微積分第六章

微積分章學(xué)誠(chéng)劉西垣編著普通高等教育“十一五”家級(jí)規(guī)劃教材(經(jīng)濟(jì)管理類)第六章·2·第六章

定積分6.36.56.2定積分概念及其基本性質(zhì)微積分基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)定積分的換元積分法和分部積分法定積分的應(yīng)用反常積分初分6.46.1·3·第六章

定積分6.16.26.36.46.5

數(shù)學(xué)、如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美.正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美沒(méi)有繪畫或音樂(lè)那樣華麗的裝飾，她可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地.

——羅素（B.A.W.Rusell,1872—1970）·4·小知識(shí)羅素,英國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、哲學(xué)家.18歲進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí),開始研究數(shù)學(xué)和哲學(xué),1894年畢業(yè),1895年以《論幾何基礎(chǔ)》一文在該學(xué)院獲研究員職位.1901年他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論,對(duì)20世紀(jì)初數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)論產(chǎn)生過(guò)重大影響.1913年與懷特海（A.N.Whitehead,1861—1947）合作出版了名著《數(shù)學(xué)原理》.他是三一學(xué)院的終身研究員,英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的終身研究員和榮譽(yù)勛章獲得者,1911年任亞里士多德學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng).1920年曾應(yīng)邀來(lái)華講學(xué),盛贊中國(guó)的傳統(tǒng)文明.1950年獲諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng),1964年創(chuàng)立羅素和平基金會(huì).·5·

定積分是微積分中繼微分概念之后的另一個(gè)重要概念.引發(fā)定積分的兩個(gè)經(jīng)典性問(wèn)題是：求平面曲邊圖形的面積和已知直線運(yùn)動(dòng)的速度求在一定時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)歷的路程.這些問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是無(wú)窮多個(gè)微小量（或微元）的求和問(wèn)題,與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為因變量對(duì)自變量的變化率有很多實(shí)際應(yīng)用一樣,定積分作為無(wú)窮多個(gè)微元的求和,在幾何、物理和許多實(shí)際問(wèn)題中也有廣泛的應(yīng)用.

函數(shù)的不定積分和定積分這兩個(gè)看似不相關(guān)的問(wèn)題,經(jīng)過(guò)17世紀(jì)眾多數(shù)學(xué)家,特別是牛頓和萊布尼茨的工作,發(fā)現(xiàn)定積分在一定條件下可以通過(guò)不定積分來(lái)計(jì)算,這就是牛頓-萊布尼茨公式.這個(gè)結(jié)果把一元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)聯(lián)結(jié)成一個(gè)整體,使微積分成為一個(gè)完整的數(shù)學(xué)體系.·6·

本章講述定積分的概念、計(jì)算及其在幾何中的應(yīng)用,包括在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

此外,還簡(jiǎn)單介紹了作為定積分概念之推廣的廣義積分和有許多重要應(yīng)用的

G函數(shù).·7·6.1定積分概念及其基本性質(zhì)6.1.16.1.26.1.3兩個(gè)經(jīng)典例子定積分概念定積分的基本性質(zhì)·8·

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分反映的是函數(shù)的局部性質(zhì),而定積分則是反映函數(shù)的一種整體性質(zhì),這是一個(gè)全新的概念,它源自計(jì)算曲線所圍區(qū)域的面積,以及已知物體做直線運(yùn)動(dòng)的速度求物體在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)歷的路程等問(wèn)題.

下面通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)引入定積分概念.·9·6.1.1兩個(gè)經(jīng)典例子

例1

阿基米德曾用公元前約五百多年的希臘人所創(chuàng)立的“窮竭法”計(jì)算由拋物線y=x2,x軸和直線x=1所圍成的曲邊三角形的面積．設(shè)這個(gè)面積為A,“窮竭法”的基本思想是用多邊形的面積來(lái)逼近A．·10·

用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō),就是先把區(qū)間［0,1］分成n等份,分點(diǎn)是過(guò)這些點(diǎn)作平行于y

軸的直線,它們把曲邊三角形分成n

個(gè)窄條曲邊梯形,其面積依次記為ΔA1,ΔA2,…,ΔAn.顯然,對(duì)這些小曲邊梯形,人們?nèi)匀粺o(wú)法算得ΔAk(k=1,2,…,n)的精確值．但是,可以算出它們的近似值．·11·

其次,在小區(qū)間上,以之為底,以函數(shù)y=x2在這區(qū)間左端點(diǎn)的值為高作窄條矩形(如圖6-1(a)),其面積為它近似于ΔAk,即相差為一個(gè)小曲邊三角形．這n個(gè)小條矩形拼成一個(gè)多邊形,其面積為圖6-1·12·

