控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1控制系統(tǒng)微分方程的編寫

2.2傳遞函數(shù)

2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

2.4自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.5信號流圖

2.6Matlab應(yīng)用第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1系統(tǒng)示意圖系統(tǒng)框圖Remember恒溫箱自動控制系統(tǒng)?數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)2系統(tǒng)框圖系統(tǒng)構(gòu)成的要點Back

t

u2

u

ua

n

v

u

t系統(tǒng)是否能正常地工作，取決各個物理量之間相互作用與相互制約的關(guān)系。物理量的變換，物理量之間的相互關(guān)系信號傳遞體現(xiàn)為能量傳遞（放大、轉(zhuǎn)化、儲存）由動態(tài)到最后的平衡狀態(tài)--穩(wěn)定運動由若干個元件相互配合起來就構(gòu)成一個完整的控制系統(tǒng)。31.定義：

數(shù)學(xué)模型是指出系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間動態(tài)關(guān)系的表達式。數(shù)學(xué)模型又分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型。靜態(tài)模型反映系統(tǒng)在恒定載荷或緩變作用下或在系統(tǒng)平衡狀態(tài)下的特性，現(xiàn)時輸出僅由其現(xiàn)時輸入所決定，一般以代數(shù)公式描述。動態(tài)模型反映系統(tǒng)在迅變載荷或在系統(tǒng)不平衡狀態(tài)下的特性，現(xiàn)時輸出還由受其以前輸入的歷史的影響，一般以微分方程或差分方程描述。在控制理論或控制工程中，一般關(guān)心的是系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此，往往需要采用動態(tài)數(shù)學(xué)模型。例:4

2.建立數(shù)學(xué)模型的目的

建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運動規(guī)律。3.建模方法5

微分方程（或差分方程）傳遞函數(shù)（或結(jié)構(gòu)圖）頻率特性狀態(tài)空間表達式（或狀態(tài)模型）

5.由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性能指標的主要途徑求解觀察線性微分方程性能指標傳遞函數(shù)時間響應(yīng)

頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計算傅氏變換S=jω頻率特性4.常用數(shù)學(xué)模型6Back6.建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)微分方程（連續(xù)系統(tǒng)）機械運動:牛頓定理、能量守恒定理電學(xué)： 歐姆定理、基爾霍夫定律熱學(xué)： 傳熱定理、熱平衡定律

數(shù)學(xué)模型的準確性和簡化差分方程（離散系統(tǒng)）線性與非線性分布性與集中性參數(shù)時變性7Back機械運動的實質(zhì)：牛頓定理、能量守恒定理阻尼

B質(zhì)量

M彈簧

K7.機械運動系統(tǒng)的三要素8Back8.電氣系統(tǒng)三元件電阻電容電感電學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律。9分析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟：分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定待研究系統(tǒng)的輸入量和輸出量。將系統(tǒng)劃分為單向環(huán)節(jié)，并確定各個環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量。（所謂單向環(huán)節(jié)是指其后面的環(huán)節(jié)無負載效應(yīng)，即后面環(huán)節(jié)存在與否對當(dāng)前環(huán)節(jié)的動態(tài)特性沒有影響）根據(jù)支配系統(tǒng)動態(tài)特性的規(guī)律，從系統(tǒng)的輸入端開始，依次列寫組成系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的運動方程式，組成聯(lián)立方程組。2.1控制系統(tǒng)微分方程的編寫2.1.1線性元件的微分方程10對聯(lián)立方程組進行簡化、線性化和增量化，并消去中間變量，得到只包含系統(tǒng)輸入量和輸出量的方程式，即系統(tǒng)的輸出模型。將該方程式化為標準形式。即將與輸入量有關(guān)的各項放在方程的右邊，而與輸出量有關(guān)的各項放在方程的左邊，并將各導(dǎo)數(shù)項按降冪排列。11R-L-C串聯(lián)電路示意圖由電阻R、電感L、電容C組成的R-L-C電路，輸入量為ur（t），輸出量為uc（t），求該電路的微分方程（數(shù)學(xué)模型）12基本的電工學(xué)規(guī)律電阻上的電壓和電流的關(guān)系（歐姆定律）電感上的電壓和電流的關(guān)系電容上的電壓和電流的關(guān)系基爾霍夫電壓定律（回路電壓定律）基爾霍夫電流定律（節(jié)點電流定律）13R-L-C串聯(lián)電路的數(shù)學(xué)模型根據(jù)基爾霍夫定律：消去中間變量：此即R-L-C電路的數(shù)學(xué)模型（輸入－輸出模型），它描述了輸入ur（t）和輸出uC（t）之間的動態(tài)關(guān)系。14電工電子系統(tǒng)的特點在電工電子系統(tǒng)中，通常研究電壓與電流之間的因果關(guān)系。組成電工電子系統(tǒng)的基本元件有：電阻、電感、電容和運算放大器等。電阻將電能轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉，電感通過磁場儲能，電容通過電場儲能，運算放大器則通過與電阻、電容、電感等組成不同的電路拓撲，實現(xiàn)對電壓和電流的變換。

