工程力學(xué)課件

工程力學(xué)課件第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

§9–1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述

§9–2平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)·

剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程

§9–3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度

§9–4平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度·

加速度瞬心的概念第九章剛體的平面運(yùn)動(dòng)2第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日剛體的平面運(yùn)動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，這是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)．對(duì)它的研究可以在研究剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)運(yùn)動(dòng)合成和分解的方法，將平面運(yùn)動(dòng)分解為上述兩種基本運(yùn)動(dòng)．然后應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式．運(yùn)動(dòng)學(xué)§9-1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述一．平面運(yùn)動(dòng)的定義

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說(shuō)，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)．3第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例如:曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)，A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，因此，AB桿的運(yùn)動(dòng)既不是平動(dòng)也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平面運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)學(xué)4第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)學(xué)

二．平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)．即在研究平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)，確定平面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度．5第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日§9-2平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)·

剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)

一．平面運(yùn)動(dòng)方程為了確定代表平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置．

任意線段AB的位置可用A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示．因此圖形S的位置決定于三個(gè)獨(dú)立的參變量．所以6第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

二．平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)圖形Ｓ上Ａ點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)圖形Ｓ上

角不變時(shí)，則剛體作平動(dòng)．故剛體平面運(yùn)動(dòng)可以看成是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)學(xué)平面運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于每一瞬時(shí)

t

，都可以求出對(duì)應(yīng)的，圖形S在該瞬時(shí)的位置也就確定了。7第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)學(xué)例如車(chē)輪的運(yùn)動(dòng)．車(chē)輪的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是車(chē)輪隨同車(chē)廂的平動(dòng)和相對(duì)車(chē)廂的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成．車(chē)輪對(duì)于靜系的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）車(chē)廂（動(dòng)系A(chǔ)xy)相對(duì)靜系的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）車(chē)輪相對(duì)車(chē)廂（動(dòng)系A(chǔ)xy）的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）

8第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)學(xué)

我們稱動(dòng)系上的原點(diǎn)Ａ為基點(diǎn)，于是車(chē)輪的平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)A的平動(dòng)繞基點(diǎn)A'的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)．9第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)學(xué)

再例如:平面圖形Ｓ在ｔ時(shí)間內(nèi)從位置I運(yùn)動(dòng)到位置II以A為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)A平動(dòng)到A'B''后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'以B為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)B平動(dòng)到A''B'后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：ABA'B''A''B'，于是有10第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)學(xué)

所以，平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)選取無(wú)關(guān)．(即在同一瞬間，圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的,都是相同的）基點(diǎn)的選取是任意的。(通常選取運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn))11第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日§9-3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度

運(yùn)動(dòng)學(xué)根據(jù)速度合成定理則Ｂ點(diǎn)速度為：

一．基點(diǎn)法（合成法）取B為動(dòng)點(diǎn),則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)的合成已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度，圖形角速度求：指向與轉(zhuǎn)向一致．取A為基點(diǎn),將動(dòng)系固結(jié)于A點(diǎn),動(dòng)系作平動(dòng)。12第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日由于A,B點(diǎn)是任意的，因此表示了圖形上任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系．由于恒有，因此將上式在AB上投影，有—速度投影定理即平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法．運(yùn)動(dòng)學(xué)即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和．這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法．它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法．二．速度投影法13第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

三．瞬時(shí)速度中心法（速度瞬心法）

1.問(wèn)題的提出若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問(wèn)題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化．于是，自然會(huì)提出，在某一瞬時(shí)圖形是否有一點(diǎn)速度等于零？如果存在的話，該點(diǎn)如何確定？運(yùn)動(dòng)學(xué)

２．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時(shí)其上一點(diǎn)A速度,圖形角速度，沿方向取半直線AL,然后順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL'的位置,在AL'上取長(zhǎng)度則： 14第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日即在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心．運(yùn)動(dòng)學(xué)３．幾種確定速度瞬心位置的方法

①已知圖形上一點(diǎn)的速度和圖形角速度，可以確定速度瞬心的位置．（P點(diǎn)）且Ｐ在順轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)90o的方向一側(cè)．

