第五章 拉伸與壓縮

第7章拉伸和壓縮§7-1橫截面上的應力§7-2拉壓桿的強度計算§7-3斜截面上的應力§7-4拉（壓）桿的變形與位移§7-5拉（壓）桿內的應變能1§7-6低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能§7-7簡單的拉、壓超靜定問題§7-8拉（壓）桿接頭的計算2工程中有很多構件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。3§7-1橫截面上的應力在第6章中已討論過軸向拉伸、壓縮桿件橫截面上的內力——軸力FN。顯然，它是橫截面上法向分布內力的合力。4要判斷一根桿件是否會因強度不足而破壞，還必須聯(lián)系桿件橫截面的幾何尺寸、分布內力的變化規(guī)律找出分布內力在各點處的集度——應力。桿件橫截面上一點處法向分布內力的集度稱為正應力，以符號s表示。定義：法向分布內力的集度—mm截面C點處的正應力s

為：mmC（7-1）5

是矢量，因而正應力s也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。正應力的量綱為。在國際單位制中，應力的單位為帕斯卡(Pascal)，其中文代號是帕，國際代號是Pa。mmC6受力后受力前由于應力在截面上的變化規(guī)律還不知道，所以無法求出。解決此問題的常用方法是，以桿件在受力變形后表面上的變形情況為根據，由表及里地作出內部變形情況的幾何假設，再根據分布內力與變形間的物性關系，得到應力在截面上的變化規(guī)律，然后再通過靜力學中求合力的概念得到以內力表示應力的公式。7在桿受軸向拉伸時，兩橫向周線雖然相對平移，但每一條周線仍位于一個平面內。受力前受力后8平面假設：原為平面的橫截面A和B，在桿變形后仍為平面，且仍與桿的軸線垂直。這意味著桿件受軸向拉伸時兩橫截面之間的所有縱向線段其絕對伸長相同，伸長變形的程度也相等。受力后9在工程上常假設材料是均勻的，連續(xù)的,而且是各向同性的。于是根據拉桿的變形情況，可以推斷，橫截面上各點處的正應力處處相等。按靜力學求合力的概念可知：10（7-2）式中，F(xiàn)N為軸力，A為橫截面面積。對于軸向壓縮的桿件，如果它具有足夠的抵抗彎曲的剛度，上式同樣適用。對應于伸長變形的拉應力為正，對應于縮短變形的壓應力為負。11外力作用于桿端的方式（例如，外力作用在桿件端面的局部或者整個端面），在一般情況下只會影響外力作用處附近橫截面上的應力分布情況，而影響范圍不大于桿的橫向尺寸。注意上式只在桿上離外力作用點稍遠的部分才正確，而在外力作用點附近的應力情況比較復雜。圣維南原理：12當桿受幾個軸向外力作用時，從截面法可求得其最大軸力；對等直桿來講，將它代入公式,即得桿內的最大應力為：（7-3）此最大軸力所在橫截面稱為危險截面，由此式算得的正應力即危險截面上的正應力，稱為最大工作應力。13一橫截面面積A=400mm2的等直桿，其受力如圖所示。試求此桿的最大工作應力。解：此桿的最大軸力為：最大工作應力為：20kN20kN30kN.ABCDFN（kN）x3020O例題7-114一橫截面為正方形的磚柱分上下兩段，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖所示。已知F=50kN,試求荷載引起的最大工作應力。

解：首先作軸力圖。由于此柱為變截面桿，因此要求出每段柱的橫截面上的正應力，從而確定全柱的最大工作應力。50kN150kN例題7-2370FFF240長度單位:mm15例題7-250kN150kN(b)370FFF240(a)16最大工作應力為：例題7-250kN150kN(b)370FFF240(a)17試論證若桿件橫截面上的正應力處處相等，則相應的法向分布內力的合力必通過橫截面的形心。反之，法向分布內力的合力雖通過形心，但正應力在橫截面上卻不一定處處相等。根據平行力系求合力的辦法，可知桿件橫截面上的正應力均勻分布，則其合力必過橫截面的形心（即該合力為軸力），但橫截面上的正應力非均勻分布時，它們仍可能只組成軸力。思考題7-118

