第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布(理)第四節(jié)(理) 第一節(jié)(文) 隨機事件概率

第四節(jié)（理）第一節(jié)（文）隨機事件的概率第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（理）第十章概率（文）主干回顧·夯實基礎(chǔ)一、事件1．確定事件(1)在條件S下，___________的事件，叫做相對于條件S的必然事件．(2)在條件S下，______________的事件，叫做相對于條件S的不可能事件．(3)必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定事件．一定會發(fā)生一定不會發(fā)生2．隨機事件在條件S下，_____________________的事件，叫做相對于條件S的隨機事件．3．事件__________和__________統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示．二、概率和頻率

可能發(fā)生也可能不發(fā)生確定事件隨機事件2．對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．三、事件的關(guān)系與運算

定義符號表示包含關(guān)系如果事件A_____，則事件B__________，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)____________相等關(guān)系若B?A，且______，那么稱事件A與事件B相等______發(fā)生一定發(fā)生B?A(或A?B)A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生_______________________________，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)_____(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生_______________________________，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)______(或___)互斥事件若A∩B為_______事件，那么稱事件A與事件B為互斥事件A∩B＝?對立事件若A∩B為_______事件，A∪B為__________，那么稱事件A與事件B互為對立事件當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且不可能不可能必然事件A∪BA∩B事件B發(fā)生事件B發(fā)生AB四、概率的幾個基本性質(zhì)1．概率的取值范圍：___________.2．必然事件的概率：P(E)＝__.3．不可能事件的概率：P(F)＝___.4．互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝___________．(2)若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝_________．

0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)“某人購買的彩票中獎”是隨機事件．()(2)事件發(fā)生的頻率與事件發(fā)生的概率相同．()(3)概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小；概率的定義實際上也是求一個事件的概率的基本方法．()(4)已知事件A和事件B，則A＋B表示兩個事件都發(fā)生．()(5)“事件A、B互斥”是“事件A、B對立”的必要不充分條件．()

[答案及提示](1)√

(2)×頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談．頻率隨著試驗次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當(dāng)作隨機事件的概率．(3)√(4)×

A＋B表示事件A、B至少有一個發(fā)生．(5)√對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．

2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶解析：選D“至少一次中靶”的互斥事件是“兩次都不中靶”．故選D.

3．從一箱產(chǎn)品中隨機抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.2C．0.1 D．0.3解析：選D由于“抽到的不是一等品”的對立事件是“抽到一等品”．又事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.7，因此“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.故選D.

4．對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一彈擊中飛機}，D＝{至少有一彈擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________．解析：A與B，A與C，B與C，B與D

B與D由互斥事件和對立事件的定義逐一判斷．

5．給出下列三個命題，其中正確命題有________個．

考點技法·全面突破1．一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，則()A．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件隨機事件及其關(guān)系的判定(☆☆☆)解：選D根據(jù)互斥與對立的定義作答，A∩B＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必然事件)，故事件B，C是對立事件．故選D.2．某小組有3名男生和2名女生，從中選擇2名同學(xué)去參加演講比賽，有下列四對事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生．其中是互斥事件的是________．

解：①④①中，在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實際選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件．②中，“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種結(jié)果，當(dāng)事件“有1名男生和1名女生”發(fā)生時兩個事件都發(fā)生，故不互斥．③中，“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，這與“全是男生”可能同時發(fā)生，因此不互斥．④中，“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生，故是互斥事件．綜上①④中的事件為互斥事件．

判斷事件關(guān)系的常用方法(1)利用集合觀點判斷事件關(guān)系；(2)可以寫出所有試驗結(jié)果，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而判斷事件的關(guān)系．[典例1]

(2012·陜西高考)假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機抽取100個進行測試，結(jié)果統(tǒng)計如圖所示：

由頻率估計隨機事件的概率(☆☆☆)(1)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個產(chǎn)品已使用了200小時，試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率．

1．頻率是個不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小．但從大量重復(fù)試驗中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率．1．從某校高二年級的所有學(xué)生中，隨機抽取20人，測得他們的身高(單位：cm)分別為：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布的原理，在該校高二年級的所有學(xué)生中任抽一人，估計該生的身高在155.5cm～170.5cm之間的概率約為(

)互斥事件、對立事件的概率(☆☆☆☆)(2)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.①求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；②求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．解：設(shè)“該車主購買甲種保險”為事件A；“該車主購買乙種保險但不購買甲種保險”為事件B；“該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”為事件C；“該車主甲、乙兩種保險都不購買”為事件D.①由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.②因為D與C是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法：(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少……”或“至多……”型事件的概率．2．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.因此事件A、B、C兩兩互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

學(xué)科素能·增分寶典[典例]判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點數(shù)都是從1～10)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”．

[易錯分析]解答本題時常出現(xiàn)的錯誤是對事件互斥意義不明確，對事件的互斥與對立之間的關(guān)系不清楚，就會出現(xiàn)錯誤的判斷．解：(1)是互斥事件，不是對立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時發(fā)生的，但其中必有一個發(fā)生，因為牌不是紅色就是黑色，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，也不是對立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽的點數(shù)為10.因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．[溫馨提示]解答與互斥事件、對立事件有關(guān)的問題時一定要分清二者的關(guān)系，解題時