第2章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

本章作業(yè)：習(xí)題1,3,6,8,9,10,11,13,15流場(chǎng)(流場(chǎng)及其描述方法,跡線、流線和流管)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析(散度、旋度和速度位)連續(xù)方程和流函數(shù)(連續(xù)方程、流函數(shù))旋渦運(yùn)動(dòng)(渦線、渦管及旋渦強(qiáng)度、環(huán)量誘導(dǎo)速度及相關(guān)定理)歐拉運(yùn)動(dòng)方程及其積分(歐拉運(yùn)動(dòng)方程、伯努利方程)流體力學(xué)中的動(dòng)量定理(一般原理及例子)2023/2/31沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室

§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法連續(xù)介質(zhì)假設(shè)：流體是由質(zhì)點(diǎn)組成，無(wú)空隙地充滿所占據(jù)的空間。對(duì)于無(wú)數(shù)多的流體質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)其發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何正確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)行為，將是流體運(yùn)動(dòng)學(xué)必須回答的問(wèn)題。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法有兩種。1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質(zhì)點(diǎn)法）1）拉格朗日坐標(biāo)：在某一初始時(shí)刻t0

，以不同的一組數(shù)（a,b,c）來(lái)標(biāo)記不同的流體質(zhì)點(diǎn)，這組數(shù)（a,b,c）就叫拉格朗日變數(shù)。或稱為拉格朗日坐標(biāo)。2）拉格朗日描述：拉格朗日法著眼于流場(chǎng)中每一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤觀察每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（流體質(zhì)點(diǎn)在一定時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的所有空間點(diǎn)的集合稱為跡線）以及運(yùn)動(dòng)參數(shù)（速度、壓強(qiáng)、加速度等）隨時(shí)間的變化，然后綜合所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，得到整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。具體形式：若f表示流體質(zhì)點(diǎn)的某一物理量，其拉格朗日描述地說(shuō)學(xué)表達(dá)是：

f=f(a,b,c,t);x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)

其中，a,b,c為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)符，用于區(qū)分和識(shí)別各質(zhì)點(diǎn)的。

t表示時(shí)間。a.b.c.t稱為拉格朗日變數(shù)。

a.b.c給定，表示指定質(zhì)點(diǎn)的軌跡。

t給定，表示在給定時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)的空間位置。

(警察抓小偷的方法)xyz·(a,b,c)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法2023/2/32沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室質(zhì)點(diǎn)法—觀察者著眼于個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)，所獲取的第一手資料是流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡例如流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的拉格朗日描述為：壓強(qiáng)

p的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)

§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法脈線：指在一段時(shí)間內(nèi)，將相繼通過(guò)某一空間固定點(diǎn)的不同流體質(zhì)點(diǎn)，在某一瞬時(shí)（即觀察的瞬時(shí)）連成的曲線。如果該空間固定點(diǎn)是釋放染色的源，則在某一瞬時(shí)觀察到一條染色線，故脈線也稱為染色線。染色線也是同一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的連線。經(jīng)過(guò)煙頭和煙囪冒出的煙都是形成脈線的例子。2023/2/33沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室對(duì)于給定流體質(zhì)點(diǎn)，速度表達(dá)式是流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為流體質(zhì)點(diǎn)的其它物理量也都是a,b,c,t的函數(shù)。跡線方程為：§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法2023/2/34沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室2、Euler方法（歐拉方法，空間點(diǎn)法，流場(chǎng)法）1）歐拉法：以數(shù)學(xué)場(chǎng)論為基礎(chǔ)，著眼于任何時(shí)刻物理量在場(chǎng)上的分布規(guī)律的流體運(yùn)動(dòng)描述方法。2）歐拉坐標(biāo)（歐拉變數(shù)）：歐拉法中用來(lái)表達(dá)流場(chǎng)中流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的質(zhì)點(diǎn)空間坐標(biāo)(x,y,z)與時(shí)間t變量稱為歐拉坐標(biāo)或歐拉變數(shù)。在該方法中，觀察者相對(duì)于坐標(biāo)系是固定不動(dòng)的，著眼于不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)空間固定點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過(guò)記錄不同空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)情況，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。(流線:流場(chǎng)中的瞬時(shí)光滑曲線，在曲線上流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向與各該點(diǎn)的切線方向重合。)

壓強(qiáng)場(chǎng)：p=p(x,y,z,t)其中，x,y,z為空間點(diǎn)的坐標(biāo)，t表示時(shí)間，x.y.z.t稱為歐拉變數(shù)。

x.y.z給定，t變化，表示不同時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)同一空間點(diǎn)的速度。

t給定，x.y.z變化，表示給定時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)不同空間點(diǎn)的速度，給定速度場(chǎng)。

(守株待兔，看門房式的工作方法)§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法2023/2/35沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室應(yīng)指出，空間點(diǎn)速度本質(zhì)上指的是t瞬時(shí)恰好占據(jù)該空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度?！?.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法2023/2/36沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室一個(gè)布滿了某種物理量的空間稱為場(chǎng)。流場(chǎng):流體流動(dòng)所占據(jù)的空間(運(yùn)動(dòng)流體所充滿的空間)。用以表示流體運(yùn)動(dòng)特征的物理量稱“流動(dòng)參數(shù)”,如速度、密度、壓強(qiáng)等。所以流場(chǎng)又是上述物理量的場(chǎng)。如果物理量是速度，描述的是速度場(chǎng)；如果是壓強(qiáng)，稱為壓強(qiáng)場(chǎng)；在高速流動(dòng)時(shí)，氣流的密度和溫度也隨流動(dòng)有變化，那就還有一個(gè)密度場(chǎng)和溫度場(chǎng)，這都包括在流場(chǎng)的概念之內(nèi)。如果場(chǎng)只是空間坐標(biāo)的函數(shù)而與時(shí)間無(wú)關(guān)則稱為定常場(chǎng)，否則為非定常場(chǎng)。對(duì)于定常速度場(chǎng)的表達(dá)為：

§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法一個(gè)速度場(chǎng)2023/2/37沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室用歐拉法來(lái)描述流場(chǎng)時(shí)，觀察者直接測(cè)量到的是速度，那么在流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的速度變化是如何引起的，怎樣正確表示流體質(zhì)點(diǎn)的加速度呢，以下面例子說(shuō)明之。參看下圖，第1圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B速度不變；第2圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因水位下降引起速度減小；第3圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因管道收縮引起速度增加；第4圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因水位下降和管道收縮引起速度的變化。水位下降表示流場(chǎng)的非定常性，管道收縮表示流場(chǎng)的不均勻性。由此可見(jiàn)，一般情況下引起流體質(zhì)點(diǎn)速度的變化來(lái)自于兩方面的貢獻(xiàn)：其一是流場(chǎng)的不均勻性，其二是流場(chǎng)的非定常性?！?.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法2023/2/38沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室設(shè)速度函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在來(lái)求加速度。設(shè)某一流體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻位于流場(chǎng)中M點(diǎn)，經(jīng)過(guò)微分時(shí)段位于N點(diǎn)，根據(jù)加速度定義有根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，流場(chǎng)非定常性引起的速度變化為§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式2023/2/39沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室由于流場(chǎng)不均勻性引起的速度變化為§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式2023/2/310沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室綜合起來(lái)，得到流體質(zhì)點(diǎn)的全加速度為等式右邊第1項(xiàng)表示速度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，是由流場(chǎng)的非定常性引起的，稱為局部加速度，或當(dāng)?shù)丶铀俣?；右邊?項(xiàng)表示因流體質(zhì)點(diǎn)位置遷移引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或?qū)α骷铀俣取６叩暮铣煞Q為全加速度，或隨體加速度。寫(xiě)成分量形式為§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式2023/2/311沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式算子表示隨流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)，稱隨體導(dǎo)數(shù)。除速度外，對(duì)流場(chǎng)中其它變量也成立。如對(duì)于壓強(qiáng)p，有如果流動(dòng)參數(shù)是一維空間流程坐標(biāo)s和時(shí)間

