2017-2018版高中數(shù)學第一章計數(shù)原理4簡單計數(shù)問題學案2-3

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4簡單計數(shù)問題學習目標1.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理。2.進一步深化排列與組合的概念.3.能綜合運用排列、組合解決計數(shù)問題．知識點一兩個計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理（加法原理)完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法,……，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．分步乘法計數(shù)原理（乘法原理)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法,……，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝____________種方法．3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.知識點二排列1．排列從n個________的元素中取出m（m≤n)個元素,按照一定的________排成一列，叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列．2．排列數(shù)排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m（m≤n)個元素的所有排列的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作____________排列數(shù)公式乘積式Aeq\o\al(m，n)＝____________階乘式Aeq\o\al(m,n)＝________________________排列數(shù)的性質(zhì)Aeq\o\al(n，n）＝________；Aeq\o\al(0,n）＝________，0!＝1知識點三組合1．組合一般地，從n個不同的元素中,任取m（m≤n）個元素為一組，叫作從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)（1）組合數(shù)定義：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的____________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號________表示．(2）組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al（m，n）＝eq\f(A\o\al(m，n)，A\o\al(m，m））＝______________階乘形式Ceq\o\al（m,n）＝eq\f（n！，m！n－m！）備注n,m∈N＋,且m≤n,規(guī)定Ceq\o\al（0，n）＝________特別提醒：1。排列組合綜合題的一般解法一般堅持先組后排的原則,即先選元素后排列,同時注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分類．2．解決有限制條件的排列、組合問題的一般策略(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略．（2)正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略．（3）相鄰問題捆綁處理的策略．(4）不相鄰問題插空處理的策略．(5）定序問題除法處理的策略．(6）“小集團”排列問題中先整體后局部的策略．(7)平均分組問題，除法處理的策略．(8）構(gòu)造模型的策略．類型一兩個計數(shù)原理的應(yīng)用命題角度1“類中有步”的計數(shù)問題例1電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有________種不同的結(jié)果．反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題,類中有步的情形如圖所示：具體意義如下：從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步,在第2類辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示．所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3＋m4m5，“類"與“步”可進一步地理解為：“類”用“＋”號連接，“步”用“×”號連接，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”標志一件事的完成,“步"缺一不可．跟蹤訓練1現(xiàn)有4種不同顏色，要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（)A．24種B．30種C．36種D．48種命題角度2“步中有類"的計數(shù)問題例2有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力"、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復．若上午不測“握力"項目,下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測一人,則不同的安排方式共有________種．（用數(shù)字作答)反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題，步中有類的情形如圖所示：從計數(shù)的角度看,由A到D算作完成一件事，可簡單地記為A→D.完成A→D這件事，需要經(jīng)歷三步，即A→B，B→C，C→D。其中B→C這步又分為三類,這就是步中有類．其中mi（i＝1，2,3，4，5）表示相應(yīng)步的方法數(shù)．完成A→D這件事的方法數(shù)為m1(m2＋m3＋m4）m5。以上給出了處理步中有類問題的一般方法．跟蹤訓練2如圖所示,使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式共有(）A．11B．12C．20D．21類型二排列與組合的綜合應(yīng)用命題角度1不同元素的排列、組合問題例3有4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2，3,4的藍色卡片,從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有多少種？反思與感悟(1）解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”,也就是先把符合題意的元素都選出來,再對元素或位置進行排列．(2）解排列、組合綜合問題時的注意點①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無序的問題是組合問題,有序的問題是排列問題．②對于有多個限制條件的復雜問題，應(yīng)認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法．跟蹤訓練3從1,3，5,7，9中任取3個數(shù)字,從0，2，4，6,8中任取2個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)？