經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)第一章

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)講義主講人：楊利琴講課時(shí)間：2014.9.19郵箱：yangliqin11@第一章：經(jīng)濟(jì)函數(shù)與極限第二章：導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第三章：積分及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第四章：矩陣與行列式第五章：概率統(tǒng)計(jì)目錄第一章二、常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)三、極限的概念一、函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、極限的運(yùn)算經(jīng)濟(jì)函數(shù)與極限五、復(fù)利與貼現(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)的概念二、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)1.1函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、函數(shù)的概念例1：存款年利率r，若把k元存入銀行，按復(fù)利計(jì)算，則n年后本利和為：例2：某企業(yè)每年生產(chǎn)某產(chǎn)品最多300噸，固定成本15萬(wàn)元，每生產(chǎn)一噸成本增加0.5萬(wàn)元，則總成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系為：因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義：通常我們把叫作的鄰域鄰域，記作它實(shí)際上是以為中心，長(zhǎng)度為的一個(gè)開(kāi)區(qū)間。2.函數(shù)的表示法：表格法圖形法解析法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.函數(shù)的性質(zhì)（1）單調(diào)性（單調(diào)增與單調(diào)減函數(shù)）（2）奇偶性（奇函數(shù)與偶函數(shù)）（3）極值與最值（4）周期性在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).4.分段函數(shù)

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4321-1-3xyo取整函數(shù)1.1.2基本初等函數(shù)1.常函數(shù)2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)6.反三角函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)反三角函數(shù)1.1.3復(fù)合函數(shù)定義說(shuō)明（1）合成原則：由內(nèi)向外依次代入（2）分解原則：由外向內(nèi)分解為基本初等函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程例如：分解下列復(fù)合函數(shù)1.1.4初等函數(shù)定義：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算或有限次的復(fù)合所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)注分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)

(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo1-1xyo(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階

梯

曲

線有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)(4)取最值函數(shù)yxoyxo第一章1>需求函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)第二節(jié)2>供給函數(shù)3>成本函數(shù)4>收益函數(shù)5>利潤(rùn)函數(shù)1.2.1需求函數(shù)

1.

需求是指在某一特定的時(shí)間內(nèi)，在各種可能的價(jià)格條件下，消費(fèi)者愿意購(gòu)買(mǎi)并且有支付能力購(gòu)買(mǎi)的該商品的數(shù)量。

，注：消費(fèi)者的需求，有支付能力的需求，愿意發(fā)生的需求，一定時(shí)間的需求等。2.需求價(jià)格：消費(fèi)者對(duì)所需要的一定量的商品所愿意支付的價(jià)格商品的需求量受那些因素的影響？商品本身的價(jià)格、消費(fèi)者的收入水平、相關(guān)商品的價(jià)格、消費(fèi)者的個(gè)人偏好，消費(fèi)者人數(shù)、時(shí)間等因素的而影響

1.需求是指在某一特定的時(shí)間內(nèi)，在各種可能的價(jià)格條件下，消費(fèi)者愿意購(gòu)買(mǎi)并且有支付能力購(gòu)買(mǎi)的該商品的數(shù)量。注：消費(fèi)者的需求，有支付能力的需求，愿意發(fā)生的需求，一定時(shí)間的需求等。

商品的需求量與價(jià)格成反比，故需求函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)。需求函數(shù)：在只有商品的價(jià)格影響商品的需求量的前提下，商品的需求量Q（quantity）與商品價(jià)格之間P（price）的函數(shù)稱為需求函數(shù),記作：價(jià)格需求函數(shù)：需求函數(shù)的反函數(shù)稱為價(jià)格函數(shù)。常用的需求函數(shù)解析式如下：（1）線性需求函數(shù)

（2）冪需求函數(shù)

（3）指數(shù)需求函數(shù)

（4）二次需求函數(shù)需求函數(shù)的表示方法1需求表2需求曲線3需求函數(shù)解析式冰激凌的價(jià)格/元冰激凌的需求量/個(gè)0.0120.5101.081.562.042.523.001.2.2供給函數(shù)

