第四章 周期信號頻域分析

1主要內(nèi)容第四章周期信號的頻域分析連續(xù)周期信號的Fourier(傅里葉)級數(shù)及其基本性質(zhì)連續(xù)周期信號的頻譜分析離散周期信號的Fourier(傅里葉)級數(shù)及其基本性質(zhì)*基于Matalab軟件的周期信號頻譜的計算方法2

周期信號：給定連續(xù)信號f(t),若存在一個正常數(shù)T0,使得4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)則稱f(t)為周期信號。滿足上式的最小T0稱為周期信號的基波周期。一、指數(shù)形式的Fourier級數(shù)將虛指數(shù)信號經(jīng)過整數(shù)倍因子的尺度變換后，可得一組復(fù)信號

虛指數(shù)信號是周期信號,(

聯(lián)想單位圓)在(4.3)式中，n=0的項稱為信號的直流分量；

n=+1和n=-1的兩項的基波頻率都為f0，兩項之和稱為信號的基波分量或一次諧波分量；

n=+2和n=-2的兩項的基波頻率都為2f0，兩項之和稱為信號的2次諧波分量；

n=+N和n=-N的兩項之和稱為信號的N次諧波分量。由這些信號的線性組合構(gòu)成的信號周期信號的Fourier級數(shù)：若一個連續(xù)周期信號可以表示為(4.3)的形式。Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn可由{en(t)}的正交性求得。4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)是一個周期為T0的信號。4根據(jù){en(t)}的正交性，有因此，得：周期信號f(t)的Fourier級數(shù)和系數(shù)計算公式為：4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)5結(jié)論:若f(t)為實函數(shù)，則指數(shù)Fourier級數(shù)展開式中的系數(shù)滿足4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)二、三角形式的Fourier級數(shù)證明:64.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)二、三角形式的Fourier級數(shù)

注:(4.7)指出“當(dāng)信號f(t)為實函數(shù)時，f(t)的Fourier系數(shù)是共軛偶對稱”。利用此性質(zhì)，可進一步表示指數(shù)Fourier級數(shù)。注意到，上式中括號內(nèi)兩項是共軛的，因此67將上式代入(4.11),得4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)由于Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn一般為復(fù)數(shù)，

記易知8公式(4-14)稱為三角形式的Fourier級數(shù)表示式。注:對實信號而言，兩種形式的Fourier級數(shù)是等效的；三角形式的Fourier級數(shù)的系數(shù)是實數(shù)；

分析時用指數(shù)形式的，數(shù)值計算時用三角形式的。4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)8例4-1求圖4-1所示幅度為A、周期為T0、脈沖寬度為的周期矩形脈沖的Fourier級數(shù)表示式。解:在(4.6)中取則有4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)圖4-1周期矩形脈沖因此，周期矩形脈沖信號的指數(shù)形式的Fourier級數(shù)為其三角形式的Fourier級數(shù)為4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)10114.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)例4-2求圖4-2所示周期三角形脈沖信號的Fourier級數(shù)表示式。解:由圖4-2可知T0=2,所以圖4-2周期三角形脈沖

由f(t)

的波形知，C0=0。取t0=-1/2,則Fourier系數(shù)為f(t)在區(qū)間(-1/2,3/2)的表達式為124.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)因此，該信號的指數(shù)形式的Fourier級數(shù)為其三角形式的Fourier級數(shù)為1213Fourier級數(shù)的部分和為三、

Fourier級數(shù)的收斂條件1.f(t)在一個周期內(nèi)絕對可積(軟Dirichlet條件)，即：周期信號f(t)的Fourier級數(shù)存在條件在能量意義下fN(t)收斂于f(t)是指4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)2.f(t)在一個周期內(nèi)不連續(xù)點的個數(shù)有限、極大值和極小值點的個數(shù)有限(強Dirichlet條件)14三、

Fourier級數(shù)的收斂條件注：在滿足以上兩個條件下，信號的Fourier級數(shù)收斂。且在信號的連續(xù)點處，F(xiàn)ourier級數(shù)收斂于信號真值；在信號不連續(xù)點處，F(xiàn)ourier級數(shù)收斂于左右極限的平均值。例如圖4-3所示。4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)14154.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)圖4-3所示164.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)圖4-3所示164.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)四、信號的對稱性和Fourier系數(shù)的關(guān)系

