【教案】向量的加法運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

14/146.2.1向量的加法運(yùn)算一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面向量的加法運(yùn)算．內(nèi)容解析：向量的加法是向量的第一運(yùn)算，是向量其他運(yùn)算的基礎(chǔ).通過(guò)本節(jié)課讓學(xué)生知道向量也是一種量，同其他量一樣也有自己的運(yùn)算，學(xué)好本節(jié)課為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運(yùn)算解決“形”的問(wèn)題提供工具和方法.通過(guò)理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義，掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會(huì)用它們解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，并理解其幾何意義.（2）理解和體驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)概念的過(guò)程和思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).培養(yǎng)類(lèi)比、遷移、分類(lèi)、歸納等能力.目標(biāo)解析：（1）學(xué)生能從物理中位移的合成、力的合成的具體實(shí)例中，抽象出向量的加法法則，能畫(huà)圖表示兩個(gè)向量加法的結(jié)果．能依據(jù)向量加法的定義，并借助其幾何意義探討向量加法的運(yùn)算規(guī)則.（2）研究平面向量的加法運(yùn)算時(shí)，借助物理中的有關(guān)模型，如借助位移的合成引出向量加法的三角形法則；其中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、歸納、抽象等數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的極好載體.基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：向量加法的運(yùn)算法則及其幾何意義.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1．教學(xué)問(wèn)題一：向量與學(xué)生在物理中學(xué)習(xí)的矢量非常類(lèi)似，物理中許多有關(guān)矢量的合成、分解、力做的功等實(shí)例可以作為向量有關(guān)運(yùn)算的模型，但這個(gè)從物理背景引出向量運(yùn)算的過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然存在困難．特別是向量既有大小，也有方向，在向量的線性運(yùn)算中，對(duì)于方向如何參與運(yùn)算，學(xué)生沒(méi)有直接的經(jīng)驗(yàn)．解決方案：在類(lèi)比中抽象出共性，通過(guò)圖形體現(xiàn)其相同點(diǎn).2．教學(xué)問(wèn)題二：向量的運(yùn)算性質(zhì)的探究過(guò)程是類(lèi)比實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生能夠想到向量的線性運(yùn)算可能會(huì)有一些類(lèi)似的運(yùn)算性質(zhì)，雖然名稱相同，但運(yùn)算的原理、方法、運(yùn)算規(guī)律都有較大的區(qū)別，學(xué)生很容易帶著實(shí)數(shù)運(yùn)算的思維定勢(shì)來(lái)理解平面向量運(yùn)算，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)向量的運(yùn)算偏于形式化記憶，對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算概念、算理的理解不深刻．解決方案：緊扣向量概念中的兩個(gè)要素，大小和方向來(lái)研究向量的加法．3．教學(xué)問(wèn)題三：向量的加法的定義是用作圖語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)的，對(duì)直接通過(guò)作圖定義向量運(yùn)算的這種處理方法，學(xué)生是第一次接觸，在理解上會(huì)有一定的困難．解決方案：通過(guò)數(shù)和形兩個(gè)角度進(jìn)行刻畫(huà)，類(lèi)比物理中位移、力的合成等輔助理解．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：對(duì)向量加法運(yùn)算法則的理解．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問(wèn)題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示.為了讓學(xué)生通過(guò)觀察、類(lèi)比從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度理解平面向量的運(yùn)算，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算研究向量的運(yùn)算.通過(guò)直觀形象→具體→抽象→再具體的反復(fù)過(guò)程，正向思考與逆向思考相結(jié)合，使學(xué)生逐步理解概念，克服思維的負(fù)遷移.在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問(wèn)題引導(dǎo)方式來(lái)組織課堂教學(xué)．問(wèn)題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題主線，通過(guò)自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類(lèi)比的方法研究向量，通過(guò)類(lèi)比“數(shù)及其運(yùn)算”而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā),再一次體會(huì)研究一類(lèi)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路.因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試.五、教學(xué)過(guò)程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問(wèn)題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境提出問(wèn)題[問(wèn)題1]位移、力是向量，它們可以合成．我們看看能否從位移的合成、力的合成中得到啟發(fā)引進(jìn)向量的運(yùn)算．如圖1，某質(zhì)點(diǎn)M從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到點(diǎn)C，質(zhì)點(diǎn)M的位移如何表示？[問(wèn)題2]有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000N，F(xiàn)2＝2000N，牽引繩之間的夾角為θ＝60°(如圖)，如果只用一條拖輪來(lái)牽引，能否產(chǎn)生跟原來(lái)相同的效果．[問(wèn)題3]從物理學(xué)的角度，上面實(shí)例中位移、牽引力說(shuō)明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運(yùn)算？[問(wèn)題4]上述實(shí)例中位移的和運(yùn)算、力的和運(yùn)算分別用什么法則？教師1：提出問(wèn)題1．學(xué)生1：學(xué)生思考．回答：質(zhì)點(diǎn)M的兩次位移的結(jié)果與它從點(diǎn)A直接到點(diǎn)C的位移結(jié)果相同．