由于故顯然,且并當(dāng)

n∞時(shí)相差的那些小曲邊三角形的面積之和將趨于零.換言之,多邊形將趨向于曲邊三角形,這就是“窮竭”的意思,所以圖6-1這正是當(dāng)年阿基米德算得的結(jié)果．·13·

為了嚴(yán)格地證明這個(gè)結(jié)果的正確性,還可以用另一種方法來(lái)計(jì)算ΔAk(k=1,2,…,n)的近似值,即在區(qū)間上,以之為底,

以y=x2在區(qū)間的右端點(diǎn)

的值為高作窄條矩形(如圖6-1(b)),其面積為顯然,且這n個(gè)小條矩形也拼成一多邊形,其面積為圖6-1·14·

由于且故由極限存在的夾逼準(zhǔn)則,圖6-1·15·小知識(shí)阿基米德(Archimedes,約公元前287—公元前212年),天文學(xué)家的兒子，生于西西里島的敘拉古(希臘的殖民地)．古希臘偉大的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家．后人把他與牛頓、高斯并列為歷史上三位最大的數(shù)學(xué)家．但他的創(chuàng)造發(fā)明比他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)更為著名.他才智卓越，興趣廣泛，在機(jī)械方面有非凡的才能．他的數(shù)學(xué)工作包括用“窮竭法”求面積和體積，計(jì)算圓周率π(曾計(jì)算過(guò)圓的內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，得到)，他的方法已具有現(xiàn)代積分的思想；在力學(xué)中，他算出了許多平面圖形和立體的重心，發(fā)現(xiàn)了著名的杠桿原理和關(guān)于浮體的“阿基米德原理”，為流體靜力學(xué)奠定了基礎(chǔ)．他曾有一句名言：“給我一個(gè)立足點(diǎn)，我就可以移動(dòng)地球．”他還是聞名的天文學(xué)者．其主要著作有《論球和圓柱》、《圓的測(cè)量》、《拋物線的求積》、《論螺線》、《論浮體》、《論平板的平衡》，以及已失傳的《論杠桿》、《論重心》等．·16·小知識(shí)關(guān)于阿基米德有許多廣為流傳的故事，最有名的是：敘拉古的國(guó)王曾命人做了一頂純金皇冠，他懷疑其中摻進(jìn)了銀子，便請(qǐng)阿基米德鑒定，要求不得損壞王冠．一天，阿基米德在洗澡時(shí)看到他的身體被水浮起，剎那間靈機(jī)一動(dòng)發(fā)現(xiàn)了解決這個(gè)難題的方法，為此興奮得光著身子跑到街上高喊：“尤里卡！尤里卡！”(意即“我找到了！”)結(jié)果發(fā)現(xiàn)皇冠中真的摻了銀子.他死于迦太基和羅馬的第二次布諾戰(zhàn)爭(zhēng)，那時(shí)敘拉古與迦太基結(jié)盟，公元前212年羅馬人攻入敘拉古，當(dāng)時(shí)阿基米德正在沙地上畫圖思考問(wèn)題，由于精神太集中，竟然沒(méi)有聽(tīng)見(jiàn)一個(gè)剛攻進(jìn)城的羅馬士兵向他的喝問(wèn)，結(jié)果被殺．之前羅馬主將曾下令不許傷害阿基米德，為此羅馬人給他修了一個(gè)很好的陵墓，墓碑上刻了他的一個(gè)著名的定理.·17·

將上述例子推廣,就是計(jì)算曲邊梯形的面積．給定曲線C:y=f(x)(x∈［a,b］),在區(qū)間［a,b］上函數(shù)f(x)連續(xù),且f(x)≥0.由曲線C、直線x=a、直線x=b和x軸圍成的平面圖形,即點(diǎn)集{(x,y)|0≤y≤f(x),a≤x≤b},稱為曲邊梯形,x軸上的線段［a,b］稱為它的底邊,曲線C稱為它的曲邊

(如圖6-2).圖6-2·18·

設(shè)曲邊梯形的面積為A,為了計(jì)算A,還是運(yùn)用“窮竭法”,即用多邊形來(lái)逼近這個(gè)曲邊梯形．為此,先將底邊［a,b］分成n個(gè)小段,設(shè)分點(diǎn)為a=x0<x1<x2<…

<xk-1<xk<…

<xn-1<xn=b,n個(gè)小區(qū)間［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xk-1,xk］,…,［xn-1,xn］的長(zhǎng)度依次記為Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,…,Δxk=xk-xk-1,…,Δxn=xn-xn-1.用平行于y軸的直線x=x1,x=x2,…,x=xn-1將曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形,其面積分別記為ΔA1,ΔA2,…,ΔAn,所以·19·

