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主講:張老師小學(xué)數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)五年級(jí)上冊(cè)第四單元分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)重點(diǎn):理解單位“1”和分?jǐn)?shù)單位的意義,進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義。
難點(diǎn):理解把多個(gè)物體組成的整體看作單位“1”。一、分?jǐn)?shù)的意義【知識(shí)點(diǎn)一】分?jǐn)?shù)的意義和單位“1”的意義1.把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù),叫作分?jǐn)?shù)。2.一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體,都可以用自然數(shù)1來表示,通常我們把它叫作單位“1”。拓展提高:?jiǎn)挝弧?”和自然數(shù)1的區(qū)別:自然數(shù)1是一個(gè)數(shù),只表示某一具體的事物,如1個(gè)人,1本書......它是自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位。而單位“1”不僅可以表示一個(gè)具體事物,還可以表示一堆、一群.....它表示的是被平均分的整體。【知識(shí)點(diǎn)二】分?jǐn)?shù)單位的意義歸納總結(jié)把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數(shù),叫作分?jǐn)?shù)單位。拓展提高:一般情況下,把分子是1,分母是大于1的自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫作單位分?jǐn)?shù),單位分?jǐn)?shù)有很多有趣的性質(zhì),一個(gè)單位分?jǐn)?shù)可以寫成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和,如:知識(shí)達(dá)標(biāo)綜合能力全解【能力點(diǎn)一】運(yùn)用對(duì)應(yīng)法解決看圖寫分?jǐn)?shù)問題例1用不同的分?jǐn)?shù)表示下圖中的陰影部分是大正方形的幾分之幾。分析把大正方形看作單位“1”,以一個(gè)小三角形為一份,單位“1”被平均分成了16份,陰影部分是其中的4份;以2個(gè)小三角形為一份,單位“1”被平均分成了8份,陰影部分是其中的2份;以4個(gè)小三角形為一份,單位“1”被平均分成了4份,陰影部分是其中的1份??偨Y(jié)同一數(shù)量,可以用不同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)來表示。綜合能力全解【能力點(diǎn)二】運(yùn)用添加輔助線法解決看圖寫分?jǐn)?shù)問題例2下圖中,三角形ABC是一個(gè)等腰直角三角形,點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是直角邊AB和斜邊BC的中點(diǎn),用分?jǐn)?shù)表示圖中陰影部分的面積是整個(gè)圖形面積的幾分之幾。分析要想用分?jǐn)?shù)表示陰影部分的面積,先把這個(gè)三角形平均分。連接點(diǎn)A和點(diǎn)E,同時(shí)取另一條直角邊AC的中點(diǎn)F,并連接EF,這樣就把等腰直角三角形平均分成了4份,可以看出陰影部分是其中的3份。如下圖所示:解答陰影部分的面積是整個(gè)圖形面積的
。提示巧加輔助線,把原圖形轉(zhuǎn)化成“平均分”的圖形后,更容易用分?jǐn)?shù)表示出陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。能力達(dá)標(biāo)1.填上合適的分?jǐn)?shù)來表示每個(gè)小圖形的整個(gè)圖形的幾分之幾。2.用分?jǐn)?shù)表示下圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。(O點(diǎn)為長(zhǎng)方形對(duì)角線的交點(diǎn))能力達(dá)標(biāo)3.有一塊長(zhǎng)方形的地,如果用其中的種玫瑰,你能設(shè)計(jì)出幾種方案?請(qǐng)?jiān)谙旅嬖囈辉嚒?.下圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾?重點(diǎn):理解并掌握分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,會(huì)用分?jǐn)?shù)表示除法的商。難點(diǎn):理解分?jǐn)?shù)與除法的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。二、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)一】理解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系拓展提高:1.分?jǐn)?shù)與除法之間有著密切聯(lián)系,但分?jǐn)?shù)不等同于除法,二者之間有一定的區(qū)別;除法是一種運(yùn)算,分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)。