15機械平移系統(tǒng)示意圖由彈簧－質(zhì)量－阻尼器組成的機械平移系統(tǒng)，外力f（t）為輸入信號，位移y（t）為輸出信號，列寫其運動方程式。k－彈簧的彈性系數(shù)；m－運動部件的質(zhì)量；－阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。16機械平移系統(tǒng)的基本關(guān)系假設(shè)彈簧和阻尼器運動部分的質(zhì)量忽略不計，運動部件的質(zhì)量是集中參數(shù)。則運動部件產(chǎn)生的慣性力為：設(shè)彈簧的變形在彈性范圍內(nèi)，則彈性力為：阻尼器的阻尼力為：17機械平移系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型根據(jù)牛頓定律： 可得此即機械平移系統(tǒng)以外力f（t）為輸入信號，位移y（t）為輸出信號的運動方程式，即數(shù)學(xué)模型18機械平移系統(tǒng)的特點在機械系統(tǒng)中，通常研究力（或轉(zhuǎn)矩）與位移（或角位移）的因果關(guān)系。組成機械系統(tǒng)的基本元件有：彈簧（或彈性軸）、阻尼器和運動部件。阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦阻力裝置，所產(chǎn)生的阻力與運動速度成正比。阻尼器不儲存能量，它將動能轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉。

19相似系統(tǒng)（1）電工系統(tǒng)和機械平移系統(tǒng)雖然是不同的物理系統(tǒng)，但它們的微分方程卻具有相同的形式，稱為相似系統(tǒng)。20相似系統(tǒng)（2）相似系統(tǒng)的動態(tài)特性也相似，因此可以通過研究電路系統(tǒng)的動態(tài)特性研究機械系統(tǒng)的動態(tài)特性。由于電工電子電路具有易于實現(xiàn)和變換結(jié)構(gòu)等優(yōu)點，因此常采用電工電子電路來模擬其它實際系統(tǒng)，這種方法稱為電子模擬技術(shù)。在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，通過數(shù)字計算機求解系統(tǒng)的微分方程（或狀態(tài)方程）來研究實際系統(tǒng)的動態(tài)特性，稱為計算機仿真技術(shù)。21恒定磁場他激直流電動機示意圖u（t）－電樞電壓，為控制輸入；ml（t）－作用在電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩，為擾動輸入；（t）－電動機的轉(zhuǎn)角，為輸出量。假設(shè)電機軸上總轉(zhuǎn)動慣量J是常數(shù)，各種機械轉(zhuǎn)矩全部歸并到負載轉(zhuǎn)矩中，傳輸軸是剛性軸，電動機電樞電路的電阻、電感全部歸并到電樞總電阻R、電感L中。22恒定磁場他激直流電動機的基本關(guān)系根據(jù)基爾霍夫定律、牛頓定律、直流電機特性：

R，L－電樞回路總電阻和總電感，，H；

i－電樞電流，A； e－電動機反電勢，V；

u－電樞電壓，V； Ce－電勢系數(shù)，V.s/rad；

J－電動機軸上總轉(zhuǎn)動慣量，kg.m2；

m，ml－電磁轉(zhuǎn)矩、負載轉(zhuǎn)矩，N.m；

Cm－轉(zhuǎn)矩系數(shù)，N.m/A。23恒定磁場他激直流電動機數(shù)學(xué)模型化簡

24恒定磁場他激直流電動機數(shù)學(xué)模型化簡

25恒定磁場他激直流電動機的數(shù)學(xué)模型（1）方程聯(lián)立求解，消去中間變量i，e，m：－電動機的機電時間常數(shù)，s；－電動機的電磁時間常數(shù)，s；－電樞電壓作用系數(shù)，rad/(V.s)

－負載轉(zhuǎn)矩作用系數(shù)，rad/(N.m.s)。Ce－電勢系數(shù)，V.s/rad；Cm－轉(zhuǎn)矩系數(shù)，N.m/A。26恒定磁場他激直流電動機的數(shù)學(xué)模型（2）若系統(tǒng)的輸出量為轉(zhuǎn)速n（r/min），：則不同物理系統(tǒng)可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型；同一系統(tǒng)如果所選的輸入量、輸出量不同時，數(shù)學(xué)模型也會不同。27工程實踐中遇到的系統(tǒng)和元件的輸入－輸出特性或多或少存在著非線性。例如：放大器在大信號輸入時輸出出現(xiàn)飽和；磁化曲線有飽和和磁滯回環(huán)；齒輪傳動中有間隙。為了便于研究，對非線性程度不嚴重的系統(tǒng)，總是盡可能地將非線性數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成近似的線性模型。2.1.2非線性微分方程的線性化

