脈沖編碼調(diào)制 2-2

脈沖編碼調(diào)制25.5 最佳量化器即：最佳量化器就是使量化噪聲最小的量化器，滿足使最小的分層電平與量化電平二組集合的求解過程如下:最佳量化器就是在給定輸入信號(hào)概率密度與量化電平數(shù)L的條件下，求出一組分層電平值與量化電平值使均方誤差為最小值。求最小值，由其必要條件是:x8x7x6x5x4x3x2x1y7y6y5y4y3y2y1等間隔x8x7x6x5x4x3x2x1y7y6y5y4y3y2y1非等間隔xk+1ykxkΔ量化間隔Δ把代入上式得物理意義：分層電平在相鄰重建電平的中點(diǎn)。15－a5.5 最佳量化器同理由得物理意義：重建電平應(yīng)該取在量化間隔的質(zhì)心上15－b5.5 最佳量化器5.5 最佳量化器利用15－a，15－b求解和兩組集合，只能通過迭代法求解，步驟如下：假定信號(hào)概率密度對(duì)稱分布，故只需計(jì)算x>0部分1)選定初始值y1，由式5－15b，在給定x1=0時(shí)求出x22)由式5－15a，根據(jù)x2求出y23)由式5－15b，根據(jù)y2求出x3重復(fù)2），3）可求出兩組集合然后將代入5－15b，驗(yàn)證是否等于若不等則改變y1初值，重復(fù)計(jì)算，直到5－15b兩端相差滿足給定容差為止。表5－1對(duì)應(yīng)概率為的G(高斯分布)、U(均勻分布)、L(拉斯分布）和Г（伽馬分布）的不同輸入信號(hào)，在量化電平分別為L(zhǎng)=2,4,8,16時(shí)的分層電平和量化電平的迭代結(jié)果，只給出大于0的部分，由于的對(duì)稱性，小于0時(shí)，只需取負(fù)即可5.5 最佳量化器L＝2時(shí)，由5－15a，5－15b令則考慮的對(duì)稱分布，所以則由5－15b可將重建電平寫成代入5－115.5 最佳量化器得5.5 最佳量化器px(x)對(duì)稱分布,討論：L>>1時(shí)，在之間，近似于常數(shù)5－15b可簡(jiǎn)化成即最佳量化電平正好在分層電平的中點(diǎn)。此時(shí)，輸入電平落在第k層量化間隔的概率5.5 最佳量化器即量化噪聲的功率5－11式可簡(jiǎn)化為5.5 最佳量化器5-20當(dāng)很小時(shí)，可寫成積分形式

V—表示量化器的最大量化電平注：輸入電平超過（－V，V）時(shí)，稱為量化器過載，其量化噪聲稱為過載噪聲。量化過載噪聲定義為：

——考慮的對(duì)稱分布總量化噪聲以上是計(jì)算量化噪聲的一般公式5.5 最佳量化器這是一種特殊情況，此時(shí)各分層間隔，L為分層數(shù)，5.6均勻量化把輸入信號(hào)的取值域按等距離分割的量化稱為均勻量化，均勻量化器是指在整個(gè)量化范圍（-V,V)內(nèi),量化間隔都相等的量化器。由5-20得不過載噪聲：

即均勻量化的量化噪聲：與信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性無(wú)關(guān)，只與量化間隔有關(guān)。注意：上式只是在分層很密，且各層之間量化噪聲互相獨(dú)立的情況下才成立通常：在數(shù)字通信系統(tǒng)中，信噪比（即信號(hào)功率與噪聲功率之比，用SNR表示）是衡量量化器性能的主要技術(shù)指標(biāo)。例1.若量化器輸入為正弦信號(hào)，Am為幅度，設(shè)信號(hào)不過載，則正弦波信號(hào)功率為，于是，均勻量化信噪比若分層電平數(shù)為L(zhǎng)+1,用n位二進(jìn)制數(shù)編碼，則重建電平數(shù)