隨后作近似,即將每個(gè)窄曲邊梯形用一個(gè)窄條矩形去近似.為此,在每個(gè)小區(qū)間［xk-1,xk］中任取一點(diǎn)ξk

(k=1,2,…,n),以Δxk為底、f(ξk)為高作矩形,其面積為f(ξk)Δxk,如圖可見(jiàn)ΔAk≈f(ξk)Δxk(k=1,2,…,n).圖6-2·20·

此后再將這n個(gè)窄條矩形的面積求和,得由此,

最后作逼近,在曲線C連續(xù)的情況下,不難看到,隨著底邊［a,b］的分割不斷加細(xì)（即分點(diǎn)不斷加密）,圖中由代替曲邊C的折線和直線x=a,x=b及x軸圍成的多邊形不斷地逼近這個(gè)曲邊梯形.若記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},則這個(gè)逼近相當(dāng)于在λ0時(shí)有Sn

A,即圖6-2·21·

例2

設(shè)一物體做直線運(yùn)動(dòng),已知運(yùn)動(dòng)的速度v

是時(shí)間t的函數(shù),即v=v(t),求物體在時(shí)間段［0,T］內(nèi)所經(jīng)歷的路程s.

對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度為v0,則在時(shí)間段［0,T］內(nèi)所經(jīng)歷的路程為s=v0T.·22·

例2

設(shè)一物體做直線運(yùn)動(dòng),已知運(yùn)動(dòng)的速度v

是時(shí)間t的函數(shù),即v=v(t),求物體在時(shí)間段［0,T］內(nèi)所經(jīng)歷的路程s.

對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng),s不能用上述方法計(jì)算,為此,

如例1,

將［0,T］分成n等份,分點(diǎn)為當(dāng)n很大時(shí),

在小時(shí)間段

內(nèi)速度變化很小,

近似于勻速運(yùn)動(dòng),若以在時(shí)刻

的速度

作為在這小時(shí)間段內(nèi)的速度,則在內(nèi)物體經(jīng)歷的路程所以·23·

例2

設(shè)一物體做直線運(yùn)動(dòng),已知運(yùn)動(dòng)的速度v

是時(shí)間t的函數(shù),即v=v(t),求物體在時(shí)間段［0,T］內(nèi)所經(jīng)歷的路程s.

如果存在,可以認(rèn)為所以·24·

綜合上述兩個(gè)例子,可以看到計(jì)算A

和s

的步驟是：

1)作分割,即

2)求ΔAk或Δsk(k=1,2,…,n)的近似值,即(在曲邊梯形中為f(ξk)Δxk)或

3)求近似值的和(在曲邊梯形中為或

4)求極限(在曲邊梯形中為).其中關(guān)鍵的步驟是2)和4).·25·6.1.2定積分概念例1和例2雖然分別是關(guān)于幾何和物理的,實(shí)際意義不同,但從一般的意義上來(lái)說(shuō),它們都是關(guān)于一個(gè)函數(shù)的整體量的計(jì)算問(wèn)題,這就引發(fā)了定積分的概念．·26·

定義設(shè)函數(shù)

f

(x)在區(qū)間[a,b]上有定義.將[a,b]任意分成n個(gè)小區(qū)間,分點(diǎn)為a=x0<x1<x2<…

<xk-1<xk<…

<xn-1<xn=b,將小區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],…,[xk-1,xk],…,[xn-1,xn]的長(zhǎng)度依次記為Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,…,Δxk=xk-xk-1,…,Δxn=xn-xn-1.記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},在每個(gè)小區(qū)間[xk-1,xk](k=1,2,…,n)中任取一點(diǎn)ξk(xk-1≤ξk≤xk),作乘積f(ξk)Δxk,隨后求和如果不論分點(diǎn)x1,x2,…,xn-1和各小區(qū)間中的點(diǎn)ξ1,ξ2,…,ξn如何選取,只要λ0,Sn總趨近于一個(gè)定值A(chǔ),即存在且等于A,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,極限值A(chǔ)稱為f(x)在[a,b]上的定積分

(或簡(jiǎn)稱積分),記為·27·

即f(

x)稱為被積函數(shù),x稱為積分變量,f(x)

dx稱為被積表達(dá)式,f(x

k)Δxk稱為積分單元,Sn稱為積分和,[a,

b]稱為積分區(qū)間,a稱為積分下限,b稱為積分上限．積分號(hào)“”是拉長(zhǎng)的S,而S是“和”的英文單詞“sum”的第一個(gè)字母．·28·

注在上述定義中,極限過(guò)程之所以要用λ

0

而不用

n

∞,是因?yàn)椋踑,b］的分點(diǎn){xk}不一定是均勻分布的,n∞不能保證所有的Δxk都趨于零,從而即使f(x)在［a,b］上可積,也不能保證存在,而λ0可保證對(duì)所有的k,1≤k≤n,Δxk0.

