第2章 邏輯代數(shù)及其應用

第2章邏輯代數(shù)及其應用第2章邏輯代數(shù)及其應用2.1邏輯代數(shù)的基本公式和導出公式2.2代入定理及其應用2.3邏輯函數(shù)及其描述方法2.4邏輯函數(shù)的化簡方法2.5具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.6邏輯函數(shù)式形式的變換2.1邏輯代數(shù)的基本公式和導出公式數(shù)字電路研究的內(nèi)容：研究輸入信號與輸出信號之間的對應邏輯關(guān)系故此，數(shù)字電路又稱數(shù)字邏輯電路用1位二進制數(shù)1和0表示事物的兩面表因果關(guān)系邏輯關(guān)系邏輯代數(shù)1849年英國數(shù)學家布爾邏輯運算：當兩個二進制數(shù)碼不表示數(shù)量大小，僅表示兩種不同的狀態(tài)時，它們之間可以進行邏輯運算?；镜倪壿嬤\算有：與（AND）、或（OR）、非（NOT）復雜的邏輯運算有：與非（NAND）、或非（NOR）、與或非（AND－NOR）、異或（EXCLUSIVEOR）、同或（EXCLUSIVENOR）2.1.1邏輯代數(shù)的三種基本運算與、或、非的電路例子與或非·+1、函數(shù)式：ABY0000101001112、真值表(TruthTable)一、與（AND）3、邏輯功能：全1出1，有0出04、邏輯符號：Y=A·B可略去輸入端個數(shù)可擴展與、或、非的電路例子與或非·+1、函數(shù)式：ABY0000111011112、真值表(TruthTable)二、或（OR）3、邏輯功能：有1出1，全0出04、邏輯符號：Y=A＋B與、或、非的電路例子與或非·+1、函數(shù)式：2、真值表(TruthTable)三、非（NOT）3、邏輯符號：Y=A’AY01101、函數(shù)式：2、真值表(TruthTable)四、與非（NAND）Y=（AB）’ABY0010111011103、邏輯功能：全1出0，有0出14、邏輯符號：1、函數(shù)式：ABY0010101001102、真值表(TruthTable)五、或非（NOR）3、邏輯功能：有1出0，全0出14、邏輯符號：Y=（A＋B）’1、函數(shù)式：2、真值表(TruthTable)六、與或非Y=（AB＋CD）’3、邏輯符號：ABCDY000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111101、函數(shù)式：ABY0000111011102、真值表(TruthTable)七、異或（EXCLUSIVEOR）3、邏輯功能：相同出0，相異出14、邏輯符號：Y=A＋B=A’B+AB’1、函數(shù)式：ABY0010101001112、真值表(TruthTable)八、同或（EXCLUSIVENOR）3、邏輯功能：相同出1，相異出04、邏輯符號：Y=A⊙B=A’B’+AB輸入端個數(shù)不能擴展例：是實現(xiàn)同或功能否？1、列真值表ABCY000100100100011010001010110011112、功能判斷三個數(shù)是否相等。當A＝B＝C時，輸出為1，否則為0；但不是同或功能。1、互為反運算2、異或的特殊運算同或與異或的關(guān)系A(chǔ)＋B=(A⊙B)’(A＋B)’=A⊙BA’1的個數(shù)為奇數(shù)時，異或結(jié)果仍為1例：思考題1、1⊕1⊕1⊕1⊕1=？2、3、(A⊕B)⊕C=?A⊕(B⊕C)2.1.2基本公式和若干導出公式一、基本公式0—1律0·A=0，1·A=A0+A=A，1+A=1重疊律A·A=A,A·A’=0A+A=A，A+A’=1交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)反演律(摩根律)（A·B）’=A’+B’（A+B）’=A’·B’還原律（A’）’=A1’=0，0’=1證明方法：真值表AB001111011011100111110000例2.1.1：（A·B）’=A’+B’的證明二、若干導出公式1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、2.2代入定理及其應用定義：將一個邏輯式代入同一變量的位置，等式仍成立。公理無需證明應用－摩根律的擴展例2.2.2用代入定理證明：A+A（B+C+DE）=A已知A+AB=A2.3邏輯函數(shù)及其描述方法2.3.1用真值表描述邏輯函數(shù)2.3.2用邏輯函數(shù)式描述邏輯函數(shù)2.3.3用邏輯圖描述邏輯函數(shù)2.3.4用波形圖描述邏輯函數(shù)2.3.5用卡諾圖描述邏輯函數(shù)2.3.6用硬件描述語言描述邏輯函數(shù)2.3.7邏輯函數(shù)描述方法間的轉(zhuǎn)換不具有唯一性邏輯函數(shù)（LogicFunction）Y＝F（A、B、C、…）Note：輸入輸出都是二值變量，只有0和1兩種狀態(tài)；若有超過兩個的狀態(tài)，可多設(shè)幾個變量。2.3.1用真值表描述邏輯函數(shù)輸入變量A

