微積分第六章

微積分章學誠劉西垣編著普通高等教育“十一五”家級規(guī)劃教材(經濟管理類)第六章·2·第六章

定積分6.36.56.2定積分概念及其基本性質微積分基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)定積分的換元積分法和分部積分法定積分的應用反常積分初分6.46.1·3·第六章

定積分6.16.26.36.46.5

數(shù)學、如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美.正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，她可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地.

——羅素（B.A.W.Rusell,1872—1970）·4·小知識羅素,英國數(shù)學家、邏輯學家、哲學家.18歲進入劍橋大學三一學院學習,開始研究數(shù)學和哲學,1894年畢業(yè),1895年以《論幾何基礎》一文在該學院獲研究員職位.1901年他發(fā)現(xiàn)了一個悖論,對20世紀初數(shù)學基礎的爭論產生過重大影響.1913年與懷特海（A.N.Whitehead,1861—1947）合作出版了名著《數(shù)學原理》.他是三一學院的終身研究員,英國皇家學會的終身研究員和榮譽勛章獲得者,1911年任亞里士多德學會會長.1920年曾應邀來華講學,盛贊中國的傳統(tǒng)文明.1950年獲諾貝爾文學獎,1964年創(chuàng)立羅素和平基金會.·5·

定積分是微積分中繼微分概念之后的另一個重要概念.引發(fā)定積分的兩個經典性問題是：求平面曲邊圖形的面積和已知直線運動的速度求在一定時間段內所經歷的路程.這些問題實質上就是無窮多個微小量（或微元）的求和問題,與函數(shù)的導數(shù)作為因變量對自變量的變化率有很多實際應用一樣,定積分作為無窮多個微元的求和,在幾何、物理和許多實際問題中也有廣泛的應用.

函數(shù)的不定積分和定積分這兩個看似不相關的問題,經過17世紀眾多數(shù)學家,特別是牛頓和萊布尼茨的工作,發(fā)現(xiàn)定積分在一定條件下可以通過不定積分來計算,這就是牛頓-萊布尼茨公式.這個結果把一元函數(shù)的微分學和積分學聯(lián)結成一個整體,使微積分成為一個完整的數(shù)學體系.·6·

本章講述定積分的概念、計算及其在幾何中的應用,包括在經濟學中的簡單應用.

此外,還簡單介紹了作為定積分概念之推廣的廣義積分和有許多重要應用的

G函數(shù).·7·6.1定積分概念及其基本性質6.1.16.1.26.1.3兩個經典例子定積分概念定積分的基本性質·8·

函數(shù)的導數(shù)和微分反映的是函數(shù)的局部性質,而定積分則是反映函數(shù)的一種整體性質,這是一個全新的概念,它源自計算曲線所圍區(qū)域的面積,以及已知物體做直線運動的速度求物體在一個時間段內所經歷的路程等問題.

下面通過兩個例子來引入定積分概念.·9·6.1.1兩個經典例子

例1

阿基米德曾用公元前約五百多年的希臘人所創(chuàng)立的“窮竭法”計算由拋物線y=x2,x軸和直線x=1所圍成的曲邊三角形的面積．設這個面積為A,“窮竭法”的基本思想是用多邊形的面積來逼近A．·10·

用現(xiàn)在的數(shù)學語言來說,就是先把區(qū)間［0,1］分成n等份,分點是過這些點作平行于y

軸的直線,它們把曲邊三角形分成n

個窄條曲邊梯形,其面積依次記為ΔA1,ΔA2,…,ΔAn.顯然,對這些小曲邊梯形,人們仍然無法算得ΔAk(k=1,2,…,n)的精確值．但是,可以算出它們的近似值．·11·

其次,在小區(qū)間上,以之為底,以函數(shù)y=x2在這區(qū)間左端點的值為高作窄條矩形(如圖6-1(a)),其面積為它近似于ΔAk,即相差為一個小曲邊三角形．這n個小條矩形拼成一個多邊形,其面積為圖6-1·12·