在定積分的定義中,規(guī)定了a<b．如果a≥b,補(bǔ)充規(guī)定：

1)2)定積分作為積分元素的和的極限,這個(gè)補(bǔ)充規(guī)定是合理的．從2)可知,交換積分的上、下限,定積分的值改變符號(hào),但其絕對(duì)值不變．·29·

利用定積分概念,例1中所求的曲邊三角形的面積可寫成曲邊梯形的面積可寫成其中被積表達(dá)式f(x)dx是小段底［x,x+dx］上窄曲邊梯形面積ΔA當(dāng)dx0時(shí)的近似值,稱為面積A的面積元素,記為dA,即dA=f(x)dx.·30·

而例2中的路程可寫成其中被積表達(dá)式v(t)dt是小時(shí)間段[t,t+dt]中物體所經(jīng)歷的路程Δs當(dāng)dt0時(shí)的近似值,稱為路程s的路程元素,記為ds,所以ds=v(t)dt．從定義可知,定積分是一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)只與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間［a,b］有關(guān),與積分變量所用的記號(hào)無(wú)關(guān),即而不定積分則是一族函數(shù),這是定積分與不定積分的一個(gè)本質(zhì)區(qū)別．·31·

從定積分的定義還可以知道,若f(x)在［a,b］上可積,則在［a,b］上必有界,即有（證明從略）

定理6.1

函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上可積的必要條件是f(x)在［a,b］上有界．由于在

[0,1]

上無(wú)界,故不可積.事實(shí)上,在這個(gè)例子中,對(duì)于任意大的M>0,只要適當(dāng)選取點(diǎn)ξ,對(duì)任意的n,總可以使得Sn>M,從而·32·

那么,什么樣的函數(shù)才可積呢？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題.

定理6.2

如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則它在［a,b］上可積．可積函數(shù)的范圍較連續(xù)函數(shù)更廣一些．

定理6.3

如果f(x)在［a,b］上有界,且在［a,b］上除有限個(gè)間斷點(diǎn)外連續(xù),則f(x)在［a,b］上可積．·33·

可積函數(shù)具有下列性質(zhì)：

定理6.4

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上可積,則

1)af(x)(a是常數(shù))和|f(x)|在［a,b］上可積；

2)對(duì)于任意區(qū)間［c,d］［a,b］,f(x)在［c,d］上可積；

3)f(x)±g(x)和f(x)g(x)在［a,b］上可積.

af(x)和f(x)±g(x)的可積性在下面關(guān)于定積分的性質(zhì)中證明,其余的結(jié)論要用判別函數(shù)可積的準(zhǔn)則證明,在此從略.·34·

上述定積分的定義及關(guān)于可積函數(shù)的研究是由黎曼給出的,故這種定積分也稱為黎曼積分,積分和Sn也稱為黎曼(積分)和,f(x)在［a,b］上可積也稱為黎曼可積．由定積分的定義和例1可以看到,當(dāng)f(x)≥0時(shí),表示圖6-2中曲邊梯形的面積特別,若f(x)=1,則圖6-2·35·小知識(shí)黎曼（G.F.B.Riemann，1826—1866），富有創(chuàng)造性的德國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家,1851年獲格丁根大學(xué)博士學(xué)位，在1853年的求職論文中定義了有界函數(shù)的黎曼積分，在此定義中去掉了被積函數(shù)連續(xù)的要求．關(guān)于一般可積函數(shù)的研究是法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)布(G.Darboux,1842—1917)在1875年給出的．·36·6.1.3定積分的基本性質(zhì)從定積分的定義和極限的運(yùn)算法則,不難證明定積分具有下列性質(zhì)：·37·6.1.3定積分的基本性質(zhì)假設(shè)f(x),g(x)在［a,b］上均可積,則有

1°設(shè)a,b為任意的常數(shù),函數(shù)af(x)±b

g(x)在［a,b］上可積,且(*)

這是因?yàn)楹瘮?shù)af(x)±b

g(x)的積分和由極限的運(yùn)算法則,有由于右邊的兩個(gè)極限存在,故存在,且有(*).

性質(zhì)1°稱為定積分的線性性質(zhì).·38·

2°對(duì)于任意的c∈(a,b),有事實(shí)上,由定理6.4中2),只要取c作為的積分和的一個(gè)分點(diǎn),利用極限的運(yùn)算法則即可得證.

