2023年初一數(shù)學(xué)絕對值知識點與經(jīng)典例題

絕對值的性質(zhì)及化簡【絕對值的幾何意義】一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表達數(shù)的點與原點的距離.數(shù)的絕對值記作.（距離具有非負性）【絕對值的代數(shù)意義】一個正數(shù)的絕對值是它自身;一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.注意:①取絕對值也是一種運算,運算符號是“|｜”,求一個數(shù)的絕對值,就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號．②絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它自身;一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是．③絕對值具有非負性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0.④任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：符號是負號，絕對值是.【求字母的絕對值】①②③運用絕對值比較兩個負有理數(shù)的大小:兩個負數(shù),絕對值大的反而小．絕對值非負性:|a|≥０假如若干個非負數(shù)的和為0,那么這若干個非負數(shù)都必為０．例如:若，則,，【絕對值的其它重要性質(zhì)】（1)任何一個數(shù)的絕對值都不小于這個數(shù),也不小于這個數(shù)的相反數(shù)，即,且；(2）若，則或;(3);；(4);（５)||a|-｜b||≤｜a±b｜≤|a|+｜b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表達這個數(shù)的點離開原點的距離.的幾何意義：在數(shù)軸上,表達數(shù).相應(yīng)數(shù)軸上兩點間的距離.【去絕對值符號】基本環(huán)節(jié)，找零點,分區(qū)間，定正負,去符號?！窘^對值不等式】(1）解絕對值不等式必須設(shè)法化去式中的絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一般代數(shù)式類型來解；（2）證明絕對值不等式重要有兩種方法:Ａ)去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一般的不等式證明：換元法、討論法、平方法;B）運用不等式:|a|-｜b|≦|a+b|≦｜ａ|＋|ｂ|,用這個方法要對絕對值內(nèi)的式子進行分拆組合、添項減項、使要證的式子與已知的式子聯(lián)系起來?！窘^對值必考題型】例1:已知｜x-2|+|y-３|＝0，求x+y的值。解：由絕對值的非負性可知x－２＝0,y-3＝0；即：x=2,y=3;所以ｘ+ｙ=５判斷必知點：①相反數(shù)等于它自身的是0②倒數(shù)等于它自身的是±1③絕對值等于它自身的是非負數(shù)【例題精講】(一)絕對值的非負性問題１.非負性:若有幾個非負數(shù)的和為0，那么這幾個非負數(shù)均為0.2．絕對值的非負性;若,則必有,，【例題】若，則?？偨Y(jié):若干非負數(shù)之和為0,。【鞏固】若,則【鞏固】先化簡，再求值:.其中、滿足．(二)絕對值的性質(zhì)【例1】若a＜0，則4a+7|a｜等于()A．1１aB.－11aC．-３aD．3a【例2】一個數(shù)與這個數(shù)的絕對值相等，那么這個數(shù)是（）A．１，0B．正數(shù)C．非正數(shù)D.非負數(shù)【例3】已知｜x｜=5，｜y|=２，且xｙ>0,則x－y的值等于(）A．7或-7Ｂ．7或3C．3或－3Ｄ．-7或-3【例4】若,則x是（）A.正數(shù)B.負數(shù)C.非負數(shù)Ｄ．非正數(shù)【例5】已知：a>0，b＜0,|a｜<|b|<1,那么以下判斷對的的是()Ａ.1-ｂ＞－b>1+a＞aB．1+a＞ａ＞1-b>-bC．1+a＞1-b＞a>-bD．1－b＞1+a>-b＞a【例6】已知ａ.b互為相反數(shù),且|a－b|=6，則|b-1|的值為(）A.２B.２或3C.4D.２或4【例7】a＜0,aｂ<0,計算|ｂ-a＋1｜-|ａ-ｂ-５|，結(jié)果為（）Ａ．6Ｂ．-4Ｃ．-２ａ＋2b+6D．2ａ-2b－6【例8】若|x+ｙ|=y-x，則有（)A.y>０，x＜０B．ｙ＜0，x>０C.y＜0,x＜0D．ｘ=0，y≥０或y＝０,x≤0【例9】已知：x＜0<z，xy＞0，且|y|＞｜z｜>|x｜，那么|x＋z|+｜y+ｚ|-|x－y|的值(）A．是正數(shù)B．是負數(shù)Ｃ．是零D.不能擬定符號【例10】給出下面說法:

(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等；?(2)一個數(shù)的絕對值等于自身,這個數(shù)不是負數(shù)；?(3)若|m|>m，則m＜０；?(4）若|ａ|＞|b|,則a>ｂ,其中對的的有（）A.（1)（2)（3）B．(1)（2）(４)C．(１)(３）（４)D.(2）(3)（４）【例11】已知ａ，b,c為三個有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的相應(yīng)位置如圖所示,則｜c-b|－|b-a|-｜a-c|=_________【鞏固】知a、b、c、d都是整數(shù)，且|ａ+b|+｜b+c|+｜c＋d|+|d＋a|=２,求｜a＋d｜的值?！纠?2】若x<-２，則｜1-|1+ｘ||＝______若|a|=-ａ,則｜ａ-１|-|ａ－2|=_＿______【例13】計算=.【例1４】若|ａ|+a=0,｜ａb|=ab,|c｜－c=0，化簡:|ｂ|－｜ａ+ｂ|－｜c-b｜+|ａ-c｜=________【例１5】已知數(shù)的大小關(guān)系如圖所示,則下列各式：①；②;③；④；⑤．其中對的的有．（請?zhí)顚懛枺眷柟獭恳阎?abc≠0,且M=,當(dāng)a,b，c取不同值時，M有____種不同也許．?當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時，Ｍ＝＿_＿_＿＿;當(dāng)a、b、c中有一個負數(shù)時,則M＝________;當(dāng)a、b、c中有2個負數(shù)時，則M＝_＿______;?當(dāng)ａ、b、c都是負數(shù)時，M=___＿___＿＿_.【鞏固】已知是非零整數(shù),且，求的值(三）絕對值相關(guān)化簡問題(零點分段法)零點分段法的一般環(huán)節(jié)：找零點→分區(qū)間→定符號→去絕對值符號．【例題】閱讀下列材料并解決相關(guān)問題:我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡具有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時,可令和，分別求得(稱分別為與的零點值)，在有理數(shù)范圍內(nèi),零點值和可將全體有理數(shù)提成不反復(fù)且不易漏掉的如下中情況:⑴當(dāng)時,原式⑵當(dāng)時，原式⑶當(dāng)時，原式綜上討論,原式(１)求出和的零點值(2）化簡代數(shù)式解:(1）|x＋2|和|x－4|的零點值分別為x=-２和x=4．