令歸一化有效值

則，用dB表示有5.6均勻量化當(dāng)，Am=V，時(shí)，剛發(fā)生過載(臨界)，

可見：每增加1位編碼n，增大6dB圖5-15均勻量化時(shí)的SNR特性5.6均勻量化此時(shí)約6dB這里，是信號(hào)的均方根值。例2. 實(shí)際語(yǔ)音信號(hào)語(yǔ)音信號(hào)幅度的概率密度可近似地用拉普拉斯分布來(lái)表示，即為對(duì)稱分布語(yǔ)音信號(hào)的功率：（均方值）量化過載噪聲：不過載噪聲：通常認(rèn)為過載幅度所占概率很小，在不過載范圍（－V，V）內(nèi)仍有所以不過載部分量化噪聲。（均勻量化）總量化噪聲：分析：1）當(dāng)D＜0.2時(shí)，過載噪聲很?。裕?/p>

2）當(dāng)信號(hào)有效值很大時(shí)，過載噪聲將起主要作用，于是

信噪比：（，）5.6均勻量化語(yǔ)音輸入時(shí)的SNR特性以20lgDdB為變量本節(jié)所述均勻量化技術(shù)廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)的A/D變換，以及圖像信號(hào)的A/D變換，n表示變換器的位數(shù)，常有8、12、16位等不同精度.電話語(yǔ)音信號(hào)的均方值變動(dòng)范圍即語(yǔ)音動(dòng)態(tài)范圍可達(dá)（40－50）dB，高質(zhì)量電話（長(zhǎng)途電話）的至少應(yīng)大于25dB以上。根據(jù)例1分析結(jié)果有：5.6均勻量化如果采用均勻量化，為了滿足在40－50dB的范圍內(nèi)的信噪比大于25dB的要求，必須采用n=12位的均勻量化器。

編碼位數(shù)多不僅導(dǎo)致設(shè)備復(fù)雜化，也使傳輸帶寬增加了，這種情況的補(bǔ)救辦法是采用非均勻量化方法。在均勻量化中，量化噪聲與信號(hào)電平大小無(wú)關(guān)（注意信號(hào)電平Am，不是量化范圍V）。量化誤差的最大瞬時(shí)值5.6均勻量化5.7最佳非均勻量化所以，信號(hào)電平越低，信噪比越小，(例：Δk=0.1V時(shí)，，信號(hào)幅度Am=5V時(shí)，相對(duì)誤差為1％。信號(hào)幅度為0.5V時(shí)，相對(duì)誤差為10％)。對(duì)于小幅度概率密度大的語(yǔ)音信號(hào)，可以通過增加分層數(shù)目L

提高小信號(hào)幅度時(shí)信噪比指標(biāo)，但是，這將導(dǎo)致設(shè)備復(fù)雜和傳輸帶寬的增加。所以對(duì)語(yǔ)音信號(hào)采用均勻量化是不合理的，小信號(hào)出現(xiàn)概率大，對(duì)噪聲功率的貢獻(xiàn)也大，為了使提高，應(yīng)當(dāng)減小小信號(hào)時(shí)的量化間隔，即采用非均勻量化，小信號(hào)時(shí)量化“細(xì)”，大信號(hào)時(shí)量化“粗”。即采用“瞬時(shí)壓擴(kuò)”的概念，以改善信噪比。5.7最佳非均勻量化非均勻量化器是指量化間隔不相等的量化器(根據(jù)語(yǔ)音信號(hào)的特點(diǎn)，對(duì)低電平分層細(xì)一些，即用小的量化間隔去近似，對(duì)高電平則用大的量化間隔去近似，使輸入信號(hào)電平與量化誤差之比在小信號(hào)到大信號(hào)的整個(gè)范圍內(nèi)基本一致)。實(shí)現(xiàn)上述非均勻量化器方案如下:abc在發(fā)送端首先使輸入信號(hào)x通過一個(gè)具有上圖a所示壓縮特性f(x)的部件，然后進(jìn)行均勻量化和編碼，在接收端解碼后利用擴(kuò)張器，即逆變f--1(x)使壓縮波形復(fù)原，如圖b，只要壓縮與擴(kuò)張?zhí)匦郧『孟喾矗瑒t壓、擴(kuò)過程就不會(huì)引起失真，系統(tǒng)框圖和非均勻量化過程如圖c所示。最佳非均勻量化是指在最佳壓縮特性f(x)的情況下，其量化噪聲取最小值。下面畫出了壓縮特性z=f(x)與量化間隔的關(guān)系，可見對(duì)壓縮信號(hào)z=f(x)是均勻量化間隔Δ而對(duì)應(yīng)的輸入信號(hào)x是非均勻量化間隔