28

線性化問題的提出有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的。可以應(yīng)用疊加原理，以及應(yīng)用線性理論對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計。線性系統(tǒng)缺點：線性系統(tǒng)優(yōu)點：線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內(nèi)用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。29以微小偏差法為基礎(chǔ)，運動方程中各變量就不是它們的絕對值，而是它們對額定工作點的偏差。增量（微小偏差法）假設(shè)：

在控制系統(tǒng)整個調(diào)節(jié)過程中，所有變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會產(chǎn)生足夠微小的偏差。非線性方程

局部線性增量方程1

微小偏差法(增量法)302

增量方程增量方程的數(shù)學(xué)含義將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。注：導(dǎo)數(shù)根據(jù)其定義是一線性映射，滿足疊加原理。313

多變量函數(shù)泰勒級數(shù)法增量方程靜態(tài)方程324

單變量函數(shù)泰勒級數(shù)法函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：略去含有高于一次的增量?x=x-x0的項，則：注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。注：y=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程33直流他激發(fā)電機示意圖Rf－激磁繞組的電阻，；Lf－激磁繞組的電感，H；Wf－激磁繞組的匝數(shù)；uf（t）－激磁電壓，V；if（t）－激磁電流，A；eg（t）－發(fā)電機電樞電勢，V；－氣隙磁通，Wb；－發(fā)電機角速度，rad/s。34直流他激發(fā)電機的基本關(guān)系假設(shè)發(fā)電機的轉(zhuǎn)速為恒值，且磁滯、渦流、漏磁效應(yīng)忽略不計。根據(jù)基爾霍夫定律及發(fā)電機特性，有：35磁化曲線線性化（1）

描述的是如右圖所示的磁化曲線，它是非線性曲線。為獲得非線性系統(tǒng)的線性化模型，采用小偏差線性化方法（或稱小增量線性化方法）。假設(shè)發(fā)電機工作在某個平衡工作點P附近時，各個變量相對于該點的值偏離得很小，在這個平衡工作點附近可用切線近似代替曲線。36磁化曲線線性化（2）設(shè)平衡工作點為P（if0，0），在P的鄰域內(nèi)將＝f（if）展開成泰勒級數(shù)：當(dāng)（if－if0）足夠小時，可略去二階以上各項：0－發(fā)電機工作在P點處磁通的穩(wěn)態(tài)值，Wb；if0－發(fā)電機工作在P點處激磁電流的穩(wěn)態(tài)值，A；K2－磁化曲線在平衡工作點P處的斜率。小偏差線性化方法就是在平衡工作點附近的微小范圍內(nèi)，用該點處的切線代替曲線來獲得近似的線性化模型。這里，K2與平衡工作點的位置有關(guān)。37直流他激發(fā)電機的數(shù)學(xué)模型（1）38直流他激發(fā)電機的數(shù)學(xué)模型（2）公式：令：eg0＝K10－發(fā)電機工作在P點時電樞電勢的穩(wěn)態(tài)值；uf0－發(fā)電機工作在P點時激磁電壓的穩(wěn)態(tài)值；uf，eg，if：uf，eg，if相對于平衡點處穩(wěn)態(tài)值的微小增量。39直流他激發(fā)電機的數(shù)學(xué)模型（3）經(jīng)過簡化、線性化、增量化的直流他激電動機的數(shù)學(xué)模型：－工作點P處的微偏時間常數(shù)，s；－工作點P處的微偏電壓放大系數(shù)。Tf，Kg與磁化曲線在平衡工作點P處的斜率K2有關(guān)。簡便模型（省略）：40自動平衡搜索車M，m－小車和擺的質(zhì)量，kg；l－擺桿的長度，m；u（t）－外作用力，N；z（t）－小車移動距離，m；（t）－擺桿相對于直立方向的偏離角，rad。41自動平衡搜索車說明（1）自動平衡搜索車由小車及倒置于其上的擺（倒置擺）組成。它實際上是一個空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型。姿態(tài)控制的目的是保持空間起飛助推器在垂直位置上。因此控制系統(tǒng)的作用是在施加控制作用u（t）后，使擺直立不倒。42自動平衡搜索車說明（2）為研究方便，假設(shè)小車與擺僅作平面運動，擺桿質(zhì)量、風(fēng)力、摩擦等略去不計。擺的運動可看作由牽引運動（小車平移）和相對運動（擺桿轉(zhuǎn)動）的合成。擺的水平運動為：