2.一個(gè)分?jǐn)?shù)不但可以從分?jǐn)?shù)的意義上理解,還可以從分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系上理解。知識(shí)巧計(jì):兩數(shù)如相除,分?jǐn)?shù)來表述。分子被除數(shù),除數(shù)當(dāng)分母。除號(hào)變一變,擔(dān)當(dāng)分?jǐn)?shù)線。除法與分?jǐn)?shù),互化又互助。【知識(shí)點(diǎn)二】求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問題的解法О知識(shí)達(dá)標(biāo)1.用分?jǐn)?shù)表示下面各式的商。8÷11=12÷19=3÷100=7÷18=23÷74=a÷b=(b≠0)2.在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)。
7時(shí)=()日
9克=()千克31厘米=()米
18米=()千米190毫升=()升
31分=()時(shí)37立方厘米=()立方分米
15平方分米=()平方米5.月球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的幾分之幾?6.解決問題。(1)故宮是世界上保存最完整,規(guī)模最大的古代皇宮建筑群,長(zhǎng)約960米,寬約750米。①故宮的寬是長(zhǎng)的幾分之幾?②故宮的長(zhǎng)是故宮周長(zhǎng)的幾分之幾?(2)2014年3月21日世界睡眠日的主題是“健康睡眠,安全出行”。①小明平均每天的睡眠時(shí)間是小紅的幾分之幾?②小紅平均每天的睡眠時(shí)間是小明的幾分之幾?綜合能力全解【能力點(diǎn)一】運(yùn)用畫線段圖法解決分?jǐn)?shù)問題例1有一堆蘋果,它的
是2個(gè),這堆蘋果共有多少個(gè)?分析由已知條件可知,把“一堆蘋果”看作單位“1”,根據(jù)“它的
是2個(gè)”這一條件,可以畫出如下線段圖:一堆蘋果的
是2個(gè),這堆蘋果的
個(gè)數(shù)的4個(gè),即4×2=8(個(gè))。解答42=8(個(gè))提示用每份所對(duì)應(yīng)的數(shù)量去乘份數(shù)就可以求出總量?!灸芰c(diǎn)二】運(yùn)用畫圖法解決實(shí)際問題例2有同樣大小的紅、黑、白三種顏色的珠子共86個(gè),按1個(gè)紅珠子、3個(gè)白珠子、2個(gè)黑珠子的順序排列。三種顏色的珠子各占總數(shù)的幾分之幾?分析要想求三種顏色的珠子各占總數(shù)的幾分之幾,就要先求出三種顏色的珠子各有多少個(gè)。三種顏色的珠子是按照“1紅3白2黑”的順序排列的,6個(gè)珠子是一個(gè)循環(huán)周期,可先用86÷(1+3+2)求出周期數(shù),如下圖:求出完整周期內(nèi)三種顏色的珠子分別有多少個(gè),再加上不完整周期內(nèi)同色珠子的數(shù)量,即可求出每種顏色的珠子的數(shù)量,最后用除法算出它們各占總數(shù)的幾分之幾。提示解答此題的關(guān)鍵是找出周期的變化規(guī)律。О能力達(dá)標(biāo)1.有一堆糖,它的
是2顆,這堆糖共有多少顆?2.在一條長(zhǎng)100米的甬路兩側(cè)從頭到尾每隔2米栽一棵樹,按2棵楊樹、1棵柳樹的規(guī)律栽樹。楊樹、柳樹各占栽樹總棵樹的幾分之幾?О能力達(dá)標(biāo)3.用三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,求陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。О能力達(dá)標(biāo)4.明明一家三口吃餃子。爸爸吃了全部餃子的
,接著明明將剩下的餃子平均分成3份,自己吃了1份,媽媽吃了明明吃剩下餃子的
。(1)明明吃了全部餃子的幾分之幾?(2)媽媽吃了全部餃子的幾分之幾?(3)餃子吃完了嗎?若有剩余,剩下的餃子占全部餃子的幾分之幾?重點(diǎn):真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的意義。難點(diǎn):假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法。三.真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)【知識(shí)點(diǎn)一】真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)1.分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫作真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù)小于1。2.分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù)大于或等于1?!局R(shí)點(diǎn)二】假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)的方法把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù),可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,也可以直接用分子除以分母計(jì)算出結(jié)果。