(2)當(dāng)ｘ<-２時,|x＋2|+｜ｘ-4｜＝－2x+2；

當(dāng)－2≤ｘ＜4時,|x＋２｜+｜ｘ-4|=６；

當(dāng)x≥4時，|x+2|+|x－４|＝2x-２．【鞏固】化簡1.2．的值3.．4.（1);變式5.已知的最小值是，的最大值為，求的值。(四)表達數(shù)軸上表達數(shù)、數(shù)的兩點間的距離．【例題】（距離問題）觀測下列每對數(shù)在數(shù)軸上的相應(yīng)點間的距離４與，３與5，與,與3．并回答下列各題:(１)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答:.(2)若數(shù)軸上的點A表達的數(shù)為x,點Ｂ表達的數(shù)為―1，則A與Ｂ兩點間的距離可以表達為.(3)結(jié)合數(shù)軸求得｜x-2|+|x＋3|的最小值為,取得最小值時x的取值范圍為.(4)滿足的的取值范圍為.（5)若的值為常數(shù)，試求的取值范圍.(五）、絕對值的最值問題例題1：1）當(dāng)x取何值時,|x-1|有最小值，這個最小值是多少？

２）當(dāng)x取何值時，|x-１|+3有最小值,這個最小值是多少?

3)當(dāng)ｘ取何值時,｜x-1|-3有最小值,這個最小值是多少？

4）當(dāng)ｘ取何值時,-3＋|x-１｜有最小值，這個最小值是多少？例題2：１)當(dāng)x取何值時,-|x-1|有最大值,這個最大值是多少?

２）當(dāng)x取何值時，-|x－１|+3有最大值，這個最大值是多少？

3)當(dāng)x取何值時,-｜x－1｜－3有最大值,這個最大值是多少？

4)當(dāng)ｘ取何值時，3-|ｘ-1｜有最大值,這個最大值是多少？若想很好的解決以上2個例題,我們需要知道如下知識點:、1）非負數(shù):0和正數(shù),有最小值是0２)非正數(shù):0和負數(shù),有最大值是03)任意有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即|a|≥０，則－|ａ｜≤04)x是任意有理數(shù)，m是常數(shù),則|x+m｜≥0,有最小值是0，-｜x+m|≤0有最大值是０(可以理解為x是任意有理數(shù),則x+a仍然是任意有理數(shù)，如|x+３｜≥0,－｜ｘ+3|≤０或者｜x-１|≥0，-｜x-１|≤０）5）ｘ是任意有理數(shù),m和n是常數(shù)，則|x+m|+ｎ≥n,有最小值是n

－|ｘ+m｜+n≤n,有最大值是n（可以理解為|ｘ+ｍ|+n是由|x+m|的值向右(n>０)或者向左（n<0)平移了｜n|個單位，為如|x-1｜≥0,則|ｘ-1|+3≥３，相稱于|ｘ－1｜的值整體向右平移了3個單位，｜ｘ-1｜≥0，有最小值是0,則|x-1|+3的最小值是3)總結(jié)：根據(jù)3）、4)、5）可以發(fā)現(xiàn)，總結(jié)：根據(jù)3）、4)、5）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)絕對值前面是“+”號時，代數(shù)式有最小值，有“-”號時，代數(shù)式有最大值.例題1：１)當(dāng)x取何值時，|x-1|有最小值，這個最小值是多少?

２)當(dāng)x取何值時，|x－1|+3有最小值，這個最小值是多少?

3)當(dāng)x取何值時，|ｘ－1｜－3有最小值,這個最小值是多少？

4)當(dāng)x取何值時,-3+|x-1|有最小值，這個最小值是多少？解：1）當(dāng)x－１=０時，即x＝1時，｜ｘ-1|有最小值是０

２）當(dāng)ｘ－1=0時，即ｘ=1時,|ｘ-1|+３有最小值是3

3)當(dāng)x-１=０時，即x=1時，|x－1｜-3有最小值是-３

4）此題可以將-3+|x-1|變形為|x-1|－３，即當(dāng)ｘ-１=0時,即x=1時,|x-1|－3

有最小值是－3例題2:1)當(dāng)x取何值時,-｜x-1｜有最大值,這個最大值是多少？

2)當(dāng)x取何值時，-｜ｘ-1|＋3有最大值，這個最大值是多少?