由于故顯然,且并當

n∞時相差的那些小曲邊三角形的面積之和將趨于零.換言之,多邊形將趨向于曲邊三角形,這就是“窮竭”的意思,所以圖6-1這正是當年阿基米德算得的結果．·13·

為了嚴格地證明這個結果的正確性,還可以用另一種方法來計算ΔAk(k=1,2,…,n)的近似值,即在區(qū)間上,以之為底,

以y=x2在區(qū)間的右端點

的值為高作窄條矩形(如圖6-1(b)),其面積為顯然,且這n個小條矩形也拼成一多邊形,其面積為圖6-1·14·

由于且故由極限存在的夾逼準則,圖6-1·15·小知識阿基米德(Archimedes,約公元前287—公元前212年),天文學家的兒子，生于西西里島的敘拉古(希臘的殖民地)．古希臘偉大的科學家、數(shù)學家．后人把他與牛頓、高斯并列為歷史上三位最大的數(shù)學家．但他的創(chuàng)造發(fā)明比他對數(shù)學的貢獻更為著名.他才智卓越，興趣廣泛，在機械方面有非凡的才能．他的數(shù)學工作包括用“窮竭法”求面積和體積，計算圓周率π(曾計算過圓的內接和外切正96邊形的周長，得到)，他的方法已具有現(xiàn)代積分的思想；在力學中，他算出了許多平面圖形和立體的重心，發(fā)現(xiàn)了著名的杠桿原理和關于浮體的“阿基米德原理”，為流體靜力學奠定了基礎．他曾有一句名言：“給我一個立足點，我就可以移動地球．”他還是聞名的天文學者．其主要著作有《論球和圓柱》、《圓的測量》、《拋物線的求積》、《論螺線》、《論浮體》、《論平板的平衡》，以及已失傳的《論杠桿》、《論重心》等．·16·小知識關于阿基米德有許多廣為流傳的故事，最有名的是：敘拉古的國王曾命人做了一頂純金皇冠，他懷疑其中摻進了銀子，便請阿基米德鑒定，要求不得損壞王冠．一天，阿基米德在洗澡時看到他的身體被水浮起，剎那間靈機一動發(fā)現(xiàn)了解決這個難題的方法，為此興奮得光著身子跑到街上高喊：“尤里卡！尤里卡！”(意即“我找到了！”)結果發(fā)現(xiàn)皇冠中真的摻了銀子.他死于迦太基和羅馬的第二次布諾戰(zhàn)爭，那時敘拉古與迦太基結盟，公元前212年羅馬人攻入敘拉古，當時阿基米德正在沙地上畫圖思考問題，由于精神太集中，竟然沒有聽見一個剛攻進城的羅馬士兵向他的喝問，結果被殺．之前羅馬主將曾下令不許傷害阿基米德，為此羅馬人給他修了一個很好的陵墓，墓碑上刻了他的一個著名的定理.·17·

將上述例子推廣,就是計算曲邊梯形的面積．給定曲線C:y=f(x)(x∈［a,b］),在區(qū)間［a,b］上函數(shù)f(x)連續(xù),且f(x)≥0.由曲線C、直線x=a、直線x=b和x軸圍成的平面圖形,即點集{(x,y)|0≤y≤f(x),a≤x≤b},稱為曲邊梯形,x軸上的線段［a,b］稱為它的底邊,曲線C稱為它的曲邊

(如圖6-2).圖6-2·18·

設曲邊梯形的面積為A,為了計算A,還是運用“窮竭法”,即用多邊形來逼近這個曲邊梯形．為此,先將底邊［a,b］分成n個小段,設分點為a=x0<x1<x2<…

<xk-1<xk<…

<xn-1<xn=b,n個小區(qū)間［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xk-1,xk］,…,［xn-1,xn］的長度依次記為Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,…,Δxk=xk-xk-1,…,Δxn=xn-xn-1.用平行于y軸的直線x=x1,x=x2,…,x=xn-1將曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形,其面積分別記為ΔA1,ΔA2,…,ΔAn,所以·19·

