概率論 第二講 等可能概型

第二講

等可能概型一等可能概型的概述二古典概率三幾何概率等可能概型的概述一、定義：樣本空間中的每個樣本點在一次試驗后以相等的可能性出現(xiàn)，即等可能性。二、注意：搞清楚樣本空間，事件，基本事件的關系。

一.古典概率隨機事件發(fā)生的可能性大小常用區(qū)間[0，1]中的一個數(shù)值來刻劃，這個數(shù)值稱為概率，記為

p（A）。自然地規(guī)定P（Ω）=1，

P（φ）=0。

0≤p(A)≤1

（2）拋一枚勻稱的硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可能性相同。這兩個試驗的共同特點是：①每次試驗只有有限種可能的試驗結果，即樣本點總數(shù)有限。②每次試驗中各基本事件出現(xiàn)的可能性是相同的，即等可能性。

在現(xiàn)實問題中，有很大一類隨機現(xiàn)象具有一些共同的特征，可以直接計算出事件的概率。比如：（1）一盒燈泡100個，任取一個檢查其質量，則100個燈泡被抽取的機會相同。

在概率論中，把具有上述兩個特點的試驗叫做古典型試驗，它的數(shù)學模型稱為古典概型。在古典概型中，記n為樣本點總個數(shù)，如果事件A中包含nA個樣本點，（或稱有利于A的樣本點個數(shù)為nA

）那么規(guī)定

P（A）=nA/n

例1.盒中裝有5個球，三白兩紅，從中任取一個，問：取到白球的概率是多少？若從中任取兩個，問兩個球全是白球的概率是多少？（考慮50個球的情形：計數(shù)原理和排列組合）解：

P=3/5

P2=3*2/(5*4)=3/101.從n個元素中任取k個，有

種不同的結果；2.一件事情分幾個步驟完成，則互相之間用乘法，一件事情有若干種方法來完成，則互相之間用加法，這就是所謂的計數(shù)原理。

例2.一個盒子中裝有10個晶體管，其中3個是不合格品。從這個盒子中依次隨機地取2個，在有放回與無放回抽樣的二種情況下求2個中恰有1個是不合格品的概率。注意抽樣的區(qū)別：有放回抽樣和無放回抽樣。有放回的情況下

p=(7×3+3×7)/102=0.42在無放回的情況下

p=(7×3+3×7)/(10×9)=0.47

例3.兩封信隨機地向四個郵筒投寄，求A∶第二個郵筒恰好被投入一封信的概率，B∶兩封信在同一郵筒的概率。解：

P(A)=(3+3)/42=3/8

P(B)=4/42=1/4在古典概型中顯然有

P(ā)=(n-nA)/n=1-p(A)

例4，擲兩顆骰子，試求出現(xiàn)的點數(shù)之和小于10的概率。解：樣本空間共含36個樣本點，點數(shù)之和大于等于10含樣本點(5，5），（4，6），（6，4），（5，6），（6，5），（6，6）共6個。

P=1-6/36=5/6例5，某城市的電話號碼升為6位數(shù)，且第一位為6或8。求（1）隨機抽取的一個電話號碼為不重復的六位數(shù)的概率；（2）隨機抽取的電話號碼末尾數(shù)是8的概率。

解（1）（2）6888例6（女士品茶問題）一位常喝奶茶的女士聲稱她能辨別出沖好的奶茶是先放茶還是先放奶，并且她在10次試驗中都正確地辨別了出來，問她的說法是否可信？每次試驗只有兩個結果，或者先放茶后放奶，或者先放奶后放茶，十次試驗共有不同結果。而10次都正確的結果只有一種！解：假設該女士的說法不可信，即該女士純粹是猜測，則每次試驗的兩個可能結果：茶＋牛奶或牛奶＋茶是等可能的．Ａ＝｛該女士在１０次試驗中都正確的辨別出來｝，則

p（Ａ）=1/210=0.0009766

這是一個小概率事件．概率論中“實際推斷原理”:一個小概率事件在一次試驗中實際上是不會發(fā)生的．因此按“實際推斷原理”事件Ａ實際不會發(fā)生，這與實際試驗結果相矛盾，因此假設“女士純粹是猜測”不成立，有理由斷言該女士的說法是可信的．例7（抽獎券問題）某超市有獎銷售，投放n張獎券只有一張有獎。每位顧客可抽一張。求第k位顧客中獎的概率。（無放回抽樣）（1≤k≤n）二.幾何概率

例：在一個勻稱陀螺的圓周上均勻的刻上區(qū)間[0，3）上的各數(shù)字，旋轉該陀螺，考察陀螺停下時接觸地面的點的刻度恰好為2的概率。

以等可能性為基礎，借助于幾何上的度量來合理地規(guī)定的概率，稱為幾何概率。一般地，設樣本空間是某個區(qū)域Ω（直線、平面或空間）每個樣本點等可能地出現(xiàn)，規(guī)定事件A的概率為

P（A）=m（A）/m（Ω）這里m（·）分別表示長度、面積或體積。

例8，在半圓區(qū)域0≤y≤內隨機地投入一點，求該點與原點的連線與x軸的夾角不超過的概率.

02a

例9．在單位圓O的一條