1.供給是指單個(gè)生產(chǎn)者在一定時(shí)期內(nèi)在各種可能的價(jià)格下愿意而且能夠提供出售的該商品的數(shù)量。

2.供給價(jià)格：生產(chǎn)者為提供一定量商品所愿意接受的價(jià)格商品的供給量受哪些因素影響呢？商品本身的價(jià)格、生產(chǎn)者的成本、生產(chǎn)技術(shù)、相關(guān)商品的價(jià)格、等等，

商品供給量與價(jià)格成正比，供給函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)。供給函數(shù)：假設(shè)商品的供給量只受商品價(jià)格（P）的影響外不受其他因素的影響的情況下，商品的供給量（supply）是商品價(jià)格（P）的函數(shù)稱為供給函數(shù)，記作：供給函數(shù)的表示方法：（1）供給表（2）供給曲線（3）供給函數(shù)常用的供給函數(shù)如下：（1）線性函數(shù)

（2）冪函數(shù)

（3）指數(shù)函數(shù)

冰激凌的價(jià)格/元冰激凌的需求量/萬(wàn)個(gè)0.000.501.011.522.032.543.05供給曲線市場(chǎng)平衡價(jià)格：對(duì)某種商品來(lái)說(shuō)，令解出的P使得商品的需求量和供給量正好相等，此時(shí)的商品價(jià)格叫市場(chǎng)平衡價(jià)格需求函數(shù)與供給函數(shù)之間的關(guān)系

，例

設(shè)某蘋(píng)果公司將蘋(píng)果的售價(jià)為4元/Kg，每天可銷(xiāo)售1000kg，如果售價(jià)每提高0.1元/kg,銷(xiāo)售量就減少200kg，求蘋(píng)果的線性需求函數(shù)？當(dāng)蘋(píng)果的收購(gòu)價(jià)為4.5元/kg時(shí)，每月能收購(gòu)2000kg,若收購(gòu)價(jià)提高0.1元/kg，則收購(gòu)量可增加200kg,求蘋(píng)果的線性供給函數(shù)？最后求市場(chǎng)的平衡價(jià)格？（1）價(jià)格>均衡價(jià)格，出現(xiàn)“供過(guò)于求”，降價(jià)；價(jià)格總是圍繞均衡價(jià)格擺動(dòng)的，當(dāng)（2）價(jià)格<均衡價(jià)格，出現(xiàn)“供不應(yīng)求”，漲價(jià).1.2.3成本函數(shù)成本：生產(chǎn)活動(dòng)中所使用的生產(chǎn)要素的價(jià)格，成本也稱為生產(chǎn)費(fèi)用。生產(chǎn)要素則是指生產(chǎn)某種商品時(shí)所投入的經(jīng)濟(jì)資源，它包括勞動(dòng)力、土地、機(jī)器設(shè)備、廠房等?？偝杀竞瘮?shù)：總成本C（cost）與產(chǎn)量Q之間的關(guān)系稱為總成本函數(shù)，記作：總成本：生產(chǎn)特定產(chǎn)量的產(chǎn)品所需要的成本總額固定成本可變成本平均成本函數(shù)：平均每個(gè)單位產(chǎn)品的成本，記作：例：某公司某個(gè)產(chǎn)品的總成本函數(shù)為求該公司生產(chǎn)200件產(chǎn)品時(shí)的總成本和平均成本？若商品的價(jià)格不發(fā)生變化，記作此時(shí)總收益函數(shù)為1.2.4收益函數(shù)收益：生產(chǎn)者出售產(chǎn)品的收入，收益R作為銷(xiāo)量Q之間的函數(shù)稱為總收益函數(shù)。記作：若已知需求函數(shù)則總收益函數(shù)為1.2.5利潤(rùn)函數(shù)在假設(shè)產(chǎn)量與銷(xiāo)量一致的情況下，總利潤(rùn)函數(shù)L為總收益函數(shù)（R）與總成本函數(shù)（C）的差例題例：某商品共有1000t可供銷(xiāo)售，定價(jià)為80元/t,若銷(xiāo)售量在800t以內(nèi),按原定價(jià)格出售；若銷(xiāo)售超過(guò)800t,則超過(guò)的部分打九折優(yōu)惠出售，試求收益函數(shù)R（Q）.例：收音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元，成本為60元，廠商為鼓勵(lì)銷(xiāo)售商大量采購(gòu)，決定凡是訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)的，每多訂購(gòu)100臺(tái)售價(jià)就降低1元，但最低價(jià)為每臺(tái)75元（1）將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)P表示為訂購(gòu)量x的函數(shù)；（2）將廠方所獲的利潤(rùn)表示為訂購(gòu)量x的函數(shù)；（3）某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái)，廠方可獲利潤(rùn)多少？