3）當(dāng)x取何值時,-|x-1｜-3有最大值，這個最大值是多少？

４)當(dāng)ｘ取何值時,３-|ｘ-1|有最大值，這個最大值是多少？解：1)當(dāng)x-1＝0時,即x=１時，-｜x-1|有最大值是０

2)當(dāng)ｘ-1=0時,即x=1時，－|ｘ-1|+３有最大值是３

3）當(dāng)ｘ-1=0時，即x=1時,－|x-1｜－３有最大值是-3

4）３－|x－１|可變形為-|x-1|＋3可知如２)問同樣，即：當(dāng)x-1=0時,即ｘ=１時,

-|x-1｜+３有最大值是3（同學(xué)們要學(xué)會變通哦)思考:若ｘ是任意有理數(shù),a和b是常數(shù),則１)|x+a|有最大（小）值?最大(小)值是多少？此時ｘ值是多少？２）|ｘ＋a|+b有最大(小)值?最大(小）值是多少?此時x值是多少?3)－|x+a|＋b有最大（?。┲?最大(?。┲凳嵌嗌?？此時x值是多少？例題3:求｜x+１|+|ｘ-2|的最小值，并求出此時ｘ的取值范圍分析：我們先回顧下化簡代數(shù)式|x+1｜+｜ｘ-2|的過程:可令x＋1=0和x-2＝0，得x＝－1和x=2(-1和２都是零點值)在數(shù)軸上找到-1和2的位置，發(fā)現(xiàn)-1和2將數(shù)軸分為5個部分1)

當(dāng)x＜-1時，ｘ+1<0，ｘ-2＜0,則|x+1|+|x－2｜＝-(x+1）-(ｘ-2)＝-ｘ-1-ｘ+2＝-２x+12)

當(dāng)x=－１時，x+1=０，x-2＝-3，則｜ｘ＋1|+｜x-2|=0+3=33)

當(dāng)-1＜x<2時，x+1>0,ｘ-２＜0，則｜x+1|+|ｘ-2｜＝x+1-(x-２)=x+1-x+２=34）

當(dāng)x=2時，x＋1=3,ｘ-2=0,則|x+1|+｜x-２｜=3+0＝３５）

當(dāng)x>2時，x＋1>0，x-2>0，則|x+１|+|ｘ－２|=x＋１+x-２＝2x－1我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)ｘ＜-1時，

|x+1|+|x-２|=－2x＋1>３當(dāng)-1≤x≤２時，｜ｘ+1|＋｜ｘ-2|=3當(dāng)ｘ>2時,|x+1|+|x-２|=2ｘ-1>3所以：可知｜x+1|+｜x-2|的最小值是３，此時：

-1≤ｘ≤2解:可令x+１=0和x－2=0，得x=-1和x=2(-１和2都是零點值)則當(dāng)-1≤x≤2時,|x+1|＋|ｘ-2｜的最小值是3評：若問代數(shù)式|x＋１｜+|x-2｜的最小值是多少?并求x的取值范圍?一般都出現(xiàn)填空題居多;若是化簡代數(shù)式｜ｘ+１|+|x-2|的常出現(xiàn)解答題中。所以，針對例題中的問題,同學(xué)們只需要最終記住先求零點值，x的取值范圍在這2個零點值之間,且包含2個零點值。例題4：求|x+11|+｜x-1２｜+|x+１３|的最小值,并求出此時x的值？分析：先回顧化簡代數(shù)式|x+１1|+|ｘ-12|＋|x＋１3|的過程

可令x+11＝０,x-12＝0,ｘ＋1３=0

得x=－11，x=12,x=－13（-13,-11,1２是本題零點值）1)

當(dāng)x<-１3時,x+11＜0,ｘ-12＜0，x+１3<0,則|x＋11|＋|x-12|+｜x+13|=-x-11-x+12-ｘ-13=-3x-122)

當(dāng)x=－１3時,x＋11=-2，x－12=-25,ｘ+13=0，則|ｘ＋11|+|x-１2|＋|ｘ＋13|=2+25+13=４０3)

當(dāng)-13＜x<-１1時，x+11<０，x-12＜0,x+１3>０,則|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11－x＋12+x+13=-x+１44）

當(dāng)x＝－11時，x+1１=0,x-1２=-23,x+13=２,則｜x+1１|+|x-12|+｜x+１3｜=0+23+2=２55)

當(dāng)-11<x<12時，ｘ+1１＞0，x-12<0，x＋１3>０,則|ｘ+１１|＋|x-12|+|ｘ+１３|=ｘ+1１－x+１2+x+13=ｘ＋3６6）

當(dāng)x=12時,，x＋１1=2３,ｘ-12=0，x+13=25,則|x+１1|+｜x-１2|＋|x+13|＝23+０+25=48當(dāng)x>1２時,x＋１1＞0，x-１２>０,x＋13>0,則｜x+１１|+｜x-12｜+|x+13｜=x+１1+x-12+ｘ+13＝3x+１2可知:當(dāng)x<-1３時，

｜x＋11|+｜x-1２|+|ｘ+13|＝-3x-12>２7當(dāng)x=－13時，

|ｘ+１1|+|ｘ-1２|+|x+１３｜=40當(dāng)-13<x＜-11時，｜ｘ＋11|+|x-１2｜＋|x＋1３｜=-ｘ+１4，2５<－x+14<27當(dāng)ｘ=－11時，

｜x＋11|＋｜x-１2|＋|ｘ+13|=2５當(dāng)-11＜x<12時，

｜ｘ+１1｜＋|x-1２|+｜x＋13｜=x+36

,

25＜x+36<4８當(dāng)x＝１2時

｜x+１1|+|x－12|+|x+1３|＝48當(dāng)x＞12時,

|x＋11｜+|x-１２|+｜x＋1３|＝3x+12＞48觀測發(fā)現(xiàn)代數(shù)式|ｘ＋11|+|x-1２|+|x＋1３|的最小值是２5,此時x=-１1解：可令ｘ+11＝0，x-1２=0,x+１3＝０

