第8章 組合變形

第八章組合變形時的強(qiáng)度計(jì)算

§8-1概述一、組合變形的概念1.組合變形：構(gòu)件發(fā)生兩種或兩種以上基本變形的變形形式。水閘qPhg2.分類------①斜彎曲(兩個平面彎曲的組合)②拉伸(或壓縮)與彎曲的組合

③扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合

④扭轉(zhuǎn)與拉伸(壓縮)及彎曲的組合注:含彎曲的組合變形，一般以彎曲變形為主，不考慮剪切變形,其危險截面主要依據(jù)Mmax，一般不考慮彎曲切應(yīng)力。④根據(jù)材料和危險點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)選用合適的強(qiáng)度準(zhǔn)則，建立強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。1.疊加原理：在線彈性、小變形下，每一組載荷引起的變形和內(nèi)力不受彼此影響，可采用代數(shù)相加。二、基本解法(疊加法)2.基本分析步驟：①外力分析：分解或簡化外力，使每一組力只產(chǎn)生一種基本變形，確定構(gòu)件的變形形式。②內(nèi)力分析分別計(jì)算各基本變形下的內(nèi)力，繪制內(nèi)力圖，確定危險截面。③應(yīng)力分析i.分析各基本變形的危險截面上的應(yīng)力分布，確定危險點(diǎn)。將各基本變形危險點(diǎn)處應(yīng)力進(jìn)行疊加;ii.對危險點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析求出主應(yīng)力（包括確定截面的幾何性質(zhì)）(s1≥s2≥s3)1.平面彎曲：對于橫截面具有對稱軸的梁，當(dāng)橫向外力或外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁發(fā)生對稱彎曲。這時，梁變形后的軸線是一條位于外力所在平面內(nèi)的平面曲線。2.斜彎曲：雙對稱截面梁在水平和垂直兩縱向?qū)ΨQ面內(nèi)同時受橫向外力作用，分別在水平縱向?qū)ΨQ面和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)發(fā)生對稱彎曲。桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與橫向外力不共面。該彎曲稱為斜彎曲?！?-2斜彎曲(skewbending)FqFAFB縱向?qū)ΨQ面3.斜彎曲梁分析(二）梁任意橫截面上的內(nèi)力分析斜彎曲內(nèi)力：My

=P1x；Mz=P2(x-a)。(一)外力分析梁發(fā)生斜彎曲

以圖示橢圓截面懸臂梁為例，說明斜彎曲強(qiáng)度的計(jì)算方法。y、z軸為形心主慣性軸。(三)梁任意橫截面上的應(yīng)力分析

截面m—m上任意點(diǎn)C(y,z)的正應(yīng)力為：

式中，Iy和Iz分別為橫截面對于兩對稱軸y和z的慣性矩；My和Mz分別是截面上位于水平和鉛垂對稱平面內(nèi)的彎矩。在具體計(jì)算中，可不考慮彎矩My、Mz和坐標(biāo)y、z的正負(fù)號，以它們的絕對值代入，然后根據(jù)梁在P1和P2分別作用下的變形情況，來判斷上式右邊兩項(xiàng)的正負(fù)號。(四)橫截面上中性軸方程

為確定橫截面上最大正應(yīng)力點(diǎn)的位置，應(yīng)先求截面上的中性軸位置。由于中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為零，令y0、z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，則可得中性軸的方程為：

由上式可見，梁發(fā)生斜彎曲時中性軸是一條通過橫截面形心的直線。它與y軸的夾角θ為：

公式中角度

是橫截面上合成彎矩M的矢量與y軸的夾角.

