機械振動基礎(chǔ)第四章多自由度系統(tǒng)

將具體的結(jié)構(gòu)簡化成：多個以各種方式相連接的離散質(zhì)量、彈性元件和阻尼元件組成的離散振動系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱為多自由度振動系統(tǒng)。描述它振動的運動微分方程為常微分方程組。第4章多自由度系統(tǒng)

本章內(nèi)容：多自由度系統(tǒng)振動的基本理論，多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型的理論；分析多自由度系統(tǒng)動力響應(yīng)常用的振型迭加方法；用變換方法求多自由度系統(tǒng)動力（態(tài)）響應(yīng)的問題?！?.1運動微分方程n個自由度的振動系統(tǒng)的運動微分方程可以寫為一般[M][C][K]不會同時為對角矩陣，方程存在耦合。解耦是在時域內(nèi)求解方程的重要一環(huán)。

分別叫：[…]矩陣{…}向量在靜力學(xué)中，各自由度的位移{x}、系統(tǒng)的剛度矩陣[K]、各自由度上所受到的外力關(guān)系為：剛度矩陣[K]的元素kij的意義：——如系統(tǒng)第j個自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個單位位移，其余各個自由度的位移保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需要在各個自由度施加外力，其中在第i個自由度上施加的外力就是kij。

[K]的定義：外力{f}正好是剛度矩陣[K]的第j列。系統(tǒng)第j個自由度有一個正向單位位移，其余自由度位移為零這種變形狀態(tài)可以由向量{x}＝{ej}描述。為使系統(tǒng)保持{ej}的變形狀態(tài)，所加的外力為：

例4.1求圖示的簡化的汽車4自由度模型的剛度矩陣。解：取yA,yB,y1,y2為描述系統(tǒng)運動的廣義坐標(biāo)，即

{x}={yA,yB,y1,y2}T

各個自由度原點均取靜平衡位置，向上為正。(1)求[K]的第一列：設(shè)yA沿坐標(biāo)正方向有一個單位位移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k2被伸長，此時：外力{f}=???f1=k2;f2=0;f3=-k2;f4=0k11=k2;k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求[K]的第二列：yB↑k12＝0，k22＝k4，

k32=0，k42=-k4

坐標(biāo){x}={yA,yB,yl,y2}T(3)求[K]的第三列。設(shè)yl↑k13＝-k2，k23＝0，

k33=k2+k1，k43=0(4)求[K]的第四列。設(shè)y2↑k14=0，k24=-k4，

k34=0，k44＝k2+k4

三種求[K]的方法：？？牛頓法、求偏倒法（能量法）、定義法。坐標(biāo){x}={yA,yB,yl,y2}T

質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均是對稱矩陣。用求偏倒的方法寫[M][C][K]矩陣：定義法和牛頓法比較麻煩，一般用能量法比較方便：1)寫系統(tǒng)的動能、能量耗散函數(shù)和勢能2)求偏導(dǎo)3)得到矩陣針對本例：系統(tǒng)的動能為桿的平動動能和轉(zhuǎn)動動能與兩個質(zhì)量的動能之和，設(shè)桿的質(zhì)心在桿的中點，質(zhì)量為M。系統(tǒng)的動能為：坐標(biāo)系{x}={yA,yB,y1,y2}T由系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣可以得到系統(tǒng)的慣性力、阻尼力和彈性力：它們的分量分別為施加于各個自由度上的慣性力、阻尼力和彈性力。求解方程：——求解一種方法是尋找一個新廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對角矩陣。也就是解耦。——新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系存在線性變換關(guān)系，因此，要尋找一個可逆線性變換矩陣[u]，將質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣變換為對角矩陣。——為此，我們討論線性變換前后多自由度系統(tǒng)運動微分方程的關(guān)系。設(shè)有可逆線性變換[u]，使得因而有稱{x}為舊坐標(biāo)系，{y}為新坐標(biāo)系。系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，也就是說，它們是坐標(biāo)變換下的不變量,因此有：新舊坐標(biāo)系下矩陣的關(guān)系：兩邊左乘[u]T