隨后作近似,即將每個窄曲邊梯形用一個窄條矩形去近似.為此,在每個小區(qū)間［xk-1,xk］中任取一點ξk

(k=1,2,…,n),以Δxk為底、f(ξk)為高作矩形,其面積為f(ξk)Δxk,如圖可見ΔAk≈f(ξk)Δxk(k=1,2,…,n).圖6-2·20·

此后再將這n個窄條矩形的面積求和,得由此,

最后作逼近,在曲線C連續(xù)的情況下,不難看到,隨著底邊［a,b］的分割不斷加細（即分點不斷加密）,圖中由代替曲邊C的折線和直線x=a,x=b及x軸圍成的多邊形不斷地逼近這個曲邊梯形.若記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},則這個逼近相當于在λ0時有Sn

A,即圖6-2·21·

例2

設一物體做直線運動,已知運動的速度v

是時間t的函數(shù),即v=v(t),求物體在時間段［0,T］內所經歷的路程s.

對于勻速運動,設其速度為v0,則在時間段［0,T］內所經歷的路程為s=v0T.·22·

例2

設一物體做直線運動,已知運動的速度v

是時間t的函數(shù),即v=v(t),求物體在時間段［0,T］內所經歷的路程s.

對于變速直線運動,s不能用上述方法計算,為此,

如例1,

將［0,T］分成n等份,分點為當n很大時,

在小時間段

內速度變化很小,

近似于勻速運動,若以在時刻

的速度

作為在這小時間段內的速度,則在內物體經歷的路程所以·23·

例2

設一物體做直線運動,已知運動的速度v

是時間t的函數(shù),即v=v(t),求物體在時間段［0,T］內所經歷的路程s.

如果存在,可以認為所以·24·

綜合上述兩個例子,可以看到計算A

和s

的步驟是：

1)作分割,即

2)求ΔAk或Δsk(k=1,2,…,n)的近似值,即(在曲邊梯形中為f(ξk)Δxk)或

3)求近似值的和(在曲邊梯形中為或

4)求極限(在曲邊梯形中為).其中關鍵的步驟是2)和4).·25·6.1.2定積分概念例1和例2雖然分別是關于幾何和物理的,實際意義不同,但從一般的意義上來說,它們都是關于一個函數(shù)的整體量的計算問題,這就引發(fā)了定積分的概念．·26·

定義設函數(shù)

f

(x)在區(qū)間[a,b]上有定義.將[a,b]任意分成n個小區(qū)間,分點為a=x0<x1<x2<…

<xk-1<xk<…

<xn-1<xn=b,將小區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],…,[xk-1,xk],…,[xn-1,xn]的長度依次記為Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,…,Δxk=xk-xk-1,…,Δxn=xn-xn-1.記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},在每個小區(qū)間[xk-1,xk](k=1,2,…,n)中任取一點ξk(xk-1≤ξk≤xk),作乘積f(ξk)Δxk,隨后求和如果不論分點x1,x2,…,xn-1和各小區(qū)間中的點ξ1,ξ2,…,ξn如何選取,只要λ0,Sn總趨近于一個定值A,即存在且等于A,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,極限值A稱為f(x)在[a,b]上的定積分

(或簡稱積分),記為·27·

即f(

x)稱為被積函數(shù),x稱為積分變量,f(x)

dx稱為被積表達式,f(x

k)Δxk稱為積分單元,Sn稱為積分和,[a,

b]稱為積分區(qū)間,a稱為積分下限,b稱為積分上限．積分號“”是拉長的S,而S是“和”的英文單詞“sum”的第一個字母．·28·

注在上述定義中,極限過程之所以要用λ

0

而不用

n

∞,是因為［a,b］的分點{xk}不一定是均勻分布的,n∞不能保證所有的Δxk都趨于零,從而即使f(x)在［a,b］上可積,也不能保證存在,而λ0可保證對所有的k,1≤k≤n,Δxk0.