t的函數(shù)，速度場(chǎng)為v（s,t）。則全加速度表示為：vs2023/2/312沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室根據(jù)上述分析，可得出以下各圖中的加速度表達(dá)式。§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式2023/2/313沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室§2.1.3流線、流管、流面與流量在某一瞬時(shí)t，從流場(chǎng)中某點(diǎn)出發(fā)，順著這一點(diǎn)的速度指向畫(huà)一個(gè)微分段到達(dá)鄰點(diǎn)，再按鄰點(diǎn)在同一瞬時(shí)的速度指向再畫(huà)一個(gè)微分段，一直畫(huà)下去，當(dāng)取微分段趨于零時(shí)，便得到一條光滑的曲線。在這條曲線上，任何一點(diǎn)的切線方向均與占據(jù)該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度方向指向一致，這樣曲線稱為流線。在任何瞬時(shí)，在流場(chǎng)中可繪制無(wú)數(shù)條這樣的流線。流線的引入，對(duì)定性刻畫(huà)流場(chǎng)具有重要意義。(a)l1瞬時(shí)過(guò)點(diǎn)1的流線(b)l2瞬時(shí)過(guò)點(diǎn)1的流線時(shí)間t固定2023/2/314沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室

流線是反映流場(chǎng)瞬時(shí)流速方向的曲線。其是同一時(shí)刻，由不同流體質(zhì)點(diǎn)組成的。與跡線相比，跡線是同一質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質(zhì)：(1)在定常流動(dòng)中，流體質(zhì)點(diǎn)的跡線與流線重合；在非定常流動(dòng)中，流線和跡線一般是不重合的。(2)通過(guò)空間固定點(diǎn)流線的形狀，在定常流場(chǎng)中不隨時(shí)間變化;而在非定常流場(chǎng)中，要隨時(shí)間變化。這是由于非定常流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間改變。所以在瞬時(shí)t2通過(guò)流場(chǎng)空間點(diǎn)1的速度矢量將改變?yōu)関’1，按流線的定義，t2瞬時(shí)流過(guò)點(diǎn)1的流線將改變?yōu)閟’。見(jiàn)圖2-1(b)。(3)流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過(guò)，所有流線的集合稱流線譜或簡(jiǎn)稱流譜。(4)在常點(diǎn)處，流線不能相交、分叉、匯交、轉(zhuǎn)折，流線只能是一條光滑的曲線；也就是，在同一時(shí)刻，一點(diǎn)處只能通過(guò)一條流線。在奇點(diǎn)（速度無(wú)窮大點(diǎn)，源和匯）、駐點(diǎn)（零速度點(diǎn)）流線相切等例外。(5)在定常流動(dòng)中，流線是流體不可跨越的曲線。§2.1.3流線、流管、流面與流量ABo2023/2/315沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室由流線上任意點(diǎn)的速度矢量與流線相切這一性質(zhì)，可以求出流線的微分方程。如圖2-3所示，設(shè)在流線上某點(diǎn)M(x,y,z)處的速度為v(其分量為vx,vy,vz)，M點(diǎn)的流線微段長(zhǎng)ds(其分量為)，根據(jù)流線的定義可知ds與各坐標(biāo)軸的夾角同速度與相應(yīng)坐標(biāo)軸的夾角相同，因而相應(yīng)的夾角余弦必相等,即式中I,j,k分別為x,y,z方向上的單位矢量,由式(2-4)可求出上式就是流線的微分方程式.當(dāng)速度分布為已知時(shí),根據(jù)式(2-5)可求出流場(chǎng)中通過(guò)任意點(diǎn)流線的形狀?；?2-5)(2-4)§2.1.3流線、流管、流面與流量2023/2/316沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室與流線密切相關(guān)的，是流管和流面兩個(gè)概念。流管是由一系列相鄰的流線圍成。在三維流動(dòng)里，經(jīng)過(guò)一條有流量穿過(guò)的封閉曲線的所有流線圍成封閉管狀曲面稱為流管。

圖2-6流管（a）流線組成流管側(cè)壁；（b）沒(méi)有流量由流管側(cè)壁流出流面是由許多相鄰的流線連成的一個(gè)曲面，這個(gè)曲面不一定合攏成一根流管。當(dāng)然流管的側(cè)表面也是一個(gè)流面。不管合攏不合攏，流面也是流動(dòng)不會(huì)穿越的一個(gè)面

。由流線所圍成的流管也正像一根具有實(shí)物管壁一樣的一根管子，管內(nèi)的流體不會(huì)越過(guò)流管流出來(lái)，管外的流體也不會(huì)越過(guò)管壁流進(jìn)去。

流量是單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)指定截面的流體量（體積、質(zhì)量或重量），例如穿過(guò)上述流管中任意截面A的體積流量、質(zhì)量流量和重量流量可分別表為其中，是局部速度向量，是密度，是微元面積的法線向量§2.1.3流線、流管、流面與流量2023/2/317沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例2-1已知二維定常不可壓流動(dòng)的速度分布為vx=ax,vy=-ay，a為常數(shù)，求通過(guò)點(diǎn)P(2，1)的流線方程。解由式(2-5)得流線的微分方程積分后可得即將P點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，定出C=2。最后可得通過(guò)P點(diǎn)的流線為xy=2.可見(jiàn)流線是等邊雙曲線，以x,y軸為漸近線，若以x,y軸同時(shí)當(dāng)做固壁，且只研究在第一象限的流動(dòng)，上述流動(dòng)為直角內(nèi)的流動(dòng)，見(jiàn)右圖2-4?！?.1.3流線、流管、流面與流量2023/2/318沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室§2.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式在理論力學(xué)中，研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)和剛體（無(wú)變形體），它們的基本運(yùn)動(dòng)形式可表示為：（1）質(zhì)點(diǎn)（無(wú)體積大小的空間點(diǎn)）只有平移運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)）；（2）剛體（具有一定體積大小，但無(wú)變形）運(yùn)動(dòng)除平移運(yùn)動(dòng)外，還有整體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）；在流體力學(xué)中，研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運(yùn)動(dòng)形式除包括了剛體的運(yùn)動(dòng)形式外，還有變形運(yùn)動(dòng)。變形運(yùn)動(dòng)包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長(zhǎng)伸縮線變形運(yùn)動(dòng)，其二是引起體積形狀變化的角變形運(yùn)動(dòng)。由此可得變形體的基本運(yùn)動(dòng)形式包括：（1）平動(dòng)；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）線變形運(yùn)動(dòng)；（4）角變形運(yùn)動(dòng)2023/2/319沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室流體微團(tuán)的一般運(yùn)動(dòng)

a)平移

b)線變形

c)角變形

d)旋轉(zhuǎn)