注意：拉、壓桿橫截面上正應力的計算公式是建立在變形符合平面假設的基礎上的。因而桿件受軸向拉伸或壓縮時，只有在變形符合這一假設，且材料均勻連續(xù)的條件下,才能應用該公式。工程上常見的帶有切口、油孔等的軸向受拉桿件，在上述那些部位，由于截面尺寸急劇變化，同一橫截面上的正應力并非處處相等，而有局部增大現(xiàn)象，即產生所謂“應力集中”。應力集中處的局部最大應力smax與按等截面桿算得的應力s0之比稱為應力集中系數a。19最大應力smax與按等截面桿算得的應力s0之比即應力集中系數a：20§7-2拉壓桿的強度計算為使桿件在外力作用下不致發(fā)生斷裂或者顯著的永久變形（即塑性變形），即不致發(fā)生強度破壞，桿件內最大工作應力smax不能超過桿件材料所能承受的極限應力su，而且要有一定的安全儲備。這一強度條件可用下式來表達上式中，n是大于1的因數，稱為安全因數，其數值通常是由設計規(guī)范規(guī)定的。它包括了兩方面的考慮。一方面是強度條件中有些量的本身就存在著主觀認識與客觀實際間的差異，另一方面則是給構件以必要的安全儲備。21材料受拉伸（壓縮）時的極限應力要通過試驗來測定。極限應力除以安全因數得到材料能安全工作的容許應力[s]。于是強度條件又可寫作應用強度條件可對拉、壓桿件進行如下三類計算：223.確定許可荷載——已知桿件的橫截面積A、材料的容許應力[s]以及桿件所承受的荷載的情況，根據強度條件確定荷載的最大容許值。2.選擇截面尺寸——已知荷載及容許應力，根據強度條件選擇截面尺寸。1.校核強度——已知桿件的橫截面面積A、材料的容許應力[s]以及桿件所承受的荷載，檢驗是否滿足下式，從而判定桿件是否具有足夠的強度。23

解：首先作桿的軸力圖。一橫截面為矩形的鋼制階梯狀直桿，其受力情況、各段長度如圖(a)所示。BC段和CD段的橫截面面積是AB段橫截面面積的兩倍。矩形截面的高度與寬度之比h/b=1.4，材料的容許應力[s]=160MPa。試選擇各段桿的橫截面尺寸h和b。OxFN/kN202030(b)對于AB段，要求：例題7-3ABCD20kN40kN50kN0.5m0.5m1m(a)24對于CD段，要求由題意知CD段的面積是AB段的兩倍，應取例題7-3OxFN/kN202030(b)ABCD20kN40kN50kN0.5m0.5m1m(a)則25可得AB段橫截面的尺寸b1及h1：由由可得CD段橫截面的尺寸b2及h2：例題7-3ABCD20kN40kN50kN0.5m0.5m1m26圖示一等直桿在自重和力F作用下的示意圖。已知桿的橫截面面積為A，材料密度為r，容許應力為[s]。試分析桿的自重對強度的影響。解：要研究自重對桿的強度的影響，應探討自重與桿內最大正應力的關系，為此可先算出桿的任一橫截面上的軸力，從而求出桿的最大軸力。FlCB例題7-427作軸力圖如下：FNxFF+Arg

