脈沖編碼調制 2-2

脈沖編碼調制25.5 最佳量化器即：最佳量化器就是使量化噪聲最小的量化器，滿足使最小的分層電平與量化電平二組集合的求解過程如下:最佳量化器就是在給定輸入信號概率密度與量化電平數L的條件下，求出一組分層電平值與量化電平值使均方誤差為最小值。求最小值，由其必要條件是:x8x7x6x5x4x3x2x1y7y6y5y4y3y2y1等間隔x8x7x6x5x4x3x2x1y7y6y5y4y3y2y1非等間隔xk+1ykxkΔ量化間隔Δ把代入上式得物理意義：分層電平在相鄰重建電平的中點。15－a5.5 最佳量化器同理由得物理意義：重建電平應該取在量化間隔的質心上15－b5.5 最佳量化器5.5 最佳量化器利用15－a，15－b求解和兩組集合，只能通過迭代法求解，步驟如下：假定信號概率密度對稱分布，故只需計算x>0部分1)選定初始值y1，由式5－15b，在給定x1=0時求出x22)由式5－15a，根據x2求出y23)由式5－15b，根據y2求出x3重復2），3）可求出兩組集合然后將代入5－15b，驗證是否等于若不等則改變y1初值，重復計算，直到5－15b兩端相差滿足給定容差為止。表5－1對應概率為的G(高斯分布)、U(均勻分布)、L(拉斯分布）和Г（伽馬分布）的不同輸入信號，在量化電平分別為L=2,4,8,16時的分層電平和量化電平的迭代結果，只給出大于0的部分，由于的對稱性，小于0時，只需取負即可5.5 最佳量化器L＝2時，由5－15a，5－15b令則考慮的對稱分布，所以則由5－15b可將重建電平寫成代入5－115.5 最佳量化器得5.5 最佳量化器px(x)對稱分布,討論：L>>1時，在之間，近似于常數5－15b可簡化成即最佳量化電平正好在分層電平的中點。此時，輸入電平落在第k層量化間隔的概率5.5 最佳量化器即量化噪聲的功率5－11式可簡化為5.5 最佳量化器5-20當很小時，可寫成積分形式

V—表示量化器的最大量化電平注：輸入電平超過（－V，V）時，稱為量化器過載，其量化噪聲稱為過載噪聲。量化過載噪聲定義為：

——考慮的對稱分布總量化噪聲以上是計算量化噪聲的一般公式5.5 最佳量化器這是一種特殊情況，此時各分層間隔，L為分層數，5.6均勻量化把輸入信號的取值域按等距離分割的量化稱為均勻量化，均勻量化器是指在整個量化范圍（-V,V)內,量化間隔都相等的量化器。由5-20得不過載噪聲：

即均勻量化的量化噪聲：與信號統計特性無關，只與量化間隔有關。注意：上式只是在分層很密，且各層之間量化噪聲互相獨立的情況下才成立通常：在數字通信系統中，信噪比（即信號功率與噪聲功率之比，用SNR表示）是衡量量化器性能的主要技術指標。例1.若量化器輸入為正弦信號，Am為幅度，設信號不過載，則正弦波信號功率為，于是，均勻量化信噪比若分層電平數為L+1,用n位二進制數編碼，則重建電平數

令歸一化有效值

則，用dB表示有5.6均勻量化當，Am=V，時，剛發(fā)生過載(臨界)，

可見：每增加1位編碼n，增大6dB圖5-15均勻量化時的SNR特性5.6均勻量化此時約6dB這里，是信號的均方根值。例2. 實際語音信號語音信號幅度的概率密度可近似地用拉普拉斯分布來表示，即為對稱分布語音信號的功率：（均方值）量化過載噪聲：不過載噪聲：通常認為過載幅度所占概率很小，在不過載范圍（－V，V）內仍有所以不過載部分量化噪聲。（均勻量化）總量化噪聲：分析：1）當D＜0.2時，過載噪聲很?。裕?/p>