在定積分的定義中,規(guī)定了a<b．如果a≥b,補充規(guī)定：

1)2)定積分作為積分元素的和的極限,這個補充規(guī)定是合理的．從2)可知,交換積分的上、下限,定積分的值改變符號,但其絕對值不變．·29·

利用定積分概念,例1中所求的曲邊三角形的面積可寫成曲邊梯形的面積可寫成其中被積表達式f(x)dx是小段底［x,x+dx］上窄曲邊梯形面積ΔA當dx0時的近似值,稱為面積A的面積元素,記為dA,即dA=f(x)dx.·30·

而例2中的路程可寫成其中被積表達式v(t)dt是小時間段[t,t+dt]中物體所經歷的路程Δs當dt0時的近似值,稱為路程s的路程元素,記為ds,所以ds=v(t)dt．從定義可知,定積分是一個數(shù),這個數(shù)只與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間［a,b］有關,與積分變量所用的記號無關,即而不定積分則是一族函數(shù),這是定積分與不定積分的一個本質區(qū)別．·31·

從定積分的定義還可以知道,若f(x)在［a,b］上可積,則在［a,b］上必有界,即有（證明從略）

定理6.1

函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上可積的必要條件是f(x)在［a,b］上有界．由于在

[0,1]

上無界,故不可積.事實上,在這個例子中,對于任意大的M>0,只要適當選取點ξ,對任意的n,總可以使得Sn>M,從而·32·

那么,什么樣的函數(shù)才可積呢？下面的定理回答了這個問題.

定理6.2

如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則它在［a,b］上可積．可積函數(shù)的范圍較連續(xù)函數(shù)更廣一些．

定理6.3

如果f(x)在［a,b］上有界,且在［a,b］上除有限個間斷點外連續(xù),則f(x)在［a,b］上可積．·33·

可積函數(shù)具有下列性質：

定理6.4

設函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上可積,則

1)af(x)(a是常數(shù))和|f(x)|在［a,b］上可積；

2)對于任意區(qū)間［c,d］［a,b］,f(x)在［c,d］上可積；

3)f(x)±g(x)和f(x)g(x)在［a,b］上可積.

af(x)和f(x)±g(x)的可積性在下面關于定積分的性質中證明,其余的結論要用判別函數(shù)可積的準則證明,在此從略.·34·

上述定積分的定義及關于可積函數(shù)的研究是由黎曼給出的,故這種定積分也稱為黎曼積分,積分和Sn也稱為黎曼(積分)和,f(x)在［a,b］上可積也稱為黎曼可積．由定積分的定義和例1可以看到,當f(x)≥0時,表示圖6-2中曲邊梯形的面積特別,若f(x)=1,則圖6-2·35·小知識黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866），富有創(chuàng)造性的德國數(shù)學家、數(shù)學物理學家,1851年獲格丁根大學博士學位，在1853年的求職論文中定義了有界函數(shù)的黎曼積分，在此定義中去掉了被積函數(shù)連續(xù)的要求．關于一般可積函數(shù)的研究是法國數(shù)學家達布(G.Darboux,1842—1917)在1875年給出的．·36·6.1.3定積分的基本性質從定積分的定義和極限的運算法則,不難證明定積分具有下列性質：·37·6.1.3定積分的基本性質假設f(x),g(x)在［a,b］上均可積,則有

1°設a,b為任意的常數(shù),函數(shù)af(x)±b

g(x)在［a,b］上可積,且(*)

這是因為函數(shù)af(x)±b

g(x)的積分和由極限的運算法則,有由于右邊的兩個極限存在,故存在,且有(*).

性質1°稱為定積分的線性性質.·38·

2°對于任意的c∈(a,b),有事實上,由定理6.4中2),只要取c作為的積分和的一個分點,利用極限的運算法則即可得證.

對于c>b的情形,只要f(x)在［a,c］上可積,上式仍然成立.因為利用上述結果,有從而這個性質稱為定積分對積分區(qū)間的可加性.定理6.4

設函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上可積,則

2)對于任意區(qū)間［c,d］［a,b］,f(x)在［c,d］上可積；·39·

3°

若

f

(x)≥0(x∈[a,b]),則

因為在

f

(x)≥0

的條件下,

的積分和由有極限變量的保號性,即知

推論1如果

g(x)

≤

h(x)(x∈[a,b]),則

因為只要設

f

(x)

=

h(x)

-

g(x),則

f

(x)≥0(x∈[a,b]),所以推論得證.