§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式轉(zhuǎn)動(dòng)（角平分線轉(zhuǎn)動(dòng)）角變形運(yùn)動(dòng)（角平分線不動(dòng)）2023/2/320沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室為便于分析，在流場(chǎng)中任取一平面微團(tuán)分析。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，微分面四個(gè)頂點(diǎn)的速度可表示如下。（1）各頂點(diǎn)速度相同的部分，為微團(tuán)的平動(dòng)速度。（u,v,w）（2）線變形速率線變形運(yùn)動(dòng)是指微元體各邊長(zhǎng)發(fā)生伸縮的運(yùn)動(dòng)。線變形速率定義為單位時(shí)間單位長(zhǎng)度的線變形量。如對(duì)于AB邊長(zhǎng)，在微分時(shí)段內(nèi)邊長(zhǎng)的增加量為§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式2023/2/321沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室由此得到x方向的線變形速率為同理，在y方向的線變形速率為平面微團(tuán)的面積變化率為§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式2023/2/322沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室（3）角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度在微分時(shí)段內(nèi)，AB與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。在微分時(shí)段內(nèi)，AB邊的偏轉(zhuǎn)角度為（逆時(shí)針為正）在微分時(shí)間內(nèi)，AC邊的偏轉(zhuǎn)角度為（順時(shí)針為負(fù)）

§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式2023/2/323沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室平面微團(tuán)夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉(zhuǎn)動(dòng)部分和角平分線不動(dòng)兩邊相對(duì)偏轉(zhuǎn)同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示。設(shè)在微分時(shí)段內(nèi)，平面微團(tuán)角平分線轉(zhuǎn)動(dòng)角度為α，邊線的純角變形量為β，則由幾何關(guān)系可得解出可得§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式2023/2/324沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室定義，平面微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度（單位時(shí)間的旋轉(zhuǎn)角度）為平面微團(tuán)的角變形速率（單位時(shí)間單邊角變形量）為對(duì)于三維六面體微團(tuán)而言，其運(yùn)動(dòng)形式同樣可分為：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)，類似平面微團(tuán)很容易導(dǎo)出相關(guān)公式。此處不再推導(dǎo)，以下直接給出?！?.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式2023/2/325沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室流體微團(tuán)平動(dòng)速度：流體微團(tuán)線變形速率：

流體微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式2023/2/326沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室德國(guó)物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場(chǎng)速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。設(shè)在流場(chǎng)中，相距微量的任意兩點(diǎn)，按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)給出分解。在速度為

在點(diǎn)處，速度為§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理2023/2/327沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)有

§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理2023/2/328沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室應(yīng)指出的是，實(shí)際流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以是一種或幾種運(yùn)動(dòng)的組合。如，（1）對(duì)于均速直線運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)只有平動(dòng)，無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。（2）無(wú)旋流動(dòng)，流體微團(tuán)存在平動(dòng)、變形運(yùn)動(dòng)，但無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)。（3）旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)存在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，但無(wú)變形運(yùn)動(dòng)。應(yīng)指出的是，剛體的速度分解定理和流體微團(tuán)的速度分解定理除了變形運(yùn)動(dòng)外，還有一個(gè)重要的差別。剛體速度分解定理是對(duì)整個(gè)剛體都成立，因此它是整體性定理；而流體速度分解定理只是對(duì)流體微團(tuán)成立，因它是局部性定理。譬如，剛體的角速度是刻畫(huà)整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的一整體特征量，在剛體上任意一點(diǎn)都是不變的，而流體的旋轉(zhuǎn)角速度是刻畫(huà)局部流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)局部性特征量，在不同點(diǎn)處微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不同。§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理2023/2/329沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室§2.2.3散度及其意義散度在流體力學(xué)里表示流體微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率（單位時(shí)間單位體積的增長(zhǎng)量）。為說(shuō)明此點(diǎn)可取一簡(jiǎn)單的矩形微元六面體來(lái)看，設(shè)六面體的三邊原長(zhǎng)分別是Δx,Δy,Δz，原來(lái)體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間后三個(gè)邊長(zhǎng)分別變?yōu)椋喝齻€(gè)相互垂直方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度V的散度，符號(hào)為divV，即2023/2/330沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質(zhì)量總是不變的。而質(zhì)量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流動(dòng)里，微團(tuán)的體積不變，其速度的散度必為零。如果是密度有變化的流動(dòng)，那么散度一般地不等于零。則相對(duì)體積膨脹率（單位時(shí)間單位體積的增長(zhǎng)量）為：§2.2.3散度及其意義2023/2/331沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的ω都等于零，這樣的流場(chǎng)稱為無(wú)旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱為無(wú)旋流。否則為有旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱有旋流。根據(jù)數(shù)學(xué)上Stokes定律§2.2.4旋度和位函數(shù)業(yè)已知道，流體微團(tuán)繞自身軸的旋轉(zhuǎn)角速度的三個(gè)分量為ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示為這個(gè)值在向量分析里記為（1/2）rotV，稱為V的旋度。即有旋度為旋轉(zhuǎn)角速度的二倍：如果是無(wú)渦流場(chǎng)，那么其旋度為零，由此得到

說(shuō)明速度場(chǎng)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，僅是坐標(biāo)位置的函數(shù)。。2023/2/332沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室；；§2.2.4旋度和位函數(shù)在數(shù)學(xué)上表示下列微分代表某個(gè)函數(shù)的全微分，即上式中這個(gè)函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)或速度位，其存在的充分必要條件是無(wú)渦流動(dòng)。速度勢(shì)函數(shù)僅是坐標(biāo)位置和時(shí)間的函數(shù)。即速度勢(shì)函數(shù)與速度分量的關(guān)系為說(shuō)明速度勢(shì)函數(shù)在某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)等于速度矢量在那個(gè)方向的分量。2023/2/333沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室解：流體微團(tuán)繞z軸的旋轉(zhuǎn)角速度為流動(dòng)無(wú)旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。例2.1設(shè)有一個(gè)二維流場(chǎng)其速度分布的式子是，問(wèn)這個(gè)流動(dòng)是有旋的還是無(wú)旋的？有沒(méi)有速度位存在？流線方程是什么？變形率的是什么？

流線方程為§2.2.4旋度和位函數(shù)對(duì)于無(wú)旋流，沿一條連接A、B兩點(diǎn)的曲線進(jìn)行速度的線積分，結(jié)果只與二端點(diǎn)的Φ值之差有關(guān)而與積分路徑無(wú)關(guān)。即2023/2/334沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室積分得常數(shù)C取一系列的值畫(huà)得一系列的流線，見(jiàn)下圖。

角變形率：

考察矩形微團(tuán)ABCD，在如圖流場(chǎng)中將從左上方流向右下方，由于流動(dòng)無(wú)旋微團(tuán)不轉(zhuǎn)動(dòng)；由于相對(duì)體積膨脹率為零，x方向線段有縮短，y方向線段必有拉伸，流動(dòng)過(guò)程中矩形微團(tuán)面積保持不變；流體微團(tuán)無(wú)角變形?！?.2.4旋度和位函數(shù)流體微團(tuán)線變形率：2023/2/335沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例2-2在例2-1流場(chǎng)中，已知vx=ax;vy=-ay，求位函數(shù)φ。解由式分別進(jìn)行積分得由可知流場(chǎng)存在速度位函數(shù)φ,于是有最后得2023/2/336沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室等位線是,為等邊雙曲線，以x=y，及x=-y兩直線為其漸近線，畫(huà)出來(lái)的流線和等位線如圖2-9所示.圖中的實(shí)線表示流線，虛線表示等位線。該流動(dòng)稱為直角流動(dòng).圖2-9流場(chǎng)中的流線和等位線2023/2/337沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例2-3有一二維流動(dòng)，其流線族為圓心在原點(diǎn)的一系列同心圓，即.求流場(chǎng)的速度位函數(shù)φ.(k為常數(shù))

解假定流場(chǎng)存在速度位φ，應(yīng)用式分別對(duì)r,θ進(jìn)行積分,得由速度位φ存在的條件又可得出流場(chǎng)一定是無(wú)旋流場(chǎng)(除原點(diǎn)外).該流場(chǎng)的流線和等位線如圖2-10所示。該流動(dòng)為流體力學(xué)中的基本流動(dòng)、通常稱為點(diǎn)渦流動(dòng).

