高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

導(dǎo)數(shù)的計(jì)算幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．2．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．[知識(shí)鏈接]在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡(jiǎn)單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)？答(1)計(jì)算eq\f(Δy,Δx)，并化簡(jiǎn)；(2)觀察當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)趨近于哪個(gè)定值；(3)eq\f(Δy,Δx)趨近于的定值就是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝2013x2的導(dǎo)數(shù)．解f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2013x＋Δx2－2013x2,x＋Δx－x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2013x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4026x·Δx＋2013Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4026x＋2013Δx)＝4026x.規(guī)律方法解答此類問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾條：(1)嚴(yán)格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟．(2)當(dāng)Δx趨于0時(shí)，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趨于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用．跟蹤演練1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝x2＋ax＋b(a，b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．解y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x·Δx＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝5x；(3)y＝eq\f(1,x3)；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,x3)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,4)))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).規(guī)律方法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、降低運(yùn)算難度．解題時(shí)根據(jù)所給問(wèn)題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式．跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x8；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝logeq\f(1,3)x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2；(3)∵y＝xeq\r(x)＝xeq\f(3,2)，∴y′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2)；(4)y′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程例3求過(guò)曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率是：y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r(3))，故所求的直線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵．跟蹤演練3已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求的切線方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，則f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9答案C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(3)等于()\f(\r(3),6) B．0C．eq\f(1,2\r(x)) D．eq\f(\r(3),2)答案A解析∵f′(x)＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴f′(3)＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).3．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).4．曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________．答案eq\f(1,2)e2解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1.∴S△＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－e2))＝eq\f(1,2)e2.1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．對(duì)于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號(hào)的變化.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()①y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).A．0 B．1C．2 D．3答案D解析①y＝ln2為常數(shù)，所以y′＝0.①錯(cuò)．②③④正確．2．過(guò)曲線y＝eq\f(1,x)上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＝－4，x＝±eq\f(1,2)，故選B.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于()A．4 B．－4C．5 D．－5答案A解析f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定答案B解析∵f′(x)＝3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則3xeq\o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq\f(\r(3),3)，即在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))處有斜率為1的切線．5．曲線y＝eq\f(9,x)在點(diǎn)M(3,3)處的切線方程是________．答案x＋y－6＝0解析∵y′＝－eq\f(9,x2)，∴y′|x＝3＝－1，∴過(guò)點(diǎn)(3,3)的斜率為－1的切線方程為：y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.6．若曲線y＝x－eq\f(1,2)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________.答案64解析∵y＝x－eq\f(1,2)，∴y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)，∴曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))處的切線斜率k＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，∴切線方程為y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)．令x＝0得y＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)；令y＝0得x＝3a.∵該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)aeq\f(1,2)＝18，∴a＝64.7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\r(5,x3)；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))；(4)y＝log2x2－log2x.解(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5,x3)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,5)))′＝eq\f(3,5)xeq\f(3,5)－1＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5\r(5,x2)).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2).二、能力提升8．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為()\f(1,e) B．－eq\f(1,e)C．－e D．e答案D解析y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0,y0＝ex0,k＝ex0.))∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.9．曲線y＝lnx在x＝a處的切線傾斜角為eq\f(π,4)，則a＝________.答案1解析y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝a＝eq\f(1,a)＝1，∴a＝1.10．點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離為________．答案eq\f(\r(2),2)解析根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖．則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率為1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點(diǎn)到直線的距離公式得距離為eq\f(\r(2),2).11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，求適合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，g′(x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.12．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離．解根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))，則y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8)，所以拋物線上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離為eq\f(7\r(2),8).三、探究與創(chuàng)新13．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，試求f2014(x)．解f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期為4，∴f2014(x)＝f2(x)＝－sinx．1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(二[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則．2．理解求導(dǎo)法則的證明過(guò)程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)．[知識(shí)鏈接]前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來(lái)比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會(huì)求f(x)＝5和g(x)＝等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求f(x)與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？