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§4.1§4.2§4.3§4.4§4.5§4.6§4.1rgrrg rgrrg F(r)F(gr)F(r X XY rX

gXX

X

1則：X X XFX(r)F(rXFXF 1 XXXXF(r)不

(r)

(rgX 物體F(r)的一個對稱變§4.2DACB§4.2第二類變換（非本征運動之垂直的轉動的迭加（反射轉動）§4.1§4.2§4.3§4.4§4.5§4.6§4.3集合Gg1,g2g31

gigjgk

(乘法表

gi(gjgk)(gigj)gk3、單位元素：egi giegi4、倒易元素：gg

g1 G構成一群，giG一般情況下，群元素沒有交換律：gig

gjgi交換群：如果所有的群元素間的乘法全都對易(即AB=BA,,….)，則稱為阿貝爾群(Abelian群)或交換群。交換群的一個特例是循環(huán)群（群的所有元素可由例如：群

,?2,?

抽象群：N階循環(huán)群gn1g gn1

g1：生成gN例說 (1)結合性：數(shù)的加法具有結合封閉性：整數(shù)的加和仍為恒等元素：逆元素：相反數(shù)（1與-1，2與-2，…..）2)、數(shù)組：G={+1,-1,i,-i} 說明(1)結合性：滿(2)封閉性說明(1)結合性：滿(2)封閉性：滿(3)恒等元素：同理(4)逆元素 (i)-1=-i,(-1)-1=-

構成二階構成一階 2x2y2 ((群表)。群的全部重要性質(zhì)都包含在它的乘法表 證明（反證法假定群的元素D

AB=D (A-1A)1 ，(A-1A)即 B=A- C=A-

,?2,?

VVNV VH

C3V群的乘法表e, 32 2x,

2y, 2uG g

g

g g 乘法表 3232 32 2222u2e2222u32u2u2232

32232222u32222ue22u232u22 32e32 23

§4.31、階h：群中元素的個

2、子群：群G部分元素的集合H滿足群公理的要求，則H構成G的一個子群。子群指數(shù)：pnG nH 平凡子群：（1）群G本身（2）由單位元構成的一階群。 例： 群（6階

,?2,,',"C3群（3階

?

3,? 3Cs群（2階）

?V'?V"

,?2,?

V VH

§4.3Gg1,g2,g3, Hh1,h2,h3,gi

gigjhihjG例：N ei2n/N2,4,,2

ei2/N,ei4/N,,ei2NN NN N N抽象群：N階循環(huán)群gn1g gn1

g1：生成gN§4.3gigi gik

gisg

hihj則群H同態(tài)于群G：G同態(tài)群H部分體現(xiàn)了G群的性質(zhì)。在中建立的規(guī)律對G中的某些性質(zhì)適

HG群G={1,-1,i,-i 群H={1,-G元素{11對應H{1、iiH的{-1乘積對應乘由數(shù)由數(shù) 1 §4.3共軛：若g

g

gig1，則

i

jkkkk中的ig 分別變回舊坐標系和變?nèi)胄伦鴺讼祂k因此，兩個共軛元素實際上是同一性質(zhì)在gk坐標變換共軛關系的可傳遞性：若群的元素共軛關系的可傳遞性：若群的元素A與共軛，B與共軛，則A與C共軛。證明證明：B=X- ，C=Y-1B則 =(XY)-1A(XY)=Z-（證畢自成一類（不與其他元素共軛）

PB=BP,… B-1PB=P …即:元 P不與其他元素共軛

交換群（互換群）GC0C1CN§4.3不屬于子群H的元素gi和子群的元素hj右陪集：Hgih1gih2gih3gi,,hMgi左陪集：giHgih1gih2gih3,gihM若gihjgihl，則hj hlgihj和gihlgihj

hk

hh

與giH g2hj則g1

g2hh1g

g2H，反之亦然。 推論五：群G可按子群HGHg1HgpHHg1Hgp從子群H向群G的擴展過程，可以看成群元素的增加過程。當已有子群H存在時，群元素不能單個單個地是子H群階的整數(shù)倍?！?2u32 2

Ge,3,322x,2y,2ue,2x3e,2x3232,2Ge,2x3,2u32,23,322x,2y,2u

對稱對稱操作 對稱元素:與一定的對稱操作相聯(lián)系的幾何元素(對稱軸、對 每個C關聯(lián)n個不重復對稱操作 ?1?2? 2.根據(jù)與主軸的關系，可分為h,vd垂直于主軸；v,包含主軸d：平分相鄰C21h3v包含一個BFO 2.2.(x,y,

y,z)HHHHHHHHHHHHHHH ? 2.n次象轉軸 n次象轉動

?

?n1212??? ?2?23? ?2??n?1?2n 共個不重復的對稱時存在和h對稱元n?n?,注意到S?2 ?2?1,因此S n S

?2n1

?

2. 分

,?2,?

V

H 式乙烷

V

?,?2,?

C2,C2',C2"3V,V',V3

?2?2?2S3(C3

?3

,?53.3.§4.3間斷的均勻空間—（r，R）空Rr2RRr2§4.3均勻間斷空間必然有平子群T Tnamblc

共有32種，記為K——有限群晶體學點群只有1,2,3,4,BBAAB移單BAAB(12cos)nABn12cosn 03223N16432N1 N 2N 2N 2NN3

N1 N N可能的組合：N22 332 432D.Shechtman,I.Blech,D.Gratias,J.W.Cahn,"Metalicphasewithwithlong-rangeorientationalorderandnotranslationalsymmetry“,Phys.Rev.Lett.,53(1984)1951-1953 G準確表示：G

32 2x, 2y, 1

3

D

,

2222 2222

,

,

,

, 1

1

1

1

1

11

1

1

D

, 1

1

,1 1

,,1

, ,1

1,1按代數(shù)乘法，構成2階群。,i,i按復數(shù)乘法，構成4階群。所有整數(shù)按代數(shù)加法，構成無限群。所有整數(shù)按代數(shù)乘法構成無限群?

?2 RR轉軸相互垂直的的兩個C2轉動。轉動與（5）C2轉動與反映面包含（1）若存在Cn轉軸和一個垂直于該軸的