chapter5.5-7二次型轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)二次型

第五節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

在解析幾何中，為了便于研究二次曲線

的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換：

把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形

(1)的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，我們通過(guò)坐標(biāo)變換，把方程化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)方程（我們把它叫做標(biāo)準(zhǔn)型）。

把二次齊次多項(xiàng)式化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)方程不僅在幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，而且在數(shù)學(xué)的其它分支及物理、力學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用。

現(xiàn)在我們把這類問(wèn)題一般化，討論n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的規(guī)范形．平方項(xiàng)的系數(shù)只在1，-1,0中取值的標(biāo)準(zhǔn)型例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.為二次型的規(guī)范形.1．用和號(hào)表示對(duì)二次型二、二次型的表示方法2．用矩陣表示

標(biāo)準(zhǔn)型：只含有平方項(xiàng)的二次型三、二次型的矩陣及秩

在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型．這樣，二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．將二次型的標(biāo)準(zhǔn)型化成矩陣形式，易知，標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣具有對(duì)角陣形式：二次型的秩等于中非零元素的個(gè)數(shù)解例１練習(xí)

1）寫(xiě)出二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣。

2）寫(xiě)出矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型。定義

設(shè)有兩組變量

；，其中一組變量可以寫(xiě)成另外一組變量的線性組合，即有：補(bǔ)充：線性變換則稱上式為由到的一個(gè)線性變換

由系數(shù)組成的矩陣稱為線性變換的矩陣。本章主要問(wèn)題之一：找一個(gè)恰當(dāng)?shù)木€性變換，使二次型形式更簡(jiǎn)單（只含有平方項(xiàng)）。四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理

任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：定理

任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟解1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例2例22．求特征向量3．將特征向量正交化4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是所求正交變換為解例3五、小結(jié)

1.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過(guò)在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們注意這種研究問(wèn)題的思想方法．

2.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．第六節(jié)用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形一、拉格朗日配方法的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變．

問(wèn)題有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．解例1含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)所用變換矩陣為解例2由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以再配方，得所用變換矩陣為

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)可逆線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.練習(xí)二、小結(jié)

將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，這取決于問(wèn)題的要求．如果要求找出一個(gè)正交矩陣，無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計(jì)算量通常較大；如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡(jiǎn)單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相同，項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩．第七節(jié)正定二次型一、慣性定理一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過(guò)拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩．為正定二次型為負(fù)定二次型二、正(負(fù))定二次型的概念例如三、正(負(fù))定二次型的判別推論對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理．定理3對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即對(duì)稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階順序主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，例3

判別二次型的正定性.解2.