答利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則法則語(yǔ)言敘述[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fx·g′x,[gx]2)(g(x)≠0)兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lgx.解(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3)函數(shù)y＝3x－lgx是函數(shù)f(x)＝3x與函數(shù)g(x)＝lgx的差．由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f′(x)＝3xln3，g′(x)＝eq\f(1,xln10)，利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－eq\f(1,xln10).規(guī)律方法本題是基本函數(shù)和(差)的求導(dǎo)問(wèn)題，求導(dǎo)過(guò)程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)．跟蹤演練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－eq\f(1,x2).解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝eq\f(ex,x)＋ex·lnx；(4)y′＝eq\f(1,xln10)＋eq\f(2,x3).要點(diǎn)二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sinx)2；解(1)y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(lnu)′·(x＋2)′＝eq\f(1,u)·1＝eq\f(1,x＋2).(2)y＝u2，u＝1＋sinx，∴yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u2)′·(1＋sinx)′＝2u·cosx＝2cosx(1＋sinx)．規(guī)律方法應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)．(2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)．(3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)．(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體．(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．熟練后，就不必再寫中間步驟．跟蹤演練2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(eq\r(x)－2)2.解(1)y＝eu，u＝2x＋1，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r(x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝1－eq\f(2,\r(x)).法二令u＝eq\r(x)－2，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝2(eq\r(x)－2)·(eq\r(x)－2)′＝2(eq\r(x)－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,\r(x))－0))＝1－eq\f(2,\r(x)).要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3求過(guò)點(diǎn)(1，－1)與曲線f(x)＝x3－2x相切的直線方程．解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線斜率為k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2故切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0) ①∵(x0，y0)在曲線上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－2x0 ②又∵(1，－1)在切線上，∴將②式和(1，－1)代入①式得－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5,4)(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.規(guī)律方法(1，－1)雖然在曲線上，但是經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的切線不一定只有一條，即該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，也可能是切線與曲線的交點(diǎn)，解題時(shí)注意不要失解．跟蹤演練3已知某運(yùn)動(dòng)著的物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求t＝3s時(shí)物體的瞬時(shí)速度．解∵s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2＝eq\f(t,t2)－eq\f(1,t2)＋2t2＝eq\f(1,t)－eq\f(1,t2)＋2t2，∴s′(t)＝－eq\f(1,t2)＋2·eq\f(1,t3)＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1,9)＋eq\f(2,27)＋12＝eq\f(323,27)，即物體在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\f(323,27)m/s.1．下列結(jié)論不正確的是()A．若y＝3，則y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3C．若y＝－eq\r(x)＋x，則y′＝－eq\f(1,2\r(x))＋1D．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinx答案D解析利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解．D項(xiàng)，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.2．函數(shù)y＝eq\f(cosx,1－x)的導(dǎo)數(shù)是()\f(－sinx＋xsinx,1－x2) B．eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2) D．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)答案C解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,1－x)))′＝eq\f(－sinx1－x－cosx·－1,1－x2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2).3．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案A解析∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________.答案ln2－1解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,x0)，∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，∴b＝ln2－1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．對(duì)于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要進(jìn)行適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、瞬時(shí)速度等問(wèn)題.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)y＝－2exsinx，則y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．當(dāng)函數(shù)y＝eq\f(x2＋a2,x)(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，那么x0＝()A．a(chǎn) B．±aC．－a D．a(chǎn)2答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq\f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，由xeq\o\al(2,0)－a2＝0得x0＝±a.3．設(shè)曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于()A．2 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－2答案D解析∵y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，∴y′＝－eq\f(2,x－12).∴y′|x＝3＝－eq\f(1,2).∴－a＝2，即a＝－2.4．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則當(dāng)k＝3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)或(1,1)．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為________．答案4解析依題意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.6．已知f(x)＝eq\f(1,3)x3＋3xf′(0)，則f′(1)＝________.答案1解析由于f′(0)是一常數(shù)，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)令x＝0，則f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).解(1)法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))′＝1－eq\f(1,2)cosx.二、能力提升8．曲線y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))處的切線的斜率為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),2)答案B解析y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,sinx＋cosx2)，故y′|eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，∴曲線在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))處的切線的斜率為eq\f(1,2).9．已知點(diǎn)P在曲線y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()A．[0，eq\f(π,4)) B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)] D．[eq\f(3π,4)，π)答案D解析y′＝－eq\f(4ex,ex＋12)＝－eq\f(4ex,e2x＋2ex＋1)，設(shè)t＝ex∈(0，＋∞)，則y′＝－eq\f(4t,t2＋2t＋1)＝－eq\f(4,t＋\f(1,t)＋2)，∵t＋eq\f(1,t)≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[eq\f(3π,4)，π)．10．(2023·江西)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________.答案2解析令t＝ex，則x＝lnt，所以函數(shù)為f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，即f′(1)＝eq\f(1,1)＋1＝2.11．求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與曲線y＝x3相切的直線方程．解點(diǎn)(2,0)不在曲線y＝x3上，可令切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0))．