z＋lsin。在垂直于擺桿的方向，擺的運動也由兩部分合成：一部分為小車平移運動在該方向的投影zcos；另一部分為擺的圓周運動l。43自動平衡搜索車基本關(guān)系根據(jù)牛頓定律，沿水平方向：在垂直于擺桿方向：式中，g－重力加速度，m/s2。44自動平衡搜索車基本關(guān)系簡化（1）在自動平衡搜索車的運動方程式中，有變量的乘積和三角函數(shù)－非線性方程。線性化：假設(shè)擺只在垂直位置附近作微小的擺動。因為控制系統(tǒng)的目的在于使擺保持直立不倒，因此假設(shè)與實際情況相符。閉環(huán)系統(tǒng)反饋的作用是力圖抑制或消除偏差，因此可以認為，d/dt接近于零，從而可忽略微不足道的高次項。如2，（d/dt）2，d/dt等，而保留，d/dt項。45自動平衡搜索車基本關(guān)系簡化（2）三角函數(shù)也可同樣簡化：微分方程可近似為：46自動平衡搜索車的數(shù)學(xué)模型（1）

47自動平衡搜索車的數(shù)學(xué)模型（2）

48自動平衡搜索車的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：上述模型不適用于開環(huán)系統(tǒng)。因為如果沒有u（t）的作用。擺就會倒下，這時就不符合，d/dt接近于零的假設(shè)。49應(yīng)用小偏差線性化方法應(yīng)注意的問題所得的數(shù)學(xué)模型只有在所取的平衡工作點附近的小范圍內(nèi)才能保證線性化的準確性。通過小偏差線性化方法，通常得到的是經(jīng)過簡化、線性化、增量化的微分方程，即使變量前省去了“”，也應(yīng)將變量理解為增量。經(jīng)過增量化以后，相當(dāng)于把坐標原點移到平衡工作點,這時各變量的初始條件為零。當(dāng)系統(tǒng)有本質(zhì)非線性特性時（非線性特性有間斷點、轉(zhuǎn)折點和非單值關(guān)系），不能采用小偏差線性化方法。50在零初始條件(

)下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的輸入量系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的輸出量

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0

時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0

2.2傳遞函數(shù)圖2-8傳遞函數(shù)方框圖51

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：

傳遞函數(shù)求解示例

52

質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：53初始條件為零時微分方程拉氏變換系統(tǒng)的傳遞函數(shù)!傳遞函數(shù)的直接計算法2

系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式543

特征方程N(s)=0系統(tǒng)的特征方程特征根 特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。

N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。！從微分方程的角度看，此時相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項都為零。K——系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。當(dāng)s=0時系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益554零點和極點M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點。！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。！零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。565零點、極點分布圖傳遞函數(shù)的零、極點分布圖：將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上的圖形。零點用“O”表示極點用“×”表示576單位脈沖響應(yīng)g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）系統(tǒng)輸出單位脈沖函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)動態(tài)特性587結(jié)論傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性，即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定。59(1)傳遞函數(shù)是微分方程經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變一種線性積分運算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。(2)傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)輸入量的大小和形式無關(guān)。(3)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)是處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運動規(guī)律。(4)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。分母多項式的最高階次n高于或等于分子多項式的最高階次m，即n≥m。這是因為實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性且能源有限。(5)一個傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸出的關(guān)系。對多輸入多輸出系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)陣表示。

(6)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。8傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)60控制器常用阻容電路和運算放大器組合來實現(xiàn)，如圖所示。運算放大器具有同相(＋)和反相(－)兩個輸入端，一般采用反相輸入。假設(shè)運算放大器的輸入阻抗與放大倍數(shù)為無窮大，則下圖網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為復(fù)數(shù)阻抗法612.4.2

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)有b

個實零點;d個實極點;c

對復(fù)零點;e對復(fù)極點;v

個零極點b+2c=mv+d+2e=n1

典型環(huán)節(jié)的產(chǎn)生62比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)63環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成。同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。[說明]64Back運動方程式：傳遞函數(shù)：K——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)例1：齒輪傳動例2：晶體管放大器2

放大環(huán)節(jié)/比例環(huán)節(jié)65Back例1齒輪傳動66Back3慣性環(huán)節(jié)運動方程式：傳遞函數(shù)：K——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)!儲能元件！輸出落后于輸入量，不立即復(fù)現(xiàn)突變的輸入例1：彈性彈簧例2：RC慣性環(huán)節(jié)67例1彈性彈簧68例2RC慣性環(huán)節(jié)694積分環(huán)節(jié)運動方程式：傳遞函數(shù)：K——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)！記憶！積分輸入突然除去積分停止輸出維持不變例1：電容充電例2：積分運算放大器70!積分環(huán)節(jié)具有明顯的滯后作用如當(dāng)輸入量為常值A(chǔ)時，輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A(chǔ)。！改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能71Back例1電容充電72Back例2積分運算放大器735微分環(huán)節(jié)理想微分實際微分慣性T0KT有限運動方程式：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：例1：測速發(fā)電機例2：RC微分網(wǎng)絡(luò)例3：理想微分運放74Back例1測速發(fā)電機!無負載時75例2RC微分網(wǎng)絡(luò)例3理想微分運算放大器766二階振蕩環(huán)節(jié)運動方程式：傳遞函數(shù)：