橫截面上合成彎矩M為：

討論：（1）一般情況下，截面的IzIy,故中性軸與合成彎矩M所在平面不垂直，此為斜彎曲的受力特征。導(dǎo)致?lián)锨€與外力（合成彎矩）所在面不共面,此為斜彎曲的變形特征。（2）對于圓形、正方形等Iy=Iz

的截面，有

=

，中性軸和合成彎矩M垂直，梁發(fā)生平面彎曲，正應(yīng)力可用合成彎矩M按正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算。(這樣的截面不可能發(fā)生斜彎曲)(五)強(qiáng)度分析

在確定中性軸的位置后，作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面周邊相切于D1、D2兩點(diǎn)，該兩點(diǎn)即分別為橫截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點(diǎn)。是危險點(diǎn)。

對于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其橫截面都有兩個相互垂直的對稱軸，且截面的周邊具有棱角，故橫截面上的最大正應(yīng)力必發(fā)生在截面的棱角處。于是，可根據(jù)梁的變形情況，直接確定截面上最大拉、壓應(yīng)力點(diǎn)的位置，而無需定出其中性軸。

在確定了梁的危險截面和危險點(diǎn)的位置，并算出危險點(diǎn)處的最大正應(yīng)力后，由于危險點(diǎn)處是單軸應(yīng)力狀態(tài)，可將最大正應(yīng)力與材料的許用正應(yīng)力相比較來建立強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。至于橫截面上的剪應(yīng)力，一般因其數(shù)值都比較小，故在強(qiáng)度計(jì)算中可不必考慮。【例8-1】矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示。試確定危險截面、危險點(diǎn)所在位置，計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力的值。若將截面改為直徑D=50mm的圓形，試確定危險點(diǎn)位置，并計(jì)算最大正應(yīng)力。解:(1)外力分析此梁在P1力作用下將在XOY

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，在P2

力作用下將在XOZ

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲,故此梁的變形為兩個平面彎曲的組合—斜彎曲。內(nèi)力分析分別繪出MZ(x)和MY(x)圖，兩個平面內(nèi)的最大彎矩都發(fā)生在固定端A截面上，其值為MZ=1kN.m；MY=1kN.m由圖中可以看出，A截面為梁的危險截面。（3）應(yīng)力分析彎距MZ

引起的正應(yīng)力的分布圖彎距My引起的正應(yīng)力的分布圖（4）危險點(diǎn)應(yīng)力（5）分析與討論若將截面改為直徑D=50mm的圓形，則截面的慣性矩梁將發(fā)生平面彎曲。危險點(diǎn)是e、f兩點(diǎn)。合成彎矩為：小結(jié)1、兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲又稱作斜彎曲。其受力特征是：中性軸與外力所在平面不垂直；變形特征是：撓曲線與外力不共面。3、正應(yīng)力計(jì)算公式

，4、強(qiáng)度計(jì)算

max[]2、中性軸方程§8-3拉伸(壓縮)與彎曲

組合變形作用在桿件上的外力既有軸向拉(壓)力,還有橫向力，桿將發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲組合。以上圖為例分析拉彎組合變形構(gòu)件橫截面上的正應(yīng)力：1.軸力跨中截面是桿的危險截面,彎矩：2.與軸力對應(yīng)的拉伸正應(yīng)力

與彎矩對應(yīng)的最大彎曲正應(yīng)力

桿危險截面下邊緣各點(diǎn)處的上的拉應(yīng)力為：內(nèi)力分析應(yīng)力分析＋可能有3種結(jié)果拉或壓與彎曲組合變形時，橫截面上的中性軸不過橫截面形心。四.強(qiáng)度條件

由于危險點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，故其強(qiáng)度條件為：

當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時，應(yīng)分別建立桿件的抗拉、壓強(qiáng)度條件?！纠?-2】懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2，總荷載P=34kN，橫梁材料的許用應(yīng)力[]=12.5MPa。校核橫梁AB的強(qiáng)度。解:(1)外力分析

AB的受力分析如圖示：NAB=PRA=0.5PHA=0.866P所以

可知：AB發(fā)生平面彎曲與壓縮的組合變形(2)內(nèi)力分析軸力：0.866P;最大彎矩：0.6P可知：中間截面為危險截面。(3)應(yīng)力分析最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的上邊緣。壓縮正應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度校核所以，強(qiáng)度滿足要求偏心拉伸（壓縮)與截面核心