BC····輸出Y1Y2

····輸入變量所有可能的取值輸出對應的取值2.3.2用邏輯函數(shù)式描述邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù)的輸出寫成輸入邏輯變量的代數(shù)運算式。例如：

邏輯函數(shù)式的標準形式：最小項之和一、最小項及其性質(zhì)1、最小項（1）定義：在n變量邏輯函數(shù)中，全體輸入變量的與項（乘積項），稱為最小項?？梢允窃兞炕蚍醋兞?，但只能出現(xiàn)一次。例：

A、B、C三變量的函數(shù)有哪些最小項？共有多少個？AA’BC是最小項嗎？答：共有個AA’BC中出現(xiàn)兩次A，故不是最小項。（2）編號：使最小項等于1的輸入取值111110101100011010001000m7m6m5m4m3m2m1m0類似：當n＝4，有m0到m15共16個最小項（3）性質(zhì)①在輸入變量的任何取值下，必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1②全體最小項之和為1。③任意兩個最小項的乘積為0。④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。兩個最小項只有一個因子不同，例：+AB合并二、邏輯函數(shù)式的最小項之和形式1、又稱標準與－或式例：判斷是否為最小項之和，若不是請轉(zhuǎn)化為標準與－或式。2、應用：為著邏輯化簡，進而簡化設(shè)計步驟：①判斷輸入變量個數(shù)②判斷每個與項是否為最小項是不是③給非最小項配項，展開，即得。按從小到大的順序例2.3.3：與-或式2.3.3用邏輯圖描述邏輯函數(shù)用邏輯圖形符號連接起來表示邏輯函數(shù)，得到的連接圖,稱為邏輯圖。2.3.4用波形圖描述邏輯函數(shù)將輸入變量所有可能的取值與對應的輸出按時間順序依次排列起來畫成的時間波形，稱為函數(shù)的波形圖。ABY0001101100001111110100001111.最小項的卡諾圖表示法用2n個小方塊陣列圖表示2n個最小項用幾何相鄰表示邏輯相鄰ABC0001111001m0

m1

m3

m2

m4

m5

m7

m6

三變量卡諾圖ABCD000111100001m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101110四變量卡諾圖上下左右對稱相鄰＋格雷碼排序m0

m1

m2

m3

A0101兩變量卡諾圖B2.3.5用卡諾圖描述邏輯函數(shù)五變量的卡諾圖例：步驟：②根據(jù)輸入變量畫卡諾圖①將函數(shù)式寫成最小項之和形式1ABCD0001111000011110③對應最小項中填入1，沒出現(xiàn)的填011111112.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)00000000簡化表示例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)步驟：②根據(jù)表達式填入1和0①根據(jù)輸入變量畫卡諾圖ABCD000111100001111011111111000101X01X1110XX00000000例2.3.6：步驟：②根據(jù)表達式填入1和0①根據(jù)輸入變量畫卡諾圖ABCD0001111000011110111111000X10101111XX0010000000002.3.6用硬件描述語言描述邏輯函數(shù)EDA中的描述方式HDL(HardwareDescriptionLanguage

①VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)

