.已知函數(shù)則______.15.連續(xù)2次拋擲一顆質地均勻的骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點數(shù),則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____.16.已知實數(shù),滿足,則的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;(2)若點P的極坐標為,,求的值.18.(12分)已知(1)當時,判斷函數(shù)的極值點的個數(shù);(2)記,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,求證:.19.(12分)已知橢圓與x軸負半軸交于,離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)設直線與橢圓C交于兩點,連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點,若,直線MN是否恒過定點,如果是,請求出定點坐標,如果不是,請說明理由.20.(12分)在平面直角坐標系中,設,過點的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點.(1)當在區(qū)間上變動時,求中點的軌跡;(2)設拋物線焦點為,求的周長(用表示),并寫出時該周長的具體取值.21.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.22.(10分)4月23日是“世界讀書日”,某中學開展了一系列的讀書教育活動.學校為了解高三學生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組(每名學生只能參加一個讀書小組)學生抽取12名學生參加問卷調查.各組人數(shù)統(tǒng)計如下:小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人,求這2人來自同一個小組的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人,用表示抽得甲組學生的人數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合對數(shù)的運算進行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關鍵.2.D【解析】

設,,去絕對值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質即可求出.【詳解】因為實數(shù),滿足,設,,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質,考查了運算能力和轉化能力,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3.D【解析】

利用向量運算可得,即,由為的中位線,得到,所以,再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點,則由得,即;在中,為的中位線,所以,所以;由雙曲線定義知,且,所以,解得,故選:D【點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關性質,難度一般.4.D【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎題.5.D【解析】

根據(jù)題意,求出函數(shù)的導數(shù),由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系分析可得在上為增函數(shù),又由,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),其導數(shù)函數(shù),則有在上恒成立,則在上為增函數(shù);又由,則;故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系,涉及函數(shù)單調性的性質,屬于基礎題.6.A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎題.7.A【解析】

先求出,再求焦點坐標,最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點,,,,故選:A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式,基礎題.8.D【解析】

根據(jù)面面關系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯誤;為真,說明至少一個為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.9.D【解析】

結合純虛數(shù)的概念,可得,再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設,此時復數(shù),不是純虛數(shù),所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵,屬于基礎題.10.B【解析】

分別取、的中點、,連接、、,利用二面角的定義轉化二面角的平面角為,然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,在中計算出,再利用勾股定理計算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點,,,且、分別為、的中點,所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點,同理可知,的外心為點,分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,則點在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關鍵在于找出球心的位置,同時考查了計算能力,屬于中等題.11.B【解析】

轉化,為,利用復數(shù)的除法化簡,即得解【詳解】復數(shù)滿足:所以故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法和復數(shù)的基本概念,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于基礎題.12.A【解析】

先利用復數(shù)的除法運算法則求出的值,再利用共軛復數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了共軛復數(shù)的概念,是基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費用,然后分類討論,將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質?數(shù)學的應用意識?數(shù)學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景,創(chuàng)設問題情境,考查學生身邊的數(shù)學,考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng).14.【解析】

先由解析式求得(2),再求(2).【詳解】(2),,所以(2),故答案為:【點睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的運算性質,分段函數(shù)求值關鍵是“對號入座”,屬于容易題.15.【解析】總事件數(shù)為,目標事件:當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標事件共20中,所以。16.【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標函數(shù)理解為點與構成直線的斜率,數(shù)形結合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因為可以理解為點與構成直線的斜率,數(shù)形結合可知,當且僅當目標函數(shù)過點時,斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查目標函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2)2.【解析】

(1)由得,求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標準式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標方程,韋達定理得,點在直線上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點的直角坐標為,則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標準式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標方程,整理得,直線與曲線交于兩點,,即.設點所對應的參數(shù)分別為,由韋達定理可得,.點在直線上,,.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化及應用,屬于中檔題.18.(1)沒有極值點;(2)證明見解析【解析】

(1)求導可得,再求導可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷;(2)轉化問題為存在且,使,可得,由(1)可知,即,則,整理可得,則,設,則可整理為,設,利用導函數(shù)可得,即可求證.【詳解】(1)當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.(2)由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面證明,只需證明:,令,則證,即.設,那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.19.(1)(2)直線恒過定點,詳見解析【解析】

(1)依題意由橢圓的簡單性質可求出,即得橢圓C的方程;(2)設直線的方程為:,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求得點的坐標,同理可求出點的坐標,根據(jù)的坐標可求出直線的方程,將其化簡成點斜式,即可求出定點坐標.【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)設直線的方程為:,則∴或,∴,同理,當時,由有.∴,同理,又∴,當時,∴直線的方程為∴直線恒過定點,當時,此時也過定點..綜上:直線恒過定點.【點睛】本題主要考查利用橢圓的簡單性質求橢圓的標準方程,以及直線與橢圓的位置關系應用,定點問題的求法等,意在考查學生的邏輯推理能力和數(shù)學運算能力,屬于難題.20.(1).(2)的周長為,時,的周長為【解析】

(1)設的方程為,根據(jù)題意由點到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設?坐標分別是?,利用韋達定理以及中點坐標公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)可得,再利用弦長公式即可求解.【詳解】(1)設的方程為于是聯(lián)立設?坐標分別是?則設的中點坐標為,則消去參數(shù)得:(2)設,,由拋物線定義知,,∴由(1)知∴,,的周長為時,的周長為【點睛】本題考查了動點的軌跡方程、直線與拋物線的位置關系、拋物線的定義、弦長公式,考查了計算能力,屬于中檔題.21.(1)見解析;(2)最大值為.【解析】

(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調性求出該函數(shù)的最小值,進而可證得結論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】(1).當時,函數(shù)單調遞減,則;當時,函數(shù)單調遞增,

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