——環(huán)節(jié)的阻尼比K——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)0<<1產(chǎn)生振蕩1兩個串聯(lián)的慣性環(huán)節(jié)不同形式儲能元件能量轉(zhuǎn)換振蕩例1：機械平移系統(tǒng)例2：RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)77例1機械平移系統(tǒng)78例2RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)電路797延時環(huán)節(jié)運動方程式：傳遞函數(shù)：—環(huán)節(jié)的時間常數(shù)超越函數(shù)近似處理例1：水箱進水管的延滯80延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~τ時間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。81例1水箱進水管的延時822.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

結(jié)構(gòu)圖又稱方塊圖或方框圖，具有形象和直觀的特點。方框圖由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包含以下四種基本單元：

(1)信號線。帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞的方向，線上標記所對應(yīng)的變量，如圖2-23(a)所示。

(2)比較點（或綜合點）。表示對兩個或兩個以上的信號進行加減運算?！?”表示相加，可省略不寫；“-”表示相減，如圖2-23(b)所示。

(3)方框。方框中為元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方框的輸出信號等于輸入信號乘以方框中的傳遞函數(shù)，如圖2-23(c)所示。

(4)引出點（或分支點）。表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號，大小和性質(zhì)完全相同，如圖2-23(d)所示。2.3.1結(jié)構(gòu)圖(a)信號線(b)比較點(c)方框(d)引出點X(s)X(s)X(s)X(s)Y(s)=Y(s)B(s)B(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)圖2-23方框圖的基本單元83繪制控制系統(tǒng)方框圖的一般步驟：(1)

寫出組成系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程；(2)

求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，繪制各環(huán)節(jié)的方框圖；(3)從輸入端開始，按信號流向依次將各環(huán)節(jié)方框圖用信號線連接成整體，即得控制系統(tǒng)方框圖。

例2-16試繪制如圖2-24所示的RC網(wǎng)絡(luò)的方框圖。設(shè)輸入為u1(t)，輸出為u2(t)。解將圖2-24所示RC網(wǎng)絡(luò)視為一個系統(tǒng)，組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對應(yīng)于系統(tǒng)的元件，選取變量如圖2-24所示。根據(jù)基爾霍夫定律在零初始條件下對方程取拉式變換圖2-24RC網(wǎng)絡(luò)84將每式用方框圖表示，如圖2-25所示。從輸入量開始，將同一變量的信號線連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖，如圖2-26所示。

U1(s)I1(s)-U0(s)U0(s)I2(s)-U2(s)I1(s)I3(s)-I2(s)U0(s)I3(s)U2(s)I2(s)圖2-25各環(huán)節(jié)方框圖U1(s)---I1(s)I3(s)-I2(s)U0(s)U2(s)I2(s)圖2-26RC網(wǎng)絡(luò)方框圖851.串聯(lián)

(2-57)傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，若G1(s)的輸出量為G2(s)的輸入量，則G1(s)和G2(s)的方框連接稱為串聯(lián)，如圖2-27(a)所示。由圖2-27(a)可知圖2-27方框串聯(lián)的等效變換R(s)U(s)G1(s)C(s)G2(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)(a)

(b)

消去中間變量，得式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明兩個方框串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，如圖2-27(b)所示。這個結(jié)論可推廣到n個方框串聯(lián)的情況。2.4.2方框圖的等效變換862.并聯(lián)

(2-58)傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，若它們有相同的輸入量，而輸出量等于兩個方框輸出的代數(shù)和，則G1(s)和G2(s)的方框連接稱為并聯(lián)。如圖2-28(a)所示。由圖2-28(a)可知消去中間變量C1(s)和C2(s)，得式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明兩個方框并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和，如圖2-28(b)所示。這個結(jié)論可推廣到n個方框并聯(lián)的情況。

圖2-28方框并聯(lián)的等效變換R(s)G1(s)C(s)G2(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)(a)

(b)

C1(s)C2(s)873.反饋連接

(2-59)傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個方框，如圖2-29(a)形式連接，則稱為反饋連接?！?”表示正反饋，可省略，“-”表示負反饋。負反饋連接是控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)形式。若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1，則稱為單位反饋。

由圖2-29(a)可知消去中間變量E(s)和B(s)，得式中

，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，如圖2-29(b)所示。

E(s)H(s)C(s)G(s)R(s)C(s)圖2-29反饋連接的等效變換R(s)(a)(b)B(s)88

方框圖的等效變換法則

求和點的移動

G(s)ABC±求和點后移G(s)ABC±求和點前移G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±4.比較點和引出點的移動89