這個性質稱為定積分的單調性.由此可得下列推論：·40·

還可以證明更精確的結果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)是連續(xù)函數(shù),可證明如下：設c∈(a,b),則f(c)>0,由f(x)的連續(xù)性,可知必存在δ>0,［c-δ,c+δ］［a,b］,使由性質2°,2°對于任意的c∈(a,b),有·41·

還可以證明更精確的結果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)是連續(xù)函數(shù),可證明如下：設c∈(a,b),則f(c)>0,由f(x)的連續(xù)性,可知必存在δ>0,［c-δ,c+δ］［a,b］,使由性質2°,由于f(x)≥0(x∈[a,b]),由性質3°

3°

若

f

(x)≥0(x∈[a,b]),則·42·

還可以證明更精確的結果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)是連續(xù)函數(shù),可證明如下：設c∈(a,b),則f(c)>0,由f(x)的連續(xù)性,可知必存在δ>0,［c-δ,c+δ］［a,b］,使由性質2°,由于f(x)≥0(x∈[a,b]),由性質3°再由推論1有推論1如果

g(x)

≤

h(x)(x∈[a,b]),則所以·43·

還可以證明更精確的結果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)不在［a,b］上連續(xù),推論2的證明較復雜,在此從略.

這個性質稱為定積分的正性.

推論3

若有常數(shù)m和M使得m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),則這是因為同樣可證左邊不等式.·44·

4°

這是因為-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|(x∈[a,b]),所以此即·45·

5°如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則ξ∈［a,b］使得

證設m,M依次是f(x)在［a,b］上的最小值和最大值,則有m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),由推論3,有推論3

若有常數(shù)m和M使得m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),則·46·

5°如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則ξ∈［a,b］使得

證設m,M依次是f(x)在［a,b］上的最小值和最大值,則有m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),由推論3,有即再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,ξ∈［a,b］,使得即·47·

5°如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則ξ∈［a,b］使得這個公式稱為積分中值公式．這一性質稱為積分中值定理.

當f(x)≥0(x∈[a,b])時,這個性質的幾何意義是：由曲線y=f(x)(x∈[a,b])和x軸及直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形的面積等于以[a,b]為底,f(ξ)為高的矩形的面積(如圖6-3).因此,常稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的平均值．圖6-3·48·

例3

比較積分和的大小．

解在［0,1］上,故從而由定積分的性質3°中推論1,有

推論1如果

g(x)

≤

h(x)(x∈[a,b]),則·49·

例4

證明：

證設f(x)=e-x2,其導數(shù)f

(x)=-2xe-x2≤0(x≥0).所以f(x)在［0,2］上單調減少,從而其最大、最小值分別為M=f(0)=e0=1,m=f(2)=e-22

=e-4.由性質3°的推論3,即得推論3

若有常數(shù)m和M使得m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),則·50·

例4

證明：

證設f(x)=e-x2,其導數(shù)f

(x)=-2xe-x2≤0(x≥0).所以f(x)在［0,2］上單調減少,從而其最大、最小值分別為M=f(0)=e0=1,m=f(2)=e-22

=e-4.由性質3°的推論3,即得而所以·51·

例5

設函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù),且g(x)>0.證明：存在點ξ∈［a,b］使

證設f(x)在［a,b］上的最大值為M,最小值為m,由于g(x)>0,故有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),所以即由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,ξ∈[a,b]使等式得證.·52·6.2微積分基本公式6.2.16.2.2變上限積分及其導數(shù)公式微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）·53·

定積分和不定積分雖然看起來是兩個完全不同的概念,但它們之間有密切的聯(lián)系,

這種聯(lián)系為定積分的計算提供了一個有效的方法．·54·6.2.1變上限積分及其導數(shù)公式設函數(shù)f(x)在［a,b］上可積,則對于任意一點x∈［a,b］,定積分在［a,b］上定義了x的一個函數(shù)．記為F(x),即

