第一章數(shù)學(xué)建模簡介

1什么是數(shù)學(xué)建模2數(shù)學(xué)建模示例3數(shù)學(xué)建模的方法和步驟4數(shù)學(xué)建模競賽簡介第一章數(shù)學(xué)建模簡介通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際對象的刻畫，以便于人們更深刻地了解所研究的對象,從而更有效地解決實(shí)際問題。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括模型假設(shè)，模型表述、問題求解、結(jié)果解釋、結(jié)論檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)1什么是數(shù)學(xué)建模你身邊的數(shù)學(xué)模型：購房貸款作為房產(chǎn)公司的代理人，你要迅速準(zhǔn)確回答客戶各方面的問題?，F(xiàn)在要制作一個(gè)軟件，根據(jù)客戶所選房屋的建筑面積、每平方米單價(jià)、首付比例，貸款種類、貸款期限、還款方式等信息計(jì)算下列信息：房款總額、首付款額、月還款額等。房地產(chǎn)：熱了10多年時(shí)寒冰：中國應(yīng)做好樓市崩盤的準(zhǔn)備(2011-09-08)謝國忠：今年房價(jià)下跌25%未來三年或跌50%(2012-2-2)茅于軾：房地產(chǎn)已無藥可救，房價(jià)下降50%不過分(2012-2-24)牛刀：房價(jià)泡沫正在破滅(2012-06-10)曹建海：2012年底若房價(jià)上漲是崩盤前奏(2012-08-25)任志強(qiáng)：中國房地產(chǎn)還要火20年(2012-10-23)張五常：中國房地產(chǎn)市場不存在泡沫(2012-12-16)王石:樓市泡沫太危險(xiǎn)45倍年薪買房是災(zāi)難(2013-3-6)葉檀：中小城市樓市岌岌可危難逃泡沫崩潰(2014-2-17)郎咸平：今后的樓市必然是有漲有跌，多樣化發(fā)展

(2014-9-9)分析與假設(shè)貸款種類:[1]商業(yè)[2]公積金[3]組合(一般)還款方式:等額本息,等額本金假設(shè)首付比例、貸款期限符合政府規(guī)定假設(shè)自借款日一個(gè)月后，每月固定時(shí)間還款不考慮貸款利率的變化（當(dāng)前計(jì)算結(jié)果貸款利率改變以后失效）數(shù)學(xué)建模房款總額T=建筑面積S×每平方米單價(jià)R首付款額F=房款總額T×首付比例p考慮組合貸款(其他為特例)。設(shè)公積金貸款A(yù)T-F元，那么商業(yè)貸款為B=T-F-A元設(shè)后臺(tái)變量：公積金貸款N1月，年利率r1，商業(yè)貸款N2月，年利率r2。月還款額怎么算？概念：月利率=年利率/12等額本息情形設(shè)公積金月還M元，第n個(gè)月公積金貸款欠款xn.那么xn=xn-1(1+r1/12)-M,計(jì)算得xn=xn-2(1+r1/12)2-M(1+r1/12)-M