引出點的移動

引出點前移G(s)ACC引出點后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA90R(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)R(s)C(s)H(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)G(s)R1(s)R2(s)R1(s)G1(s)C(s)G2(s)R2(s)C(s)R1(s)R2(s)R3(s)C(s)R1(s)R3(s)R2(s)R(s)G1(s)C(s)G1(s)表2-1方框圖等效變換法則91例2-17試簡化圖2-30所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。R(s)---C(s)圖2-30例2-17系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)R(s)---C(s)圖2-31(a)等效變換圖G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)1解這是一個多回路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，且有分支點、相加點的交叉，為了從內(nèi)回路到外回路的逐步簡化，首先要消除交叉連接。第一步，將引出點后移，如圖2-31(a)所示。92第二步，對圖2-31(a)中由G3(s)、G4(s)和H3(s)構(gòu)成的回路1進行等效變換，簡化為圖2-31(b)。

第三步，對圖2-31(b)中的回路2進行等效變換，簡化為圖2-31(c)2R(s)--C(s)圖2-31(b)等效變換圖G1(s)G2(s)H1(s)3R(s)-C(s)圖2-31(c)等效變換圖G1(s)H1(s)93最后，對圖2-31(c)中的回路3進行等效變換，簡化為圖2-31(d)。

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

R(s)C(s)圖2-31(d)等效變換圖94例2-18試簡化圖2-32所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解在圖2-32中，由于G1(s)和G2(s)之間有交叉的比較點和引出點，不能直接進行方框運算，也不可簡單地互換其位置。在此首先要消除交叉連接。

第一步，將引出點后移，簡化為圖2-33(a)。第二步，對圖2-33(a)中由G2(s)構(gòu)成的內(nèi)回路進行等效變換，簡化為圖2-33(b)。最后，對圖2-33(b)中的回路進行等效變換，簡化為圖2-33(c)。R(s)---C(s)圖2-32例2-17系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)H1(s)R(s)---C(s)圖2-33(a)等效變換圖G1(s)G2(s)H1(s)R(s)-C(s)圖2-33(b)等效變換圖G1(s)R(s)C(s)圖2-33(c)等效變換圖系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

95962.4自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)在工作過程中，經(jīng)常會受到兩類外作用信號的影響。一類是有用信號，或稱為輸入信號、給定值、參考輸入等，常用r(t)表示；另一類則是擾動，或稱為干擾，常用n(t)表示。輸入r(t)通常是加在系統(tǒng)的輸入端，而干擾n(t)一般是作用在受控對象上，但也可能出現(xiàn)在其它元部件上，甚至夾雜在輸入信號之中。一個閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可用圖2-34表示。

在圖2-34中，將H(s)的輸出通路斷開，即斷開系統(tǒng)的主反饋通路，則將前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。它等于B(s)與E(s)的比值，即E(s)C(s)G1(s)圖2-34閉環(huán)控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖R(s)-B(s)G2(s)H(s)N(s)開環(huán)傳遞函數(shù)=

(2-60)

97二、R(s)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為研究干擾對系統(tǒng)的影響，需要求出C(s)對N(s)之間的傳遞函數(shù)。令R(s)=0，則圖2-34簡化為圖2-36。則干擾N(s)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

由于干擾N(s)在系統(tǒng)中的作用位置與輸入信號R(s)的作用點不一定是同一個地方，故兩個閉環(huán)傳遞函數(shù)一般是不相同的。這也表明引入干擾作用下系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的必要性。

令N(s)=0，則圖2-34簡化為圖2-35，則輸入R(s)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)中只有R(s)作用時，系統(tǒng)輸出C(s)完全取決于Φcr(s)及R(s)的形式。C(s)G1(s)圖2-35R(s)作用下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖R(s)-B(s)G2(s)H(s)三、N(s)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

(2-61)

(2-62)

C(s)G1(s)圖2-36N(s)作用下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖N(s)-B(s)G2(s)H(s)98四、系統(tǒng)的總輸出在分析一個實際系統(tǒng)時，不僅要掌握輸出量的變化規(guī)律，還經(jīng)常要關(guān)心控制過程中誤差的變化規(guī)律。誤差的大小，直接反映了系統(tǒng)工作的精度，因此得到誤差與系統(tǒng)的給定信號R(s)及干擾N(s)之間的數(shù)學(xué)模型，是非常必要的。在此定義誤差為給定信號與反饋信號之差，即當(dāng)給定輸入和干擾同時作用于系統(tǒng)時，根據(jù)線性疊加原理，線性系統(tǒng)的總輸出等于各外作用引起的輸出的總和。五、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)(2-64)

(2-63)

99對比傳遞函數(shù)(2-61)、(2-62)、(2-63)、(2-64)、(2-66)及(2-67)

，雖然它們各不相同，但分母卻完全相同，這是因為它們的特征式Δ=[1+G1(s)G2(s)H(s)]相同，這是閉環(huán)控制系統(tǒng)的本質(zhì)特征，即同一系統(tǒng)的特征式具有唯一性。(2-65)