周期信號的對稱性分為兩類。第一類：整個周期對稱性(例如，奇函數(shù)或偶函數(shù))；第二類：前半周期和后半周期相同或成鏡像關(guān)系。下面，討論不同的對稱情況下，F(xiàn)ourier系數(shù)的性質(zhì)。圖4-4偶對稱信號17周期為T0的偶對稱信號f(t),具有關(guān)系見圖4-4。4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)四、信號的對稱性和Fourier系數(shù)的關(guān)系1偶對稱信號在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier級數(shù)的系數(shù)有

Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn是實偶對稱的，且Cn=an/2。因此，注:實偶對稱信號的Fourier級數(shù)中只含直流項和余弦項。184.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)2奇對稱信號

周期為T0的奇對稱信號f(t),具有關(guān)系，見圖4-5。在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier級數(shù)的系數(shù)有圖4-5奇對稱信號194.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)2奇對稱信號

Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn是純虛數(shù)，虛部是奇對稱的，且有Cn=-jbn/2。Fourier級數(shù)可簡化為

注：實奇對稱信號的Fourier級數(shù)展開式中只含正弦項。204.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)3半波重疊信號周期為T0的信號f(t),若具有關(guān)系，則稱為半波重疊信號。例如，圖4-6。易知，這種信號的基波周期T1=T0/2,對應(yīng)的角頻率為圖4-6半波重疊信號214.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)3半波重疊信號取t0=0,則由(4.6)有注:半波重疊信號的Fourier級數(shù)中只有偶次諧波分量。但其可能既有正弦分量又有余弦分量。信號的Fourier級數(shù)可寫為224半波鏡像信號

周期為T0的信號f(t),

若具有關(guān)系，則稱為半波鏡像信號。例如，圖4-7。

構(gòu)造周期為T0的信號f1(t),其在第一個周期內(nèi)的值為圖4-7半波鏡像信號4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)則由圖4-7可知,234半波鏡像信號因此,有注:半波鏡像信號的Fourier級數(shù)中只有奇次諧波分量。f1(t)的Fourier級數(shù)為4.1連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)則有其中24254.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)

設(shè)f(t)是周期信號，周期為T0,基波角頻率為f(t)和其Fourier系數(shù)Cn的對應(yīng)關(guān)系記為

設(shè)f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號,其Fourier系數(shù)分別為1.線性特性則af(t)+bg(t)也是周期為T0的周期信號,且有注:上述結(jié)論可以推廣到多個具有相同周期的信號。264.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)

設(shè)f(t)是以T0為周期的周期信號,它Fourier系數(shù)為2.時移特性則f(t-t1)也是周期為T0的周期信號,且26274.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)例4-3求圖4-8(a)所示的周期信號的Fourier級數(shù)表示式。圖4-8例4-3的周期信號(a)(b)284.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)解:由圖4-8(a)可知信號的周期T0=2,基波角頻率由例4-1知根據(jù)g(t)=f(t-0.5)，以及Fourier級數(shù)的時移特性，有28294.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)設(shè)f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號,其Fourier系數(shù)分別為3.卷積特性周期信號的卷積x(t)=f(t)*g(t)定義為則信號x(t)也是周期為T0的周期信號,且Fourier系數(shù)分別為304.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)例4-4求圖4-9(a)所示的周期三角脈沖信號g(t)的Fourier級數(shù)表示式。圖4-9例4-4的周期信號(a)(b)30314.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)解:圖4-9(b)所示周期方波f(t)與自身的卷積恰好等于g(t)，即由例4-1可得f(t)的Fourier系數(shù)Cn為(見p118)由Fourier級數(shù)卷積特性可得g(t)的Fourier系數(shù)Dn為故g(t)的Fourier級數(shù)表示為324.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)

設(shè)f(t)是周期為T0的周期信號,其Fourier系數(shù)為4.微分特性則信號f(t)

的導(dǎo)數(shù)f’(t)

的Fourier系數(shù)為

若已知f’(t)的Fourier系數(shù)為則信號f(t)

的Fourier系數(shù)為而直流項可通過對f(t)