設(shè)V是量化電平的最大值，L是量化間隔數(shù)則（常數(shù)）當(dāng)時(shí)，量化層很密，有而對(duì)信號(hào)x的量化噪聲：（由式5－21）5－41Δ

0

Δkz考慮到以及的對(duì)稱性，上式可以寫成求使上式最小的：當(dāng)給定V、px(x)時(shí)，K為常數(shù)，求得最佳壓縮特性為5－41對(duì)應(yīng)最小噪聲功率（5－41）當(dāng)信號(hào)幅度概率密度為均勻分布時(shí)則:這說明對(duì)均勻分布的信號(hào)系統(tǒng)來(lái)說，均勻量化能獲得最小量化噪聲：這一結(jié)果與前面分析的相同——均勻量化的量化噪聲與信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性無(wú)關(guān)，只與量化間隔有關(guān)。當(dāng)語(yǔ)音信號(hào)為拉普拉斯分布時(shí)：信號(hào)方差最佳壓縮特性則與（均方根值）有關(guān)——即與方差有關(guān)5-49（均方根值也稱作有效值，它的計(jì)算方法是先平方、再平均、然后開方）由于壓縮特性f(x)與信號(hào)方差（均方根值σx）有關(guān)，當(dāng)σx變動(dòng)時(shí)，量化噪聲σq2將偏離最小值，從而量化信噪比將下降——這種情況稱為量化器方差失配。最小量化噪聲功率：當(dāng)由公式以上述語(yǔ)音信號(hào)為例，在給定情況下，最佳量化的SNR特性如下式（將5-49代入5-41）和右圖5-19所示：由圖可見，信噪比大于20dB的動(dòng)態(tài)范圍還不到20dB,遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足長(zhǎng)途電話45dB動(dòng)態(tài)范圍的要求，因此，上述最佳壓縮特性并沒有獲得實(shí)際應(yīng)用。-50-40-30-20-10SNR4030201020dB5.8對(duì)數(shù)量化及其折線近似按照在規(guī)定的動(dòng)態(tài)范圍（輸入語(yǔ)音信號(hào)動(dòng)態(tài)范圍在45dB）內(nèi)，量化噪聲的信噪比盡可能保持平穩(wěn)的要求來(lái)設(shè)計(jì)的量化器，具有對(duì)數(shù)量化特性，稱為對(duì)數(shù)量化器。5.8.1理想對(duì)數(shù)量化可以將x0小信號(hào)進(jìn)行修正，以利于實(shí)用化。經(jīng)修正的在國(guó)際上通用的兩種對(duì)數(shù)壓縮特性是：

A律與

μ律即：壓縮特性f(x)為對(duì)數(shù)特性時(shí)，量化器輸出信噪比始終保持為常數(shù)。*對(duì)數(shù)壓縮特性相當(dāng)于對(duì)輸入小信號(hào)電平值放大倍數(shù)增大，而對(duì)大電平值放大倍數(shù)減小，從而壓縮了信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍。*但是，理想的對(duì)數(shù)放大是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)榱盍炕鳉w一化過載電壓為，（將輸入信號(hào)歸一化），則A律對(duì)數(shù)壓縮特性定義為：A為壓縮常數(shù)a.A律對(duì)數(shù)壓縮特性A律壓縮實(shí)際為兩段：第一段直線段，斜率為的一條直線，即為均勻量化第二段為對(duì)數(shù)特性曲線，ITUG.712建議中取A＝87.6，此時(shí)f(x)*A律對(duì)數(shù)壓縮時(shí)的量化噪聲為簡(jiǎn)化分析，設(shè)在滿載情況下（xmax/V=1），寫成對(duì)過載電平V歸一化形式：b.