對(duì)于c>b的情形,只要f(x)在［a,c］上可積,上式仍然成立.因?yàn)槔蒙鲜鼋Y(jié)果,有從而這個(gè)性質(zhì)稱為定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性.定理6.4

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上可積,則

2)對(duì)于任意區(qū)間［c,d］［a,b］,f(x)在［c,d］上可積；·39·

3°

若

f

(x)≥0(x∈[a,b]),則

因?yàn)樵?/p>

f

(x)≥0

的條件下,

的積分和由有極限變量的保號(hào)性,即知

推論1如果

g(x)

≤

h(x)(x∈[a,b]),則

因?yàn)橹灰O(shè)

f

(x)

=

h(x)

-

g(x),則

f

(x)≥0(x∈[a,b]),所以推論得證.

這個(gè)性質(zhì)稱為定積分的單調(diào)性.由此可得下列推論：·40·

還可以證明更精確的結(jié)果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)是連續(xù)函數(shù),可證明如下：設(shè)c∈(a,b),則f(c)>0,由f(x)的連續(xù)性,可知必存在δ>0,［c-δ,c+δ］［a,b］,使由性質(zhì)2°,2°對(duì)于任意的c∈(a,b),有·41·

還可以證明更精確的結(jié)果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)是連續(xù)函數(shù),可證明如下：設(shè)c∈(a,b),則f(c)>0,由f(x)的連續(xù)性,可知必存在δ>0,［c-δ,c+δ］［a,b］,使由性質(zhì)2°,由于f(x)≥0(x∈[a,b]),由性質(zhì)3°

3°

若

f

(x)≥0(x∈[a,b]),則·42·

還可以證明更精確的結(jié)果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)是連續(xù)函數(shù),可證明如下：設(shè)c∈(a,b),則f(c)>0,由f(x)的連續(xù)性,可知必存在δ>0,［c-δ,c+δ］［a,b］,使由性質(zhì)2°,由于f(x)≥0(x∈[a,b]),由性質(zhì)3°再由推論1有推論1如果

g(x)

≤

h(x)(x∈[a,b]),則所以·43·

還可以證明更精確的結(jié)果：

推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則若f(x)不在［a,b］上連續(xù),推論2的證明較復(fù)雜,在此從略.

這個(gè)性質(zhì)稱為定積分的正性.

推論3

若有常數(shù)m和M使得m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),則這是因?yàn)橥瑯涌勺C左邊不等式.·44·

4°

這是因?yàn)?|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|(x∈[a,b]),所以此即·45·

5°如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則ξ∈［a,b］使得

證設(shè)m,M依次是f(x)在［a,b］上的最小值和最大值,則有m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),由推論3,有推論3

若有常數(shù)m和M使得m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),則·46·

5°如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則ξ∈［a,b］使得

證設(shè)m,M依次是f(x)在［a,b］上的最小值和最大值,則有m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),由推論3,有即再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,ξ∈［a,b］,使得即·47·

5°如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則ξ∈［a,b］使得這個(gè)公式稱為積分中值公式．這一性質(zhì)稱為積分中值定理.

當(dāng)f(x)≥0(x∈[a,b])時(shí),這個(gè)性質(zhì)的幾何意義是：由曲線y=f(x)(x∈[a,b])和x軸及直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形的面積等于以[a,b]為底,f(ξ)為高的矩形的面積(如圖6-3).因此,常稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的平均值．圖6-3·48·

例3

比較積分和的大?。?/p>

解在［0,1］上,故從而由定積分的性質(zhì)3°中推論1,有

推論1如果

g(x)

≤

h(x)(x∈[a,b]),則·49·

例4

證明：

證設(shè)f(x)=e-x2,其導(dǎo)數(shù)f

(x)=-2xe-x2≤0(x≥0).所以f(x)在［0,2］上單調(diào)減少,從而其最大、最小值分別為M=f(0)=e0=1,m=f(2)=e-22

=e-4.由性質(zhì)3°的推論3,即得推論3

若有常數(shù)m和M使得m≤f(x)≤M(x∈[a,b]),則·50·

例4

證明：

證設(shè)f(x)=e-x2,其導(dǎo)數(shù)f

(x)=-2xe-x2≤0(x≥0).所以f(x)在［0,2］上單調(diào)減少,從而其最大、最小值分別為M=f(0)=e0=1,m=f(2)=e-22

=e-4.由性質(zhì)3°的推論3,即得而所以·51·

例5

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù),且g(x)>0.證明：存在點(diǎn)ξ∈［a,b］使

證設(shè)f(x)在［a,b］上的最大值為M,最小值為m,由于g(x)>0,故有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),所以即由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,ξ∈[a,b]使等式得證.·52·6.2微積分基本公式6.2.16.2.2變上限積分及其導(dǎo)數(shù)公式微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）·53·