得ｘ=－11，ｘ=１2,x=-1３（-13，－11，12是本題零點值)將-1１,12，-１３從小到大排列為－13<-11<1２可知-11處在－13和12之間，所以當(dāng)x=-11時，｜x+11|+|x-1２|+｜x+13｜有最小值是２5。

評：先求零點值,把零點值大小排列,處在最中間的零點值即時代數(shù)式的值取最小值。

例題4:求代數(shù)式｜x-1|+|ｘ-2|+|x-3|+｜x-４|的最小值分析:回顧化簡過程如下令x-１=0，x－２=0,x－3=0,ｘ－4=0則零點值為x=１

,x=2,x=３,x=4（1）當(dāng)x＜１時，|x-1|＋|x－2｜＋|ｘ-3|+|ｘ-4｜＝-4x+10(2）當(dāng)1≤x＜2時,|ｘ－1｜+|x-2|+|x-3|+|ｘ-4|=－2x＋8（3）當(dāng)2≤ｘ＜３時，|ｘ-1|+｜x-2|+|x-３|+|x-４|=4（4)當(dāng)３≤x＜4時，|x－１|+|x-2|+|x-3｜+|x-４|=2x－2(5）當(dāng)x≥4時，|ｘ-1｜+|x-２|＋|ｘ－3|+|ｘ-４|=4ｘ-10根據(jù)x的范圍判斷出相應(yīng)代數(shù)式的范圍，在取所有范圍中最小的值,即可求出相應(yīng)的x的范圍或者取值解:根據(jù)絕對值的化簡過程可以得出當(dāng)x＜1時，|x-１|+|x-2|+|ｘ－3|+｜x-4|=－4x+10＞6當(dāng)1≤x＜2時，|x-1|＋|x-２|+|ｘ－３｜+｜x-４|=-2x+8

4<２x+8≤6當(dāng)2≤x＜3時,|x-1｜+|x-２|+｜ｘ-3|+|ｘ-4|=4當(dāng)3≤ｘ<４時，｜x-１|+|x-2|＋|x-3|＋|x-４｜=2ｘ－２

4＜2ｘ－2

＜６當(dāng)ｘ≥4時,|x-１|+｜x-2|+｜x－3|+|x-4｜=4x-1０≥６則可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的最小值是4，相應(yīng)的x取值范圍是2≤x≤３

歸檔總結(jié)：若具有奇數(shù)個絕對值，處在中間的零點值可以使代數(shù)式取最小值若具有偶數(shù)個絕對值,處在中間2個零點值之間的任意一個數(shù)(包含零點值)都可以使代數(shù)式取最小值

例題5:求|x+11｜+|ｘ-12|+|x+13|的最小值，并求出此時ｘ的值?分析:在數(shù)軸上表達出A點-１3,B點－１1,C點１２設(shè)點Ｄ表達數(shù)x則DＡ=｜ｘ+1３|

ＤＣ=｜ｘ+11|

DB=|x-１２|當(dāng)點C在點A左側(cè)如圖DＡ+DB＋DC=DA+DA＋AB+DＡ+AB＋BC=ＡC

?當(dāng)點A與點Ｄ重合時，ＤA＋DB+DＣ=AB+AＣ>ＡＣ當(dāng)點Ｄ在點AB之間時，如圖DA+DB+ＤC＝ＤA+DB+DB+ＢＣ>ＡC

當(dāng)點D與點Ｂ重合時，DＡ＋DB+DC=AB+AC=AC當(dāng)點D在ＢＣ之間如圖DA+DB＋DC=AB+BD+DB+DＣ=ＡC+BD>AＣHYPERLＩNK""

當(dāng)點D與點C重合時,DA＋DB+DC=AC+BC>AC當(dāng)點D在點C右側(cè)時DA＋DB＋ＤC=AＣ+CD＋BC+CD+CD＞AＣ綜上可知當(dāng)點Ｄ與點B重合時，最小值是ＡC=１２-（－13)=2５?解:令x+11=０