lFlCBxFArg

xFN(x)FN(x)=F+Arg

x例題7-428由此可見，若桿的rg

l與其材料的[s]相比很小，則桿的自重影響很小而可忽略不計。FNxFF+Arg

l例題7-429解：(1)首先求斜桿和橫桿的軸力與荷載的關系。有一三角架如圖所示，其斜桿由兩根等邊角鋼組成，橫桿由兩根10號槽鋼組成，材料均為Q235鋼，容許應力[s]=120MPa。求許可荷載[F]。例題7-5yxFF2F1AACF30(2)計算許可軸力。由型鋼表查得：由強度條件知許可軸力為：例題7-5yxFF2F1AACF31(3)計算許可荷載。故斜桿和橫桿都能安全工作的許可荷載應取例題7-5yxFF2F1AACF32§7-3斜截面上的應力實驗表明，拉（壓）桿的強度破壞并不一定沿橫截面發(fā)生，有時是沿某一斜截面發(fā)生。為了研究其破壞原因，現(xiàn)討論斜截面上的應力。kFFk33kFFk(a)問題：kFk(b)Fa34仿照前面求正應力的分析過程，同樣可知斜截面上的應力處處相等。(A為橫截面的面積)kFk(b)Fa35A(c)36應力狀態(tài)：通過一點的所有各截面上的應力其全部情況。單向應力狀態(tài)：一點處的應力狀態(tài)由其橫截面上的正應力即可完全確定。以上的分析結果對壓桿也同樣適用。以上兩式表達了通過拉桿內任一點的不同斜截面上的正應力和切應力隨a

角而改變的規(guī)律。37FF由式和可知：38拉（壓）桿最大切應力發(fā)生在與軸線成±45o的斜截面上，其大小為最大正應力的一半。39思考題7-2受軸向拉（壓）的桿件，其斜截面上的應力與橫截面上的應力有下面的確定關系，那么，對于由某種材料制成的拉桿如果實際上是由于而引起的強度破壞，是否可用作為強度破壞的判據呢？40（3）拉（壓）桿任意兩個互相垂直的截面k-k和n-n上的切應力為：kFFknn41切應力互等定理:任何受力物體內一點處，兩個相互垂直截面上與這兩個面的交線垂直方向的切應力，也必定大小相等，而指向都對著（或都背離）這兩個垂直截面的交線。F(b)kFFknn42單向拉伸（壓縮）時的應力圓：代表斜截面上應力的點必落在這個圓周上。C(a)O（4）關于應力圓的概念43比較可知，而且b與a

的轉向相同。由圖可得與式OCDEAsa44(2)如果是這樣，是否說明了以及？思考題7-3(1)應力圓上代表拉（壓）桿兩個相互垂直截面上應力的點，是否位于直徑的兩端？OCDEAsa45參照右圖可得出如下結論：OCDEAF思考題7-346圖示一從拉桿內取出的一個微小的正六面體（單元體）及其應力狀態(tài)，求圖示斜截面上的應力，并求該單元體中的最大切應力及其作用面。xyn(a)解：(1)作應力圓C(b)DOBA例題7-647xn(c)求所示斜截面上的應力，如圖(c)所示。(3)求最大切應力,如圖(b)所示。最大切應力發(fā)生在B及B′點，并有：例題7-6CDOBA(b)48xn(d)最大切應力的作用面如下圖所示。例題7-6xn(e)49(1)圖(e)所示斜截面上的正應力和切應力其數值和指向是否正確？思考題7-4xn(e)50xyn(a)(2)圖(a)所示斜截面上的應力，其數值和指向與圖(b)所示是否相同？(b)xy(b)參照下圖分析思考題7-4CDOBA51§7-4拉（壓）桿的變形與位移1.胡克定律FFld實驗表明，工程上許多材料，如低碳鋼、合金鋼等都有一個線彈性階段，即：（FN為軸力，A為截面積）52引入比例常數E有：上式即為拉（壓）桿的胡克定律。式中E為彈性模量，其量綱為，常用單位為MPa。FFld(單向應力狀態(tài)時的胡克定律)53FFld該式表達的是均勻伸長時的線應變。542.橫向變形系數——泊松比n橫向線應變?yōu)椋簩嶒炞C實：泊松比是一與材料有關的無量綱的量，其數值通過實驗測定。FFld55若在受力物體內一點處已測得兩個相互垂直的x和y方向均有線應變，則是否在x和y方向必定均作用有正應力？若測得僅x方向有線應變，則是否y方向無正應力？若測得x和y方向均無線應變，則是否x和y方向必定均無正應力？思考題7-556