定積分和不定積分雖然看起來(lái)是兩個(gè)完全不同的概念,但它們之間有密切的聯(lián)系,

這種聯(lián)系為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)有效的方法．·54·6.2.1變上限積分及其導(dǎo)數(shù)公式設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上可積,則對(duì)于任意一點(diǎn)x∈［a,b］,定積分在［a,b］上定義了x的一個(gè)函數(shù)．記為F(x),即

(6.1)它稱為f(t)的變上限積分（或積分上限的函數(shù)）．如果f(t)≥0(t∈［a,b］),則如圖6-4,F(x)表示區(qū)間［a,x］上以

y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積．關(guān)于F(x),有下列重要定理．圖6-4·55·

定理6.5

假設(shè)

f

(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)(6.2)

證設(shè)x∈[a,b],在x點(diǎn)有改變量Δx,x+Δx∈[a,b],則由定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性,有·56·

定理6.5

假設(shè)

f

(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)(6.2)

證設(shè)x∈[a,b],在x點(diǎn)有改變量Δx,x+Δx∈[a,b],則由于f(t)在[a,b]上連續(xù),由積分中值定理,有ξ,它介于x和x+Δx之間,使得

所以

若x=a,取Δx>0,a+Δx∈(a,b),同上可證F+(a)=f(a).

若x=b,取Δx<0,b+Δx∈(a,b),同樣有F-(b)=f(b).·57·

定理6.5

假設(shè)

f

(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)(6.2)(6.2)稱為積分上限的函數(shù)（變上限積分）的求導(dǎo)公式,它說(shuō)明,變上限積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值．從幾何上看,定理6.5也不難理解,因?yàn)楫?dāng)f(t)≥0(t∈[a,b])時(shí),ΔF表示x軸上以[x,x+Δx](Δx>0)為底、以y=f(x)為曲邊的窄條曲邊梯形的面積(如圖6-4),它除以底的長(zhǎng)度Δx顯然近似于在x點(diǎn)的高度f(wàn)(x),當(dāng)Δx0時(shí),這個(gè)近似值就成為精確值.

從定理6.5立即得到下述推論．圖6-4·58·

推論1

設(shè)f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),則f(x)必有原函數(shù).

事實(shí)上,變上限積分就是f(x)的一個(gè)原函數(shù)．原函數(shù)與不定積分密切相關(guān),所以變上限積分成為聯(lián)系定積分和不定積分,或者說(shuō)微分概念和積分概念的紐帶．因此,定理6.5也稱為微積分基本定理．定理6.5

假設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在［a,b］上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)·59·

例1

求

解從定理

6.5

還可以得到更一般的變限積分的求導(dǎo)公式.

推論2

設(shè)f(t)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),函數(shù)u(x),v(x)在[a,b]上可導(dǎo),且其值域包含于[a,b],即a≤u(x),v(x)≤b(x∈[a,b]),則對(duì)一般的變限積分作為x的函數(shù),有(6.3)定理6.5

假設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)·60·(6.3)

證這個(gè)變限積分定義了x

的一個(gè)函數(shù),記為y(x),即由定積分的性質(zhì)2°,有利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和定理6.5,有·61·

例2

求變限積分的導(dǎo)數(shù).

解由公式(6.3),有(6.3)·62·

例3

求未定式

解

這是

型未定式,

由洛必達(dá)法則和

(6.3),有(6.3)·63·

例

4

設(shè)

證明:

證

變量

x

不僅是積分上限,還出現(xiàn)在被積函數(shù)中,由于這個(gè)定積分是對(duì)

t

積分,

x

與

t

無(wú)關(guān),故所以,由公式

(6.2)

有(6.2)·64·

例5

設(shè)f(x)在［0,+∞)上連續(xù),且f(x)>0(x≥0),證明：函數(shù)在(0,+∞)上是單調(diào)增加的．

證

由于積分變量t在[0,x]中變化,所以x-t≥0,又f(t)

>0(t≥0),故由定積分的性質(zhì)3°的推論2,積分從而,j

(x)>0(x>0).因此j(x)在(0,+∞)上單調(diào)增加．推論2

若f(x)>0(x∈[a,b]),則·65·

例

6

求連續(xù)函數(shù)

f

(x),已知

f

(0)

=

1

且滿足

解

首先須將左邊的積分化為變上限積分,

為此,

作代換

t

x

=

u,

則原方程變成

兩邊求導(dǎo),得

f

(x)

=

f

(x)

+

x

f

(x)

+

2x

sinx

+

x2

cosx,即

f

(x)

=

-

(2sinx

+

x

cosx),從而由于

f

(0)

=

1,故

C

=

0.