ｘ-12=0

|x＋13=０則ｘ＝-1１

x=12x=－13將－11

，１2，-13從小到大排練為-13＜－11＜12∴當(dāng)ｘ＝-11時,｜x+11|+｜x－1２｜+|x+1３｜的最小值是點A(－１３)與點C（12）之間的距離即AC＝1２-(-13）＝25【例題６】|ｘ-１|的最小值|x-1|+|x-２|的最小值｜x-1|+|x-2|+|x－3|的最小值｜x-１｜+|x-2|+|ｘ－3|+|x-4|的最小值|x-1｜＋|x－2｜+|x-3｜+|x-4|+｜x-5|的最小值|ｘ-1|+|x-２｜+|x-3|+|x－4|+|x－5|＋|x－６|的最小值|x-１｜+|x－2|+｜x-3|＋|x-4｜+|ｘ-5|+|x-６｜+|x-7|的最小值|x-1｜+|x-２|+|x－3|+|x－4|+|x-5|＋｜ｘ-6|+|ｘ-7|+|x-８|的最小值|ｘ-1|+|x-2|＋|x-3|+|x－４|+|ｘ-５|+|x-６|+|ｘ-７|＋|x－８｜+｜x-9|的最小值|ｘ-1|+|x-２｜+｜x-3|+|x-4|＋|x-5|+|x-6|+|ｘ-７｜+|x-８|＋｜x-9|+|x-1０|的最小值【解】：當(dāng)x=1時，｜x－1|的最小值是０當(dāng)1≤x≤2時，|x-1|+|x-２｜的最小值1當(dāng)x=２時，|ｘ-1|+|x-2|+|ｘ-3|的最小值2=2+0當(dāng)2≤x≤3時，｜x-1｜＋|x-２|+|ｘ-3|+|x-４|的最小值4＝３+1當(dāng)x=3時，|x-1|＋｜x-2｜+｜x-3|+｜ｘ-4|+|ｘ-5|的最小值6＝4＋2當(dāng)3≤x≤4時，|ｘ-1|+|x-2|＋｜x-3|+|x-4|＋|x-5|＋|ｘ－6|的最小值9=5+3+1當(dāng)x=4時，｜ｘ－1|+｜x-2|+|ｘ－3|+|x-4|+｜x－5|+｜x-6|+|ｘ－7｜的最小值12=6+4+2當(dāng)4≤x≤5時,|ｘ－1|+｜x-２|+|ｘ－３|+…+|ｘ-６｜+|x-7|+｜x－8｜的最小值16=7+5+3＋１當(dāng)x=５時，|x－1|+|ｘ-2｜+｜x－3｜+…＋|x-6|＋|x-7｜+|x-８｜＋|x-9｜的最小值20=8+6+4+2當(dāng)５≤x≤6時，|x-１|+｜ｘ－2|＋|ｘ-3｜+…+｜x-8|＋|x－9｜+|ｘ-１0|的最小值2５=9+7+5+3＋１【解法2】:捆綁法|ｘ-1｜+|ｘ－2|+｜x-3|+|x-４|+|x-5|＋｜x－6|+|x-７|+|x-8|＋｜x-9|+|x-10|=(|ｘ-1|+|x-10｜)＋(|ｘ－2+|x-９|）+（|x-3｜+|ｘ－8｜）＋(｜x-４｜+|x-7|)+（|x-５|+|x-6|)若|x－１|+｜x-10|的和最小,可知x在數(shù)1和數(shù)１0之間|x-2+|x-9|的和最小,可知數(shù)x在數(shù)2和數(shù)9之間｜ｘ-3|+|ｘ-８|的和最小，可知數(shù)x在數(shù)3和數(shù)8之間|x-4|+|ｘ-7｜的和最小,可知數(shù)ｘ在數(shù)４和數(shù)7之間|x-5｜+｜ｘ-６｜的和最小,可知數(shù)x在數(shù)5和數(shù)6之間∴若想滿足以上和都最小,數(shù)ｘ應(yīng)當(dāng)在數(shù)5和數(shù)６之間的任意一個數(shù)（含數(shù)５和數(shù)6)都可以?？偨Y(jié):若具有奇數(shù)個絕對值時,處在中間的零點值可以使代數(shù)式取最小值若具有偶數(shù)個絕對值時,處在中間2個零點值之間的任意一個數(shù)（包含零點值）都可以使代數(shù)式取最小值或者說將具有多個絕對值的代數(shù)式用捆綁法求最值也可以若想求出最小值可以求關(guān)鍵點即可求出【例題7】（1)已知|x|=3，求x的值（2）已知|x|≤3,求ｘ的取值范圍（3）已知|ｘ|＜3,求x的取值范圍(4)已知|x|≥3,求x的取值范圍（5）已知|ｘ|＞３,求x的取值范圍【分析】：絕對值的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)ｘ到原點的距離，（１)若|ｘ|=3,則x＝-3或ｘ=3(２)數(shù)軸上-３和3之間的任意一個數(shù)到原點的距離都小于3,若｜x|≤３，則-3≤x≤３（3)若｜x|<3,則-3＜x＜3(4）數(shù)軸上-3左側(cè)和3右側(cè)的任意一個數(shù)到原點的距離都大于3,若|x|≥3，則x≤-３或x≥3(5)若|ｘ|＞3，則ｘ＜-3或ｘ＞３【解】：（1）x=-３或x=３(2)-3≤x≤3(３）-3<x＜3（4)x≤－３或x≥3(５)x<-３或x＞3【例題8】(１）已知|x|≤3,則滿足條件的所有ｘ的整數(shù)值是多少?且所有整數(shù)的和是多少?（2）已知|x｜＜3,則滿足條件的x的所有整數(shù)值是多少?且所有整數(shù)的和是多少?【分析】：從-3到3之間的所有數(shù)的絕對值都≤3所以（1）整數(shù)值有-3，－２，-１,0,１,２,3；和為0

（2）整數(shù)值有－2，-1,０,１,2;和為0【解】:(1)∵|x|≤3

∴-3≤ｘ≤3

∵x為整數(shù)∴滿足條件的x值為：-3,-2，-１，０,1,2，3∴-3+-2＋-1+０+1+２+3=0(2)∵|x|＜3

∴-3<x<3

∵x為整數(shù)∴滿足條件的x值為：－3，-2,-1,０,1,2,3∴-3+-２+-1＋0+１＋2＋３=0【乘方最值問題】（1）當(dāng)a取何值時,代數(shù)式（ａ-3)2

有最小值，最小值是多少？(２)當(dāng)a取何值時,代數(shù)式

(a-3)2＋4有最小值,最小值是多少?(3)當(dāng)a取何值時，代數(shù)式（a-3)2－4有最小值，最小值是多少?(４)當(dāng)ａ取何值時,代數(shù)式-（a-3)2

有最大值，最大值是多少?(5)當(dāng)ａ取何值時，代數(shù)式-(a-3)2+4有最大值,最大值是多少?(6)當(dāng)a取何值時，代數(shù)式-(a-3）2-4有最大值,最大值是多少?(７）當(dāng)a取何值時，代數(shù)式４-(a－3）2有最大值,最大值是多少？分析：根據(jù)a是任意有理數(shù)時，ａ－3也是任意有理數(shù),則(a-３)2為非負數(shù)，即(a-3)2≥0，則-（a-３)2≤0可以進一步判斷出最值解:(1)當(dāng)a-3＝0,即a＝３時，(a-３)2有最小值是0

