肇慶市2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測試題理含解析

廣東省肇慶市2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測試題理含解析廣東省肇慶市2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測試題理含解析PAGE30-廣東省肇慶市2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測試題理含解析廣東省肇慶市2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測試題理(含解析)(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)注意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)填寫在答題卡上。2。回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3。考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1。已知集合。，則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域，化簡集合，按照交集定義，即可求解?！驹斀狻?，.

故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,涉及到函數(shù)的定義域與值域，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算,化簡求得,再求得【詳解】，故。故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題。3。已知,，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B。C. D.【答案】A【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和正切函數(shù)的性質(zhì)可得,即可得解?！驹斀狻坑蓪?shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，,由正切函數(shù)的性質(zhì)得,故。故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查了正切函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。4。已知，則“"是“是直角三角形”的（）A。充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C。充分必要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】D【解析】分析】若，則或；若,則；由充分條件和必要條件的概念即可得解?！驹斀狻咳?，則或，不能推出是直角三角形；若，則,所以是直角三角形不能推出；所以“"是“是直角三角形”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和充分條件、必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題.5。若過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（不重合），則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值是（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】拋物線為，焦點(diǎn)為，設(shè)，，，由有，所以，，故，選D。6.《聊齋志異》中有：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù)"。在數(shù)學(xué)中，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則m，n滿足的關(guān)系式為（)A.n=2m-1 B。n=2(m-1) C.n=(m—1)2 D。n=m2—1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不完全歸納法，以及根式中的分子和分母的關(guān)系，可得結(jié)果。【詳解】由題可知：，,則可歸納：，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查不完全歸納法的應(yīng)用，仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，對選擇題以及填空題，?？刹捎锰厥庵狄约安煌耆珰w納法解決問題,化繁為簡,屬基礎(chǔ)題.7。已知函數(shù)，若是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是(）A。 B.C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再利用二次求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)以及對應(yīng)區(qū)間導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，即可判斷選擇。【詳解】因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí),；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.8。執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的結(jié)果是16,則空白框中應(yīng)填（）A.， B.，C。， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)依次代入檢驗(yàn)進(jìn)行求解判斷即可【詳解】A:若空白處是，時(shí),成立，成立,所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合題意；B:若空白處是，時(shí),成立，成立,所以成立，所以成立，所以不成立,故，不符合題意;C：若空白處是，時(shí)，成立，成立，所以成立,所以成立，所以不成立，故，不符合題意;D：若空白處是,時(shí)，成立,成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，符合題意。故選：D【點(diǎn)睛】根據(jù)程序框圖的輸出結(jié)果補(bǔ)全程序框圖，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9。已知函數(shù)(，）的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的最小正周期為,為函數(shù)的一條對稱軸，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用輔助角公式化簡函數(shù)為，再由平移變換得到，然后根據(jù)的最小正周期為，為的一條對稱軸,求得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解?！驹斀狻坑深}意知，，所以,因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，解得，所以，因?yàn)闉榈囊粭l對稱軸，則（）,即（)，因?yàn)?，可得，所以函?shù)，令()，解得，（），當(dāng)時(shí)，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，三角函數(shù)圖象變換,三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。10。分子間作用力只存在于分子與分子之間或惰性氣體原子間的作用力,在一定條件下兩個(gè)原子接近,則彼此因靜電作用產(chǎn)生極化，從而導(dǎo)致有相互作用力,稱范德瓦爾斯相互作用。今有兩個(gè)惰性氣體原子，原子核正電荷的電荷量為，這兩個(gè)相距的惰性氣體原子組成體系的能量中有靜電相互作用能.其計(jì)算式子為，其中，為靜電常量,、分別表示兩個(gè)原子的負(fù)電中心相對各自原子核的位移.已知,,,且，則的近似值為（)A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】將，，代入，結(jié)合化簡計(jì)算可得出的近似值.【詳解】.故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查的近似計(jì)算，充分理解題中的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.11。過雙曲線的右焦點(diǎn)的直線在第一、第四象限交兩漸近線分別于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn),若內(nèi)切圓的半徑為，則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】作出圖形，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則在軸上，過點(diǎn)分別作于，于，可知四邊形為正方形，可求得、，進(jìn)而求得，然后利用公式可求得該雙曲線的離心率的值?！驹斀狻咳鐖D，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則在軸上，過點(diǎn)分別作于，于，由得四邊形為正方形，雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為,又，所以，由，得,所以，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，涉及相似三角形的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12.設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A。 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則恰有兩個(gè)不同的解，求出可確定是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,令通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿足的條件?！驹斀狻坑深}意知函數(shù)的定義域?yàn)?。因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的解，顯然是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定，且這個(gè)解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當(dāng)且時(shí)，恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.己知，，且這兩個(gè)向量的夾角的余弦值為，則________.【答案】1【解析】【分析】直接根據(jù)向量夾角公式計(jì)算得到答案。【詳解】兩個(gè)向量的夾角的余弦值為,故,即，解得或，驗(yàn)證不成立。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量夾角求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14。若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是______.