由題意，所求直線方程的斜率k＝eq\f(x\o\al(3,0)－0,x0－2)＝y(tǒng)′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)，即eq\f(x\o\al(3,0),x0－2)＝3xeq\o\al(2,0)，解得x0＝0或x0＝3.當(dāng)x0＝0時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0)，斜率k＝0，則所求直線方程是y＝0；當(dāng)x0＝3時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(3,27)，斜率k＝27，則所求直線方程是y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.綜上，所求的直線方程為y＝0或27x－y－54＝0.12．已知曲線f(x)＝x3－3x，過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程．解設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則由導(dǎo)數(shù)定義得切線的斜率k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，∴切線方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)－3)x＋16，又切點(diǎn)(x0，y0)在切線上，∴y0＝3(xeq\o\al(2,0)－1)x0＋16，即xeq\o\al(3,0)－3x0＝3(xeq\o\al(2,0)－1)x0＋16，解得x0＝－2，∴切線方程為9x－y＋16＝0.三、探究與創(chuàng)新13．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．(1)解由7x－4y－12＝0得y＝eq\f(7,4)x－3.當(dāng)x＝2時(shí)，y＝eq\f(1,2)，∴f(2)＝eq\f(1,2)， ①又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，∴f′(2)＝eq\f(7,4)， ②由①，②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2),a＋\f(b,4)＝\f(7,4).))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝3)).故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)證明設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)．令x＝0得y＝－eq\f(6,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0))).令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0))＝6.故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.1．2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．2．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．[知識(shí)鏈接]在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡(jiǎn)單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)？答(1)計(jì)算eq\f(Δy,Δx)，并化簡(jiǎn)；(2)觀察當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)趨近于哪個(gè)定值；(3)eq\f(Δy,Δx)趨近于的定值就是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝2013x2的導(dǎo)數(shù)．解f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2013x＋Δx2－2013x2,x＋Δx－x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2013x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4026x·Δx＋2013Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4026x＋2013Δx)＝4026x.規(guī)律方法解答此類問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾條：(1)嚴(yán)格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟．(2)當(dāng)Δx趨于0時(shí)，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趨于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用．跟蹤演練1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝x2＋ax＋b(a，b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．解y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x·Δx＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝5x；(3)y＝eq\f(1,x3)；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,x3)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,4)))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).規(guī)律方法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、降低運(yùn)算難度．解題時(shí)根據(jù)所給問(wèn)題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式．跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x8；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝logeq\f(1,3)x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2；(3)∵y＝xeq\r(x)＝xeq\f(3,2)，∴y′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2)；(4)y′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程例3求過(guò)曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且與過(guò)這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))處的切線斜率是：y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f(2,\r(3))，故所求的直線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵．跟蹤演練3已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求的切線方程為y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，則f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9答案C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(3)等于()\f(\r(3),6) B．0C．eq\f(1,2\r(x)) D．eq\f(\r(3),2)答案A解析∵f′(x)＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴f′(3)＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).3．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).4．曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________．答案eq\f(1,2)e2解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1.∴S△＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－e2))＝eq\f(1,2)e2.1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．對(duì)于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號(hào)的變化.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()①y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).A．0 B．1C．2 D．3答案D解析①y＝ln2為常數(shù)，所以y′＝0.①錯(cuò)．②③④正確．2．過(guò)曲線y＝eq\f(1,x)上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＝－4，x＝±eq\f(1,2)，故選B.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于()A．4 B．－4C．5 D．－5答案A解析f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定答案B解析∵f′(x)＝3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則3xeq\o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq\f(\r(3),3)，即在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))處有斜率為1的切線．5．曲線y＝eq\f(9,x)在點(diǎn)M(3,3)處的切線方程是________．答案x＋y－6＝0解析∵y′＝－eq\f(9,x2)，∴y′|x＝3＝－1，∴過(guò)點(diǎn)(3,3)的斜率為－1的切線方程為：y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.6．若曲線y＝x－eq\f(1,2)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________.答案64解析∵y＝x－eq\f(1,2)，∴y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)，∴曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))處的切線斜率k＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，∴切線方程為y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)．令x＝0得y＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)；令y＝0得x＝3a.∵該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)aeq\f(1,2)＝18，∴a＝64.7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\r(5,x3)；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))；(4)y＝log2x2－log2x.解(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5,x3)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,5)))′＝eq\f(3,5)xeq\f(3,5)－1＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5\r(5,x2)).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2).二、能力提升8．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為()\f(1,e) B．－eq\f(1,e)C．－e D．e答案D解析y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0,y0＝ex0,k＝ex0.))∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.9．曲線y＝lnx在x＝a處的切線傾斜角為eq\f(π,4)，則a＝________.答案1解析y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝a＝eq\f(1,a)＝1，∴a＝1.10．點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離為________．答案eq\f(\r(2),2)解析根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖．則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率為1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點(diǎn)到直線的距離公式得距離為eq\f(\r(2),2).11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，求適合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，g′(x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.12．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離．解根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))，則y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8)，所以拋物線上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離為eq\f(7\r(2),8).三、探究與創(chuàng)新13．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，試求f2014(x)．解f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期為4，∴f2014(x)＝f2(x)＝－sinx．1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(二[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則．2．理解求導(dǎo)法則的證明過(guò)程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)．[知識(shí)鏈接]前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來(lái)比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會(huì)求f(x)＝5和g(x)＝等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求f(x)與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？答利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則法則語(yǔ)言敘述[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fx·g′x,[gx]2)(g(x)≠0)兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lgx.解(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3)函數(shù)y＝3x－lgx是函數(shù)f(x)＝3x與函數(shù)g(x)＝lgx的差．由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f′(x)＝3xln3，g′(x)＝eq\f(1,xln10)，利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－eq\f(1,xln10).規(guī)律方法本題是基本函數(shù)和(差)的求導(dǎo)問(wèn)題，求導(dǎo)過(guò)程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)．跟蹤演練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－eq\f(1,x2).解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝eq\f(ex,x)＋ex·lnx；(4)y′＝eq\f(1,xln10)＋eq\f(2,x3).要點(diǎn)二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sinx)2；解(1)y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(lnu)′·(x＋2)′＝eq\f(1,u)·1＝eq\f(1,x＋2).(2)y＝u2，u＝1＋sinx，∴yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u2)′·(1＋sinx)′＝2u·cosx＝2cosx(1＋sinx)．規(guī)律方法應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)．(2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)．(3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)．(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體．(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．熟練后，就不必再寫中間步驟．跟蹤演練2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(eq\r(x)－2)2.解(1)y＝eu，u＝2x＋1，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r(x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝1－eq\f(2,\r(x)).法二令u＝eq\r(x)－2，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝2(eq\r(x)－2)·(eq\r(x)－2)′＝2(eq\r(x)－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,\r(x))－0))＝1－eq\f(2,\r(x)).要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3求過(guò)點(diǎn)(1，－1)與曲線f(x)＝x3－2x相切的直線方程．解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線斜率為k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2故切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0) ①∵(x0，y0)在曲線上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－2x0 ②又∵(1，－1)在切線上，∴將②式和(1，－1)代入①式得－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5,4)(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.規(guī)律方法(1，－1)雖然在曲線上，但是經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的切線不一定只有一條，即該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，也可能是切線與曲線的交點(diǎn)，解題時(shí)注意不要失解．跟蹤演練3已知某運(yùn)動(dòng)著的物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求t＝3s時(shí)物體的瞬時(shí)速度．解∵s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2＝eq\f(t,t2)－eq\f(1,t2)＋2t2＝eq\f(1,t)－eq\f(1,t2)＋2t2，∴s′(t)＝－eq\f(1,t2)＋2·eq\f(1,t3)＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1,9)＋eq\f(2,27)＋12＝eq\f(323,27)，即物體在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\f(323,27)m/s.1．下列結(jié)論不正確的是()A．若y＝3，則y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3C．若y＝－eq\r(x)＋x，則y′＝－eq\f(1,2\r(x))＋1D．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinx答案D解析利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解．D項(xiàng)，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.2．函數(shù)y＝eq\f(cosx,1－x)的導(dǎo)數(shù)是()\f(－sinx＋xsinx,1－x2) B．eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2) D．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)答案C解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,1－x)))′＝eq\f(－sinx1－x－cosx·－1,1－x2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2).3．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案A解析∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________.答案ln2－1解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,x0)，∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，∴b＝ln2－1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．對(duì)于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要進(jìn)行適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、瞬時(shí)速度等問(wèn)題.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)y＝－2exsinx，則y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．當(dāng)函數(shù)y＝eq\f(x2＋a2,x)(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，那么x0＝()A．a(chǎn) B．±aC．－a D．a(chǎn)2答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq\f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，由xeq\o\al(2,0)－a2＝0得x0＝±a.3．設(shè)曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于()A．2 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－2答案D解析∵y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，∴y′＝－eq\f(2,x－12).∴y′|x＝3＝－eq\f(1,2).∴－a＝2，即a＝－2.4．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則當(dāng)k＝3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)或(1,1)．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2