2）當信號有效值很大時，過載噪聲將起主要作用，于是

信噪比：（，）5.6均勻量化語音輸入時的SNR特性以20lgDdB為變量本節(jié)所述均勻量化技術廣泛應用于計算機的A/D變換，以及圖像信號的A/D變換，n表示變換器的位數，常有8、12、16位等不同精度.電話語音信號的均方值變動范圍即語音動態(tài)范圍可達（40－50）dB，高質量電話（長途電話）的至少應大于25dB以上。根據例1分析結果有：5.6均勻量化如果采用均勻量化，為了滿足在40－50dB的范圍內的信噪比大于25dB的要求，必須采用n=12位的均勻量化器。

編碼位數多不僅導致設備復雜化，也使傳輸帶寬增加了，這種情況的補救辦法是采用非均勻量化方法。在均勻量化中，量化噪聲與信號電平大小無關（注意信號電平Am，不是量化范圍V）。量化誤差的最大瞬時值5.6均勻量化5.7最佳非均勻量化所以，信號電平越低，信噪比越小，(例：Δk=0.1V時，，信號幅度Am=5V時，相對誤差為1％。信號幅度為0.5V時，相對誤差為10％)。對于小幅度概率密度大的語音信號，可以通過增加分層數目L

提高小信號幅度時信噪比指標，但是，這將導致設備復雜和傳輸帶寬的增加。所以對語音信號采用均勻量化是不合理的，小信號出現概率大，對噪聲功率的貢獻也大，為了使提高，應當減小小信號時的量化間隔，即采用非均勻量化，小信號時量化“細”，大信號時量化“粗”。即采用“瞬時壓擴”的概念，以改善信噪比。5.7最佳非均勻量化非均勻量化器是指量化間隔不相等的量化器(根據語音信號的特點，對低電平分層細一些，即用小的量化間隔去近似，對高電平則用大的量化間隔去近似，使輸入信號電平與量化誤差之比在小信號到大信號的整個范圍內基本一致)。實現上述非均勻量化器方案如下:abc在發(fā)送端首先使輸入信號x通過一個具有上圖a所示壓縮特性f(x)的部件，然后進行均勻量化和編碼，在接收端解碼后利用擴張器，即逆變f--1(x)使壓縮波形復原，如圖b，只要壓縮與擴張?zhí)匦郧『孟喾?，則壓、擴過程就不會引起失真，系統框圖和非均勻量化過程如圖c所示。最佳非均勻量化是指在最佳壓縮特性f(x)的情況下，其量化噪聲取最小值。下面畫出了壓縮特性z=f(x)與量化間隔的關系，可見對壓縮信號z=f(x)是均勻量化間隔Δ而對應的輸入信號x是非均勻量化間隔

設V是量化電平的最大值，L是量化間隔數則（常數）當時，量化層很密，有而對信號x的量化噪聲：（由式5－21）5－41Δ

0

Δkz考慮到以及的對稱性，上式可以寫成求使上式最小的：當給定V、px(x)時，K為常數，求得最佳壓縮特性為5－41對應最小噪聲功率（5－41）當信號幅度概率密度為均勻分布時則:這說明對均勻分布的信號系統來說，均勻量化能獲得最小量化噪聲：這一結果與前面分析的相同——均勻量化的量化噪聲與信號統計特性無關，只與量化間隔有關。當語音信號為拉普拉斯分布時：信號方差最佳壓縮特性則與（均方根值）有關——即與方差有關5-49（均方根值也稱作有效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方）由于壓縮特性f(x)與信號方差（均方根值σx）有關，當σx變動時，量化噪聲σq2將偏離最小值，從而量化信噪比將下降——這種情況稱為量化器方差失配。最小量化噪聲功率：當由公式以上述語音信號為例，在給定情況下，最佳量化的SNR特性如下式（將5-49代入5-41）和右圖5-19所示：由圖可見，信噪比大于20dB的動態(tài)范圍還不到20dB,遠遠不能滿足長途電話45dB動態(tài)范圍的要求，因此，上述最佳壓縮特性并沒有獲得實際應用。-50-40-30-20-10SNR4030201020dB5.8對數量化及其折線近似按照在規(guī)定的動態(tài)范圍（輸入語音信號動態(tài)范圍在45dB）內，量化噪聲的信噪比盡可能保持平穩(wěn)的要求來設計的量化器，具有對數量化特性，稱為對數量化器。5.8.1理想對數量化可以將x0小信號進行修正，以利于實用化。經修正的在國際上通用的兩種對數壓縮特性是：