(6.1)它稱為f(t)的變上限積分（或積分上限的函數(shù)）．如果f(t)≥0(t∈［a,b］),則如圖6-4,F(x)表示區(qū)間［a,x］上以

y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積．關于F(x),有下列重要定理．圖6-4·55·

定理6.5

假設

f

(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導,且其導數(shù)(6.2)

證設x∈[a,b],在x點有改變量Δx,x+Δx∈[a,b],則由定積分對積分區(qū)間的可加性,有·56·

定理6.5

假設

f

(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導,且其導數(shù)(6.2)

證設x∈[a,b],在x點有改變量Δx,x+Δx∈[a,b],則由于f(t)在[a,b]上連續(xù),由積分中值定理,有ξ,它介于x和x+Δx之間,使得

所以

若x=a,取Δx>0,a+Δx∈(a,b),同上可證F+(a)=f(a).

若x=b,取Δx<0,b+Δx∈(a,b),同樣有F-(b)=f(b).·57·

定理6.5

假設

f

(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導,且其導數(shù)(6.2)(6.2)稱為積分上限的函數(shù)（變上限積分）的求導公式,它說明,變上限積分的導數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值．從幾何上看,定理6.5也不難理解,因為當f(t)≥0(t∈[a,b])時,ΔF表示x軸上以[x,x+Δx](Δx>0)為底、以y=f(x)為曲邊的窄條曲邊梯形的面積(如圖6-4),它除以底的長度Δx顯然近似于在x點的高度f(x),當Δx0時,這個近似值就成為精確值.

從定理6.5立即得到下述推論．圖6-4·58·

推論1

設f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則f(x)必有原函數(shù).

事實上,變上限積分就是f(x)的一個原函數(shù)．原函數(shù)與不定積分密切相關,所以變上限積分成為聯(lián)系定積分和不定積分,或者說微分概念和積分概念的紐帶．因此,定理6.5也稱為微積分基本定理．定理6.5

假設f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導,且其導數(shù)·59·

例1

求

解從定理

6.5

還可以得到更一般的變限積分的求導公式.

推論2

設f(t)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),函數(shù)u(x),v(x)在[a,b]上可導,且其值域包含于[a,b],即a≤u(x),v(x)≤b(x∈[a,b]),則對一般的變限積分作為x的函數(shù),有(6.3)定理6.5

假設f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導,且其導數(shù)·60·(6.3)

證這個變限積分定義了x

的一個函數(shù),記為y(x),即由定積分的性質2°,有利用復合函數(shù)的求導法則和定理6.5,有·61·

例2

求變限積分的導數(shù).

解由公式(6.3),有(6.3)·62·

例3

求未定式

解

這是

型未定式,

由洛必達法則和

(6.3),有(6.3)·63·

例

4

設

證明:

證

變量

x

不僅是積分上限,還出現(xiàn)在被積函數(shù)中,由于這個定積分是對

t

積分,

x

與

t

無關,故所以,由公式

(6.2)

有(6.2)·64·

例5

設f(x)在［0,+∞)上連續(xù),且f(x)>0(x≥0),證明：函數(shù)在(0,+∞)上是單調增加的．

證

由于積分變量t在[0,x]中變化,所以x-t≥0,又f(t)

>0(t≥0),故由定積分的性質3°的推論2,積分從而,j

(x)>0(x>0).因此j(x)在(0,+∞)上單調增加．推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則·65·

例

6

求連續(xù)函數(shù)

f

(x),已知

f

(0)

=

1

且滿足

解

首先須將左邊的積分化為變上限積分,

為此,

作代換

t

x

=

u,

則原方程變成

兩邊求導,得

f

(x)

=

f

(x)

+

x

f

(x)

+

2x

sinx

+

x2

cosx,即

f

(x)

=

-

(2sinx

+

x

cosx),從而由于

f

(0)

=

1,故

C

=

0.