圖2-10點(diǎn)渦流動(dòng)的流線和等位線2023/2/338沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例2-4設(shè)某二維流動(dòng)的速度分布為vx=ay,vy=0,a為常數(shù)，求該流場(chǎng)的速度位函數(shù)。

解假定流場(chǎng)存在速度位φ,于是有將vx,vy進(jìn)行積分后得顯然.無(wú)法找到f1(y)和f2(x)使上面的兩個(gè)表達(dá)式一致.故此，速度位函數(shù)φ不存在.另外，注意該流動(dòng)為有旋流動(dòng)，即不存在速度位函數(shù)φ，這與前面的結(jié)論相符.該流動(dòng)稱為平面Couette流動(dòng)。2023/2/339沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中具體表達(dá)形式。以下針對(duì)一個(gè)微分六面體推導(dǎo)微分形式的連續(xù)方程。由于連續(xù)方程僅是運(yùn)動(dòng)的行為，與動(dòng)力無(wú)關(guān)，因此適應(yīng)于理想流體和粘性流體?，F(xiàn)在流場(chǎng)中劃定一個(gè)邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz的矩形六面體，這個(gè)體的空間位置相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的，不隨時(shí)間變化，被流體所通過(guò)。假設(shè)六面體中心點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z）。在t時(shí)，過(guò)中心點(diǎn)流體微團(tuán)的三個(gè)分速是u，v，w，密度是ρ。在t瞬時(shí)，過(guò)該點(diǎn)處通過(guò)垂直于x軸單位面積的流體流量為ρu，如果把這個(gè)量看作為空間和時(shí)間的函數(shù)，則根據(jù)臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)有在dt時(shí)段內(nèi)，從ABCD面進(jìn)入的流體質(zhì)量為§2.3理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程組xzyABCDA’B’C’D’2.3.1連續(xù)方程2023/2/340沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室在dt時(shí)段內(nèi)，從A’B’C’D’面流出的流體質(zhì)量為在dt時(shí)段內(nèi)，由x面儲(chǔ)存在在微分六面體的流體質(zhì)量為（凈流入量）同理可得，在dt時(shí)段內(nèi)，由y,z面儲(chǔ)存在微分六面體的流體質(zhì)量為§2.3.1連續(xù)方程2023/2/341沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室由此可得，在dt時(shí)段內(nèi)由所有側(cè)面流入到微分六面體的凈流體總質(zhì)量為

由于ρ是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，在dt時(shí)段內(nèi)，由于密度變化引起微分六面體質(zhì)量的增加量為根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在dt時(shí)段內(nèi)從側(cè)面凈流入微分六面體的總質(zhì)量應(yīng)等于六面體內(nèi)流體質(zhì)量因密度隨時(shí)間變化的引起增量。§2.3.1連續(xù)方程2023/2/342沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程。即對(duì)于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椤?.3.1連續(xù)方程2023/2/343沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室結(jié)論：流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)服從質(zhì)量守恒定律，這條定理在空氣動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為連續(xù)方程或質(zhì)量方程.矢量表達(dá)形式對(duì)于定常不可壓流體的極坐標(biāo)方程另一形式2023/2/344沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室根據(jù)散度的定義，有得到高斯公式，有不可壓指的是每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度在流動(dòng)過(guò)程中保持不變，但是這個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)和那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的密度可以不同，即流體可以是非均值的，因此不可壓縮流體的密度并不一定處處都是常數(shù)，例如變密度平行流動(dòng)?！?.3.1連續(xù)方程2023/2/345沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室而均值流體的定義是▽?duì)眩?，即密度在空間上處處均勻，但不能保證隨時(shí)間不變化。只有既為不可壓縮流體，同時(shí)又是均值時(shí)，流體的密度才處處都是同一個(gè)常數(shù)；由不可壓條件得到均值流體條件得到從而，有于是=C，即流體密度既不隨時(shí)間變化，也不隨位置變化，在整個(gè)流場(chǎng)中是個(gè)常數(shù)?！?.3.1連續(xù)方程2023/2/346沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室2.3.2流函數(shù)函數(shù)φ(x,y)稱為流函數(shù).對(duì)于二維定常不可壓縮流動(dòng)，連續(xù)方程式(2-21)可寫(xiě)為由高等數(shù)學(xué)可知式(2-22)表明是某一函數(shù)φ的全微分，即又故有(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)2023/2/347沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室流函數(shù)與速度位關(guān)系2023/2/348沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例2-5已知一二維均勻直線流動(dòng),vx=A,vy=B。A,B為常數(shù)，求流場(chǎng)的流函數(shù)及速度位.解由式(2-25

)得積分后得由解的同一性可知即等位線斜率為而于是可知均勻直線流動(dòng)中的流線族與等位線族是正交的，見(jiàn)右圖直勻流場(chǎng)中的流線與等位線2023/2/349沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例2-6設(shè)二維不可壓流動(dòng)中vr＝f(r),vθ=0。求滿足質(zhì)量守恒定律所要求的f(r)的表達(dá)式及流函數(shù)和速度位。解由二維不可壓流動(dòng)的質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可得積分后得vr的解為：式中k為常數(shù)極坐標(biāo)系中積分后得點(diǎn)源流動(dòng)的流線與等位線由解的同一性知最后得這里的常數(shù)k由通過(guò)半徑為r的圓周的體積流量Λ求出，即流線在原點(diǎn)處相交且原點(diǎn)處速度為無(wú)窮大，其在原點(diǎn)處流動(dòng)為奇點(diǎn)，這類流動(dòng)稱為點(diǎn)源（或匯）流動(dòng)，見(jiàn)右圖2023/2/350沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組是在不計(jì)流體粘性前提下推導(dǎo)出來(lái)的，該方程實(shí)質(zhì)上是微分形式的動(dòng)量方程。在流場(chǎng)中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體微團(tuán)來(lái)看，不計(jì)粘性力，表面力沒(méi)有切向力，僅有法向力（壓力）一種。設(shè)六面體中心點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)，相應(yīng)該點(diǎn)處的流體要素為壓強(qiáng)p(x,y,z,t),單位質(zhì)量力，速度u,v,w。在微元體的左面，壓力為

在微元體的右面，壓力為xyz·Pdxdydz2023/2/351沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室微元六面體質(zhì)量力在x方向的分力為§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組根據(jù)牛頓定律：x方向合外力等于質(zhì)量乘以x方向加速度，得兩邊同除以微元體積的質(zhì)量dxdydz，取極限得到x方向的運(yùn)動(dòng)方程。為請(qǐng)注意，這里寫(xiě)成全加速度形式，是因?yàn)樵谏鲜龇治鲞^(guò)程中，在微分時(shí)段內(nèi)跟隨流體微團(tuán)建立的?；蛘呖杀硎緸?023/2/352沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室同理可得其它兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)方程。綜合起來(lái)，有上三式即為笛卡兒坐標(biāo)系下理想流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程（1755年）。表明了流體質(zhì)點(diǎn)的加速度等于質(zhì)量力減去壓力梯度。寫(xiě)成另一種形式，為§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組2023/2/353沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室s矢量形式如果把加速度項(xiàng)重新組合，可以在加速度項(xiàng)中顯示出旋轉(zhuǎn)角度來(lái)，這樣的方程稱為格羅米柯-Lamb型方程。如x方向的方程，有