，根據(jù)：將{x}=[u]{y}代入方程：

得到，新坐標(biāo)系{y}下的運動微分方程：得到：其中：是新坐標(biāo){y}下的廣義激勵。此時，方程解耦了！為求{x}=[u]{y}的逆變換，在其兩邊左乘[u]T[M]得即：坐標(biāo)系{y}下的初始條件為：問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo){y}微分方程的定解思路：{x}坐標(biāo)系下的微分方程和初試條件{x}坐標(biāo)系下的微分方程解{y}坐標(biāo)系下的微分方程和初試條件耦合，不能求解[u]坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解耦{y}坐標(biāo)系下的微分方程解微分方程相互，可求解[u]T坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換§4.2固有頻率與振型——系統(tǒng)的固有頻率和振型一一對應(yīng)。系統(tǒng)求解的思路：設(shè)系統(tǒng)解為簡諧振動：代入微分方程：得到廣義特征值問題：得到特征方程或頻率方程：求得w1，w2并取w1≤w2;代回廣義特征值問題，求得振型{u}。

無阻尼自由振動系統(tǒng)的運動微分方程為：在特殊初始激勵下，系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動，也就是固有振動。形式為：其中，{u}和w是待求的振型和固有頻率。這就是頻率方程。

將代入方程得到方程有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，即：這是以w2為未知數(shù)的n次代數(shù)方程，解之可得n個根，w1，w2

，......wn

。依次代入廣義特征值問題方程可以得到n個方程廣義特征值問題求出與w2r相對應(yīng)的非零的{ur}。就是與固有頻率對應(yīng)的振型。由：固有頻率振型如果w2r是是頻率方程（4.13）的k重根（k正整數(shù)，k<n）,則有：此時系數(shù)矩陣的秩為m-k。例4.2如圖所示：兩個相同的質(zhì)量以彈簧相聯(lián)。求它的固有頻率與振型。1)兩個質(zhì)量以相同位移同向運動時：彈簧無變形，整個系統(tǒng)如同一個剛體在運動。即振型為{u1}={1,1}T時，w12＝02)兩個質(zhì)量以相同位移反向運動時：彈簧有變形，勢能大于零。即振型為{u2}={-1,1}T時，w22>0。——這是一個對稱系統(tǒng)，對稱點為彈簧是的中點。它有兩種固有振動：1)寫[K][M]：2)由特征方程計算固有頻率：3)取wr2的正平方根wr，稱為系統(tǒng)的第r階固有頻率，而相應(yīng)地稱{ur}為系統(tǒng)的第r階固有振型，簡稱振型。并將固有頻率按由小到大的順序編號系統(tǒng)的固有頻率和振型與激勵無關(guān)，由[K]和[M]決定。同樣，由能量法可獲得相同的結(jié)果：如果振型{ur}滿足則對任意非零常數(shù)c，c{ur}也滿足上式。即振型只是給出了振動方向和相對振幅，而振型大小需要人為指定。稱指定振型的大小為振型的正規(guī)化。(1)令{ur}滿足此時在式(4.14)兩邊左乘{(lán)ur}T可得振型正規(guī)化方案有多種，常用的有以下幾種：(2)令{ur}的某一分量（常取絕對值最大的分量）為1；其他分量等比縮小。如： {ur}={2,1.4,0.8,0.6}正規(guī)化得到：

{ur}={1,0.7,0.4,0.3}振型的性質(zhì)：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這個性質(zhì)稱為振型的正交性。前提：數(shù)學(xué)表示為：證明過程：由可得這里左乘{(lán)us}T

得：左乘{(lán)ur}T

，再轉(zhuǎn)置得：不為0因此：即：振型的正交性振型正交性的物理意義：假定系統(tǒng)的位移可以表示為第s和第r階兩個振型的線性組合，即：其中：{ur}、{us}對質(zhì)量矩陣歸一；a(t)、b(t)是時間的標(biāo)量函數(shù)。則系統(tǒng)的動能和勢能為：令：則：它們分別是第r、s階振型單獨存在時系統(tǒng)的動能和勢能，稱為系統(tǒng)的第r、s階動能和勢能。這個結(jié)論對位移是任意k(k≤n)個振型的線性組合的情況也成立。更進(jìn)一步：各個振型之間的動能、勢能不交換。各振型在振動時相互獨立、互不影響，如同一組彼此沒有關(guān)系的單自由度系統(tǒng)振動時的情形一樣。由全體振型構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的。是一個基。響應(yīng){x}可以被系統(tǒng)的振型線性表出：即：展開定理。振動系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)n個振型的線性組合。矩陣形式：{x}=[u]{y}