積分得到。4.2連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)周期信號Fourier級數(shù)還有一些其它性質(zhì)，見表4-1(p128)。例如，33344.3連續(xù)周期信號的頻譜分析一、周期信號的頻譜概念已知周期信號f(t)可以分解為虛指數(shù)信號之和(即Fourier級數(shù))其中，每個虛指數(shù)信號的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍；系數(shù)Cn反映f(t)的Fourier級數(shù)中角頻率的虛指數(shù)信號的幅度和相位。

因此，系數(shù)Cn反映信號中各次諧波的幅度值和相位值。稱周期信號的Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn為信號f(t)的頻譜。Cn可表示為如下形式，34354.3連續(xù)周期信號的頻譜分析

注：若f(t)為實信號，則f(t)的幅度譜為偶對稱，相位譜是奇對稱。(見(4.7)共軛偶對稱，p129)354.3連續(xù)周期信號的頻譜分析

例4-5

畫出周期信號的頻譜。

解：

由歐拉公式，f(t)可表示為因此信號的頻譜如圖4-10所示。4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析圖4-10例4-5信號的頻譜37

若已知信號頻譜，則可由(4-39)重建信號。頻譜提供了另一種描述信號的方法-----信號的頻譜描述。4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析

信號的時域描述和頻域描述是從不同角度展現(xiàn)了信號的特征。也是分析和研究信號的基礎(chǔ)。頻譜圖中的負頻率不表示存在一個有物理意義的概念與之對應(yīng)，在處頻譜只是表示在信號的Fourier級數(shù)中存在虛指數(shù)項。4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析

例4-6

畫出例4-1所給周期矩形脈沖信號的頻譜圖。解：

f(t)在一個周期內(nèi)可表示為其Fourier系數(shù)為f(t)的幅度、相位頻譜圖見圖4-11。(…)圖4-11周期矩形脈沖信號的頻譜注：當(dāng)Cn為實數(shù)時頻譜圖只需一幅；當(dāng)Cn為復(fù)數(shù)時頻譜圖需要兩幅。39404.3連續(xù)周期信號的頻譜分析

周期信號的頻譜都是由間隔為的譜線組成，表現(xiàn)為離散頻譜特征。不同的周期信號，其頻譜分布的形狀不同，都是以基頻為間隔的離散頻譜。1、離散頻譜特性

頻譜的幅度表示了周期信號f(t)中各頻率分量的大小。當(dāng)周期信號隨著頻率的增加，幅度頻譜逐漸衰減，并最終趨于零。（幅度衰減特性）2、幅度衰減特性414.3連續(xù)周期信號的頻譜分析結(jié)論：當(dāng)f(t)在斷點的幅度是有界時，|Cn|按1/n的速度衰減；當(dāng)f(t)連續(xù)而一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時，|Cn|按1/n2的速度衰減；當(dāng)f(t)前

k-1

階導(dǎo)數(shù)連續(xù)而k階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時，|Cn|按1/nk+1的速度衰減。(分析Fourier級數(shù)中各次諧波)41424.3連續(xù)周期信號的頻譜分析二、相位譜的作用

周期信號的頻譜由幅度譜和相位譜組成。信號的相位譜在信號f(t)的合成過程中起著和幅度譜同等重要的作用。

為了使合成的信號在不連續(xù)點有瞬時的跳變,諧波的相位將使得各諧波分量的幅度在不連續(xù)點前幾乎取相同的符號，在不連續(xù)點后取相反的符號。這樣各次諧波合成的結(jié)果才能使信號f(t)在不連續(xù)點附近存在急劇變化。例如圖4-12所示的周期方波信號，其Fourier級數(shù)為434.3連續(xù)周期信號的頻譜分析434.3連續(xù)周期信號的頻譜分析圖4-12相位譜對周期信號波形的影響45

圖4-12畫出了Fourier級數(shù)最低的三個諧波分量的波形。各諧波分量在t=1前各諧波分量的幅度為正，t=1后各諧波分量的幅度為負，其他不連續(xù)點情況也是類似的。所有諧波幅度的這種符號變化產(chǎn)生的影響加在一起就產(chǎn)生了信號的不連續(xù)點。4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析