解：首先作軸力圖。若認為基礎無沉陷，則磚柱頂面下降的位移等于全柱的縮短。一橫截面為正方形的磚柱分上下兩段，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖所示。已知F=50kN,材料的彈性模量。試求磚柱頂面的位移。由于此柱為變截面桿，且上下兩段軸力不等因此要分段計算。例題7-750kN150kN370FFF240Ⅱ長度單位:mm57由此得例題7-750kN150kN(b)370FFF240(a)Ⅱ58圖示兩根材料相同的等截面桿，(1)它們的總變形是否相同？(2)它們的變形程度是否相同？(3)兩桿哪些相應截面的縱向位移相同？思考題7-6FA(a)FA/2(b)59圖(a)是一等直桿在自重和力F作用下的示意圖。已知桿的橫截面面積為A，材料密度為r，彈性模量為E,桿長為l。試求桿的總伸長。解：要求桿的總伸長，首先作出軸力圖。FlCB(a)例題7-860作軸力圖如下：FNxFF+Arg

lFArg

xFN(x)FN(x)=F+Arg

xFlCBx例題7-861FN(x)=F+Arg

x(P為桿的總重量)自重引起的伸長怎樣考慮？例題7-8FlCBxFN(x)Arg

dxFN(x+dx)62例題7-8中桿任意橫截面m-m的縱向位移是否可由下式計算：為什么式中積分的下限為l,而不取為零？為什么積分號前取正號？思考題7-7FN(x)=F+Arg

xFlCBxFN(x)Arg

dxFN(x+dx)63圖示桿系由圓截面鋼桿1、2組成。各桿的長度均為l=2m,直徑均為d=25mm。已知鋼的彈性模量E=2.1×105MPa，荷載F=100kN，變形前a=30o。試求節(jié)點A的位移DA。例題7-964解：分析可知結點A只有豎直位移例題7-965問題：位移與變形的區(qū)別？例題7-966應變能（U)：彈性體在外力作用下產生變形時，其內部儲存的能量。當外力除去時這種彈性應變能也就隨變形的消失而釋放出來。本節(jié)研究拉（壓）桿在線性彈性范圍內工作時的應變能?！?-5拉（壓）桿內的應變能67ABF(a)OFABF(b)68如果荷載緩慢地增大，而可以不計動能，并忽略熱能等，根據能量守恒原理，荷載作的功在數值上等于拉桿內的應變能。對于圖示桿，其應變能為：應變能的單位與功相同，為焦(J)：上面的公式適用于線彈性范圍。ABF(a)69拉（壓）桿單位體積內所積蓄的應變能——比能u為比能的常用單位是：V表示體積70桿系如圖所示，(1)求該系統(tǒng)內的應變能U,(2)求外力所作的功W。例題7-971系統(tǒng)的應變能為：解：(1)例7-8的結果知例題7-972(2)外力的功為：例題7-973圖示的三根圓截面桿，其材料、支撐情況、荷載F及長度l均相同，但直徑及其變化不同。試比較這三根桿內的應變能。自重不計。F(b)2d2ddF(c)32dd例題7-10F(a)1d74解：計算1桿的應變能計算2桿的應變能時，應分段計算：例題7-10F(b)2d2ddF(a)1d75同理3桿的應變能為：體積增大，1、2、3桿的應變能依次減少。例題7-10F2d2ddF32ddF1d76如圖所示，重量為P的重物從高處自由落下，在與桿AB下端的盤B碰撞后不發(fā)生回跳。已知自由落距為h，桿的長度為l,盤及桿重均可不計。試求桿的最大伸長及其橫截面上的最大拉應力。P(a)ABPd(b)ABP(c)AB例題7-1177解：碰撞結束后，桿的伸長達到最大值——圓盤的最大位移。相應于這個最大位移的假想靜荷載稱為沖擊荷載，以Pd表示。相應的應力稱為沖擊應力，以表sd示。例題7-11Pd(b)AB78材料在線彈性范圍內工作時，上述結果正確。例題7-11Pd(b)AB79(1)若圖中重物不是從高處自由下落而是驟然加在桿AB下端的盤B上，則沖擊系數為多少？(2)圖(b)、(c)、(d)所示三根桿件若承受圖(a)那樣的沖擊，試求它們的沖擊系數之比。思考題7-9P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d80思考題7-9參考答案：(1)P(a)AB81思考題7-9參考答案：(2)P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d82思考題7-9參考答案：P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d83(3)推導公式時略去了碰撞過程中能量的損失，那么由此算得的Kd是偏大還是偏??？答：偏大P(a)ABP(c)2d2ddP(d)32ddP(b)1d84§7-6低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能1.材料的拉伸和壓縮試驗圓截面試樣：l=10d或l=5d(工作段長度稱為標距)。矩形截面試樣：或。拉伸試樣85試驗設備：(1)萬能試驗機：強迫試樣變形并測定試樣的抗力。(2)變形儀：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。圓截面短柱(用于測試金屬材料的力學性能)正方形截面短柱(用于測試非金屬材料的力學性能)