【知識(shí)點(diǎn)三】帶分?jǐn)?shù)的意義分子不是分母倍數(shù)的假分?jǐn)?shù),可以寫成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)。這樣的假分?jǐn)?shù)通常叫作帶分?jǐn)?shù)?!局R(shí)點(diǎn)四】假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)的方法把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)時(shí),可以直接用分子除以分母,商就是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,余數(shù)就是分?jǐn)?shù)部分的分子,分母不變。拓展提高:帶分?jǐn)?shù)也能化成假分?jǐn)?shù),用分?jǐn)?shù)部分的分母作分母,用分母和整數(shù)的積再加上分子的和作分子。例如:О知識(shí)達(dá)標(biāo)3.選擇。(1)分母是8的真分?jǐn)?shù)有()個(gè)。A.無數(shù)B.7C.8(2)10里面有()個(gè)。A.10B.20C.40(3)要使是真分?jǐn)?shù),是假分?jǐn)?shù),x應(yīng)?。ǎ?。A.8B.9C.104.用分?jǐn)?shù)表示下面各題的商,能化成帶分?jǐn)?shù)的要化成帶分?jǐn)?shù)。24÷15=12÷17=50÷9=31÷10=21÷8=23÷7=5.媽媽買了15千克面粉用了63元,買25千克大米用了65元。每千克面粉和每千克大米各多少元?(結(jié)果化成帶分?jǐn)?shù))О綜合能力【能力點(diǎn)】運(yùn)用推理法解決求原分?jǐn)?shù)的問題例一個(gè)分?jǐn)?shù),分子與分母的和是42,如果分子加上8,這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1。原分?jǐn)?shù)是多少?分析原分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是42,分子加上8,這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1,也就是說分子和分母相等,說明原分?jǐn)?shù)的分母比分子大8。解答原分母:(42+8)÷2=25原分子:25-8=17已知分子和分母的和與差,可以根據(jù)和差問題公式“(和+差)÷2=大數(shù)”“大數(shù)-差=小數(shù)”或“(和-差)÷2=小數(shù)”“小數(shù)+差=大數(shù)”得出分子和分母,從而求出原分?jǐn)?shù)。О能力達(dá)標(biāo)О能力達(dá)標(biāo)重點(diǎn):掌握分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的方法。難點(diǎn):能正確進(jìn)行分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化。四.分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化【知識(shí)點(diǎn)一】分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法把分?jǐn)?shù)化成小數(shù),直接用分?jǐn)?shù)的分子除以分母。【知識(shí)點(diǎn)二】小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法小數(shù)(這里指有限小數(shù))可以看作分?jǐn)?shù)的另一種表示形式。把小數(shù)化成分?jǐn)?shù),原來有幾位小數(shù),就在1的后面寫幾個(gè)0作分母,把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子。拓展提高:整數(shù)部分不是0的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后是假分?jǐn)?shù)。如3.01化成分?jǐn)?shù)是О知識(shí)達(dá)標(biāo)2.按要求填數(shù)。О綜合能力【能力點(diǎn)一】運(yùn)用列舉法和篩選法解決求分?jǐn)?shù)中未知項(xiàng)的問題例1要使
是真分?jǐn)?shù),
是假分?jǐn)?shù),x應(yīng)該是幾?分析要使
是真分?jǐn)?shù),x可以是1,2,3,4,5,6,7,8。要使
是假分?jǐn)?shù),x可以是7,8,9,10,…同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的只有7和8這兩個(gè)數(shù)。解答x應(yīng)該是7或8。提示可以用列舉法將符合要求的數(shù)列舉出來,再按要求選擇、確定。О綜合能力【能力點(diǎn)二】運(yùn)用推理法解決把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的問題О綜合能力【能力點(diǎn)二】運(yùn)用推理法解決把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的問題О能力達(dá)標(biāo)1.要使
是真分?jǐn)?shù),
是假分?jǐn)?shù),a應(yīng)該是幾?2.一個(gè)帶分?jǐn)?shù),它的分?jǐn)?shù)部分的分子是5,把它化成假分?jǐn)?shù)后分子是19,這個(gè)帶分?jǐn)?shù)時(shí)多少?О能力達(dá)標(biāo)4.