μ律對(duì)數(shù)壓縮特性ITUG.712建議中取＝255，L＝256小信號(hào)時(shí)改善33.5dB，優(yōu)于A律。為壓縮系數(shù)律A律與A律相似，愈大則壓縮效果愈明顯當(dāng)=0時(shí)，f(x)=x相當(dāng)于無(wú)壓縮隨著集成電路和數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字壓擴(kuò)技術(shù)獲得了廣泛應(yīng)用：它利用數(shù)字電路形成許多折線來(lái)近似非線性壓縮曲線。實(shí)際采用的有7折線律（=100），13折線A律和15折線律.上述兩種特性仍難以實(shí)現(xiàn)，因而實(shí)際中采用折線近似。

*折線近似，用數(shù)字電路容易實(shí)現(xiàn)。*A律與μ

律量化特性起始段不同5.8.4對(duì)數(shù)壓縮特性的折線近似如圖：A律13折線壓縮特性（圖中只畫出了x>0的部分，x<0的部分與其原點(diǎn)對(duì)稱），圖中x和z分別表示歸一化的輸入和輸出幅度:0～1.輸入信號(hào)x的歸一化范圍(0,1)被分成不均勻的8個(gè)區(qū)間，分法是，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度以2倍遞增，或相反以1/2遞減然后，每個(gè)區(qū)間段再均勻的分成16等分（于是在0～1范圍內(nèi)共有16*8=128個(gè)量化分層，但每個(gè)區(qū)間上的分層間隔是不均勻的（除第一、二個(gè)區(qū)間外)）將縱軸在區(qū)間0～1內(nèi)被均勻的分成8個(gè)段，每段再等分成16份，即z在0～1范圍內(nèi)被均勻的分成128個(gè)量化分層由于負(fù)方向和正方向的1、2段斜率均相同，所以實(shí)際只有13段折線zzz1786858483828181011281641161321181412x斜率：1段162段163段84段45段26段17段1/28段1/4234567第8段在原點(diǎn)上折線的斜率＝16，由A律的斜率＝16可得A＝87.6,所以這條折線與A＝87.6壓縮特性很接近用8位PCM編碼，8位編碼安排如下C7C6C5C4C3C2C1C0極性碼段落碼段內(nèi)碼1）極性碼C7＝1為正，＝0為負(fù)2）3位段落碼即表示不同的段也表示各段不同的起始電平3）每個(gè)折線段等分為16份，由4位段內(nèi)碼編碼可見：z軸均勻量化間隔對(duì)應(yīng)x的最小分層電平最大量化間隔zz1111****1110****1101****1100****1011****1010****1001****1000****C7C6C5C4C3C2C1C0極性碼碼段落C6C5C4段內(nèi)碼C3C2C1C013折線幅度碼及其對(duì)應(yīng)電平13折線近似A率壓縮PCM的SNR曲線出現(xiàn)起伏現(xiàn)象，不再是單調(diào)曲線。這是因?yàn)樵诿慷握劬€的起始部分內(nèi)，量化間隔突然成倍增加，導(dǎo)致量化噪聲（正比于Δk2）增加很快，而信號(hào)功率的增加卻沒有那么快，因而SNR反而略有下降。但隨信號(hào)功率的增加，噪聲功率基本保持不變，因此SNR又開始增加。這樣共出現(xiàn)了6個(gè)起伏，7個(gè)峰值（與折線段對(duì)應(yīng)）。SNR曲線出現(xiàn)起伏5.9