(2-67)

(1)R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)

令N(s)=0，則圖2-34簡化為圖2-37，則輸入R(s)作用下系統(tǒng)的誤差環(huán)傳遞函數(shù)E(s)G1(s)圖2-37R(s)作用下誤差輸出的結(jié)構(gòu)圖R(s)-G2(s)H(s)E(s)G2(s)圖2-38N(s)作用下誤差輸出的結(jié)構(gòu)圖N(s)+-H(s)G1(s)(2)R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)令N(s)=0，則圖2-34簡化為圖2-38，則輸入R(s)作用下系統(tǒng)的誤差環(huán)傳遞函數(shù)(2-66)

(3)

系統(tǒng)的總誤差根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)的總誤差1002.5信號流圖

2.5.1信號流圖的定義與術(shù)語信號流圖是表示控制系統(tǒng)各變量間相互關(guān)系的另一種圖示方法，將信號流圖用于控制理論中，可不必求解方程或進行預(yù)先的等效變換就可得到各變量間的關(guān)系。因此，當(dāng)系統(tǒng)方框圖比較復(fù)雜時，可以將它轉(zhuǎn)化為信號流圖，并根據(jù)Mason公式求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。x1x2x3x4x5x6x7G1G2G3G4G5G6G7-H1-H2-H3-H4圖2-39信號流圖節(jié)點表示變量或信號的點，用符號“o”表示。傳輸兩節(jié)點間的增益或傳遞函數(shù)。如圖2-39中的G1，G2，G3，G4，G5，G6，G7。支路連接兩個節(jié)點并標有信號流向的定向線段。支路的增益即是傳輸。如圖2-39中支路x2→x3的傳輸為G2，支路x3→x2的傳輸為-H1。

101x1x2x3x4x5x6x7G1G2G3G4G5G6G7-H1-H2-H3-H4圖2-40信號流圖混合節(jié)點既有輸入支路也有輸出支路的節(jié)點。如圖2-39中節(jié)點x2，x3，x4，x5，x6。通路沿支路箭頭所指方向穿過各相連支路的路徑。如果通路與任一節(jié)點相交的次數(shù)不多于一次，則稱為開通路；如果通路的終點就是通路的起點，而與任何其它節(jié)點相交的次數(shù)不多于一次，則稱為閉通路或回路。如圖2-39中有五個回路，分別為x2→x3→x2，x4→x5→x4，x5→x5，x2→x3→x4→x5→x6→x2，x2→x3→x5→x6→x2?；芈吩鲆婊芈分懈髦穫鬏?shù)某朔e。如圖2-39中的五個回路增益分別為-G2H1，-G4H2，-H3，-G2G3G4G5H4，-G2G7G5H4。不接觸回路如果回路間沒有任何共有節(jié)點，則稱它們?yōu)椴唤佑|回路。如圖2-39中有兩對不接觸回路，x2→x3→x2與x4→x5→x4，x2→x3→x2與x5→x5。前向通路

如果在從源點到阱點的通路上，通過任何節(jié)點不多于一次，則該通路稱為前向通路。如圖2-39中有兩條前向通路，分別為x1→x2→x3→x4→x5→x6→x7，x1→x2→x3→x5→x6→x7。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e，稱為前向通路增益。

源點只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點，也稱為輸入節(jié)點。它與控制系統(tǒng)的輸入信號相對應(yīng)。如圖2-39中節(jié)點x1。阱點只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點，也稱為輸出節(jié)點。它與控制系統(tǒng)的輸出信號相對應(yīng)。如圖2-39中節(jié)點x7。102信號流圖可以根據(jù)系統(tǒng)的運動方程繪制，也可以由系統(tǒng)方框圖按照對應(yīng)關(guān)系得出。

2.5.3信號流圖的繪制2.5.2信號流圖的基本性質(zhì)(1)

信號只能沿著支路上箭頭表示的方向傳遞。(2)

節(jié)點將所有輸入支路的信號疊加，并把疊加結(jié)果送給所有相連的輸出支路。(3)具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位傳輸?shù)木€路，可將其變?yōu)檩敵龉?jié)點。(4)對于給定的系統(tǒng)，其信號流圖不唯一。

103例2-19

試繪制例2-11的信號流圖。

解由例2-11的分析得到下列方程組

式中，六個節(jié)點分別為I1(s)，I2(s)，I3(s)，U0(s)，U1(s)，U2(s)。其中U1(s)為源點，U2(s)為阱點。按照數(shù)學(xué)方程式表示的關(guān)系，將各變量用相應(yīng)增益的支路連接，即可得系統(tǒng)的信號流圖如圖2-41所示。U0圖2-41例2-19的信號流圖U1I1I3I2U2-1-1-11/R11/R21/C1s1/C2s1104G(s)R(s)C(s)E(s)C(s)G1(s)R(s)-G2(s)H(s)N(s)E(s)C(s)G(s)R(s)-H(s)E(s)C(s)G(s)R(s)-H(s)N(s)C1(s)G11(s)R1(s)G12(s)C2(s)G22(s)G21(s)R2(s)R(s)11G1(s)C(s)-H(s)E(s)G2(s)N(s)R(s)11G(s)C(s)-H(s)E(s)1N(s)R(s)1G(s)C(s)-H(s)E(s)R(s)G(s)C(s)R1(s)G11(s)C1(s)R2(s)G22(s)C2(s)G21(s)G12(s)表2-2控制系統(tǒng)方框圖與信號流圖對照表