(a為非0自然數(shù)),當(dāng)a=(
)時(shí),這個(gè)分?jǐn)?shù)是最小的假分?jǐn)?shù);a=(
)時(shí),這個(gè)分?jǐn)?shù)是最大的真分?jǐn)?shù);當(dāng)a=(
)時(shí),這個(gè)分?jǐn)?shù)可以化成最小的帶分?jǐn)?shù)。重點(diǎn):分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用。難點(diǎn):分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的探索過程。五.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),約分【知識(shí)點(diǎn)一】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)的大小不變。這是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。知識(shí)巧計(jì):分?jǐn)?shù)性質(zhì)真神奇,大小不變是前提。乘除都是相同數(shù),同時(shí)運(yùn)算要牢記。分母不能0來作,附加條件也要記。掌握性質(zhì)巧解題,考試分?jǐn)?shù)向上提?!局R(shí)點(diǎn)二】約分的意義、方法和最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的意義1.約分:把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等,但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù),叫作約分。2.約分的方法:(1)分步約分法:用分子、分母的公因數(shù)(1除外)逐次去除分子、分母,通常除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。(2)一次約分法:用分子、分母的最大公因數(shù)直接去除分子、分母,就能得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。用最大公因數(shù)進(jìn)行一次約分比較簡(jiǎn)便。3.最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù):分子和分母只有公因數(shù)1。О知識(shí)達(dá)標(biāo)5.2014年全國高考的報(bào)名人數(shù)為939萬,比2013年多27萬人,2014年全國高考的報(bào)名人數(shù)是2013年的幾分之幾?О綜合能力【能力點(diǎn)一】運(yùn)用抓不變量法解決求符合條件的分?jǐn)?shù)問題分析所求分?jǐn)?shù)和
的分?jǐn)?shù)值相等,且分母比分子大15,而
的分
母比分子大5,由差5到差15,根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可知,分子、分母要同時(shí)乘3。解答時(shí)要抓住兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等這一已知條件,然后根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而解決問題。例1一個(gè)分?jǐn)?shù),分母比分子大15,它與
相等,這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少?О綜合能力【能力點(diǎn)二】運(yùn)用逆推法解決求原分?jǐn)?shù)的問題例2把一個(gè)分?jǐn)?shù)約分,用3約一次,再用5約一次后得
,原來這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少?分析原分?jǐn)?shù)用3約一次,再用5約一次,就是用原分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以3,再同時(shí)除以5,得到
,要求原分?jǐn)?shù),只需要用
的分子、分母同時(shí)乘5,再乘3即可。解答提示用幾約分,就說明分子、分母同時(shí)除以幾。О能力達(dá)標(biāo)О能力達(dá)標(biāo)重點(diǎn):學(xué)會(huì)通分,掌握比較兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)大小的方法。難點(diǎn):應(yīng)用分?jǐn)?shù)大小比較的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題。五.通分,分?jǐn)?shù)的大小比較【知識(shí)點(diǎn)一】通分的含義及方法1.通分的含義:把幾個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)(也叫作異分母分?jǐn)?shù))分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),叫作通分。2.通分的方法:通分時(shí),用原來幾個(gè)分母的公倍數(shù)作公分母,為了計(jì)算簡(jiǎn)便,通常選用最小公倍數(shù)作公分母,然后把各分?jǐn)?shù)分別化成用這個(gè)公分母作分母的分?jǐn)?shù)?!局R(shí)點(diǎn)二】異分母分?jǐn)?shù)的大小比較可以用不同的方法比較異分母分?jǐn)?shù)的大小,其中“先通分,再比較”是比較異分母分?jǐn)?shù)大小的基本方法。О知識(shí)達(dá)標(biāo)2.判斷。(1)通分時(shí),分?jǐn)?shù)的分子和分母都擴(kuò)大了,分?jǐn)?shù)值也隨之?dāng)U大了。()(2)同分子分?jǐn)?shù)比較大小時(shí),分母越大,分?jǐn)?shù)值越大。()(3)通分時(shí),一般選這幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)作公分母比較簡(jiǎn)便。()3.選擇。(1)下面各數(shù)中,最小的是()A.
