線性代數(shù)重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

說(shuō)明：1.本總結(jié)只是把課本的重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)了一下，我沒(méi)有看到期末考試題，所以考著了算是僥幸，考不著也正常。2.知識(shí)點(diǎn)會(huì)了不一定做的對(duì)題，所以還要有相應(yīng)的練習(xí)題。3.前后內(nèi)容要貫穿起來(lái)，融匯貫通，建立自己的知識(shí)框架。行列式行列式的定義式（兩種定義式）-->行列式的性質(zhì)-->對(duì)行列式進(jìn)行行、列變換化為上下三角（求行列式的各種方法逐行相加、倒敘相減、加行加列、遞推等方法，所有方法是使行列式出現(xiàn)盡可能多的0為依據(jù)的）。行列式的應(yīng)用——>克拉默法則（成立的前提、描述的內(nèi)容、用途，簡(jiǎn)單的證明可從逆矩陣入手）?？偨Y(jié)：期末第一章可能不再單獨(dú)考，但會(huì)在求特征值/判斷正定性等內(nèi)容時(shí)順便考察行列式的求解。矩陣矩陣是一個(gè)數(shù)組按一定的順序排列，和行列式（一個(gè)數(shù)）具有天壤之別。高斯消元法求線性方程組的解—>唯一解、無(wú)解、無(wú)窮解時(shí)階梯型的樣子(與第三章解存在的條件以及解的結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起)求逆矩陣的方法（初等變換法，I起到記錄所有初等變換的作用）、逆矩陣與伴隨矩陣的關(guān)系。初等矩陣和初等變換的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)會(huì)由初等變換找出與之對(duì)應(yīng)的初等矩陣。分塊矩陣（運(yùn)用分塊矩陣有時(shí)可以很簡(jiǎn)單的解決一些復(fù)雜問(wèn)題）記得結(jié)論A可逆，則。線性方程組從向量組的角度入手，把線性方程組的系數(shù)矩陣的每一列看作一個(gè)列向量，從而得到一個(gè)向量組假設(shè)為，右邊常則看作一個(gè)向量，若向量被向量組表出唯一（即滿足關(guān)系：時(shí)，因?yàn)橹挥邢蛄拷M線性無(wú)關(guān)才表出唯一），則只有唯一解；若不能由向量組線性表出（即滿足條件時(shí)）則無(wú)解；3）若由向量組表出不唯一（即滿足條件時(shí)，只有線性相關(guān)才表出不唯一）有無(wú)窮解。1.線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義、描述及判定2.向量組的秩的定義及極大線性無(wú)關(guān)組的求法(化為階梯型后同高度選一個(gè))3.矩陣的秩向量組的秩相對(duì)應(yīng)。4.齊次線性方程組非零解的條件(，列向量線性相關(guān)或秩)和解得結(jié)構(gòu)(個(gè)線性無(wú)關(guān)的解的線性組合)。5.非齊次線性方程組的解存在的條件()及解的結(jié)構(gòu)(對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解+一個(gè)特解)。第四章向量空間和線性變換第二章高斯消元法關(guān)于如何求線性方程組的解，多用于線性方程組解的計(jì)算；第三章線性方程組的解從向量組的角度來(lái)討論解存在的條件及解的結(jié)構(gòu)，向量被向量組線性表出形式與的解相互對(duì)應(yīng)；第四章是從線性變換和空間的角度來(lái)講解線性方程組的解。1)線性變換：線性方程組的解看做原像，線性方程組的右端項(xiàng)看作是線性變換的像。線性方程組有解就說(shuō)明右端項(xiàng)在線性變換的A的象空間里。2）內(nèi)積結(jié)合線性子空間的角度考慮線性方程組解的結(jié)構(gòu)(主要是齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程的系數(shù)組成的列向量組所張成的子空間和解空間互為正交補(bǔ)，注：互為正交補(bǔ)的空間為維數(shù)加起來(lái)等于全空間的維數(shù)且相互正交的子空間）。重要內(nèi)容：坐標(biāo)變換、過(guò)渡矩陣、施密特正交化方法。第五章特征值特征向量矩陣的對(duì)角化特征值和特征向量承接了第四章的線性變換的定義，一個(gè)矩陣A的特征向量，則滿足條件(線性變換不改變向量的方向)，變化前后（）兩個(gè)向量相差一個(gè)倍數(shù)，恰好就是特征值。至多有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，這是因?yàn)榫€性變換的像空間的維數(shù)至多為n維的。當(dāng)A恰好有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí)A可對(duì)角化，即存在關(guān)系為。注意并不是所有的矩陣都可以對(duì)角化的，只有含n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的矩陣才可以對(duì)角化。對(duì)于所有的實(shí)對(duì)稱的矩陣則都可以對(duì)角化，并且不同特征值的特征向量相互正交，且對(duì)角化的矩陣可以為正交矩陣。重要內(nèi)容：1.求特征值、特征向量2、實(shí)對(duì)稱矩陣運(yùn)用正交陣來(lái)對(duì)角化（求正交矩陣）3、特征值、特征向量的關(guān)系，例如不同特征值的特征向量的和不再是特征向量，不同特征值得特征向量線性無(wú)關(guān)，實(shí)對(duì)稱不同特征值的特征向量相互正交。二次型二次型把二次齊次多項(xiàng)式寫為的形式，其中A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則根據(jù)第五章內(nèi)容實(shí)對(duì)稱矩陣都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，得出存在正交矩陣P使得。注意相似與合同的區(qū)別，相似矩陣是，合同矩陣是（合同矩陣要保持對(duì)稱性，所以形式上就有很大的差別）。若是存在可逆陣Q使得，則進(jìn)行可逆的線性代換即可把二次型化為，即化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)二次型?；癁闃?biāo)準(zhǔn)二次型有三種方法：配方法、正交矩陣方法（對(duì)角元素為特征值）、初等變換法。慣性定理描述了只要合同變換時(shí)運(yùn)用的是可逆