§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組對(duì)于一元流動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為2023/2/354沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室由此可得“格羅米柯形式”為寫(xiě)成矢量形式為這個(gè)方程本質(zhì)上仍是在理想流體運(yùn)動(dòng)方程。其好處是在方程中顯示了旋轉(zhuǎn)角速度項(xiàng)。便于分析無(wú)旋流動(dòng)。對(duì)于理想流體，可以無(wú)旋運(yùn)動(dòng)也可以有旋運(yùn)動(dòng)。只是對(duì)于理想流體，微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)受到切向力的作用，因而流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)改變它的旋度，如原來(lái)旋度為零的（即無(wú)旋流）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程也保持無(wú)旋流；原來(lái)有旋的，繼續(xù)保持為有旋流，且其旋度不變?！?.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組2023/2/355沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室對(duì)于理想正壓流體，在質(zhì)量力有勢(shì)條件下，假設(shè)為定常流動(dòng)，有§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義這樣格羅米柯方程變?yōu)楝F(xiàn)在流場(chǎng)中，任取一條光滑曲線，并將上式投影到曲線上，有2023/2/356沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室如果上式右邊項(xiàng)為零，有這樣在曲線上，下式成立。這就是Bernoulli積分，或伯努利方程。上式表明，對(duì)于理想正壓流體的定常流動(dòng)，在質(zhì)量力有勢(shì)條件下，單位體積流體微團(tuán)沿著這條特定曲線s的勢(shì)能、壓能和動(dòng)能之和不變，即總機(jī)械能不變。（1738年）§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義Bernoulli積分成立的條件，是（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立。這是因?yàn)?，在此情況下2023/2/357沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室（2）沿著任意一條渦線，Bernoulli積分成立。這是因?yàn)?，在此情況下（3）在以下條件下，Bernoulli積分與所取的曲線無(wú)關(guān)，在整個(gè)流場(chǎng)中積分常數(shù)不變，等于同一個(gè)常數(shù)。

(a)靜止流場(chǎng)，

(b)無(wú)旋流場(chǎng)，有勢(shì)流動(dòng)。

(c)流線與渦線重合，即螺旋流動(dòng)。對(duì)于不可壓縮流體，在不計(jì)質(zhì)量力情況下，Bernoulli積分變?yōu)槿绻|(zhì)量力只有重力，bernoulli積分變?yōu)椤?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義2023/2/358沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室如果兩邊同除以g，最后得到的能量方程形式為上式表示不可壓縮流體，在質(zhì)量力為重力作用下的能量方程。表明，單位重量流體所具有的勢(shì)能、壓能和動(dòng)能之和不變。y-----表示單位重量流體相對(duì)于基準(zhǔn)面高度，稱為位置水頭；p/γ----表示單位重量流體在絕對(duì)真空管中上升的高度，稱為壓強(qiáng)水頭；V2/2g---表示單位重量流體垂直上拋所能達(dá)到高度，稱為速度水頭；H---表示沿流線單位重量流體具有的總能量，稱總水頭。y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義2023/2/359沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度v，假設(shè)小孔中心距自由面深為hvhpapa解.由于是小孔出流，因此自由面的水位下降速度v0與小孔的出流速度相比可以忽略不計(jì)，流動(dòng)可以假設(shè)是定常的。假設(shè)不計(jì)粘性損失。沿小孔中心點(diǎn)處一根流線列伯努利方程，由于是小孔，中心點(diǎn)處速度可以近似代表小孔速度此式也可是將流動(dòng)看成是一維流動(dòng)的結(jié)果，從而（由于實(shí)際上粘性不可忽略，實(shí)際速度將略低于上述理論值，其中cv叫做速度系數(shù)，實(shí)驗(yàn)表明cv＝0.97）§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用2023/2/360沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室測(cè)量低速氣流的速度時(shí)，用的風(fēng)速管就是根據(jù)上述原理設(shè)計(jì)并由上式去計(jì)算風(fēng)速的。風(fēng)速管的構(gòu)造很簡(jiǎn)單，見(jiàn)右下圖。基本原理是

總壓孔對(duì)準(zhǔn)來(lái)流，來(lái)流撞在孔上速度降為零，相應(yīng)的壓強(qiáng)達(dá)到了總壓p0

，而靜壓空處感受到的是靜壓。測(cè)量時(shí)不必分開(kāi)量總壓和靜壓，只要把二者接在一根U形測(cè)壓計(jì)的兩支上，看二者的差（p0-p）就行了。風(fēng)速管的結(jié)構(gòu)§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用2023/2/361沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室直勻流對(duì)機(jī)翼的繞流

例.在海平面上，直勻流流過(guò)一個(gè)機(jī)翼，遠(yuǎn)前方直勻流的靜壓p=p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三點(diǎn)的速度分別是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空氣在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假設(shè)流動(dòng)無(wú)旋，求A、B、C三點(diǎn)的壓強(qiáng)解:流動(dòng)是無(wú)旋的，伯努利常數(shù)全流場(chǎng)通用。根據(jù)遠(yuǎn)前方的條件得這就是通用于全流場(chǎng)的常數(shù)。于是§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用2023/2/362沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例

有一種二維的繞其固定軸線的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，其υθ正比于半徑r，即υθ=kr，如圖。試證伯努利常數(shù)C是r的函數(shù)。證:先沿著流線寫(xiě)出伯努利方程

一種旋轉(zhuǎn)流動(dòng)

對(duì)半徑取導(dǎo)數(shù)：法向壓力差必須平衡微團(tuán)的離心力，故有

左側(cè)的第二項(xiàng)是AD面和BC面上的壓力在r向的投影。略去微量的高次項(xiàng)，得代入的式子，并將代入，得§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用2023/2/363沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室如果速度場(chǎng)是試證明，能量方程的積分常數(shù)對(duì)整個(gè)流場(chǎng)是不變的。該流場(chǎng)實(shí)際上是一個(gè)無(wú)渦流場(chǎng)，能量方程積分常數(shù)不變。對(duì)于在流場(chǎng)中一個(gè)集中的旋渦，分渦核和渦核外的誘導(dǎo)流場(chǎng)。在渦核內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)像剛體一樣繞渦軸旋轉(zhuǎn)，其周向速度與r成正比，在渦核外的誘導(dǎo)流場(chǎng)是無(wú)渦運(yùn)動(dòng)，其周向速度與r成反比。§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用2023/2/364沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室推導(dǎo)動(dòng)量方程用圖

2.4動(dòng)量方程在瞬時(shí)和，系統(tǒng)所具有的動(dòng)量分別以和表示，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)于定常流體有：即所以對(duì)于任意定常流動(dòng)的控制體，只要其進(jìn)出口截面上流動(dòng)參數(shù)是均勻的，則動(dòng)量方程為：（1.41）2.4.1微分形式的動(dòng)量方程2023/2/365沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室將雷諾輸運(yùn)定律表達(dá)式中的Φ換為動(dòng)量mV，則，根據(jù)牛頓第二定律

上式即為動(dòng)量方程。關(guān)于此式需要強(qiáng)調(diào)以下3點(diǎn)：1、V是流體相對(duì)于某一慣性坐標(biāo)系的速度，如果坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)則應(yīng)考慮相對(duì)速度，而且，在非慣性系中必須要考慮慣性力。

2.