振型的正規(guī)正交化條件：1)先引入符號是單位矩陣[E]的元素2)振型的正規(guī)正交化條件可寫為：定義振型矩陣[u]，它的列向量為相應(yīng)的振型，即因此，有且同樣因此：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這就是振型的正交性。更進(jìn)一步，證明：由全體振型{ur}構(gòu)成的向量組[u]是線性無關(guān)的。1)線性無關(guān)定義：如果一組向量{x1}，{x2}，…，{xn}由方程只能得出，則向量{x1}，{x2}，…，{xn}線性無關(guān)。也就是說，它們是{x}空間的一個正交基。

2)同樣，如果{u}空間（振型空間）有：則方程兩邊左乘{(lán)u1}T[M]得：由于振型的正交性，有不為0所以有3)按此方法，依次對兩邊左乘，將得到4)因此振型{u1}，{u2}，……{un}是線性無關(guān)的。振型矩陣[u]的列向量是線性無關(guān)的；振型矩陣[u]為可逆矩陣。振型{ur}是n維向量空間的一個向量，且n個振型是線性無關(guān)的，因此：n個振型構(gòu)成了n維向量空間中的一個基，任何一個向量都可以被這n個振型線性表出。系統(tǒng)n個振型構(gòu)成的廣義坐標(biāo)為振型坐標(biāo)，系統(tǒng)所有的響應(yīng)振動，都是這個基的線性組合。三維向量空間的直角坐標(biāo)基三維向量空間的柱坐標(biāo)基n自由度振動系統(tǒng)的響應(yīng){x}也是n維向量，可以被系統(tǒng)的振型{ur}線性表示，即有:這就是展開定理，其中yr(r＝1，2，…，n)是響應(yīng){x}在第r個基向量{ur}下的坐標(biāo)（系數(shù)）。振動系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)n個振型的線性組合。

展開定理的矩陣形式為：{x}=[u]{y}其中，{y}的分量為響應(yīng){x}在系統(tǒng)振型[u]下的坐標(biāo)。以式(4.29)取代式(4.5)，可以得到在振型坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運動微分方程?！谡裥蚚u]坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的運動微分方程為分量形式為：N個獨立的單自由度方程§4.3動力響應(yīng)分析——多自由度系統(tǒng)在外部激勵作用下的響應(yīng)分析稱為動力響應(yīng)分析。常用方法有：振型疊加方法和逐步積分方法。特點：適于已知系統(tǒng)的[M]、[C]、[K]和激勵{f}，求系統(tǒng)響應(yīng)x(t)的情況。振型疊加方法求解n-DOF的振動系統(tǒng)的運動微分方程的步驟如下：求出系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。做變換代入式并兩邊左乘[u]T，可得:——只有當(dāng)[C]滿足一定條件時[u]T[C][u]才為對角矩陣（對角化）。3)方程解耦，采用單自由度系統(tǒng)求解方法。工程上常設(shè)阻尼為Rayleigh阻尼，即：[Cr]是對角矩陣，它的第r個對角元素為Cr，稱Cr為系統(tǒng)的第r階模態(tài)阻尼或廣義阻尼。類似于單自由度系統(tǒng)，定義系統(tǒng)的第r階阻尼比：此時，式(4.33)可視為n個相互獨立的單自由系統(tǒng)的運動微分方程。寫成分量形式為4)如果振型矩陣[u]不能將阻尼矩陣[C]對角化，即[u]T[C][u]不是對角矩陣，則式(4.33)可寫為：——準(zhǔn)確求解式(4.38)的方法比較復(fù)雜。多數(shù)情況下，實踐證明：在系統(tǒng)的各階固有頻率間隔較大，阻尼較小的條件下，對阻尼矩陣進(jìn)行簡化處理，以方便計算。簡化方法：