代入得

f

(x)

=

cosx

-

x

sinx.·66·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過原函數(shù)計算定積分的方法．

定理

6.6

假設f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

證由假設,F(x)和變上限積分

都是f(x)

的原函數(shù),所以它們只相差一個常數(shù)C,即F(x)-F(x)=C(x∈[a,b]).定理6.5

假設f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導,且其導數(shù)F(x)-F

(x)=C(x∈[a,b]).·67·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過原函數(shù)計算定積分的方法．

定理

6.6

假設f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

證

令x=a,則由有F(a)-F

(a)=F(a)=C.

所以定理6.5

假設f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導,且其導數(shù)以x=b代入,即得(6.4).F(x)-F

(x)=C(x∈[a,b]).·68·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過原函數(shù)計算定積分的方法．

定理

6.6

假設f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).(6.4)在a>b時仍然成立．定理6.5

假設f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導,且其導數(shù)·69·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過原函數(shù)計算定積分的方法．

定理

6.6

假設f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

由定理6.6可以反過來證明定理6.5.事實上,由(6.4)有兩邊對x求導,即得定理6.5

假設f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導,且其導數(shù)

這就得定理6.5.所以,定理6.5和定理6.6是相互等價的.·70·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過原函數(shù)計算定積分的方法．

定理

6.6

假設f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

公式(6.4)稱為微積分基本公式．鑒于它是牛頓和萊布尼茨分別建立的,所以也稱為牛頓-萊布尼茨公式.

在已知被積函數(shù)的原函數(shù)時,公式(6.4)解決了定積分的計算問題．定理6.5

假設f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導,且其導數(shù)·71·小知識萊布尼茨（G.W.Leibniz,1646—1716），德國數(shù)學家和哲學家,出生于萊比錫大學一位倫理學教授之家，6歲喪父.家中豐富的藏書引起他廣泛的興趣，1661年進入萊比錫大學學習法律，又曾到耶拿大學學習幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫大學通過論文《論組合的藝術》獲法學博士并成為教授，該論文及后來的一系列工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人.1667年他投身外交界，游歷歐洲各國，接觸數(shù)學界的名流并保持密切的聯(lián)系，在巴黎受C.惠更斯的影響，決心鉆研數(shù)學，他終生奮斗的主要目標是尋求可獲得知識和創(chuàng)造發(fā)明的一般方法，這就導致他的許多發(fā)現(xiàn)，其中最突出的是微積分．與牛頓不同，他主要是從代數(shù)的角度，把微積分作為一種運算的過程和方法；而牛頓則主·72·小知識要是從幾何的角度來思考和推理，微積分實質上是他研究力學和動力學的工具．萊布尼茨于1684年發(fā)表的第一篇微分學的論文《一種求極大極小和切線的新方法……》是世界上最早的關于微積分的文獻，雖僅6頁，推理也不清晰,卻含有現(xiàn)代的微分記號和微分法則．1686年發(fā)表了他的第一篇積分學論文，由于印刷困難未用現(xiàn)在的積分的記號“∫”，但在他1675年10月的手稿上用了拉長的S“∫”作為積分記號，同年11月的手稿上出現(xiàn)了微分記號dx，“d”意味著差．他思考微積分的問題約始于1673年，其思想發(fā)展和研究成果，記錄在從該年起的數(shù)百頁筆記中．其中他斷言作為求和的過程的積分是微分的逆．正是由于牛頓在1665—1666年和萊布尼茨在1673—1676年獨立建·73·小知識立了計算微分和積分的一般方法及它們之間的關系，他們被公認為微積分學的兩位創(chuàng)始人．萊布尼茨創(chuàng)立的微積分記號對微積分的傳播和發(fā)展起了重要作用，并一直沿用至今．萊布尼茨的其他著作包括哲學、法學、歷史、語言、生物、地質、機械、物理、外交、神學，在1671年他制造了第一架可做乘法計算的計算機，他的多才多藝在歷史上少有人能與之相比．·74·