是作用在控制體上所有力的矢量和，包括表面力及質(zhì)量力（體積力）。3.整個(gè)方程為矢量關(guān)系式，在直角坐標(biāo)系中有三個(gè)分量式，其分量式為：同理可得到，x,y方向的分量方程。（2.43）我們稱式（2.42）右邊第二項(xiàng)為動(dòng)量通量（2.44）（2.42）如果控制體的所有進(jìn)出口都是一維流動(dòng)，則有：（2.45）2.4動(dòng)量方程2023/2/366沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室質(zhì)量力表面力2.4動(dòng)量方程2023/2/367沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例2-4-1：水在水平放置的U型管內(nèi)流動(dòng)如圖2-4-1所示，U型管的截面積為A。進(jìn)、出口的壓強(qiáng)均為P，流速為V。不計(jì)粘性摩擦，求水對(duì)管子的作用力。解：取U型管的側(cè)壁和進(jìn)、出口截面為控制體。作用在控制體上流體的力沿y方向的力抵消；沿x方向的力有，假設(shè)向右為正；作用在進(jìn)、出口截面上的力為pA，方向指向作用面。沿x方向的動(dòng)量方程為圖

例2-4-1用圖vv作用力的方向沿x方向。因此，水對(duì)管子的作用力為即2.4動(dòng)量方程2023/2/368沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室2.4.2微分形式的動(dòng)量方程

推導(dǎo)微分形式的動(dòng)量方程作用在流管側(cè)表面上的壓強(qiáng)的合力在S方向上的分量為則沿S方向的動(dòng)量方程為：略去高階無(wú)限小量，得微分形式的動(dòng)量方程：（2-46）注：為作用在流管側(cè)表面上的摩擦力在S方向的分量。2.4動(dòng)量方程2023/2/369沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室式（2-46）可以寫(xiě)成力的平衡形式：對(duì)于無(wú)粘性的理想流體，則可寫(xiě)成或?qū)懗蓪?duì)氣體來(lái)講，重量很小，通?？梢圆挥?jì)重力，則歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為這就是無(wú)粘性流體的一維定常流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式，也稱一維流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)方程式。（2-47）（2-48）（2-49）2.4動(dòng)量方程2023/2/370沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室觀察發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，思考如何表達(dá)推力（推力公式）2.4動(dòng)量方程2023/2/371沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室解：取與發(fā)動(dòng)機(jī)相同速度的相對(duì)坐標(biāo)系，并取控制體如圖3-5中的虛線所示，則各力在x方向的合力為例：利用動(dòng)量方程式推導(dǎo)空氣噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)的推力公式。推導(dǎo)空氣噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)的推力公式燃油x方向的動(dòng)量變化率為由動(dòng)量方程得即則發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)控制體內(nèi)氣流的作用力：忽略有：2.4動(dòng)量方程2023/2/372沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例：運(yùn)用動(dòng)量定理導(dǎo)出火箭向上垂直加速飛行（圖3.22）的加速度公式（設(shè)火箭內(nèi)氣體的運(yùn)動(dòng)相對(duì)火箭是定常的）。

解：取火箭本身的外殼表面和噴管的出口平面為控制面。對(duì)此控制面沿火箭飛行方向（z方向）寫(xiě)動(dòng)量方程。為方便起見(jiàn)，取與火箭以同樣速度運(yùn)動(dòng)的相對(duì)坐標(biāo)系。因?yàn)榛鸺骷铀龠\(yùn)動(dòng)，故該坐標(biāo)系為非慣性系。對(duì)于非慣性坐標(biāo)系，在運(yùn)用動(dòng)量方程時(shí)，要將慣性力考慮到合力中，并把速度改為相對(duì)速度。由此，對(duì)所取的控制面沿z方向的動(dòng)量方程可以寫(xiě)為：推導(dǎo)火箭向上垂直加速飛行的加速

式中，第一項(xiàng)為作用在控制體的重力（MR為火箭整體的瞬時(shí)質(zhì)量）；2.4動(dòng)量方程2023/2/373沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室第二項(xiàng)為作用在控制面上的壓強(qiáng)的合力在z軸上的投影（pe為噴管出口處的壓強(qiáng)，pa為大氣壓強(qiáng)，Ae為噴管出口處的截面積）；第三項(xiàng)為作用在控制面上的全部阻力的合力在z軸上的投影；第四項(xiàng)為火箭的慣性力，方向與火箭的加速度相反（V為火箭飛行的瞬時(shí)速度）；第五項(xiàng)為從控制面ee氣體動(dòng)量的流出率（為燃?xì)獾牧髁浚琕e為氣體相對(duì)于所取坐標(biāo)的速度）。將上式整理后得：2.4動(dòng)量方程2023/2/374沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程§2.4.1基本概念流體動(dòng)力學(xué)是研究產(chǎn)生流體運(yùn)動(dòng)的原因。為此，我們必須解決三個(gè)方面的問(wèn)題：（1）流體的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題；（2）作用于流體上各種力的特征；（3）控制流體運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律（質(zhì)量守恒、牛頓第二定律（動(dòng)量守恒）、動(dòng)量矩守恒、能量守恒等）流體動(dòng)力學(xué)方程是將這些描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律，應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象中，從而得到聯(lián)系流體運(yùn)動(dòng)各物理量之間的關(guān)系式，這些關(guān)系式就是流體動(dòng)力學(xué)的基本方程，如果關(guān)系式是以積分形式給出，稱為流體動(dòng)力學(xué)積分方程，如果是以微分形式給出，稱為微分方程。在流體動(dòng)力學(xué)積分方程中，具體包括：（1）連續(xù)方程；（2）動(dòng)量方程；（3）動(dòng)量矩方程；（4）能量方程1、系統(tǒng)(System)定義：系統(tǒng)是指包含著確定不變物質(zhì)的任何集合體，稱為系統(tǒng)。在流體力學(xué)中，系統(tǒng)是指由任何確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的團(tuán)體。系統(tǒng)的基本特點(diǎn)（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運(yùn)動(dòng)；（2）在系統(tǒng)的邊界上沒(méi)有質(zhì)量的交換；（3）在系統(tǒng)的邊界上受到外界的表面力；（4）在系統(tǒng)的邊界上存在能量的交換。2023/2/375沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于系統(tǒng)上所有外力的合力。a指系統(tǒng)的平均加速度。系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于Lagrange觀點(diǎn)，即以確定的流體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)作為研究對(duì)象，研究系統(tǒng)各物理量的關(guān)系。2、控制體（ControlVolume）定義：被流體所流過(guò)，相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系而言，固定不變的任何體積稱為控制體。控制體的邊界，稱為控制面?？刂企w是不變的，但占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間是變化的。控制體的基本特點(diǎn)（1）控制體的邊界相對(duì)于坐標(biāo)系而言是固定的；（2）在控制面上可以發(fā)生質(zhì)量交換，即流體可以流進(jìn)、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內(nèi)流體上的力；（4）在控制面上存在能量的交換。例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于控制體邊界面上所有作用于流體上外力的合力?？刂企w對(duì)應(yīng)Euler觀點(diǎn)，即以通過(guò)確定的體積流體質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象，研究控制體內(nèi)流體各物理量的關(guān)系。

附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/376沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室

現(xiàn)任取一體積，邊界表面積為S0的確定系統(tǒng)作為考察對(duì)象。（1）連續(xù)方程（質(zhì)量守恒）

表示，在系統(tǒng)內(nèi)不存在源和匯的情況下，系統(tǒng)的質(zhì)量不隨時(shí)間變化。（2）動(dòng)量方程

表示：系統(tǒng)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上的所有外力的合力。（3）動(dòng)量矩方程