A律與

μ律即：壓縮特性f(x)為對數特性時，量化器輸出信噪比始終保持為常數。*對數壓縮特性相當于對輸入小信號電平值放大倍數增大，而對大電平值放大倍數減小，從而壓縮了信號的動態(tài)范圍。*但是，理想的對數放大是無法實現的，因為令量化器歸一化過載電壓為，（將輸入信號歸一化），則A律對數壓縮特性定義為：A為壓縮常數a.A律對數壓縮特性A律壓縮實際為兩段：第一段直線段，斜率為的一條直線，即為均勻量化第二段為對數特性曲線，ITUG.712建議中取A＝87.6，此時f(x)*A律對數壓縮時的量化噪聲為簡化分析，設在滿載情況下（xmax/V=1），寫成對過載電平V歸一化形式：b.

μ律對數壓縮特性ITUG.712建議中?。?55，L＝256小信號時改善33.5dB，優(yōu)于A律。為壓縮系數律A律與A律相似，愈大則壓縮效果愈明顯當=0時，f(x)=x相當于無壓縮隨著集成電路和數字技術的發(fā)展，數字壓擴技術獲得了廣泛應用：它利用數字電路形成許多折線來近似非線性壓縮曲線。實際采用的有7折線律（=100），13折線A律和15折線律.上述兩種特性仍難以實現，因而實際中采用折線近似。

*折線近似，用數字電路容易實現。*A律與μ

律量化特性起始段不同5.8.4對數壓縮特性的折線近似如圖：A律13折線壓縮特性（圖中只畫出了x>0的部分，x<0的部分與其原點對稱），圖中x和z分別表示歸一化的輸入和輸出幅度:0～1.輸入信號x的歸一化范圍(0,1)被分成不均勻的8個區(qū)間，分法是，每個區(qū)間長度以2倍遞增，或相反以1/2遞減然后，每個區(qū)間段再均勻的分成16等分（于是在0～1范圍內共有16*8=128個量化分層，但每個區(qū)間上的分層間隔是不均勻的（除第一、二個區(qū)間外)）將縱軸在區(qū)間0～1內被均勻的分成8個段，每段再等分成16份，即z在0～1范圍內被均勻的分成128個量化分層由于負方向和正方向的1、2段斜率均相同，所以實際只有13段折線zzz1786858483828181011281641161321181412x斜率：1段162段163段84段45段26段17段1/28段1/4234567第8段在原點上折線的斜率＝16，由A律的斜率＝16可得A＝87.6,所以這條折線與A＝87.6壓縮特性很接近用8位PCM編碼，8位編碼安排如下C7C6C5C4C3C2C1C0極性碼段落碼段內碼1）極性碼C7＝1為正，＝0為負2）3位段落碼即表示不同的段也表示各段不同的起始電平3）每個折線段等分為16份，由4位段內碼編碼可見：z軸均勻量化間隔對應x的最小分層電平最大量化間隔zz1111****1110****1101****1100****1011****1010****1001****1000****C7C6C5C4C3C2C1C0極性碼碼段落C6C5C4段內碼C3C2C1C013折線幅度碼及其對應電平13折線近似A率壓縮PCM的SNR曲線出現起伏現象，不再是單調曲線。這是因為在每段折線的起始部分內，量化間隔突然成倍增加，導致量化噪聲（正比于Δk2）增加很快，而信號功率的增加卻沒有那么快，因而SNR反而略有下降。但隨信號功率的增加，噪聲功率基本保持不變，因此SNR又開始增加。這樣共出現了6個起伏，7個峰值（與折線段對應）。SNR曲線出現起伏5.9