相位譜對信號中急劇變化點的位置起著重要作用。(如果在重建信號時忽略了相位譜，則重建的信號就會模糊或失去信號原有的特征)。45

從周期信號脈沖信號的頻譜(圖4-11)可見，其頻譜包絡(luò)線每當(dāng)時，即時，通過零點，其中第一個零點在處，此后諧波的幅度逐漸減小。周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度：包含主要諧波分量的頻率范圍(也稱有效頻帶)。記為(單位rad/s)或(單位Hz),即4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析三、信號的有效帶寬4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析三、信號的有效帶寬

信號的有效帶寬是信號頻率特性中的重要指標，在信號的有效帶寬內(nèi)集中了信號絕大部分諧波分量。

任何系統(tǒng)也有其有效帶寬。當(dāng)信號通過系統(tǒng)時，信號與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”。若信號的有效帶寬大于系統(tǒng)的有效，則信號通過系統(tǒng)后會損失一些重要成分而產(chǎn)生失真。若信號的有效帶寬小于系統(tǒng)帶寬，則信號可以順利通過，但對系統(tǒng)資源有可能浪費。474.3連續(xù)周期信號的頻譜分析四、周期信號的功率譜

周期信號是功率信號，周期信號f(t)在1歐姆電阻上消耗的平均功率為：將f(t)的Fourier級數(shù)

其中T0為周期信號f(t)的周期。代入上式，得484.3連續(xù)周期信號的頻譜分析四、周期信號的功率譜上式稱為Parseval(帕什瓦爾)功率守恒原理。494.3連續(xù)周期信號的頻譜分析

|Cn|2隨變化分布的特性稱為周期信號的功率頻譜(功率譜)。(4-44)表明周期信號的平均功率可以在頻域中用Fourier級數(shù)的系數(shù)來確定。注意到，因此有

可見，周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。

周期信號的功率譜也為離散頻譜。從功率譜不僅可以看到各諧波的功率的分布情況，也可確定周期信號的有效帶寬內(nèi)諧波分量具有的平均功率占整個周期信號的平均功率之比。50

例4-7試畫出圖4-1所示周期矩形脈沖信號的功率譜，并計算在其有效帶寬內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中解：由例4-1可知，周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析將代入上式得514.3連續(xù)周期信號的頻譜分析因而，周期矩形脈沖信號的功率譜如圖4-13所示。信號的平均功率為

而包含在內(nèi)的各諧波平均功率之和為兩者之比為P1/P2=90%，用不大于4次的各次諧波之和來近似該周期信號，可以達到較高的精度。52圖4-13例4-7周期矩形脈沖信號的功率譜4.3連續(xù)周期信號的頻譜分析534.4*離散Fourier級數(shù)

周期為N的周期序列f[k]可分解為N項虛指數(shù)序列的線性組合，即：一、周期序列的離散Fourier級數(shù)上式稱為周期序列f[k]的離散Fourier級數(shù)(DFS)表示，其中F[m]為周期序列的DFS系數(shù)。利用虛指數(shù)序列正交性，可得DFS系數(shù)為54其中，k=<N>和m=<N>表示對周期序列的一個周期求和。4.4*離散Fourier級數(shù)DFS系數(shù)F[m]也是一個周期為N的序列。由于周期序列在一個周期內(nèi)的求和與起點無關(guān)，因此周期序列的DFS和IDFS可寫為：55

例4-8求周期序列的DFS系數(shù)F[m]。

由f[k]或F[m]可完全描述一個離散周期信號。f[k]是周期序列的時域表示，F(xiàn)[m]是周期序列的頻域表示。周期序列DFS和IDFS的物理意義是：“任一周期為N的序列都可以分解為N個虛指數(shù)信號的線性組合，不同的周期序列只是對應(yīng)不同的DFS系數(shù)F[m]”。4.4*離散Fourier級數(shù)

解：f[k]的周期為N=12。由Euler公式因此，該周期序列的DFS系數(shù)為564.4*離散Fourier級數(shù)由于F[m]的周期為N=12，上式還可以表示為圖4-14周期余弦序列的DFS系數(shù)圖4-14畫出了該序列的DFS系數(shù)。574.4*離散Fourier級數(shù)

例4-9求圖4-15所示周期矩形波序列的DFS系數(shù)。