(２)當(dāng)a-3＝０,即a=3時,(ａ-3）2+4有最小值是４

(3）當(dāng)ａ-3＝０,即a=３時,（a-3)2-4有最小值是-4

(4)當(dāng)ａ-３=0,即a＝3時，-（a-3)2有最大值是４

（5）當(dāng)a-３=0，即a＝3時，-(ａ－3)2＋4有最大值是４

（6）當(dāng)a-３＝0，即a=3時,-（ａ－3）2-4有最大值是4

(7)4－（a－３)2可以變形為-(ａ-3）2+4，可知如(５)相同，即當(dāng)ａ-3=0,即a=3時,4－（ａ-３)2有最大值是４（這里要學(xué)會轉(zhuǎn)化和變通哦）

評:很好理解掌握ａ2即-a2的最值是解決本題的關(guān)鍵歸納總結(jié):若ｘ為未知數(shù),a,b為常數(shù)，則當(dāng)ｘ取何值時，代數(shù)式(ｘ＋a）2+b有最小值,最小值是多少當(dāng)x取何值時,代數(shù)式-(x＋a）2+b有最大值,最大值是多少－-－--－-----－---－－－－－------－－－---－----－------－-－－－－－--－-－---------－--－－--－----－-－----

【探究1】某公共汽車運營線路AB段上有A、Ｄ、C、B四個汽車站,如圖現(xiàn)在要在AB段上修建一個加油站M，為了使加油站選址合理，規(guī)定Ａ、B、C、D四個汽車站到加油站Ｍ的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最佳?探究：設(shè)點A、B、C、D、M均在數(shù)軸上，與之相應(yīng)的數(shù)為a、b、c、d、x,使M到A、Ｂ、Ｃ、D距離和最小。ＭＡ+ＭＢ＋MC＋ＭD=|x－a|+|x-b|+lx-cｌ+|x-d｜其中MA+MB=｜x-a|+|x-ｂ|,由絕對值的幾何意義知當(dāng)ａ≤x≤b時，MＡ+MB值最小，(汽車站A、B到M得距離和=AB)當(dāng)d≤x≤ｃ時，MC+MD值最小，（汽車站C、Ｄ到M得距離和=CD)綜上所述，當(dāng)d≤x≤c時，MA＋MB＋MC+MＤ的值最小,(要使A、Ｂ、Ｃ、D四個汽車站到加油站M的路程總和最小)即加油站M應(yīng)建在線段CD上。【探究２】假如某公共汽車運營線路上有A1,A2，A3

A4，A5五個汽車站(從左到右依次排列)，上述問題中加油站M建在何處最佳？探究：加油站M應(yīng)建在A３汽車站．【探究3】假如某公共汽車運營線路上有A1，Ａ2，Ａ3,…，Ａn共n個汽車站(從左到右依次排列),上述問題中加油站M建在何處最佳?探究：當(dāng)n為奇數(shù)時，加油站M應(yīng)建在汽車站處；當(dāng)n為偶數(shù)時,加油站M應(yīng)建在線段上。(即此兩站之間)【探究4】根據(jù)以上結(jié)論，求|ｘ－1|+|x-2｜+.．...+|ｘ-６１6|+｜ｘ-6１7|的最小值。探究:根據(jù)絕對值的幾何意義，就是在數(shù)軸上找出表達ｘ的點，使它到表達1、２、…、６17各點的距離之和最小。根據(jù)【探究3】的結(jié)論，當(dāng)x=309時，原式的值最小。最小值是|30９－1|＋|309-2|+…+|３０9-３08|+０+|3０9-3１0｜＋…+|309-61７|=308＋307+…+1+１+２+…＋3０8＝９51７２．---－--------------－－---－----－--－-------－------－--------－－－---－---－----－-----－-----【課后練習(xí)】1.(1)當(dāng)取何值時,有最小值?這個最小值是多少?(2)當(dāng)取何值時,有最大值？這個最大值是多少？(3）求的最小值。(４)求的最小值。2．已知，設(shè)，求Ｍ的最大值與最小值．3、若與互為相反數(shù),求的值。4.若與互為相反數(shù)，則ａ與ｂ的大小關(guān)系是（)．Ａ.a＞bB.a=ｂC.a<bD．a(chǎn)≥b５.運用數(shù)軸分析|x-２｜+|x+３|,可以看出，這個式子表達的是x到2的距離與ｘ到-3的距離之和，它表達兩條線段相加:⑴當(dāng)x>時,發(fā)現(xiàn),這兩條線段的和隨x的增大而越來越大；⑵當(dāng)x＜時,發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨x的減小而越來越大；⑶當(dāng)≤x≤時，發(fā)現(xiàn),無論x在這個范圍取何值，這兩條線段的和是一個定值,且比⑴、⑵情況下的值都小。因此,總結(jié)，|x-2｜+|x+3|有最小值,即等于到的距離。６.運用數(shù)軸分析|x+７|－|x-1|，這個式子表達的是x到-7的距離與x到1的距離之差它表達兩條線段相減：⑴當(dāng)x≤時,發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，這個差值是一個定值；⑵當(dāng)x≥時，發(fā)現(xiàn)，無論x取何值,這個差值是一個定值;⑶當(dāng)時,隨著增大,這個差值漸漸由負變正，在中點處是零。因此,總結(jié),式子|x+7|-｜x-1|當(dāng)ｘ時,有最大值；當(dāng)x時,有最小值;7．設(shè)，,則的值是(）．A．-3B.1C．3或-1D.-３或１８．設(shè)分別是一個三位數(shù)的百位、十位和個位數(shù)字,并且，則也許取得的最大值是.絕對值（零點分段法、化簡、最值）一、去絕對值符號的幾種常用方法解含絕對值不等式的基本思緒是去掉絕對值符號,使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式,而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關(guān)鍵。1運用定義法去掉絕對值符號根據(jù)實數(shù)含絕對值的意義，即||=,有||<;||＞２運用不等式的性質(zhì)去掉絕對值符號運用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化|｜<或||>(>0）來解，如|｜>(>0）可為>或＜-;||<可化為－<+<,再由此求出原不等式的解集。對于含絕對值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解，也可運用結(jié)論“≤｜｜≤≤≤或-≤≤-”來求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。3運用平方法去掉絕對值符號對于兩邊都具有“單項”絕對值的不等式,運用｜|=可在兩邊脫去絕對值符號來解，這樣解題要比按絕對值定義去討論脫去絕對值符號解題更為簡捷,解題時還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍,假如沒有明確不等式兩邊均為非負數(shù),需要進行分類討論，只有不等式兩邊均為非負數(shù)（式)時，才可以直接用兩邊平方去掉絕對值，特別是解含參數(shù)不等式時更必須注意這一點。4運用零點分段法去掉絕對值符號所謂零點分段法，是指：若數(shù),，……，分別使具有|-|，|－|，……,|-｜的代數(shù)式中相應(yīng)絕對值為零,稱,，……,為相應(yīng)絕對值的零點,零點,，……，將數(shù)軸分為+1段，運用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數(shù)式在各段上的簡化式,從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項等于零,得到的值作為討論的分區(qū)點,然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法,這種方法重要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,它可以把求解條理化、思緒直觀化。5運用數(shù)形結(jié)合去掉絕對值符號解絕對值不等式有時要運用數(shù)形結(jié)合，運用絕對值的幾何意義畫出數(shù)軸,將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點間的距離求解。數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復(fù)雜問題簡單化，此解法合用于或(為正常數(shù))類型不等式。對(或＜)，當(dāng)||≠|(zhì)｜時一般不用。二、如何化簡絕對值絕對值的知識是初中代數(shù)的重要內(nèi)容,在中考和各類競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，具有絕對值符號的數(shù)學(xué)問題又是學(xué)生碰到的難點之一，解決這類問題的方法通常是運用絕對值的意義,將絕對值符號化去，將問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的問題，擬定絕對值符號內(nèi)部分的正負,借以去掉絕對值符號的方法大體有三種類型。（一)、根據(jù)題設(shè)條件例1：設(shè)ｘ<-1,化簡2-｜2-｜x-2||的結(jié)果是（