最簡單的處理方法：把[Cn]的非對角元素全認(rèn)為是零。如果系統(tǒng)的阻尼較小，各階固有頻率之間的間隙較大，這種處理方法的精度一般還能滿足工程上的要求。有時阻尼矩陣不容易求得，在求得各階固有頻率和振型后，可以按經(jīng)驗或規(guī)范給出各階的阻尼比zr。在實驗?zāi)B(tài)分析中，通過實驗得到的是系統(tǒng)的固有頻率、振型，阻尼則往往是給出各階的阻尼比。在振型迭加法中，有各階的阻尼比已經(jīng)足夠用。經(jīng)過近似處理后，式(4.38)解耦，可以采用第二章講過的任一種方法求解。得到{y}，再由展開定理得到系統(tǒng)響應(yīng){x}?！到y(tǒng)的各階固有頻率、振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼和阻尼比稱為系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)?！?dāng)系統(tǒng)的[M]、[K]和[C]確定后，響應(yīng){x}在系統(tǒng)振型[u]下的坐標(biāo){y}大小取決于外載荷{f}?！獙Χ鄶?shù)實際載荷，{f}中與低階振型有關(guān)的部分大，與高階振型有關(guān)的部分小。因而，一般不必求出全部，一般取前幾階或十幾階固有頻率和振型已足夠?！獜?fù)雜的機械系統(tǒng)簡化模型誤差高階振型的可靠性較差。多計入高階振型不一定會得到更好的結(jié)果。例4.3設(shè)多自由度系統(tǒng)在t=0時在第j個自由度受到一個單位脈沖力作用，初始條件為零，其他自由度上無激勵。求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：考慮阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦的情況。激勵可寫為因此——由于在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的運動微分方程解耦，可得到n個彼此獨立的單自由度運動微分方程：上式的解為根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為——因此，系統(tǒng)第i個自由度在第j個自由度受到一個單位脈沖力作用后的響應(yīng)為根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為這個響應(yīng)是由n個單自由度系統(tǒng)的阻尼自由振動迭加而成；定義此時的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)：下標(biāo)i表示響應(yīng)的空間位置，j表示脈沖力的空間位置。依次取j＝1，2，…，n，即對各個自由度依次施加一個單位脈沖力，可以得到n2個脈沖響應(yīng)，得到脈沖響應(yīng)矩陣：——由于脈沖響應(yīng)矩陣可以由振動試驗測得，所以，它常常用來識別系統(tǒng)的振動系統(tǒng)。0§4.4動力響應(yīng)分析中的變換方法——用傅里葉變換和拉普拉斯變換求多自由度系統(tǒng)的動力響應(yīng)。1)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：對向量做傅里葉變換和拉普拉斯變換＝分別對向量的各分量做傅里葉變換和拉普拉斯變換。

如，{x(t)}＝{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}T的傅里葉變換為對多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式兩邊做拉普拉斯變換，根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì)有其中：{X(s)}和{F(s)}分別為系統(tǒng)響應(yīng){x(t)}和激勵{f(t)}的拉普拉斯變換；稱為系統(tǒng)的機械阻抗矩陣；它的逆矩陣為：稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

因此，式(4.38)可以改寫為然后，求出{X(s)}的拉普拉斯逆變換就可以得到響應(yīng){x(t)}思路：困難，復(fù)雜的微分方程求解變換簡單的代數(shù)方程求解逆變換對于初始條件為零的情況，如果激勵{f(t)}的傅里葉變換存在，則可對式兩邊做傅里葉變換得到稱為系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。因此：——用變換方法求系統(tǒng)的動力響應(yīng)：得到了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣或頻響函數(shù)矩陣，則不必考慮方程解耦的問題，不必求系統(tǒng)的固有頻率和振型?！到y(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的元素的定義（以傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]的元素Hij(s)為例）

系統(tǒng)的初始條件為零＋只在第j個自由度上有激勵fj(t)＝各個自由度均會有響應(yīng)，第i個自由度的響應(yīng)為xi(t)。則：依次取j=1，2，…，n，可以得到傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]的全部元素Hij(s)。多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)同樣，可以定義系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。因此：系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)hij(t)和Hij(s)是一對拉普拉斯變換對，和Hij(w)是一對傅里葉變換對。同樣，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣[h(t)]和傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]是一對拉普拉斯變換對，和頻響函數(shù)矩陣[H(w)]是一對傅里葉變換對?！到y(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣[h(t)]、傳遞函數(shù)矩陣[h(s)]和頻響函數(shù)矩陣[H(w)]都反映了系統(tǒng)的振動特性。頻響函數(shù)矩陣[H(w)]也可以由振動試驗測得，因而常常用來識別系統(tǒng)的振動參數(shù)：

設(shè)系統(tǒng)的阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦，做變換：在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的阻抗矩陣為：即振型坐標(biāo)下阻抗矩陣也為對角矩陣，對角元素為：為求傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]，對[Zr(s)]求逆，有寫成向量形式，有：同樣，頻響函數(shù)矩陣[H(w)]也可以寫成：——這就是：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