②VerilogHDLHDL及其應用可參見第8章2.3.7邏輯函數(shù)描述方法間的轉(zhuǎn)換1、真值表邏輯函數(shù)式2、邏輯圖邏輯函數(shù)式4、真值表波形圖3、函數(shù)式卡諾圖例：從真值表得到邏輯函數(shù)式1、真值表邏輯函數(shù)式ABCY00000010010001111000101111011110步驟：①找出輸出為1的項②每個項對應一個與項輸入取值：1—原變量

0—反變量A’BCAB’CABC’③全部與項相加，即得YY＝A’BC＋AB’C＋ABC’例：從邏輯函數(shù)式得到真值表1、真值表邏輯函數(shù)式，求對應真值表ABCY000001010011100101110111步驟：①根據(jù)輸入輸出變量數(shù)列空表②將各種取值逐一代入Y式計算，結(jié)果填入表。逐項填1最后填0111111002、邏輯圖邏輯函數(shù)式例2.3.8從邏輯函數(shù)式得到邏輯圖步驟：用邏輯圖形符號代替函數(shù)式中的邏輯運算符號，并按運算優(yōu)先順序連接即可。，畫出對應的邏輯圖2、邏輯圖邏輯函數(shù)式例2.3.9從邏輯圖得到邏輯函數(shù)式步驟：從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號的邏輯式即可。3、函數(shù)式卡諾圖例2.3.10從卡諾圖得到邏輯函數(shù)式步驟：將卡諾圖中填入1的位置上的那些最小項相加即可。

4、真值表波形圖ABCY00000010010001111000101111011110例2.3.11從真值表得到波形圖將ABC的取值按真值表的上下順序排列即可。

步驟：0000001001000111100010111101111000004、真值表波形圖例2.3.12從波形圖得到真值表將ABC的取值按波形圖的上下順序?qū)斜砑纯伞?/p>

步驟：ABCY111101101010001111000100100100002.4邏輯函數(shù)的化簡方法化簡目的：使邏輯關(guān)系明了設(shè)計中減少成本并提高可靠性化簡標準：乘積項（與項）最少與項的因子最少化簡方法：公式化簡法卡諾圖化簡法(重點)*奎恩-麥克拉斯化簡法（Q-M法）2.4.1公式化簡法一、并項法二、吸收法三、消項法四、消因子法五、配項法·一、并項法例：二、吸收法例：被吸收被吸收三、消項法例：四、消因子法例：被消去五、配項法例：1五、配項法例：能否判斷為最簡式？總結(jié)公式化簡法無具體步驟同時結(jié)果無法確定是否最簡？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請注意與普通代數(shù)的區(qū)別！1、原理：相鄰最小項可合并，消去不同因子2、規(guī)則：合并2n個相鄰項2個－消去1個因子4個－消去2個因子2n個－消去n個因子卡諾圈盡量大卡諾圈盡量少最小項可重復使用2.4.2卡諾圖化簡法化簡規(guī)則（1）相鄰單元的1個數(shù)是2N個，并組成矩形時，可以畫出一個卡諾圈，卡諾圈內(nèi)的最小項可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110（2）畫的卡諾圈盡量大，盡量少（但要包含全部1）ABCD00011110000111000000000111111100ABCD00011110000110010110011010111100（3）各最小項可以重復使用，但不可重復圈BABCD00011110000101101111111010111010ABCD000111100001010001111100101110103、卡諾圖化簡步驟：例2.4.3：用卡諾圖化簡法化簡下式：步驟：②畫卡諾圈①用卡諾圖表示函數(shù)ABC0001111001111111③寫出每個卡諾圈的公共項，并求和。Note：卡諾圖是唯一的，但畫圈不是唯一的。00例：F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A2.5具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.5.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項2.5.2具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡2.5.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項無關(guān)項約束項任意項輸入變量的某些取值在工作過程中始終不會出現(xiàn)，我們把這些輸入變量取值下等于1的最小項稱為約束項。在輸入變量的某些取值下，輸出是1、是0均可，是任意的。在這些輸入變量下取值為1的最小項叫做這個函數(shù)的任意項。