)。（A）2-ｘ（B)２+x

（C)-２+ｘ

（D)-2－ｘ思緒分析：由ｘ<-1可知x－２<-3＜0可化去第一層絕對值符號，第二次絕對值符號待合并整理后再用同樣方法化去.解：2-｜2-｜x-2｜｜＝2-|2－(2－x)｜=2-|ｘ|=2－(－x)=2+x∴應(yīng)選（Ｂ）．歸納點評:只要知道絕對值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負或是零,就能根據(jù)絕對值意義順利去掉絕對值符號，這是解答這類問題的常規(guī)思緒．(二）、借助數(shù)軸例２:實數(shù)ａ、ｂ、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則代數(shù)式|a|－|a+b|+|ｃ-a|＋|b-c|的值等于()(Ａ）-ａ

（B）2a-2b

(Ｃ）2c-ａ

(D)ａ思緒分析:由數(shù)軸上容易看出b<ａ<0＜c，所以a+ｂ<c，ｃ-a<0，b-c<0，這就為去掉絕對值符號掃清了障礙．解：原式∴應(yīng)選（C）.歸納點評:這類題型是把已知條件標在數(shù)軸上，借助數(shù)軸提供的信息讓人去觀測，一定弄清：1．零點的左邊都是負數(shù)，右邊都是正數(shù)．2．右邊點表達的數(shù)總大于左邊點表達的數(shù).3.離原點遠的點的絕對值較大，牢記這幾個要點就能從容自如地解決問題了．（三)、采用零點分段討論法例3：化簡２｜x-２|-｜x+４|思緒分析:本類型的題既沒有條件限制，又沒有數(shù)軸信息，要對各種情況分類討論,可采用零點分段討論法，本例的難點在于ｘ－２，x+４的正負不能擬定,由于x是不斷變化的，所以它們?yōu)檎?、為負、為零都有也許,應(yīng)當(dāng)對各種情況—一討論．解：令x-2=0得零點:ｘ=2；令x＋4=0得零點:x=-4，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個部分①當(dāng)x≥2時,x-2≥０,x＋4>0,所以原式=２（x-2)-(x+4）=x-8;②當(dāng)-4≤ｘ<2時,x－2<0，x+４≥０,所以原式=－2（x-2)-(x+4)=-３x；③當(dāng)ｘ＜－4時，x-2＜0,x+4<０,所以原式=-2（x-2)＋（ｘ+４)=-ｘ＋8；歸納點評:雖然ｘ-2,x+4的正負不能擬定,但在某個具體的區(qū)段內(nèi)都是擬定的，這正是零點分段討論法的優(yōu)點,采用此法的一般環(huán)節(jié)是：1.求零點:分別令各絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為零，求出零點（不一定是兩個).２.分段：根據(jù)第一步求出的零點,將數(shù)軸上的點劃分為若干個區(qū)段，使在各區(qū)段內(nèi)每個絕對值符號內(nèi)的部分的正負可以擬定．3．在各區(qū)段內(nèi)分別考察問題．4．將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來,得到問題的答案.誤區(qū)點撥:千萬不要想當(dāng)然地把x，2y等都當(dāng)成正數(shù)或無根據(jù)地增長一些附加條件,以免得犯錯誤的結(jié)果．三、帶絕對值符號的運算