表示：系統(tǒng)對(duì)某點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上所有外力對(duì)同一點(diǎn)力矩之和?！?.4.2Lagrange型積分方程附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/377沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室（4）能量方程表示：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)由外界傳入系統(tǒng)的熱量Q與外界對(duì)系統(tǒng)所做的功W之和等于該系統(tǒng)的總能量E對(duì)時(shí)間的變化率。傳給系統(tǒng)的熱量：熱傳導(dǎo)和熱輻射。單位時(shí)間內(nèi)，由系統(tǒng)表面?zhèn)魅氲目偀醾鲗?dǎo)量為單位時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)所吸收的熱輻射總量為單位時(shí)間內(nèi)，由質(zhì)量力和表面力所做的功為附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/378沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室最后的能量方程形式為§2.4.3Reynolds輸運(yùn)方程

如要將Lagrange型積分方程改造成為適合于控制體的形式，首先必須解決隨體導(dǎo)數(shù)在控制體上的表示形式。設(shè)對(duì)于任意函數(shù)，在系統(tǒng)上的積分式為與前面各物理量對(duì)應(yīng)起來(lái)，取不同的變量組合，I代表不同的物理量積分。即當(dāng)=1時(shí)，N=M代表系統(tǒng)的質(zhì)量；當(dāng)時(shí)，N=K代表系統(tǒng)的動(dòng)量；當(dāng)時(shí)，N=Mr代表系統(tǒng)的動(dòng)量矩；當(dāng)時(shí)，N=E代表系統(tǒng)的能量。(被積函數(shù)隨時(shí)間的變化+系統(tǒng)體積隨時(shí)間的變化)引起的

附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/379沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室為了區(qū)分系統(tǒng)和控制體；對(duì)于體積和面積帶下標(biāo)為0的是針對(duì)系統(tǒng)的，無(wú)下標(biāo)的是針對(duì)控制體的。設(shè)在t時(shí)刻某流體系統(tǒng)與控制體重合，在t+t時(shí)刻該系統(tǒng)的體積和位置均發(fā)生了變化。在t時(shí)刻，系統(tǒng)的體積為，在t+t時(shí)刻該系統(tǒng)的體積變?yōu)椋缬帽硎緝烧叩墓膊糠?，則有在t時(shí)段內(nèi)，某函數(shù)的增量為（表示物理量的隨體變化增量）附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/380沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室分解上式，有

（物理量的隨體導(dǎo)數(shù)）

（體積不變，物理量隨時(shí)間變化引起的）（體積變化引起物理量的變化）由于附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/381沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室對(duì)于時(shí)間變化項(xiàng)，有對(duì)于第2項(xiàng)的體積變化量（流出控制體的物理量）對(duì)于第3項(xiàng)的體積變化量（流入控制體的物理量）通過(guò)控制面凈流出量為附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/382沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室最后合起來(lái)，得到Reynolds輸運(yùn)方程為這就是表示系統(tǒng)隨體導(dǎo)數(shù)的Reynolds輸運(yùn)方程。各項(xiàng)物理意義為（1）--表示控制體內(nèi)物理量隨時(shí)間的變化率，表征了流場(chǎng)的非定常特性。（2）--表示單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)控制面流出物理量的凈增量，是由于流場(chǎng)的不均勻性引起的。綜合起來(lái)，表示系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)等于單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)物理量隨時(shí)間引起的增量與通過(guò)控制面流出物理量的凈增量之和。§2.4.4Euler型積分方程Euler型積分方程是對(duì)控制體建立的積分方程。利用Reynolds輸運(yùn)方程，可很容易獲得。（1）連續(xù)方程（質(zhì)量守恒）附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/383沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室如果取=1，得到連續(xù)方程在控制體內(nèi)無(wú)源和匯的情況下，單位時(shí)間內(nèi)從控制體流出的質(zhì)量等于控制體內(nèi)質(zhì)量的減小量。（2）動(dòng)量方程單位時(shí)間內(nèi)，在控制體內(nèi)動(dòng)量的增量加上通過(guò)控制面流出的凈動(dòng)量等于外界作用于控制體上所有外力之和。附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/384沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室（3）動(dòng)量矩方程

單位時(shí)間內(nèi)，控制體內(nèi)動(dòng)量矩的增量加上通過(guò)控制面流出的凈動(dòng)量矩等于外界作用于控制體上所有外力矩之和。（4）能量方程單位時(shí)間內(nèi)，控制體內(nèi)總能量的增量加上通過(guò)控制面流出的凈總能量等于傳給控制體內(nèi)流體的熱量加上所有力對(duì)控制體內(nèi)流體所做的功。附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/385沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室對(duì)于理想流體、質(zhì)量力有勢(shì)、絕熱定常流動(dòng)，可將能量方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。對(duì)于絕熱流動(dòng)在質(zhì)量力有勢(shì)的情況下對(duì)于定常流動(dòng)，由連續(xù)方程可得附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/386沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室對(duì)于理想流體，有對(duì)于定常流動(dòng)，有代入能量方程中，得到對(duì)于不可壓流體的絕熱定常流動(dòng)，有附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/387沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室我們將控制體外部取得離機(jī)翼足夠遠(yuǎn)，這樣即使翼面附近有粘性力，到了S面上也沒(méi)有粘性力了只有壓力的作用，從而x方向表面力為：對(duì)于如圖的第二類控制體（機(jī)翼被包含在控制體之內(nèi)），我們將動(dòng)量方程作些變換和說(shuō)明，得到更常用的形式。設(shè)機(jī)翼受力在三個(gè)方向的分量為Fx、Fy和Fz。機(jī)翼對(duì)控制體流體的作用力的三個(gè)分量為－Fx、－Fy和－Fz

。(n,x)np控制體內(nèi)的x方向質(zhì)量力為：控制體內(nèi)流體在x方向所受的合外力為：控制體內(nèi)x方向的動(dòng)量隨時(shí)間變化率及凈流出控制面的動(dòng)量流量為：注：上面的表達(dá)中，連接S和S1雙層面上的面積分為0附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/388沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室由動(dòng)量積分方程，可得積分形式動(dòng)量方程的一個(gè)重要方面在于人們往往不需要知道控制體中的流動(dòng)細(xì)節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動(dòng)屬性來(lái)求作用力，這個(gè)作用力可以包含摩擦力的影響在內(nèi)，例如用上述方程來(lái)求物體受到的阻力等。上述方程常常用于定常流動(dòng)的氣體中，用于定常流時(shí)上式中的當(dāng)?shù)刈兓室豁?xiàng)等于零，用于氣體則質(zhì)量力可以忽略。附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/389沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室例．有一種尾跡詳測(cè)法可以用來(lái)測(cè)量一個(gè)二維物體的型阻（型阻是由粘性直接間接造成的物體阻力）。我們來(lái)看一看要測(cè)哪些量，并怎樣使用積分形式的動(dòng)量方程。動(dòng)量法測(cè)型阻

p1、v1p2、v2解：取控制面S

，如圖。在物體的前方相當(dāng)遠(yuǎn)的地方氣體流基本上還沒(méi)有受到物體的影響還是直勻流。在物體后面一定距離的地方，那里的氣流的靜壓已經(jīng)和來(lái)流的靜壓沒(méi)有什么區(qū)別了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。上下兩根連結(jié)流線取在遠(yuǎn)離物體的地方，在那里流速和靜壓都和原來(lái)的來(lái)流值一樣。在這個(gè)S面上作用的靜壓既然都是同一個(gè)值，那末壓力做面積分的結(jié)果必是零。設(shè)流動(dòng)定常，時(shí)間導(dǎo)數(shù)不存在。在氣流中徹體力項(xiàng)也略去不計(jì)。根據(jù)動(dòng)量方程，只需計(jì)算越過(guò)控制面的動(dòng)量流量即可，設(shè)翼型受到的阻力為Fx。附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/390沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室下面舉一簡(jiǎn)單例子說(shuō)明如何綜合應(yīng)用動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程例：求寬度為b的二維不可壓定常射流對(duì)固定斜板（與水平成θ角）的（1）板對(duì)流體的作用力（2）射流寬度比b1/b2（3）力的作用點(diǎn)設(shè)不計(jì)重力和流動(dòng)損失。θb,vb1,v1b2,v2xy解：由于是自由射流，射流開(kāi)始處及1、2截面處壓強(qiáng)均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計(jì)重力的伯努利方程可得：v1=v2=v（或認(rèn)為流動(dòng)均勻無(wú)旋，伯努利常數(shù)全場(chǎng)成立）由質(zhì)量方程可知：Q＝Q1＋Q2