教師2：提出問(wèn)題2．學(xué)生2：學(xué)生思考．回答：可以.教師3：提出問(wèn)題3．學(xué)生3：學(xué)生思考．回答：位移的合成，力的合成，是把兩個(gè)向量（矢量）“合”在一起了．這容易讓我們想到向量可以這樣作加法運(yùn)算.教師4：提出問(wèn)題4．學(xué)生4：三角形法則和平行四邊形法則問(wèn)題引入:提出問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生由位移的合成引入向量的加法.從具體實(shí)例出發(fā)結(jié)合圖形思考問(wèn)題，從中發(fā)現(xiàn)向量加法的運(yùn)算法則.探尋規(guī)律形成概念[問(wèn)題5]兩個(gè)向量的和還是向量嗎？[問(wèn)題7]若向量和共線，它們的和向量能否用三角形法則作出？[問(wèn)題8]如果eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，那么A，B，C三點(diǎn)一定能構(gòu)成三角形嗎？[問(wèn)題9]根據(jù)向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,你能發(fā)現(xiàn)|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系嗎?【練習(xí)】如果=8，=5，那么的取值范圍為.？[問(wèn)題10]你能否總結(jié)一下向量加法的運(yùn)算律？教師5：（1）1.向量加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.對(duì)于零向量與任一向量，規(guī)定：.（2）提出問(wèn)題5．學(xué)生5：兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量．教師6：2.向量的加法運(yùn)算法則.（1）三角形法則已知非零向量a，b，在平面上任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.你能否嘗試總結(jié)一下如何記憶？學(xué)生6：作平移，首尾連，從頭到尾．教師7：提出問(wèn)題7學(xué)生7：可以用三角形法則作出和向量.教師8：提出問(wèn)題8.學(xué)生8：不一定.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝，則A，B，C三點(diǎn)有可能在同一條直線上(如圖所示)，不能構(gòu)成三角形.教師9：（2）平行四邊形法則.已知兩個(gè)不共線向量，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是向量與的和．這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.請(qǐng)同學(xué)們嘗試總結(jié)一下如何記憶？學(xué)生9：作平移，共起點(diǎn)，四邊形，對(duì)角線教師10：向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？學(xué)生10：畫(huà)圖探索，歸納結(jié)論：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則本質(zhì)上是一致的，解決具體的向量加法問(wèn)題時(shí)，可以有選擇地使用.教師11：提出問(wèn)題9學(xué)生11：對(duì)于任意向量a,b,都有||a|-|b|≤|a＋b|≤|a|+|b|;(2)當(dāng)a,b共線,且同向時(shí),有|a+b|=|a|+|b|;(3)當(dāng)a,b共線,且反向時(shí),有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).教師12：完成練習(xí)學(xué)生12：[3,13]教師13：數(shù)的加法有哪些運(yùn)算律？學(xué)生13：交換律、結(jié)合律.教師14：向量的加法是否也有這些運(yùn)算律？下面我們從數(shù)與形兩個(gè)方面來(lái)探究向量加法的運(yùn)算律.（3）加法的運(yùn)算律如圖(1)在平行四邊形ABCD中，，所以.在圖(2)中，所以教師15：提出問(wèn)題10.學(xué)生14：向量的加法滿足：(1)交換律：.(2)結(jié)合律：.明確概念．明確運(yùn)算法則．教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)展開(kāi)式各項(xiàng)構(gòu)成的觀察，得到項(xiàng)的構(gòu)成．通過(guò)該問(wèn)題的探討，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解向量加法的定義和兩個(gè)加法法則，明確兩個(gè)法則在本質(zhì)上是一致的.借助特例，研究向量加法與實(shí)數(shù)加法的聯(lián)系與區(qū)別，這樣，更容易與數(shù)的加法進(jìn)行類(lèi)比，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)的培養(yǎng)．明確研究向量加法運(yùn)算律的途徑，并通過(guò)尋找結(jié)論成立的依據(jù)，使學(xué)生獲得研究運(yùn)算律的經(jīng)驗(yàn)，提升邏輯推理素養(yǎng).典型例題1.向量加法法則的應(yīng)用例1.如圖，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.2.平面向量的表示例2.化簡(jiǎn)：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).3.向量加法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例3.在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向.[課堂練習(xí)]1．下列結(jié)論一定正確的是（

）．A.在△ABC中，．B.向量的大小為2，向量的大小為3，則向量的大小為5．C.．D.．2．某人在靜水中游泳，速度為，水流的速度為9km/h．他沿著垂直于對(duì)岸的方向前進(jìn)，那么他實(shí)際前進(jìn)的方向與河岸的夾角為_(kāi)_____度．學(xué)生15：三角形法則求解（圖①）學(xué)生16：平行四邊形法則求解（圖②）．教師17：完成例2.學(xué)生17：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.教師18：完成例3學(xué)生18：在Rt△ACD中，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10m/min，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|v船|＝20m/min，∴cosα＝eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴α＝60°，從而船與水流方向成120°的角.故船行進(jìn)的方向是與水流的方向成120°的角的方向.教師19：布置課堂練習(xí)．學(xué)生19：完成課堂練習(xí)．課堂練習(xí)考查學(xué)生對(duì)平面向量加法法則、幾何意義及與數(shù)的加法的不同的掌握情況及將實(shí)際問(wèn)題抽象為向量加法的情況．課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問(wèn)題11]通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1.已知四邊形ABCD是菱形，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))2.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|為()A.1B.C.3D.3.化簡(jiǎn)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.eq\o(AB,\s\