高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率2．3獨(dú)立性 第2章事件的獨(dú)立性學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．從應(yīng)屆高中生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為eq\f(1,3)，視力合格的概率為eq\f(1,6)，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為eq\f(1,5)，從中任選一名學(xué)生，則該生三項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)________．【解析】該生三項(xiàng)均合格的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,90).【答案】eq\f(1,90)2．種植兩株不同的花卉，若它們的成活率分別為p和q，則恰有一株成活的概率為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440048】【解析】由于兩株花卉成活與否互不影響，故恰有一株成活的概率為p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2pq.【答案】p＋q－2pq3．如圖2-3-2所示，在兩個(gè)圓盤中，指針落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是________．圖2-3-2【解析】左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq\f(2,3)，所以兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)4．在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這個(gè)道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________．【解析】由題意可知，每個(gè)交通燈開放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).在這個(gè)道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).【答案】eq\f(35,192)5．從某地區(qū)的兒童中預(yù)選體操學(xué)員，已知這些兒童體型合格的概率為eq\f(1,5)，身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為eq\f(1,4)，從中任挑一兒童，這兩項(xiàng)至少有一項(xiàng)合格的概率是______．(假定體型與身體結(jié)構(gòu)合格與否相互之間沒有影響)【解析】這兩項(xiàng)都不合格的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(3,5)，所以至少有一項(xiàng)合格的概率是1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)6．如圖2-3-3，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為,，，則系統(tǒng)正常工作的概率為________．圖2-3-3【解析】可知K，A1，A2三類元件是否正常工作相互獨(dú)立，所以A1，A2至少有一個(gè)正常工作的概率為1－(1－2＝，所以系統(tǒng)正常工作的概率為×＝.【答案】7．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中任取一球，則取到相同顏色的球的概率是________．【解析】從甲袋中任取一球是白球的概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，是紅球的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)；從乙袋中任取一球是白球的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，是紅球的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故所求事件的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．臺(tái)風(fēng)在危害人類的同時(shí)，也在保護(hù)人類．臺(tái)風(fēng)給人類送來了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對(duì)均衡．甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為,,，各衛(wèi)星間相互獨(dú)立，則在同一時(shí)刻至少有兩顆預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的是________．【解析】設(shè)甲、乙、丙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確依次記為事件A，B，C，不準(zhǔn)確記為eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(eq\x\to(A))＝，P(eq\x\to(B))＝，P(eq\x\to(C))＝，至少兩顆預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的事件有ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC，ABC，這四個(gè)事件兩兩互斥且獨(dú)立．∴至少兩顆預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為P＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝.【答案】二、解答題9．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為，購買乙種保險(xiǎn)的概率為.設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立．(1)求該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的概率．【解】記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險(xiǎn)；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買；E表示事件：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買．(1)P(A)＝，P(B)＝，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－＝，P(E)＝××＋××＋××＝.10．某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這3個(gè)景點(diǎn)的概率分別是,,，且游客是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，用ξ表示該游客離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，求ξ的分布列．【解】設(shè)游客游覽甲、乙、丙景點(diǎn)分別記為事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，且P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，游客游覽的景點(diǎn)數(shù)可能取值為0,1,2,3，相應(yīng)的游客沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)可能取值為3,2,1,0，所以ξ的可能取值為1,3.則P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)·P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)＝2×××＝.P(ξ＝1)＝1－＝.所以分布列為：ξ13P[能力提升]1．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B【解析】∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(5,6).又A，B為相互獨(dú)立事件，∴P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,12).∴A，B中至少有一件發(fā)生的概率為1－P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B)))＝1－eq\f(5,12)＝eq\f(7,12).【答案】eq\f(7,12)2．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時(shí)，均從一片荷葉跳到另一片荷葉)，而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖2-3-4所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440049】圖2-3-4【解析】由已知逆時(shí)針跳一次的概率為eq\f(2,3)，順時(shí)針跳一次的概率為eq\f(1,3).則逆時(shí)針跳三次停在A上的概率為P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，順時(shí)針跳三次停在A上的概率為P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).通過分析跳三次停在A荷葉上只有這兩種情況，所以跳三次之后停在A上的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)3．設(shè)每門高射炮命中飛機(jī)的概率為，今有一架飛機(jī)來犯，問需要________門高射炮射擊，才能至少有99%的概率擊中它．(lg2＝【解析】設(shè)需要n門高射炮才可達(dá)到目的，用A表示“命中飛機(jī)”，用Ai表示“第i門高射炮命中飛機(jī)”，則A1，A2，…，An相互獨(dú)立，且A＝A1A2…An.∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(A2))…P(eq\x\to(An))＝1－(1－n，由P(A)≥，所以1－≥，所以n≥，又n∈N，故n＝6.【答案】64．在一個(gè)選拔項(xiàng)目中，每個(gè)選手都要進(jìn)行四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為eq\f(5,6)，eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各輪問題能否正確回答互不影響．(1)求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率；(3)該選手在選拔過程中回答過的問題的個(gè)數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的概率分布．【解】設(shè)事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“該選手能正確回答第i輪問題”，由已知P(A1)＝eq\f(5,6)，P(A2)＝eq\f(4,5)，P(A3)＝eq\f(3,4)，P(A4)＝eq\f(1,3).(1)設(shè)事件B表示“該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰”，則P(B)＝P(A1A2eq\x\to(A3))＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A3))＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,6).(2)設(shè)事件C表示“該選手至多進(jìn)入第三輪考核”，則P(C)＝P(eq\x\to(A1)＋A1eq\x\to(A2)＋A1A2eq\x\to(A3))＝P(eq\x\to(A1))＋P(A1eq\x\to(A2))＋P(A1A2eq\x\to(A3))＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＋eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,2).(3)X的可能取值為1,2,3,4.P(X＝1)＝P(eq\x\to(A1))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝P(A1eq\x\to(A2))＝eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(