B.
C.(2)通分的依據(jù)是()。A.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)B.分?jǐn)?shù)的意義C.分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系(3)把兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)化成兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù),分?jǐn)?shù)的大?。ǎ?。A.不變B.變大C.變小О綜合能力【能力點(diǎn)一】運(yùn)用抓不變量法解決求原分?jǐn)?shù)的問題提示求原來的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),要把得出的新分?jǐn)?shù)通分,再根據(jù)已知條件求出原分?jǐn)?shù)。分析兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在約分前分母相同,將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)通分,化成分母是3和12的最小公倍數(shù)的2倍的同分母分?jǐn)?shù),
,
。根據(jù)題意,將兩個(gè)新分子之差除以2,就可以得到分子加上與減去的那個(gè)數(shù)。О綜合能力【能力點(diǎn)二】運(yùn)用轉(zhuǎn)化法解決求分?jǐn)?shù)中未知數(shù)的問題解答□里可以填9,10,11,12,13。提示利用通分或轉(zhuǎn)化分子的方法,可以求出分?jǐn)?shù)中未知分子或分母的取值范圍。О能力達(dá)標(biāo)О能力達(dá)標(biāo)3.一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母的和是76,約分后是
,原來的這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少?О能力達(dá)標(biāo)第四單元整理與練習(xí)單元基本方法復(fù)習(xí)【基本方法一】畫線段圖法畫線段圖法是指用一條或幾條線段來表示題中的數(shù)量關(guān)系,使數(shù)量關(guān)系直觀、清晰,以幫助理解題意,順利解答問題的一種策略。典型例題1冰箱里有三種飲料:蘇打水(300毫升),可樂(500毫升),牛奶(1000毫升),兵兵喝了一種飲料的
,正好是180毫升,你知道他喝的是哪種飲料嗎?方法指導(dǎo)根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義,
表示把這種飲料平均分成5份,兵兵喝了其中的3份,可以用線段圖分別表示這三種飲料喝掉的部分。正確解答300÷5×3=180(毫升)500÷5×3=300(毫升)1000÷5×3=600(毫升)從線段圖中可以看出,用每種飲料的總量除以5,就可以求出每份是多少毫升,再乘3,即可求得5份中的3份是多少毫升,也就是喝掉的部分。同步練習(xí)1.寫字臺(tái)上放著4本書,《安徒生童話》(240頁),《十萬個(gè)為什么》(300頁),《成語故事》(180頁),《優(yōu)秀作文》(360頁),丁丁已經(jīng)看了一本書的
,正好是150頁,你知道他看的是哪本書嗎?【基本方法二】推理法推理法是根據(jù)題中已知條件,通過概括、抽象、推理得出規(guī)律或答案的一種研究問題的方法。典型例題2一個(gè)分?jǐn)?shù),分子與分母的和是42,如果分子加上8,這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1。這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少?方法指導(dǎo)由已知條件可知,原分?jǐn)?shù)的分子和分母的和是42,分子加上8,這個(gè)分?jǐn)?shù)就是1,說明原分?jǐn)?shù)的分母比分子大8,如果用42減去8,就
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