105應(yīng)用Mason公式，不需要簡化處理而通過對信號流圖的分析和觀察，便可直接得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在信號流圖中計算輸入節(jié)點與輸出節(jié)點間傳遞函數(shù)的Mason公式為2.5.4信號流圖的Mason公式式中，n—前向通路的條數(shù)；P—總增益；Pk—第k條前向通路的增益；Δ—信號流圖的特征式，即—所有回路增益之和；

—每兩個不接觸回路增益乘積之和；—每三個不接觸回路增益乘積之和；Δk—在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。106例2-20試應(yīng)用Mason公式，求圖2-42所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解由圖2-42可知，該系統(tǒng)有一條前向通路，其通路增益為圖2-42例2-20的信號流圖R(s)1-H11G3G2G4G1C(s)-H2-H3有三個回路，各回路的增益分別為沒有不接觸回路，則系統(tǒng)的特征式

，，所有回路與前向通路均有接觸，則根據(jù)Mason公式，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

107例2-21試應(yīng)用Mason公式，求圖2-43所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解由圖2-43可知，該系統(tǒng)有四條前向通路，它們的通路增益分別為

有六個回路，各回路的增益分別為其中，有一對不接觸回路L1和L2，其增益之積，，系統(tǒng)的特征式

根據(jù)Mason公式，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

圖2-43例2-21的信號流圖R(s)1-H3G1G4G3G5G2C(s)G7G6-H2-H1，，，，，，所有回路與前向通路均有接觸，則1082.6Matlab處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.6.1多項式求根控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以描述為在Matlab中采用行向量表示多項式，行向量內(nèi)的各元素是按降冪排列的多項式系數(shù)。多項式例2-22

設(shè)多項式為,試用Matlab語句表示該多項式的根。解MATLAB語句如下%ex2-17P=[12345];r=roots(P)運行結(jié)果為r=0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i的系數(shù)行向量可以表示如下：

P=[a0,a1,…,an]多項式求根在Matlab中可以用函數(shù)roots(P)實現(xiàn)。1092.6.2傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以描述為式中，ai與bi均為常數(shù)，且n≥m。這種系統(tǒng)在Matlab中可以表示如下：num=[b0,b1,…,bm]den=[a0,a1,…,an]G=tf[num,den]num為分子多項式，den為分母多項式，G為由num和den構(gòu)成的傳遞函數(shù)。110解

Matlab語句如下

%ex2-18num=[123];den=[2321];G=tf(num,den)

運行結(jié)果為

Transferfunction:s^2+2s+3-----------------------2s^3+3s^2+2s+1例2-23

設(shè)傳遞函數(shù)為,試用Matlab語句表示該傳遞函數(shù)。說明：程序第一行是注釋語句，不執(zhí)行；如果給定的分子或分母多項式缺項，則所缺項的系數(shù)用0補充。111解當(dāng)存在多項式乘積時，可用多項式乘積運算函數(shù)conv()來處理。調(diào)用格式為C=conv(A,B)

其中A和B分別表示一個多項式，C為A和B多項式的乘積多項式。同時，conv()函數(shù)的調(diào)用允許多級嵌套。

Matlab語句如下

%ex2-19num=[123];den=[2321];G=tf(num,den)

運行結(jié)果為

Transferfunction:s^5+56s^4+288s^3+672s^2+720s+288------------------------------------------------s^6+5s^5+9s^4+12s^3+12s^2+5s例2-24設(shè)傳遞函數(shù)為,試用Matlab語句表示該傳遞函數(shù)。1122.6.3零極點模型零極點表示

傳遞函數(shù)可以是有理多項式形式，也可以是零極點形式。Matlab提供了零極點形式與有理多項式形式之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)。調(diào)用格式如下:

[z,p,k]=tf2zp(num,den)[num,den]=zp2tf(z,p,k)例2-25

設(shè)傳遞函數(shù)為,試將其轉(zhuǎn)換為零極點形式。式中，z、p和k分別為零點列向量、極點列向量和增益；num和den分別表示有理多項式的分子和分母的系數(shù)行向量。

解

Matlab語句如下%ex2-20num=[11-12];den=[16116];[z,p,k]=tf2zp(num,den)運行結(jié)果為z=-43p=