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，得出不等式對任意的恒成立，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再由幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在恒成立，在恒成立，,又因?yàn)椋?所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù),考查了參變量分離法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是____________.（用數(shù)字作答）【答案】300【解析】【分析】求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)和含的項(xiàng)，分別與和相乘，即可求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，,令，，展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，含項(xiàng)為，的展開式中項(xiàng)系數(shù)為.故答案為:300.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式定理，熟練掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。16.已知四棱錐中，底面ABCD是梯形，且，，，,,，AD的中點(diǎn)為E,則四棱錐外接球的表面積為________.【答案】【解析】【分析】由已知得，是直角梯形，，,那么DEBC是正方形，由平面，可知平面，可解得PB，可知是等邊三角形，外接球的球心到四點(diǎn)距離相等,設(shè)在平面的投影為，根據(jù)勾股定理可知點(diǎn)H是對角線的交點(diǎn)，在中可得，過作于，再根據(jù)，可求出，由外接球面積公式即得。【詳解】由題得,，，又，四邊形是正方形，，平面，又,平面,所以。則有,即，解得.球心到四點(diǎn)距離相等，設(shè)在平面的投影為，那么，，，，設(shè)，則有,，，，又,。是正方形，平面上且到四點(diǎn)距離相等的點(diǎn)即為正方形的對稱中心，即對角線的交點(diǎn)，則.。過作于，平面，，平面，即是點(diǎn)在平面的投影。是等邊三角形，,，，與聯(lián)立,解得，則。故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求空間幾何體的外接球的表面積，是?？碱}型，解題關(guān)鍵是建立球心和四棱錐頂點(diǎn)的聯(lián)系。三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且。(Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ)【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)由(1）可得,再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和。試題解析：（1)由題意知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以．設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得,所以．（2）由（1)知，又，得，,兩式作差，得所以．考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和?！疽族e(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.18.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qiandu）;陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈（bienao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中，。(1)求證:四棱錐為陽馬；(2）若，當(dāng)鱉膈體積最大時(shí)，求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】【分析】(1)按照題目定義，只要證明面即可,而由,即可證出面；（2）先根據(jù)基本不等式求出當(dāng)時(shí)，鱉膈體積最大，然后建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法即可求出銳二面角的余弦值．【詳解】（1）∵底面，面∴又，∴面，又四邊形為矩形∴四棱錐為陽馬．(2）∵，，∴又∵底面，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值∵,底面∴以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,，，，設(shè)面一個(gè)法向量由得同理得∴二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,以及向量法求二面角的余弦值，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題．19.設(shè)橢圓:的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和是4.(1)求橢圓的方程；（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若,求四邊形面積的最大值?！敬鸢浮浚?);(2）6.【解析】【分析】（1)首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)得出，最后通過計(jì)算出的值并寫出橢圓方程；(2)首先可以設(shè)、，然后根據(jù)直線過點(diǎn)設(shè)出直線方程，再然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理得出以及，再然后結(jié)合題意得出四邊形是平行四邊形以及其面積，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果。【詳解】（1)因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和是4，所以,，因?yàn)?，所?所以橢圓C方程為。(2)設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去可得：，化簡整理得，其中，，，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)平面四邊形的面積為,則,設(shè),則，所以，因?yàn)?，所以?所以四邊形面積的最大值為6。【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的求法以及直線與橢圓相交的相關(guān)問題,可利用橢圓的、、三者之間的聯(lián)系求橢圓方程,考查韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用,考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是難題。20.在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績后得到如下列聯(lián)表：分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)合計(jì)45（1)請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示）；②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差。(下面的臨界值表供參考）0。100。050。0250.0100.0050.0012.7063.8415。0246.6357.87910。828(參考公式其中）【答案】(1）填表見解析;有99％的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)"(2)①詳見解析②期望;方差【解析】【分析】（1）完成列聯(lián)表，代入數(shù)據(jù)即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值,進(jìn)而得到概率，列出分布列;根據(jù)分析知,計(jì)算出期望與方差.【詳解】（1）分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)15419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)101626合計(jì)252045有99％的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”.（2）①由分層抽樣知，需要從不足120分的學(xué)生中抽取人，的可能取值為0，1，2，3,4,，，，，所以，的分布列：②從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,此人每周上線時(shí)間不少于5小時(shí)的概率為,設(shè)從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為,則，故，.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題。21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2）求函數(shù)在上的極值；(3）設(shè)函數(shù),若，且對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立（e是自然對數(shù)的底數(shù))，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【答案】（1）；(2）當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí),的極小值為，無極大值；（3）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）代入,求導(dǎo),求出斜率和切點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可寫出直線方程;（2）求導(dǎo)，分類討論求出函數(shù)在上單調(diào)性,列表，找到極值點(diǎn)，進(jìn)而可得極值；（3）對任意的，恒成立，先通過估算實(shí)數(shù)a的取值范圍，再分和討論,求導(dǎo)，求出的最大值，列不等式求解即可?！驹斀狻?1）當(dāng)時(shí),，，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即;（2），.①當(dāng)時(shí),，在上單調(diào)增，所以無極值；②當(dāng)時(shí)，令，得，列表如下：x0極小值所以的極小值為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為,無極大值；（3)因?yàn)?由題意，對任意的,恒成立，所以，解得，又，所以。①當(dāng)時(shí),因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).由（2)知，在上單調(diào)增,所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以在上單調(diào)增，則，解得，此時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，由(2）知，在上單調(diào)遞增,且，又，所以存在，且，使得，即，得。所以的解為和a，列表如下:xa00極大值極小值所以，，即,又，所以恒成立，此時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查