=…=x0(1+r1/12)n-M[(1+r1/12)n-1+…+1]由于x0=A,xN1=0.那么A

(1+r1/12)N1-12M[(1+r1/12)N1-1]/r1=0這樣M=Ar1(1+r1/12)N1

/12/[(1+r1/12)N1-1]同理可以計(jì)算商業(yè)貸款月還款額第n月還款額公式等額本金情形月還本貸款本金／還款月數(shù)，利息月月清月還款額＝（貸款本金／還款月數(shù)）＋（所欠本金×當(dāng)月利率）第一個(gè)月公積金月還A/N1+Ar1/12第二個(gè)月公積金月還A/N1+(A-A/N1)r1/12….第N1個(gè)月公積金月還A/N1+A[1-(N1-1)/N1]r1/12第n月還款額公式后繼工作/例子收集數(shù)據(jù)，編寫軟件(界面\計(jì)算)，寫說明書。例子:80平米,單價(jià)15000元,首付30%,公積金40萬,期限20年,第一套房商業(yè)利率6.55%*0.85,公積金利率4.5%(2012年7月6日至今).[T,F,M]=hmorgage2013(80,15000,0.3,400000,240,240,1)等額本息(1):5574元/月(總借84萬，約還134萬)等額本金(2):7041，7027，…,3515(約還127萬)function[T,F,M]=hmorgage2013(S,R,p,A,N1,N2,type)r1=4.5/100;r2=6.55/100*0.85;T=S*R;F=T*p;B=T-F-AN=max(N1,N2);L=(1:N)';iftype==1,M1=A*r1/12*(1+r1/12)^N1/[(1+r1/12)^N1-1]M2=B*r2/12*(1+r2/12)^N2/[(1+r2/12)^N2-1]M=M1*(L<=N1)+M2*(L<=N2);elseiftype==2,M1=A*(1/N1+r1/12*(1-(L-1)/N1)).*(L<=N1);M2=B*(1/N2+r2/12*(1-(L-1)/N2)).*(L<=N2);M=M1+M2;endMatlab程序習(xí)題習(xí)題1:如果是第二套住房，且全部為商業(yè)貸款（基準(zhǔn)利率*1.1）,等額本息每個(gè)月要付多少?習(xí)題2:如果原案例（第一套）是2013年3月1日貸款買房，并假設(shè)2014年底利率調(diào)整為：商業(yè)基準(zhǔn)利率為6.14%，公積金利率4.05%，那么2015年的月還款將調(diào)整為多少？(提示：存量房貸利率每年1月1日調(diào)整一次)一句話小結(jié)只要你留意，數(shù)學(xué)建模就在你身邊數(shù)學(xué)建模正在不斷更新中場景2示例：

如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫(yī)院急診室.訴說兩小時(shí)前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現(xiàn)嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是100~200mg，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，濃度100μg/ml會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重中毒,濃度200μg/ml可致命.醫(yī)生需要判斷：孩子的血藥濃度會(huì)不會(huì)達(dá)到100~200μg/ml；如果會(huì)達(dá)到，應(yīng)采取怎樣的緊急施救方案.調(diào)查與分析轉(zhuǎn)移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外認(rèn)為血液系統(tǒng)內(nèi)藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看作一個(gè)房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統(tǒng)對藥物的吸收率和排除率可以由半衰期(下降一半所需時(shí)間)確定.半衰期可以從藥品說明書上查到(氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h)

.通常，血液總量約為人體體重的7%

~8%，體重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目測這個(gè)孩子的體重約為成年人的一半，可認(rèn)為其血液總量約為2000ml.調(diào)查與分析血藥濃度=藥量/血液總量

口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍.臨床施救的辦法：

體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證.模型假設(shè)

1.胃腸道中藥物向血液的轉(zhuǎn)移率與x(t)成正比，比例系數(shù)λ(>0)，總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道,x(0)=1100.2.血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(t)成正比，比例系數(shù)μ(>0)，t=0時(shí)血液中無藥物,y(0)=0.3.氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h.4.孩子的血液總量為2000ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時(shí)間t以孩子誤服藥的時(shí)刻為起點(diǎn)（t=0）.模型建立轉(zhuǎn)移速率正比于x排除速率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)???注意:藥物的轉(zhuǎn)移\排除并不是勻速的!模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數(shù)λ),轉(zhuǎn)移速率正比于x排除速率正比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是λx，由排除而減少的速度與y(t)成正比(比例系數(shù)μ).血藥濃度=藥量/血液總量x(0)=1100y(0)=0模型求解

藥物吸收的半衰期為5h藥物排除的半衰期為6h只考慮血液對藥物的排除血液總量2000ml血藥濃度200μg/ml結(jié)果及分析胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴(yán)重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時(shí)施救，約3h后將有生命危險(xiǎn)！y(2)=236.5施救方案

口服活性炭使藥物排除率μ增至原來的2倍.

孩子到達(dá)醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155×2=0.2310注意：施救前的

μ與施救后的

μ不同，須分段計(jì)算！施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).

z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少應(yīng)為0.4885.若采用體外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中藥量下降更快(習(xí)題)；臨床上是否需要采取這種辦法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定.一句話小結(jié)數(shù)學(xué)建模用數(shù)學(xué)方法可以幫助我們（以較低的成本）對情況的發(fā)展做預(yù)判，從而幫助我們做出正確的決策。數(shù)學(xué)模型：通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際對象的刻畫，以便于人們更深刻地了解所研究的對象,從而更有效地解決實(shí)際問題。習(xí)題姜啟源等，數(shù)學(xué)模型（第四版），高等教育出版社，2011P21ex6：利用藥物中毒施救模型確定對于孩子(血液容量為2000ml)以及成人(血液容量為4000ml)服用氨茶堿能引起嚴(yán)重中毒和致命的最小劑量。