命題角度2含有相同元素的排列、組合問題例4今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區(qū)分，將這9個球排成一列,有________種不同的方法．反思與感悟針對對部分元素相同的n個不同元素進行排列的問題,有兩種解決方法：（1)先把這些元素看作全不相同的元素進行排列，再設(shè)法消去相同元素的順序．(2)從位置進行分析，因為位置全不相同，可以分別給相同的每一類元素找位置．跟蹤訓練4為減輕學生經(jīng)濟負擔且又能滿足學生求知要求，某班級利用班費買了4本相同的數(shù)學資料書、3本相同的外語資料書、2本相同的物理資料書作為班級圖書供同學們學習使用．現(xiàn)有8人去借閱圖書，每人只能借閱一本，則有多少種借閱方法？1．李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出,則李芳的不同的選擇方式有（)A．24種 B．14種C．10種 D．9種2．設(shè)4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動的可能結(jié)果有a種,這4名學生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種,則（a，b)為（)A．（34，34) B．(43，34)C．（34，43） D．（Aeq\o\al(3,4），Aeq\o\al(3,4））3．三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為凹數(shù)，如524,746等都是凹數(shù)，那么，各個數(shù)位上無重復數(shù)字的三位凹數(shù)有（）A．72個 B．120個C．240個 D．360個4．某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是公益宣傳廣告，且2個公益宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有________種．5．已知xi∈{－1,0,1｝，i＝1，2，3,4,5，6,則滿足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的數(shù)組（x1,x2，x3，x4，x5，x6）的個數(shù)為________．1．解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，再利用兩個基本計數(shù)原理作最后處理．2．對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏．3．對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序,避免計數(shù)的重復或遺漏．

答案精析知識梳理知識點一1．m1＋m2＋…＋mn2．m1×m2×…×mn知識點二1．不同順序2．Aeq\o\al（m,n）n(n－1）（n－2）…（n－m＋1)eq\f（n！，n－m?。╪，m∈N＋，m≤n）n！1知識點三2．(1）所有組合的個數(shù)Ceq\o\al（m,n）(2）eq\f（nn－1n－2…n－m＋1，m?。?題型探究例128800解析在甲箱或乙箱中抽取幸運之星,決定了后邊選幸運伙伴是不同的，故要分兩類分別計算：（1)幸運之星在甲箱中抽，先確定幸運之星,再在兩箱中各確定一名幸運伙伴，有30×29×20＝17400(種)結(jié)果；(2)幸運之星在乙箱中抽,同理有20×19×30＝11400(種）結(jié)果．因此共有17400＋11400＝28800（種）不同結(jié)果．跟蹤訓練1D例2264跟蹤訓練2D例3解分三類：第一類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,2,3，4時,不同的排法有Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al（1,2）·Ceq\o\al(1,2）·Ceq\o\al(1，2）·Aeq\o\al(4，4）種．第二類,當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,1，4，4時，不同的排法有Ceq\o\al(2，2)·Ceq\o\al（2,2)·Aeq\o\al(4,4）種．第三類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字2，2,3,3時，不同的排法有Ceq\o\al（2，2）·Ceq\o\al（2，2）·Aeq\o\al（4,4）種．故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為Ceq\o\al（1,2)·Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al（4，4)＋2Ceq\o\al（2,2)·Ceq\o\al(2，2)·Aeq\o\al(4，4）＝432。跟蹤訓練3解（1）五位數(shù)中不含數(shù)字0。第1步,選出5個數(shù)字，共有Ceq\o\al（3，5）Ceq\o\al（2,4)種選法．第2步，排成偶數(shù)——先排末位數(shù),有Aeq\o\al（1，2)種排法，再排其他四位數(shù)字,有Aeq\o\al(4，4）種排法．所以N1＝Ceq\o\al(3,5）·Ceq\o\al(2,4）·Aeq\o\al(1，2)·Aeq\o\al（4,4）.（2）五位數(shù)中含有數(shù)字0。第1步，選出5個數(shù)字，共有Ceq\o\al（3,5)·Ceq\o\al(1，4）種選法．第2步，排順序又可分為兩小類：①末位排0，有Aeq\o\al(1,1)·Aeq\o\al（4,4）種排列方法;②末位不排0。這時末位數(shù)有Ceq\o\al(1，1）種選法，而因為0不能排在首位，所以首位有Aeq\o\al（1，3)種排法，其余3個數(shù)字則有Aeq\o\al（3，3)種排法．所以N2＝Ceq\o\al（3，5)·Ceq\o\al（1，4)(Aeq\o\al（1，1)·Aeq\o\al（4,4)＋Aeq\o\al（1，3)·Aeq\o\al(3,3)）．所以符合條件的偶數(shù)個數(shù)為N＝N1＋N2＝Ceq\o\al（3，5)Ceq\o\al(2，4）Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al（4,4)＋Ceq\o\al（3,5)Ceq\o\al（1，4)（Aeq\o\al（1,1)Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al(3，3))＝4560.例41260跟蹤訓練4解第一類：剩下的一本書是數(shù)學資料書，此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為3，3,2的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學、外語、物理資料書，其借法共有Ceq\o\al(3,8）Ceq\o\al（3，5)Ceq\o\al(2,2）＝560(種）．第二類:剩下的一本書是外語資料書，此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為4，2，2的三堆,這三堆分別借閱數(shù)學、外語、物理資料書，其借法共有Ceq\o\al（4，8)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2，2）＝42