壓縮試樣

86實驗裝置

（萬能試驗機）872.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學性能拉伸圖縱坐標——試樣的抗力F(通常稱為荷載)橫坐標——試樣工作段的伸長量88低碳鋼試樣在整個拉伸過程中的四個階段：(1)階段Ⅰ——彈性階段變形完全是彈性的，且Δl與F成線性關系，即此時材料的力學行為符合胡克定律。89(2)階段Ⅱ——屈服階段

在此階段伸長變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內波動。此階段產生的變形是不可恢復的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見大約與軸線成45°的滑移線(，當α=±45°時τa的絕對值最大)。90(3)階段Ⅲ——強化階段

91卸載及再加載規(guī)律若在強化階段卸載，則卸載過程中F－Δl關系為直線?？梢娫趶娀A段中，Δl=Δle+Δlp。卸載后立即再加載時，F(xiàn)－Δl關系起初基本上仍為直線(cb)，直至當初卸載的荷載——冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時其斷裂前所能產生的塑性變形則減小。92(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮——頸縮，并導致斷裂。93低碳鋼的應力—應變曲線(s

－e曲線)為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標和橫坐標換算為應力s和應變e，即，其中：A——試樣橫截面的原面積，l——試樣工作段的原長。94低碳鋼s－e曲線上的特征點：比例極限sp(proportionallimit)彈性極限se(elasticlimit)屈服極限ss(屈服的低限)(yieldlimit)強度極限sb(拉伸強度)(ultimatestrength)Q235鋼的主要強度指標：ss=240MPa，sb=390MPa95低碳鋼拉伸試件低碳鋼拉伸破壞演示96低碳鋼拉伸破壞斷口97低碳鋼的塑性指標：伸長率斷面收縮率：A1——斷口處最小橫截面面積。Q235鋼：y≈60%Q235鋼：(通常d

>5%的材料稱為塑性材料)98注意：(1)低碳鋼的ss，sb都還是以相應的抗力除以試樣橫截面的原面積所得，實際上此時試樣直徑已顯著縮小，因而它們是名義應力。(2)低碳鋼的強度極限sb是試樣拉伸時最大的名義應力，并非斷裂時的應力。(3)超過屈服階段后的應變還是以試樣工作段的伸長量除以試樣的原長而得，因而是名義應變(工程應變)。99(4)伸長率是把拉斷后整個工作段的均勻塑性伸長變形和頸縮部分的局部塑性伸長變形都包括在內的一個平均塑性伸長率。標準試樣所以規(guī)定標距與橫截面面積(或直徑)之比，原因在此。思考：低碳鋼的同一圓截面試樣上，若同時畫有兩種標距（l=10d和l=5d)，試問所得伸長率d10和d5哪一個大？1003.其他金屬材料在拉伸時的力學性能101由s－e曲線可見：材料錳鋼強鋁退火球墨鑄鐵彈性階段√√√屈服階段×××強化階段√√√局部變形階段×√√伸長率>5%>5%>5%102sp0.2(規(guī)定非比例伸長應力，屈服強度)用于無屈服階段的塑性材料103割線彈性模量用于基本上無線彈性階段的脆性材料脆性材料拉伸時的唯一強度指標：sb←基本上就是試樣拉斷時橫截面上的真實應力。104鑄鐵拉伸破壞演示1054.金屬材料在壓縮時的力學性能低碳鋼拉、壓時的ss基本相同。低碳鋼壓縮時s-e的曲線106低碳鋼材料軸向壓縮時的試驗現(xiàn)象107低碳鋼壓縮破壞演示108鑄鐵壓縮時的sb和d均比拉伸時大得多；不論拉伸和壓縮時在較低應力下其力學行為也只近似符合胡克定律?；铱阼T鐵壓縮時的s－e曲線109試樣沿著與橫截面大致成50°~55°的斜截面發(fā)生錯動而破壞。材料依在常溫(室溫)、靜荷載(徐加荷載)下由拉伸試驗所得伸長率區(qū)分為塑性材料和脆性材料。110鑄鐵壓縮破壞演示111鑄鐵壓縮破壞斷口：拉壓破壞試件1125.幾種非金屬材料的力學性能(1)混凝土壓縮時的力學性能使用標準立方體試塊測定端面潤滑時的破壞形式端面未潤滑時的破壞形式113壓縮強度sb及破壞形式與端面潤滑情況有關。以s－e曲線上s