一.偏心拉伸（壓縮）

1.定義：作用在直桿上的外力，當(dāng)其作用線與桿的軸線平行但不重合時，將同時引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。2.舉例以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受偏心拉力F為例.偏心距為e，作用點(diǎn)坐標(biāo)為（zp，yp）。(1)將外力向截面形心簡化，使每個力(或力偶)只產(chǎn)生一種基本變形形式。F

使桿發(fā)生拉伸變形;my

使桿發(fā)生XZ平面內(nèi)的平面彎曲變形（y為中性軸);mz使桿發(fā)生XY平面內(nèi)的平面彎曲變形（z為中性軸），故桿件發(fā)生拉伸與彎曲的組合變形。軸向拉力：F；兩附加力偶：my，mz：(2)任意橫截面n-n上的內(nèi)力分析軸力FN=F，彎矩(3)任意橫截面n-n上C點(diǎn)的應(yīng)力分析由FN產(chǎn)生的正應(yīng)力由my

產(chǎn)生的正應(yīng)力由mz

產(chǎn)生的正應(yīng)力假設(shè)C點(diǎn)在第一象限內(nèi),根據(jù)桿件的變形可知,

均為拉應(yīng)力，由疊加原理，即得C點(diǎn)處的正應(yīng)力為：任意橫截面n-n上的C點(diǎn)的正應(yīng)力為式中：A為橫截面面積；Iy,Iz

分別為橫截面對y軸和z軸的慣性矩。式中：iy,iz

分別為橫截面對y軸和z軸的慣性半徑。c所以(4)中性軸的確定

上式是一個平面方程。表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化。應(yīng)力平面與橫截面的交線（直線

=0）就是中性軸。令y0,z0

代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，即得中性軸方程。討論:（ⅰ）在偏心拉伸（壓縮）情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線。（ⅱ）用

ay

和az

記中性軸在y,z兩軸上的截距，則有（ⅲ）中性軸與外力作用點(diǎn)分別處于截面形心的相對兩側(cè)。（ⅳ）中性軸將橫截面上的應(yīng)力區(qū)域分為拉應(yīng)力區(qū)域和壓應(yīng)力區(qū)域。橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為D1,D2

兩切點(diǎn)。（ⅴ）對于周邊具有棱角的截面，其危險點(diǎn)必定在截面的棱角處，并可根據(jù)桿件的變形來確定。例如：橫截面是矩形截面時，與各內(nèi)力分量相對應(yīng)的正應(yīng)力變化規(guī)律分別如上圖所示。最大拉應(yīng)力

t,max

和最大壓應(yīng)力

c,min分別在截面的棱角處。無需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險點(diǎn)的位置即可。

由于危險點(diǎn)處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，因此，求得最大正應(yīng)力后，建立的強(qiáng)度條件為(5)強(qiáng)度條件【例8-3】下圖所示為一夾具。在夾緊零件時,夾具受到的外力為P=2kN。已知：外力作用線與夾具豎桿軸線間的距離為

e=60mm，豎桿橫截面的尺寸為b=10mm，h=22mm,材料許用應(yīng)力[]=170MPa。試校核此夾具豎桿的強(qiáng)度。解:(1)外力P向豎桿軸線平移，如圖?？芍Q桿發(fā)生拉彎組合變形。(2)豎桿任一橫截面n-n上的內(nèi)力軸力，彎矩(3)強(qiáng)度分析

豎桿的危險點(diǎn)在橫截面的內(nèi)側(cè)邊緣處，該處對應(yīng)與軸力和彎矩的正應(yīng)力同號，都是拉應(yīng)力。危險點(diǎn)處的正應(yīng)力為所以強(qiáng)度是安全【例8-4】矩形截面柱如圖所示。P1的作用線與桿軸線重合，P2作用在y軸上。已知，P1=P2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m截面只出現(xiàn)壓應(yīng)力，求P2的偏心距e。解：1、將力P2向截面形心簡化，梁上的外力有軸向壓力：力偶矩2、軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力：彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力3、橫截面上不產(chǎn)生拉應(yīng)力的條件為解得：e=10cm二.截面核心由公式：；其中：為外力作用點(diǎn)的坐標(biāo)