代入得

f

(x)

=

cosx

-

x

sinx.·66·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分的方法．

定理

6.6

假設(shè)f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

證由假設(shè),F(x)和變上限積分

都是f(x)

的原函數(shù),所以它們只相差一個(gè)常數(shù)C,即F(x)-F(x)=C(x∈[a,b]).定理6.5

假設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)F(x)-F

(x)=C(x∈[a,b]).·67·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分的方法．

定理

6.6

假設(shè)f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

證

令x=a,則由有F(a)-F

(a)=F(a)=C.

所以定理6.5

假設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)以x=b代入,即得(6.4).F(x)-F

(x)=C(x∈[a,b]).·68·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分的方法．

定理

6.6

假設(shè)f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).(6.4)在a>b時(shí)仍然成立．定理6.5

假設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)·69·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分的方法．

定理

6.6

假設(shè)f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

由定理6.6可以反過(guò)來(lái)證明定理6.5.事實(shí)上,由(6.4)有兩邊對(duì)x求導(dǎo),即得定理6.5

假設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)

這就得定理6.5.所以,定理6.5和定理6.6是相互等價(jià)的.·70·6.2.2微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）利用定理6.5,可以得到通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分的方法．

定理

6.6

假設(shè)f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則(6.4)其中

(或)表示F(b)-F(a).

公式(6.4)稱為微積分基本公式．鑒于它是牛頓和萊布尼茨分別建立的,所以也稱為牛頓-萊布尼茨公式.

在已知被積函數(shù)的原函數(shù)時(shí),公式(6.4)解決了定積分的計(jì)算問(wèn)題．定理6.5

假設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù),則變上限積分在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)·71·小知識(shí)萊布尼茨（G.W.Leibniz,1646—1716），德國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家,出生于萊比錫大學(xué)一位倫理學(xué)教授之家，6歲喪父.家中豐富的藏書引起他廣泛的興趣，1661年進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫大學(xué)通過(guò)論文《論組合的藝術(shù)》獲法學(xué)博士并成為教授，該論文及后來(lái)的一系列工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人.1667年他投身外交界，游歷歐洲各國(guó)，接觸數(shù)學(xué)界的名流并保持密切的聯(lián)系，在巴黎受C.惠更斯的影響，決心鉆研數(shù)學(xué)，他終生奮斗的主要目標(biāo)是尋求可獲得知識(shí)和創(chuàng)造發(fā)明的一般方法，這就導(dǎo)致他的許多發(fā)現(xiàn)，其中最突出的是微積分．與牛頓不同，他主要是從代數(shù)的角度，把微積分作為一種運(yùn)算的過(guò)程和方法；而牛頓則主·72·小知識(shí)要是從幾何的角度來(lái)思考和推理，微積分實(shí)質(zhì)上是他研究力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的工具．萊布尼茨于1684年發(fā)表的第一篇微分學(xué)的論文《一種求極大極小和切線的新方法……》是世界上最早的關(guān)于微積分的文獻(xiàn)，雖僅6頁(yè)，推理也不清晰,卻含有現(xiàn)代的微分記號(hào)和微分法則．1686年發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，由于印刷困難未用現(xiàn)在的積分的記號(hào)“∫”，但在他1675年10月的手稿上用了拉長(zhǎng)的S“∫”作為積分記號(hào)，同年11月的手稿上出現(xiàn)了微分記號(hào)dx，“d”意味著差．他思考微積分的問(wèn)題約始于1673年，其思想發(fā)展和研究成果，記錄在從該年起的數(shù)百頁(yè)筆記中．其中他斷言作為求和的過(guò)程的積分是微分的逆．正是由于牛頓在1665—1666年和萊布尼茨在1673—1676年獨(dú)立建·73·小知識(shí)立了計(jì)算微分和積分的一般方法及它們之間的關(guān)系，他們被公認(rèn)為微積分學(xué)的兩位創(chuàng)始人．萊布尼茨創(chuàng)立的微積分記號(hào)對(duì)微積分的傳播和發(fā)展起了重要作用，并一直沿用至今．萊布尼茨的其他著作包括哲學(xué)、法學(xué)、歷史、語(yǔ)言、生物、地質(zhì)、機(jī)械、物理、外交、神學(xué)，在1671年他制造了第一架可做乘法計(jì)算的計(jì)算機(jī)，他的多才多藝在歷史上少有人能與之相比．·74·

例7

計(jì)算解由于x2

有一個(gè)原函數(shù)為故這就是6.1節(jié)例1(p.202)中所得的結(jié)果．·75·

例8

求

解

sinx的一個(gè)原函數(shù)為-cosx,故這說(shuō)明在［0,

p］上由正弦曲線y=sinx和x軸所圍成的區(qū)域的面積為2.·76·

例

9

設(shè)一直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

s

=

s(t),其速度函數(shù)為v(t),則在時(shí)間段［t1,

t2］內(nèi)所經(jīng)歷的路程為另一方面,由運(yùn)動(dòng)方程,又有

s

=

s(t2)