例7

計算解由于x2

有一個原函數(shù)為故這就是6.1節(jié)例1(p.202)中所得的結果．·75·

例8

求

解

sinx的一個原函數(shù)為-cosx,故這說明在［0,

p］上由正弦曲線y=sinx和x軸所圍成的區(qū)域的面積為2.·76·

例

9

設一直線運動的運動方程為

s

=

s(t),其速度函數(shù)為v(t),則在時間段［t1,

t2］內所經歷的路程為另一方面,由運動方程,又有

s

=

s(t2)

-

s(t1),故而

v(t)

=

s

(t),即

s(t)

是

v(t)

的一個原函數(shù),故上述等式即牛頓-萊布尼茨公式

(6.4).(6.4)·77·

例10

求極限：解由定積分的定義,恰好是函數(shù)在［0,1］上的積分和,而f(x)的一個原函數(shù)是故·78·

例11

設求

解·79·

例12

設求

解設這是一個常數(shù),故f(x)=x3-I.因此所以即·80·6.3定積分的換元積分法和分部積分法6.3.16.3.2定積分的換元積分法

定積分的分部積分法·81·

由微積分基本公式,在f(x)的原函數(shù)F(x)已知的情況下,定積分的計算可歸結為F(x)從x=a變到x=b的增量F(b)-F(a)．而用不定積分的換元積分法和分部積分法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù),故自然可以用這兩種方法計算定積分．·82·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調,且其導數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

證設F(x)是f(x)

的一個原函數(shù),則有又F(j(t))是f(j(t))j(t)的一個原函數(shù),故這就得到公式(6.5).·83·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調,且其導數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

在定理的證明中并未明顯地用到j(t)在[a,b](或[b,a])上單調的假設,其實這個條件可以保證函數(shù)x=j(t)(t∈[a,b]或[b,a])的值域包含在[a,b]中,從而復合函數(shù)f(j(t))在[a,b](或[b,a])上連續(xù)．在用換元法計算積分時,注意函數(shù)x=j(t)的單調性是有益的．·84·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調,且其導數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

注意,在應用公式(6.5)作換元x=j(t)時,不僅如計算定積分那樣被積表達式要變換,積分上、下限也要隨之作變換,即把對x

積分的積分限a,b相應地換成對t

積分的積分限a,b.·85·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調,且其導數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

其次,在求出f(j(t))j(t)的一個原函數(shù)G(t)后,不必如不定積分那樣要用x=j(t)的反函數(shù)t=j-1(x)代入G(x),而只要直接計算G(b)-G(a)即可．這是定積分與不定積分的換元法的不同之處．·86·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調,且其導數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

公式(6.5)稱為定積分的換元公式,在應用(6.5)時,可以把等式左邊化成等式右邊,也可以把等式右邊化成等式左邊．·87·

例1

計算下列定積分：

解

1)設則x=t

2,當x=0時t=0,當x=4時t=2.

而x=t

2

在［0,2］上單調,故由(6.5)式,有(6.5)·88·

例1

計算下列定積分：

解

2)設x=2sint,則當x=0時t=0,x=2時

x=2sint在上單調,故在計算時,沒有作明顯的換元u=2t,因此不必改變對t積分的上、下限.(6.5)·89·

例1

計算下列定積分：

解

3)設則x=ln(1+t

2),當x=0時t=0,當x=ln2時t=1.ln(1+t

2)在［0,1］上單調,故(6.5)·90·

例1

計算下列定積分：

解

4)因為而

cos

x

在積分區(qū)間

[0,p]

上有不同符號,在上|cosx

|=cosx,在上|cosx|=-cosx,故·91·

例

2

設

f

(x)

是［-

a,a］上的連續(xù)函數(shù),證明：

證

對右邊第一個積分作換元

x

=

-

t,則后一等式是因定積分的值與積分變量所用的記號無關.

當

f

(x)

為偶函數(shù)時,

f

(-x)

=

f

(x),

所以

當

f

(x)

為奇函數(shù)時,

f

(-x)

=

-

f

(x),所以f(x)