2017-2018版高中數(shù)學第一章數(shù)列2.1等差數(shù)列(二)學案5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2。1等差數(shù)列(二）學習目標1。能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì)。2.能運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題．知識點一等差數(shù)列通項公式的推廣思考1已知等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d能表示出通項an＝a1＋（n－1)d,如果已知第m項am和公差d，又如何表示通項an？思考2由思考1可得d＝eq\f（an－a1,n－1)，d＝eq\f（an－am，n－m），你能聯(lián)系直線的斜率解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？梳理等差數(shù)列{an}中，若公差為d，則an＝am＋（n－m）d，當n≠m時，d＝eq\f(an－am，n－m).知識點二等差數(shù)列的性質(zhì)思考還記得高斯怎么計算1＋2＋3＋…＋100的嗎?推廣到一般的等差數(shù)列，你有什么猜想？梳理在等差數(shù)列｛an｝中,若m＋n＝p＋q（m,n，p，q∈N＋），則am＋________＝ap＋________。特別地,若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.知識點三由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列思考若{an｝是公差為d的等差數(shù)列,那么｛an＋an＋2｝是等差數(shù)列嗎？若是，公差是多少？梳理若{an｝，｛bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列（c為任一常數(shù))｛c·an｝公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)）{an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N＋）{pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列（p，q為常數(shù)）類型一等差數(shù)列推廣通項公式的應用例1在等差數(shù)列{an｝中，已知a2＝5,a8＝17,求數(shù)列的公差及通項公式．反思與感悟靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以減少運算．跟蹤訓練1數(shù)列｛an｝的首項為3，｛bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an（n∈N＋），若b3＝－2，b10＝12，則a8等于（）A．0B．3C．8D．11類型二等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系例2已知數(shù)列｛an}的通項公式an＝pn＋q,其中p，q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?若是，首項和公差分別是多少？反思與感悟判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法：（1)從遞推公式上看，an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列；（2）從任意連續(xù)三項關(guān)系上看，2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列；（3)從通項公式代數(shù)特點上看，an＝kn＋b（k，b為常數(shù)，n∈N＋）?｛an}是等差數(shù)列．但若要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需舉出一個反例即可．如：其中某連續(xù)三項不成等差數(shù)列；存在n∈N＋,an＋1－an的結(jié)果不等于同一個常數(shù)等．跟蹤訓練2若數(shù)列{an｝滿足a1＝15，3an＋1＝3an－2，則使ak·ak＋1〈0的k值為________．類型三等差數(shù)列性質(zhì)的應用引申探究1．在例3中，不難驗證a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6,那么,在等差數(shù)列{an｝中,若m＋n＋p＝q＋r＋s,m，n，p，q，r，s∈N＋,是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？2．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________。例3已知等差數(shù)列｛an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項公式．反思與感悟解決等差數(shù)列運算問題的一般方法:一是靈活運用等差數(shù)列｛an}的性質(zhì)；二是利用通項公式,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項與公差的求解，屬于通項方法；或者兼而有之．這些方法都運用了整體代換與方程的思想．跟蹤訓練3在等差數(shù)列｛an｝中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．1．等差數(shù)列｛an｝中，已知a3＝10，a8＝－20,則公差d等于（）A．3 B．－6C．4 D．－32．在等差數(shù)列{an｝中，已知a4＝2，a8＝14,則a15等于(）A．32 B．－32C．35 D．－353．等差數(shù)列｛an｝中，a4＋a5＝15，a7＝12,則a2等于()A．3 B．－3C。eq\f（3，2） D．－eq\f(3,2）1．在等差數(shù)列{an｝中，當m≠n時，d＝eq\f（am－an，m－n)，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋（m－n）d.2．等差數(shù)列{an｝中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．3．等差數(shù)列｛an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋），特別地,若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap。4．在等差數(shù)列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可根據(jù)a1，d的關(guān)系列方程組求解,但是,要注意公式的變形及整體計算,以減少計算量．

答案精析問題導學知識點一思考1設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，則am＝a1＋(m－1）d，變形得a1＝am－（m－1）d，則an＝a1＋（n－1）d＝am－（m－1）d＋(n－1）d＝am＋（n－m）d.思考2等差數(shù)列通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d），其圖像為一條直線上孤立的一系列點，（1，a1)，(n，an)，(m，am）都是這條直線上的點．d為直線的斜率,故兩點（1，a1)，(n，an）連線的斜率d＝eq\f（an－a1,n－1)。當兩點為（n,an)，(m，am）時，有d＝eq\f(an－am,n－m）.知識點二思考利用1＋100＝2＋99＝…。在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…。梳理anaq知識點三思考∵(an＋1＋an＋3)－（an＋an＋2)＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝d＋d＝2d?！鄘an＋an＋2｝是公差為2d的等差數(shù)列．題型探究例1解因為a8＝a2＋(8－2）d,所以17＝5＋6d,解得d＝2。又因為an＝a2＋（n－2)d，所以an＝5＋(n－2）×2＝2n＋1.跟蹤訓練1B［∵{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則d＝eq\f(b10－b3，10－3）＝eq\f(12－－2，7）＝2，∴bn＝b3＋（n－3)d＝2n－8.∴a8＝（a8－a7)＋（a7－a6)＋(a6－a5）＋（a5－a4）＋（a4－a3)＋（a3－a2）＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋（b6＋b2)＋（b5＋b3）＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3。]例2解取數(shù)列{an｝中任意相鄰兩項an和an－1（n〉1)，求差得an－an－1＝(pn＋q)－［p（n－1）＋q］＝pn＋q－（pn－p＋q)＝p。它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列．由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1）p，所以首項a1＝p＋q,公差d＝p。跟蹤訓練223解析由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－eq\f(2，3）.∴｛an｝是首項為15,公差為－eq\f(2，3)的等差數(shù)列，∴an＝a1＋(n－1）d＝15＋（n－1)×（－eq\f(2，3)）＝－eq\f（2，3)n＋eq\f(47，3)。令an＝0，解得n＝eq\f(47,2)＝23.5，∵d＝－eq\f（2，3),數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，∴a23〉0，a24<0。∴k＝23。例3解方法一因為a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5。又因為a2a4a6＝45，所以a2a6＝9,即（a4－2d)（a4＋2d）＝9，（5－2d）（5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2,an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2,an＝a4＋（n－4)d＝13－2n.方法二設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15,即a1＋3d＝5， ①由a2a4a6＝45，得（a1＋d)(a1＋3d）(a1＋5d）＝45，將①代入上式，得(a1＋d）×5×（5＋2d)＝45，即(a1＋d）×（5＋2d)＝9, ②解①，②組成的方程組,得a1＝－1，d＝2或a1＝11,d＝－2，an＝－1＋2（n－1）＝2n－3或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1．解設(shè)公差為d，則am＝a1＋(m－1）d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋（p－1）d，aq＝a1＋（q－1)d，ar＝a1＋(r－1）d，as＝a1＋（s－1)d,∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3）d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as。2．20解析∵a3＋a8＝10,∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2（a3＋a8）＝20.跟蹤訓練3解方法一∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9）－(a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7,a2＋a5＋a8,a3＋a6＋a9成等差數(shù)列．∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－（a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27。方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d）＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13， ①∵a2＋a5＋a8＝（a1＋d）＋(a1＋4d)＋（a1＋7d)＝3a1＋12d＝33。∴a1＋4d＝11， ②由①②聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＋3d＝13，，a1＋