如何去掉絕對值符號？既是初中數(shù)學(xué)的一個重點,也是初中數(shù)學(xué)的一個難點。

(一）、要理解數(shù)a的絕對值的定義。數(shù)a的絕對值是這樣定義的，“在數(shù)軸上,表達數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)ａ的絕對值。”應(yīng)理解，數(shù)ａ的絕對值所表達的是一段距離，那么,不管數(shù)a自身是正數(shù)還是負數(shù),它的絕對值都應(yīng)當(dāng)是一個非負數(shù)。

(二)、要弄清楚如何去求數(shù)ａ的絕對值。從數(shù)a的絕對值的定義可知，一個正數(shù)的絕對值肯定是它的自身,一個負數(shù)的絕對值必然是它的相反數(shù),零的絕對值就是零。重點理解的是,當(dāng)a是一個負數(shù)時，如何去表達a的相反數(shù)（可表達為“-a”）,以及絕對值符號的雙重作用（一是非負的作用,二是括號的作用)。（三)、掌握初中數(shù)學(xué)常見去掉絕對值符號的幾種題型。1、對于形如︱a︱的一類問題

只要根據(jù)絕對值的3個性質(zhì)，判斷出ａ的3種情況,便能快速去掉絕對值符號。?當(dāng)a＞0時，︱a︱=a(性質(zhì)1：正數(shù)的絕對值是它自身);

當(dāng)a=0時,︱a︱=０(性質(zhì)２:０的絕對值是0);

當(dāng)a<0時;︱a︱＝–a(性質(zhì)3:負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)）。2、對于形如︱a+ｂ︱的一類問題一方面要把a+b看作是一個整體，再判斷ａ+b的３種情況,根據(jù)絕對值的3個性質(zhì),便能快速去掉絕對值符號進行化簡。當(dāng)a＋b>0時，︱a+ｂ︱=(a+b)=a+b(性質(zhì)1:正數(shù)的絕對值是它自身);當(dāng)a+b=0時,︱a+b︱=（a＋b)＝0（性質(zhì)2：0的絕對值是0）;當(dāng)a+b<0時,︱a+b︱=–（a+ｂ)＝–a-b(性質(zhì)3：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)）。3、對于形如︱ａ－b︱的一類問題同樣，仍然要把a-b看作一個整體，判斷出a－b的3種情況,根據(jù)絕對值的３個性質(zhì),去掉絕對值符號進行化簡。但在去括號時最容易出現(xiàn)錯誤。如何快速去掉絕對值符號,條件非常簡樸,只要你能判斷出a與ｂ的大小即可（不管正負）。由于︱大－小︱=︱小-大︱＝大-小，所以當(dāng)a>b時，︱ａ－ｂ︱=（ａ-b)=ａ－b,︱ｂ-a︱=(ａ－b）=a－ｂ?？谠E：無論是大減小，還是小減大，去掉絕對值，都是大減小。４、對于數(shù)軸型的一類問題，根據(jù)3的口訣來化簡,更快捷有效。如︱ａ-b︱的一類問題，只要判斷出a在b的右邊(不管正負)，便可得到︱a-b︱=（a-b)=a－b,︱b-a︱=（a-b）=ａ-b。5、對于絕對值符號前有正、負號的運算非常簡樸，去掉絕對值符號的同時，不要忘掉打括號。前面是正號的無所謂,假如是負號，忘掉打括號就慘了，差之毫厘失之千里也!6、對于絕對值號里有三個數(shù)或者三個以上數(shù)的運算萬變不離其宗,還是把絕對值號里的式子當(dāng)作一個整體，把它與0比較,大于０直接去絕對值號，小于０的整體前面加負號。四、去絕對值化簡專題練習(xí)(1）設(shè)x<-1化簡2-｜２-｜x-2||的結(jié)果是(

)。（A)2－x（B)２+x

(C）-2+x

(D）-２－x(2)實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則代數(shù)式|a|-|ａ+ｂ｜+|ｃ-a｜+｜b－c｜的值等于（)（A）－a

（Ｂ）2a－2b

(Ｃ)2c－a

(Ｄ)a(３）已知x≥2，化簡2｜ｘ-2|-|x＋４|的結(jié)果是x-8。(４)已知x<-4,化簡2|x-2|－|ｘ+4|的結(jié)果是－x＋8。(5)已知-４≤x＜２，化簡2|x-２|-｜ｘ+4|的結(jié)果是-3x。（６)已知a、ｂ、c、d滿足a<-1＜b＜０<c<1<d.且|a+１|＝｜b+1|,|1-c|＝|1-d|,那么a＋ｂ+c+d=0(提醒：可借助數(shù)軸完畢)（7)若|－a｜>-a,則有(

A

）。（Ａ)ａ>0

（B)ａ<0

(C）ａ＜-1

(D）-１<ａ<0(8）有理數(shù)ａ、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,則式子|ａ|＋|ｂ|+|ａ+b|+｜ｂ-ｃ|化簡結(jié)果為(

C

)．(Ａ）2a+3ｂ-ｃ

（B)3ｂ-c

(C)b+c

（Ｄ）c－b（９)有理數(shù)a、ｂ在數(shù)軸上的相應(yīng)點如圖所示,那么下列四個式子,a+b,ｂ-2a，|a-b|,|ａ|-|b｜中負數(shù)的個數(shù)是（Ｂ

)．（A)0

（B）１

(C)2

（D)3(1０)化簡｜x+4|+２|ｘ-2|=