PCM（脈沖編碼調(diào)制）編碼原理5.9.1折疊二進(jìn)制碼（FBC）常見的二進(jìn)制碼組有：1）自然二進(jìn)制碼組NBC;2）格雷二進(jìn)制碼組RBC;3)折疊二進(jìn)制碼組FBC;1）自然碼NBC是十進(jìn)制正整數(shù)的二進(jìn)制表示，其編碼操作簡(jiǎn)單2）折疊碼FBC左邊第一位表示正負(fù)號(hào)（1為正，0為負(fù)）剩余部分表示幅度，折疊碼的優(yōu)點(diǎn)：1）因?yàn)榻^對(duì)值相同的折疊碼，其碼組除第一位極性碼外都相同，所以對(duì)于雙極性信號(hào)采用簡(jiǎn)單的單極性編碼，可簡(jiǎn)化編碼電路（例如，一雙極性信號(hào)需要128個(gè)量化級(jí)，采用一個(gè)極性判別電路后，只需64個(gè)量化級(jí)的編碼電路)2）與自然碼相比，F(xiàn)BC在傳輸中，若出現(xiàn)誤碼，誤碼對(duì)小信號(hào)影響較小。例如第一位發(fā)生錯(cuò)誤，對(duì)任何一個(gè)自然碼的解碼后，其幅度誤差都是信號(hào)最大幅度的1/2,而對(duì)于小信號(hào)時(shí)的折疊碼來(lái)說，解碼后的幅度誤差要小的多，由于語(yǔ)音信號(hào)的小信號(hào)概率很大，所以PCM標(biāo)準(zhǔn)中采用了折疊碼.設(shè)對(duì)應(yīng)于自然二進(jìn)制碼的折疊碼為則從NBC到FBC的變換為:二從FBC到NBC的變換為:

設(shè)對(duì)應(yīng)于自然二進(jìn)制碼的格雷碼為則從NBC到RBC的變換為而從RBC到NBC的變換為

3）格雷碼RBC的特點(diǎn)是使相鄰兩個(gè)電平的碼字之間的距離始終保持為1，因此，在信號(hào)傳輸過程中，若對(duì)發(fā)生變化的比特位判斷有誤（指相鄰電平），只能錯(cuò)判成相鄰電平，使錯(cuò)誤減小到最低。附：非均勻量化與均勻量化的比較若以非均勻量化（13折線A率對(duì)數(shù)）的最小量化間隔（Δmin(x)=1個(gè)單位）作為均勻量化的量化間隔（Δ=1），13折線的第1到第8段各段所包含的均勻量化數(shù)分別為：16、16、32、64、128、256、512、1024，總共2048個(gè)均勻量化區(qū)間（或量化單位），需要11位編碼；非均勻量化時(shí)只有128個(gè)量化間隔，只需要7位編碼；可見，在保證小信號(hào)區(qū)間量化間隔相同的條件下，7位非線性編碼與11位線性編碼等效。非線性編碼位數(shù)減少，設(shè)備簡(jiǎn)單，系統(tǒng)帶寬也減小。練習(xí)：見<通信原理復(fù)習(xí)提綱>第10頁(yè)

“【例】”5.9.2信道誤碼對(duì)信噪比的影響在PCM通信系統(tǒng)中，重建信號(hào)（接收端）的誤差來(lái)源為

1.量化器的量化誤差;

2.誤碼引起的失真;當(dāng)與二者相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)，總噪聲功率為若均勻量化，量化噪聲功率誤碼產(chǎn)生的噪聲功率為：式中為第i級(jí)量化電平；

為第j級(jí)量化電平；是由錯(cuò)為的概率；是的出現(xiàn)概率；L是量化電平總數(shù)設(shè)即每個(gè)量化電平出現(xiàn)的概率相等在假設(shè)加性噪聲為高斯白噪聲的情況下,每一碼組中出現(xiàn)的誤碼可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，并設(shè)每個(gè)碼元的誤碼率皆為Pe?？紤]到實(shí)際中PCM的每個(gè)碼組中出現(xiàn)多于1位誤碼的概率很低，所以通常只需要考慮僅有1位誤碼的碼組錯(cuò)誤。由于碼組中各位碼的權(quán)值不同，因此，誤差的大小取決誤碼發(fā)生在碼組的哪一位上，而且與碼型有關(guān)。以N位長(zhǎng)自然二進(jìn)碼為例，自最低位到最高位的加權(quán)值分別為20,21,…2k-1，…2N-1

，若量化間隔為Δ，則發(fā)生在第k位上的誤碼所造成的誤差為±(2k-1Δ)，其所產(chǎn)生的噪聲功率便是(2k-1Δ)2。假設(shè)每位碼元所產(chǎn)生的誤碼率是相同的Pe