或b=b1+b2R（1）求作用力如圖建立坐標(biāo)系，取控制體如圖，假設(shè)控制體受力為R，由y向動(dòng)量方程：（注意控制面上大氣壓無(wú)合力）附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/391沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室可見(jiàn)θ＝900時(shí)受力最大斜板受力與此大小相等方向相反。（2）求射流寬度比b1/b2由x向動(dòng)量方程：考慮到：v1=v2=v，有上式與b=b1+b2

聯(lián)立得：故得射流寬度比：由于速度相等，這也是流量比Q1/Q2θb,vb1,v1b2,v2xyR附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/392沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室（3）求力的作用點(diǎn)e設(shè)力的作用點(diǎn)距y軸的距離為e，設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫氐恼较颍蓜?dòng)量矩方程僅當(dāng)θ＝900

時(shí)合力的作用點(diǎn)才通過(guò)射流中心θb,vb1,v1b2,v2xyRe附§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程2023/2/393沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室§2.6環(huán)量與渦

§2.6.1環(huán)量與渦的概念研究流動(dòng)的問(wèn)題，還有兩面?zhèn)€極重要的概念，一個(gè)叫環(huán)量，一個(gè)叫做渦。環(huán)量的定義在流場(chǎng)中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環(huán)量。像力做功的計(jì)算方法一樣，也形象地稱速度環(huán)量為速度繞封閉曲線的速度功。速度環(huán)量的符號(hào)不僅決定于流場(chǎng)的速度方向，而且與封閉曲線的繞行方向有關(guān)，規(guī)定積分時(shí)逆時(shí)針繞行方向?yàn)檎捶忾]曲線所包圍的區(qū)域總在行進(jìn)方向的左側(cè)。沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

如果把一個(gè)速度向量分成三個(gè)坐標(biāo)軸方向的三個(gè)分量u,v,w,把線段ds也分解成dx,dy,dz三個(gè)方向的三個(gè)線段，有2023/2/394沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室于是環(huán)量表達(dá)式為如果流動(dòng)是無(wú)旋的，存在位函數(shù)Φ，那末上式中的ux,vy,wz都可以用Φ的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)。

說(shuō)明在無(wú)旋流動(dòng)中，沿著任意一條封閉曲線的速度環(huán)量均等于零。但是對(duì)于有旋流動(dòng)，上述結(jié)論并不成立。繞任意一條封閉曲線的速度環(huán)量一般等于零。渦量概念是指流場(chǎng)中任何一點(diǎn)微團(tuán)角速度之二倍，如平面問(wèn)題中的2ωz，稱為渦量，渦量是個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)的概念。在有旋流動(dòng)中的速度環(huán)量是1869年Thomson首先引進(jìn)的?！?.6.1環(huán)量與渦的概念2023/2/395沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室在三維流里，流體微團(tuán)可以有三個(gè)方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合為一個(gè)合角速度是旋轉(zhuǎn)軸線都按右手定則確定。合角速度是個(gè)向量，它的三個(gè)方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

像流線一樣，在同一瞬時(shí)，如在流場(chǎng)中有一條曲線，該線上每一點(diǎn)的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫渦線。渦線的微分方程是（給定時(shí)刻，t為參量）?！?.6.1環(huán)量與渦的概念2023/2/396沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室給定瞬間，通過(guò)某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構(gòu)成的曲面稱為渦面。由封閉的渦面組成的管狀渦面稱為渦管。渦量在一個(gè)截面上的面積分稱為渦通量（渦強(qiáng)），在平面問(wèn)題中，渦通量就是在三維空間問(wèn)題中，渦通量就是式中的S

是任意形狀空間曲面，dS的為曲面的微元面積。渦線渦面渦管nγ空間問(wèn)題的渦通量平面問(wèn)題的渦通量渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強(qiáng)度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量。

§2.6.1環(huán)量與渦的概念2023/2/397沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室在有旋流動(dòng)中，速度環(huán)量與渦量是否存在聯(lián)系，如果存在關(guān)系如何。為回答這個(gè)問(wèn)題，首先考察二維流場(chǎng)?！?.6.2環(huán)量與渦量的關(guān)系在二維流場(chǎng)中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標(biāo)的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環(huán)量并求和，得到總的速度環(huán)量。對(duì)于微元ABCD，速度環(huán)量為2023/2/398沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室繞整個(gè)封閉曲線的速度環(huán)量為上式為二維問(wèn)題中的格林公式。沿平面上一封閉圍線l做速度的線積分，所得的環(huán)量等于曲線所圍面積上每個(gè)微團(tuán)角速度的2倍乘以微團(tuán)面積之和，即等于通過(guò)面積S的渦通量。§2.6.2環(huán)量與渦量的關(guān)系如果圍線內(nèi)沒(méi)有渦，那末沿圍線的環(huán)量必是零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但只要包進(jìn)去的面積里沒(méi)有渦，那么環(huán)量值并不會(huì)改變。但是速度環(huán)量等于零，不能說(shuō)明圍線內(nèi)無(wú)渦。推廣到三維空間中的封閉曲線L上，計(jì)算的速度環(huán)量仍等于二倍角速度乘圍線所包的面積，但這面積應(yīng)取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿一塊有限大的曲面S的圍線L的環(huán)量仍等于S面上各點(diǎn)的二倍角速度與面積dS點(diǎn)積。即2023/2/399沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室三維流中環(huán)量與渦的關(guān)系

nγ其實(shí)這公式是斯托克斯公式，描述曲線積分與曲面積分之間的關(guān)系。即沿空間封閉曲線L的環(huán)量，等于穿過(guò)張?jiān)贚上任意曲面S上的渦通量，渦通量的數(shù)值與所張的曲面形狀無(wú)關(guān)，只跟圍線所包含的渦量有關(guān)。§2.6.2環(huán)量與渦量的關(guān)系2023/2/3100沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室一條強(qiáng)度為Γ的渦線的一段ds對(duì)線外的一點(diǎn)P會(huì)產(chǎn)生一個(gè)誘導(dǎo)速度，情況正像電流會(huì)產(chǎn)生磁力的一樣。表達(dá)渦段所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度的公式是

這個(gè)dv是一個(gè)垂直于線段ds與受擾點(diǎn)P所組成的平面的速度（如圖），其值正比于渦強(qiáng)Γ和渦段長(zhǎng)度ds，但反比于距離r的平方，另外還要乘上r與ds的夾角的θ的正弦。這個(gè)公式在形式上和電磁學(xué)中電磁感應(yīng)的比奧—薩瓦公式一樣，仍叫比奧—薩瓦公式。渦與誘導(dǎo)速度§2.6.3渦的誘導(dǎo)速度2023/2/3101沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院飛行器設(shè)計(jì)教研室現(xiàn)在把一條強(qiáng)度為Γ的直渦線對(duì)線外一點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度寫(xiě)一下。參看下圖。AB是渦線，P為線外一點(diǎn)，P到AB的距離是h。令任意微段ds與P的連線和AB垂線