PCM（脈沖編碼調制）編碼原理5.9.1折疊二進制碼（FBC）常見的二進制碼組有：1）自然二進制碼組NBC;2）格雷二進制碼組RBC;3)折疊二進制碼組FBC;1）自然碼NBC是十進制正整數的二進制表示，其編碼操作簡單2）折疊碼FBC左邊第一位表示正負號（1為正，0為負）剩余部分表示幅度，折疊碼的優(yōu)點：1）因為絕對值相同的折疊碼，其碼組除第一位極性碼外都相同，所以對于雙極性信號采用簡單的單極性編碼，可簡化編碼電路（例如，一雙極性信號需要128個量化級，采用一個極性判別電路后，只需64個量化級的編碼電路)2）與自然碼相比，FBC在傳輸中，若出現誤碼，誤碼對小信號影響較小。例如第一位發(fā)生錯誤，對任何一個自然碼的解碼后，其幅度誤差都是信號最大幅度的1/2,而對于小信號時的折疊碼來說，解碼后的幅度誤差要小的多，由于語音信號的小信號概率很大，所以PCM標準中采用了折疊碼.設對應于自然二進制碼的折疊碼為則從NBC到FBC的變換為:二從FBC到NBC的變換為:

設對應于自然二進制碼的格雷碼為則從NBC到RBC的變換為而從RBC到NBC的變換為

3）格雷碼RBC的特點是使相鄰兩個電平的碼字之間的距離始終保持為1，因此，在信號傳輸過程中，若對發(fā)生變化的比特位判斷有誤（指相鄰電平），只能錯判成相鄰電平，使錯誤減小到最低。附：非均勻量化與均勻量化的比較若以非均勻量化（13折線A率對數）的最小量化間隔（Δmin(x)=1個單位）作為均勻量化的量化間隔（Δ=1），13折線的第1到第8段各段所包含的均勻量化數分別為：16、16、32、64、128、256、512、1024，總共2048個均勻量化區(qū)間（或量化單位），需要11位編碼；非均勻量化時只有128個量化間隔，只需要7位編碼；可見，在保證小信號區(qū)間量化間隔相同的條件下，7位非線性編碼與11位線性編碼等效。非線性編碼位數減少，設備簡單，系統帶寬也減小。練習：見<通信原理復習提綱>第10頁

“【例】”5.9.2信道誤碼對信噪比的影響在PCM通信系統中，重建信號（接收端）的誤差來源為

1.量化器的量化誤差;

2.誤碼引起的失真;當與二者相互統計獨立時，總噪聲功率為若均勻量化，量化噪聲功率誤碼產生的噪聲功率為：式中為第i級量化電平；

為第j級量化電平；是由錯為的概率；是的出現概率；L是量化電平總數設即每個量化電平出現的概率相等在假設加性噪聲為高斯白噪聲的情況下,每一碼組中出現的誤碼可以認為是彼此獨立的，并設每個碼元的誤碼率皆為Pe?？紤]到實際中PCM的每個碼組中出現多于1位誤碼的概率很低，所以通常只需要考慮僅有1位誤碼的碼組錯誤。由于碼組中各位碼的權值不同，因此，誤差的大小取決誤碼發(fā)生在碼組的哪一位上，而且與碼型有關。以N位長自然二進碼為例，自最低位到最高位的加權值分別為20,21,…2k-1，…2N-1

，若量化間隔為Δ，則發(fā)生在第k位上的誤碼所造成的誤差為±(2k-1Δ)，其所產生的噪聲功率便是(2k-1Δ)2。假設每位碼元所產生的誤碼率是相同的Pe