1.3極限的概念1數(shù)列的極限2函數(shù)的極限3極限的四則運(yùn)算4函數(shù)的連續(xù)性定義：按照自然順序排列的一列數(shù)成為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。記為1、數(shù)列概念的回顧其中數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，例如2、數(shù)列極限定義的引入引例1.中國(guó)古代哲學(xué)家莊周在《莊子·天下篇》中引述惠施的話：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”引例2.“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”

---劉輝《割圓術(shù)》正三角形面積正四角形面積1.3.1數(shù)列的極限數(shù)列的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì)對(duì)于數(shù)列常數(shù)a.記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列為發(fā)散

.或則稱該數(shù)列的極限為a.數(shù)列極限的概念當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列無(wú)限趨近于例如趨勢(shì)不定收斂發(fā)散求下列數(shù)列的極限：1.3.2函數(shù)的極限1自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2自變量趨于有限時(shí)函數(shù)的極限3單側(cè)極限（1）且x所取得值無(wú)限增大，x的這種變化，記為（2）且x所取得值使-x無(wú)限增大，x的這種變化，記為（3）且x所取得值使|x|無(wú)限增大，x的這種變化，記為一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限的變化趨勢(shì)例：的變化趨勢(shì)例：函數(shù)極限的定義定理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例題練習(xí)2、自變量趨向有限時(shí)函數(shù)的極限例題3.單側(cè)極限引例1：引例2：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義例題求下列函數(shù)的極限：1.3.4函數(shù)的連續(xù)性1-1xyo函數(shù)連續(xù)性的定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束判斷下列哪些函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，哪些不連續(xù)？用函數(shù)的連續(xù)性求下列函數(shù)的極限：第一章第四節(jié)極限的運(yùn)算1極限的運(yùn)算法則2未定式的極限3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.4.1極限的運(yùn)算法則例：用極限的四則運(yùn)算法則求下列函數(shù)的極限1.4.2未定式的極限例1.4.4例1.4.5例.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量定義1.4.1：若函數(shù)y=f(x)在自變量x的某個(gè)變化過(guò)程中以0為極限，則稱該變化過(guò)程中，f(x)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。在變化過(guò)程中，絕對(duì)值可以無(wú)限增加的變量稱為這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大，同城用希臘字母來(lái)表示無(wú)窮小量和無(wú)窮大量例：2.無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1.4.1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍然是無(wú)窮小量；性質(zhì)1.4.2有界變量與無(wú)窮小量的乘積為無(wú)窮小量；性質(zhì)1.4.3常數(shù)乘以無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)1.4.4:有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系定理在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，非零去窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量例題1.5復(fù)利與貼現(xiàn)1x50.040.030.02…0.95850.99830.99960.99970.99980.9999…1.5.1兩個(gè)重要的極限x12101000100001000001000000….22.252.5942.7172.71612.71822.71828….1.5.1兩個(gè)重要的極限x-1.5-2-10-1000-10000-100000-1000000….5.1961542.867972.719642.718422.71832.71828….2.71828例題分析第一個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限1.5.2復(fù)利定義1.5.1所謂復(fù)利計(jì)息，就是將每期利息于每期之末加入該期本金，并以此為新本金再計(jì)算下期利息，