=0.4sb的點與原點的連線確定“割線彈性模量”?；炷恋臉颂栂蹈鶕鋲嚎s強度標定，如C20混凝土是指經28天養(yǎng)護后立方體強度不低于20MPa的混凝土。壓縮強度遠大于拉伸強度。114木材的力學性能具有方向性，為各向異性材料。如認為木材任何方面的力學性能均可由順紋和橫紋兩個相互垂直方向的力學性能確定，則又可以認為木材是正交異性材料。松木在順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮是的s－e曲線如圖。(2)木材拉伸和壓縮時的力學性能木材的橫紋拉伸強度很低(圖中未示)，工程中也避免木材橫紋受拉。木材的順紋拉伸強度受木節(jié)等缺陷的影響大。115(3)玻璃鋼（玻璃纖維與熱固性樹脂粘合而成的復合材料）纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時的s－e曲線如圖中(c)，纖維增強復合材料所用的纖維尚有碳纖維、硼纖維等。1167.7.1超靜定的基本概念1.靜定結構與超靜定結構靜定結構——由靜力平衡方程可求出全部未知力?！?-7簡單的拉、壓超靜定問題(b)(a)FACBFABCFN1FN2(c)ABFFN1FN2117超靜定結構——僅由靜力平衡方程不能求出全部未知力。超靜定的次數——未知量數目與獨立平衡方程數目之差。(b)FABCFN1FN2(c)ABFFN1FN2FACB(a)一次超靜定結構1182.多余約束與超靜定次數超靜定結構=靜定結構+多余約束多余約束——其對于保證結構的平衡與幾何不變而言是多余的。多余約束的數目——超靜定次數。超靜定次數=全部未知力數目－獨立的平衡方程數1197.7.2求解超靜定問題的基本方法1.求解任何超靜定問題,都必須同時考慮三個方面條件:(1)平衡條件(2)幾何條件(3)物理條件2.解題步驟(1)畫受力圖,列出獨立的平衡方程,并確定超靜定次數;(2)畫變形關系圖,列出變形協(xié)調方程;(3)根據胡克定律,列出物理方程;120(4)將物理方程代入變形協(xié)調方程得補充方程;(5)聯(lián)立求解平衡方程和補充方程,解出全部未知力。7.7.3荷載作用下的拉壓桿超靜定問題已知:F,l,E,A。求:smax

ABFFCDFAFB解:此為一次超靜定問題(1)平衡方程(2)變形協(xié)調方程例題7-12ABFFCDlll121(b)(3)物理方程(c)例題7-12ABFFCDlll122(4)解方程,得:例題7-12ABFFCDFAFBxFN??123解:此為一次超靜定問題(a)123aalABCF(b)(c)(d)例題7-13124(b),(c)正確(d),(e),(f),(g)錯誤判斷上述變形圖是否正確？(e)(f)(g)例題7-13125對(b)圖:(1)平衡方程(b)(2)變形協(xié)調方程(3)物理方程例題7-13(a)123aalABCF126(4)補充方程將(b)代入(a)(b)(5)解方程,得:例題7-13(a)123aalABCF127例題7-13(a)12