②已知一平面圖形在固定面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng),則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心．15第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

運(yùn)動(dòng)學(xué)

④

已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)速度大小,且(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度的方向，且過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作速度的垂線,交點(diǎn)

P即為該瞬間的速度瞬心.16第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

運(yùn)動(dòng)學(xué)另：對(duì)種(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時(shí)平動(dòng)．⑤已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與AB連線垂直．此時(shí),圖形的瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度=0,圖形上各點(diǎn)速度相等,這種情況稱為瞬時(shí)平動(dòng).(此時(shí)各點(diǎn)的加速度不一定相等)17第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

例如:曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng)．此時(shí)連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點(diǎn)的速度都相等.但各點(diǎn)的加速度并不相等．設(shè)勻，則而的方向沿AC的，瞬時(shí)平動(dòng)與平動(dòng)不同運(yùn)動(dòng)學(xué)18第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點(diǎn)的速度的方法,稱為速度瞬心法.平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度方向AP，指向與一致。

運(yùn)動(dòng)學(xué)５.注意的問(wèn)題

速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不斷變化的。在任一瞬時(shí)是唯一存在的。

速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動(dòng)。19第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日解：機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AB作平面運(yùn)動(dòng),滑塊B作平動(dòng)。

基點(diǎn)法（合成法）研究AB，以A為基點(diǎn)，且方向如圖示。（）運(yùn)動(dòng)學(xué)[例1]

已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，取柄OA以勻轉(zhuǎn)動(dòng)。求：當(dāng)=45o時(shí),滑塊B的速度及AB桿的角速度．根據(jù)在Ｂ點(diǎn)做速度平行四邊形，如圖示。20第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日（）試比較上述三種方法的特點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)學(xué)根據(jù)速度投影定理不能求出

速度投影法研究AB,

,方向OA,方向沿BO直線

速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可確定出P點(diǎn)為速度瞬心21第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日§9-4平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度加速度瞬心的概念取A為基點(diǎn)，將平動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)．于是,由牽連平動(dòng)時(shí)加速度合成定理可得如下公式．運(yùn)動(dòng)學(xué)一.基點(diǎn)法(合成法)已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和圖形的,（某一瞬時(shí)）。求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。22第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日其中：，方向AB，指向與一致；，方向沿AB，指向A點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)學(xué)即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個(gè)要素，方能求出其余兩個(gè)。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個(gè)要素，即可解出問(wèn)題的待求量。23第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

二．加速度瞬心．由于的大小和方向隨B點(diǎn)的不同而不同,所以總可以在圖形內(nèi)找到一點(diǎn)Q，在此瞬時(shí)，相對(duì)加速度大小恰與基點(diǎn)A的加速度等值反向，其絕對(duì)加速度Q點(diǎn)就稱為圖形在該瞬時(shí)的加速度瞬心．運(yùn)動(dòng)學(xué)[注]

一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一個(gè)點(diǎn)．

一般情況下，對(duì)于加速度沒(méi)有類似于速度投影定理的關(guān)系式.即一般情況下,圖形上任意兩點(diǎn)A,B的加速度若某瞬時(shí)圖形=0,即瞬時(shí)平動(dòng),則有即若平面圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某瞬時(shí)的角速度等于零，則該瞬時(shí)圖形上任意兩點(diǎn)的加速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等．24第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下又不存在類似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基點(diǎn)法求圖形上各點(diǎn)的加速度或圖形角加速度．分析：大??？√ＲＲw

2

方向？√√√故應(yīng)先求出．（）運(yùn)動(dòng)學(xué)

[例1]

半徑為R的車(chē)輪沿直線作純滾動(dòng),已知輪心O點(diǎn)的速度及加速度,求車(chē)輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度．解：輪O作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心，25第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

由于此式在任何瞬時(shí)都成立，且O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，故而（）由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．當(dāng)車(chē)輪沿固定的直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)，其速度瞬心P的加速度指向輪心．運(yùn)動(dòng)學(xué)以O(shè)為基點(diǎn)，有其中：做出加速度矢量圖，由圖中看出：（與等值反向）

即26第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日解：(a)AB作平動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)[例2]

已知O1A=O2B