【教案】平面幾何中的向量方法 教學(xué)設(shè)計-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

7/7§6.4.1平面幾何中的向量方法一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面幾何中的向量方法．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版選必修2第六章第4節(jié)的內(nèi)容．本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對向量的認(rèn)識，更好地體會向量這個工具的優(yōu)越性.對于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用”向量和向量運(yùn)算“來替代”數(shù)和數(shù)的運(yùn)算“.通過對用向量法解決平面幾何問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）會用向量方法解決簡單的幾何問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．（2）體會向量在解決幾何問題中的作用，提升數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．目標(biāo)解析：（1）研究平面幾何常用的是綜合法，但綜合法具有較大的思維難度，因此需要尋找新的研究幾何的工具，以便更好的把握幾何圖形的性質(zhì)和規(guī)律.向量法處理幾何問題的基本思路是：先把幾何圖形中的元素用向量表示，再借助于向量的運(yùn)算研究圖形中幾何元素之間的關(guān)系，然后把向量運(yùn)算的結(jié)果翻譯成平面幾何的形式.（2）用向量法研究平面幾何問題的過程即用向量方法解決幾何問題的“三步曲”，學(xué)生很難短期內(nèi)對此有深入的認(rèn)識．因此，通過一些實(shí)例形象直觀的表示是達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的一個重要途徑．（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機(jī)會去落實(shí)．在平面幾何中的向量方法的教學(xué)中，從具體的實(shí)例歸納概括一般的平面幾何問題是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的很好機(jī)會；同時也是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的好機(jī)會．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：用向量方法解決幾何問題的基本方法，向量法解決幾何問題的“三步曲”．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：用向量方法解決簡單的幾何問題是本節(jié)課的第一個教學(xué)問題．解決方案：老瓶裝新酒，證明學(xué)生熟悉的定理、結(jié)論，降低了思考問題的難度，感受向量法的優(yōu)勢.借此進(jìn)一步明確向量法解決幾何問題的“三步曲”．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：能夠?qū)缀螁栴}轉(zhuǎn)化為平面向量問題．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生能夠用向量的方法解決平面幾何問題，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學(xué)過程中使用小組討論，代表發(fā)言的形式，可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過程中，重視向量法解決幾何問題的“三步曲”，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，同時，平面幾何問題的解決過程其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過程與設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)回顧情境引入[問題1]要判斷AB⊥CD,從向量的角度如何證明?[問題2]怎樣用向量的方法證明AB∥CD?[問題3]如何利用向量方法求直線AB與CD所成角?[問題4]如何利用向量的方法求線段的長度?教師1：提出問題1．學(xué)生1：證明,即即可．教師2：提出問題2．學(xué)生2：要證明AB∥CD,證明即可,同時注意AB,CD是否共線.教師3：提出問題3．學(xué)生3：根據(jù)數(shù)量積公式先求出與所成角,若是銳角或直角即為直線AB,CD所成角,若是鈍角,其補(bǔ)角即為直線AB,CD所成角.教師4：提出問題4．學(xué)生4：根據(jù)向量的有關(guān)運(yùn)算,求出對應(yīng)向量的模,即為線段的長度..通過復(fù)習(xí)前幾節(jié)所學(xué)知識，引入本節(jié)新課.建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力.探尋規(guī)律獲得結(jié)論師生共同總結(jié)：1.用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2.用向量方法解決平面幾何問題的兩個基本方法：①幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計算．②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行、夾角等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．通過思考，總結(jié)用向量方法做幾何問題的步驟，提高學(xué)生分析問題、概括問題的能力.典例分析鞏固落實(shí)1.利用平面向量證明垂直問題例1.如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.2.利用平面向量求幾何中的長度、角度問題例2.（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長.(2)已知矩形ABCD，AB＝eq\r(3)，AD＝1，E為DC上靠近D的三等分點(diǎn)，求∠EAC的大?。?.平面幾何中的平行(或共線)問題例3.如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).[課堂練習(xí)]1.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB，求證：AC⊥BC.2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D為AC中點(diǎn)，則cos∠BDC＝()A．－eq\f(7,25)B.eq\f(7,25)C．0D.eq\f(1,2)教師5：完成例1．學(xué)生5：設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0.又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.學(xué)生6：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2).因?yàn)閑q\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.教師6：完成例2．學(xué)生7：（1）設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).學(xué)生8：（2）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系．則A(0,0)，C(eq\r(3)，1)，E(eq\f(\r(3),3)，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),3)，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝2.cos∠EAC＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2×\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).∵0<∠EAC<eq\f(π,2)，∴∠EAC＝eq\f(π,6).教師7：完成例3．學(xué)生9：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上.證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝m，eq\o(AD,\s\up6(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點(diǎn)，∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→)).又O為eq\o(FO,\s\up6(→))和eq\o(OE,\s\up6(→))的公共點(diǎn)，故點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上.教師8：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生10：完成課堂練習(xí)，并核對答案．通過例題讓學(xué)生了解用向量方法證明幾何問題，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題5]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1．已知在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且a·b<0，則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不能確定2．在直角三角形ABC中，斜邊BC長為2，O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則|eq\o(AP,\s\up6(→))|等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．43.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．4．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過