P21ex7：如果采用的是體外血液透析的辦法，求解藥物中毒施救模型的血液中藥量的變化并作圖。3.數(shù)學(xué)建模的方法與步驟機(jī)理分析方法：初等分析、微積分、常微分方程、偏微分方程、運(yùn)籌學(xué)（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、圖論）、概率論等；數(shù)據(jù)擬合方法：層次分析、插值與擬合、統(tǒng)計(jì)分析(回歸分析、時(shí)間序列、聚類)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等；計(jì)算機(jī)模擬方法：遍歷法（枚舉法）、隨機(jī)模擬法（蒙特卡洛法）、遺傳算法等。模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用數(shù)學(xué)建模的步驟數(shù)學(xué)應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的區(qū)別數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)建模問題來源數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際背景問題條件明確清晰不完全明確，需要作進(jìn)一步了解或假設(shè)解決方法多種多種問題結(jié)論有標(biāo)準(zhǔn)答案有參考解答但無標(biāo)準(zhǔn)答案。不同的假設(shè)下有不同的模型和結(jié)論4.數(shù)學(xué)建模競賽簡介1985年美國數(shù)學(xué)建模競賽(MCM).1989年我國參加MCM.1992年中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM)

創(chuàng)辦2004年全國研究生數(shù)學(xué)建模(NPMCM)競賽創(chuàng)立2014年9月12-15日，全國及新加坡和美國1338所高校的25347支隊(duì)伍的7萬多名大學(xué)生參加CUMCM

。2014年9月19-22日，全國5000多隊(duì)15000多研究生參加NPMCM.有哪些數(shù)學(xué)建模競賽？美國數(shù)學(xué)建模競賽（MCM和ICM）2月東華大學(xué)數(shù)學(xué)建模選拔賽（DHMCM）5月全國數(shù)學(xué)建模夏令營6-7月全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM）9月全國高校研究生數(shù)學(xué)建模競賽9月華東地區(qū)部分高校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽4月數(shù)學(xué)中國杯數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽，每年4-6月舉行數(shù)學(xué)建模競賽的競賽題競賽的題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)際問題，不要求預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)，而具有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮。數(shù)學(xué)建模競賽題設(shè)計(jì)要求參賽選手運(yùn)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)和問題背景學(xué)科等方面知識(shí)，解決極富挑戰(zhàn)性的實(shí)際問題。通常競賽題有多題，各參賽隊(duì)從中任選一題。數(shù)學(xué)建模競賽的評(píng)獎(jiǎng)沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，多名專家從以下幾個(gè)方面來綜合評(píng)定（1）問題分析及假設(shè)的合理性10%；（2）模型的正確性和創(chuàng)造性40%；（3）運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性20%；（4）結(jié)論和討論的科學(xué)性20%；（5）摘要和論文表達(dá)的清晰性等10%。數(shù)學(xué)建模競賽的參賽形式開卷形式的通訊比賽，可以使用任意圖書資料和互聯(lián)網(wǎng)，自由的收集資料、調(diào)查研究。由三名學(xué)生組成一隊(duì)，各參賽隊(duì)任選一競賽題。在三、四天時(shí)間內(nèi)，團(tuán)結(jié)合作、奮力攻關(guān)，完成一篇數(shù)學(xué)建模全過程的論文。近年來的NPMCM題2014A小鼠視覺感受區(qū)電位信號(hào)研究2014B機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤與反跟蹤2014C無線通信中的快時(shí)變信道建模2014D從人體營養(yǎng)健康角度研究中國果蔬發(fā)展戰(zhàn)略2014E乘用車物流運(yùn)輸計(jì)劃問題近年來的NPMCM題2013A變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)部件法建模及優(yōu)化2013B功率放大器非線性特性及預(yù)失真建模2013C微蜂窩環(huán)境中無線接收信號(hào)的特性分析2013D空氣中PM2.5問題的研究2013E中等收入定位與人口度量模型研究2013F可持續(xù)的中國城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險(xiǎn)體系的數(shù)學(xué)模型研究數(shù)學(xué)建模競賽的意義培養(yǎng)選手進(jìn)行科學(xué)研究的能力培養(yǎng)選手通過研究學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力培養(yǎng)選手勇于創(chuàng)新、理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)培養(yǎng)選手相互協(xié)調(diào)、團(tuán)結(jié)合作的精神給予選手高強(qiáng)度腦力勞動(dòng)中挑戰(zhàn)極限的體驗(yàn)成功參賽的要素