-

s(t1),故而

v(t)

=

s

(t),即

s(t)

是

v(t)

的一個(gè)原函數(shù),故上述等式即牛頓-萊布尼茨公式

(6.4).(6.4)·77·

例10

求極限：解由定積分的定義,恰好是函數(shù)在［0,1］上的積分和,而f(x)的一個(gè)原函數(shù)是故·78·

例11

設(shè)求

解·79·

例12

設(shè)求

解設(shè)這是一個(gè)常數(shù),故f(x)=x3-I.因此所以即·80·6.3定積分的換元積分法和分部積分法6.3.16.3.2定積分的換元積分法

定積分的分部積分法·81·

由微積分基本公式,在f(x)的原函數(shù)F(x)已知的情況下,定積分的計(jì)算可歸結(jié)為F(x)從x=a變到x=b的增量F(b)-F(a)．而用不定積分的換元積分法和分部積分法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù),故自然可以用這兩種方法計(jì)算定積分．·82·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調(diào),且其導(dǎo)數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

證設(shè)F(x)是f(x)

的一個(gè)原函數(shù),則有又F(j(t))是f(j(t))j(t)的一個(gè)原函數(shù),故這就得到公式(6.5).·83·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調(diào),且其導(dǎo)數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

在定理的證明中并未明顯地用到j(luò)(t)在[a,b](或[b,a])上單調(diào)的假設(shè),其實(shí)這個(gè)條件可以保證函數(shù)x=j(t)(t∈[a,b]或[b,a])的值域包含在[a,b]中,從而復(fù)合函數(shù)f(j(t))在[a,b](或[b,a])上連續(xù)．在用換元法計(jì)算積分時(shí),注意函數(shù)x=j(t)的單調(diào)性是有益的．·84·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調(diào),且其導(dǎo)數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

注意,在應(yīng)用公式(6.5)作換元x=j(t)時(shí),不僅如計(jì)算定積分那樣被積表達(dá)式要變換,積分上、下限也要隨之作變換,即把對(duì)x

積分的積分限a,b相應(yīng)地?fù)Q成對(duì)t

積分的積分限a,b.·85·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調(diào),且其導(dǎo)數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

其次,在求出f(j(t))j(t)的一個(gè)原函數(shù)G(t)后,不必如不定積分那樣要用x=j(t)的反函數(shù)t=j-1(x)代入G(x),而只要直接計(jì)算G(b)-G(a)即可．這是定積分與不定積分的換元法的不同之處．·86·6.3.1定積分的換元積分法

定理6.7

設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),函數(shù)j(t)適合下列條件：

1)j(a)=a,j(b)=b;2)j(t)在［a,b］(或［b,a］)上單調(diào),且其導(dǎo)數(shù)j(t)連續(xù).則(6.5)

公式(6.5)稱為定積分的換元公式,在應(yīng)用(6.5)時(shí),可以把等式左邊化成等式右邊,也可以把等式右邊化成等式左邊．·87·

例1

計(jì)算下列定積分：

解

1)設(shè)則x=t

2,當(dāng)x=0時(shí)t=0,當(dāng)x=4時(shí)t=2.

而x=t

2

在［0,2］上單調(diào),故由(6.5)式,有(6.5)·88·

例1

計(jì)算下列定積分：

解

2)設(shè)x=2sint,則當(dāng)x=0時(shí)t=0,x=2時(shí)

x=2sint在上單調(diào),故在計(jì)算時(shí),沒(méi)有作明顯的換元u=2t,因此不必改變對(duì)t積分的上、下限.(6.5)·89·

例1

計(jì)算下列定積分：

解

3)設(shè)則x=ln(1+t

2),當(dāng)x=0時(shí)t=0,當(dāng)x=ln2時(shí)t=1.ln(1+t

2)在［0,1］上單調(diào),故(6.5)·90·

例1

計(jì)算下列定積分：

解

4)因?yàn)槎?/p>

cos

x

在積分區(qū)間

[0,p]

上有不同符號(hào),在上|cosx

|=cosx,在上|cosx|=-cosx,故·91·

例

2

設(shè)

f

(x)

是［-

a,a］上的連續(xù)函數(shù),證明：

證

對(duì)右邊第一個(gè)積分作換元

x

=

-

t,則后一等式是因定積分的值與積分變量所用的記號(hào)無(wú)關(guān).

當(dāng)

f

(x)

為偶函數(shù)時(shí),

f

(-x)

=

f

(x),

所以

當(dāng)

f

(x)

為奇函數(shù)時(shí),

f

(-x)

=

-

f

(x),所以f(x)