為中性軸的截距

由上式可知，力F的作用點(diǎn)越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，中性軸離坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)。當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時，整個圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力。

當(dāng)外力作用點(diǎn)位于包括截面形心的一個區(qū)域內(nèi)時，就可以保證中性軸不穿過橫截面，這個區(qū)域就稱為截面核心。當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時，與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。1、截面核心定義2、作截面核心步驟：（1）作截面周邊的任一切線①，將其看作中性軸，它在y,z

兩個形心主慣性軸上的截距分別為和（2）

根據(jù)和可求得對應(yīng)的外力作用點(diǎn)1，亦即截面核心邊界上一個點(diǎn)的坐標(biāo)（3）同理，分別作切線②、③、等，求得對應(yīng)的截面核心邊界上點(diǎn)

2、3、

等點(diǎn)的坐標(biāo)。（4）連接1、2、3、

等點(diǎn)，得到的一條封閉曲線，該曲線所含面積，即為截面核心。結(jié)論：I、與z軸平行的中性軸所對應(yīng)的外力作用點(diǎn)一定在y軸上。與y軸平行的中性軸所對應(yīng)的外力作用點(diǎn)一定在z軸上。II、設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為是這一系列中性軸所共有的，將其代入中性軸方程得：這是表示外力作用點(diǎn)坐標(biāo)的直線方程。當(dāng)中性軸繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動的軌跡是一條連結(jié)點(diǎn)1，2的直線。3、矩形截面的截面核心確定（1）作切線①，得兩截距分別為矩形截面的對應(yīng)的核心邊界上點(diǎn)1的坐標(biāo)為（2）分別作中性軸②、③、④，對應(yīng)的截面核心邊界上的點(diǎn)2、3、4的坐標(biāo)依次為：

中性軸①繞B點(diǎn)到中性軸②。因此，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)的軌跡是一條連結(jié)點(diǎn)1、2的直線。同理，將1、2、3、4點(diǎn)中相鄰的兩點(diǎn)連以直線，即得矩形截面的截面核心。結(jié)論：I、對于具有棱角的截面，均可按上述方法確定截面核心II、對于周邊有凹進(jìn)部分的截面（如T字形截面），不能取與凹進(jìn)部分的周邊相切的直線作為中性軸，因?yàn)檫@種直線穿過橫截面截面核心邊界是一個以

o為圓心，以為半徑的圓圓截面的截面核心【例8-5】試確定圖示T字形截面的截面核心。圖中y,z

兩軸為截面的形心主慣性軸。（1）求截面的有關(guān)幾何性質(zhì)

（2）列表求出各值中性軸編號對應(yīng)的截面核心邊界上的點(diǎn)中性軸的截距（m）核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)值(m)①10.45-0.1020②2-0.400.2③3-0.450.1020④4-0.451.080.102-0.074⑤50.60-0.133⑥60.451.08-0.102-0.074研究對象：圓截面桿受力特點(diǎn)：桿件同時承受外力偶矩和橫向力作用。變形特點(diǎn)：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。研究內(nèi)容：桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲組合變形時的強(qiáng)度計(jì)算?！?–4扭轉(zhuǎn)與彎曲1.外力分析

設(shè)一直徑為

d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂，受力P作用。分析圓桿AB的強(qiáng)度。

將力P

向

AB桿右端截面的形心B簡化得橫向力P（引起平面彎曲），力偶矩m=Pa（引起扭轉(zhuǎn)）。故AB桿發(fā)生彎扭組合變形。2.研究AB桿的內(nèi)力畫內(nèi)力圖如圖示，可知固定端為危險截面。3.應(yīng)力分析

危險截面上的最大彎曲正應(yīng)力

發(fā)生在鉛垂直徑的上、下兩端點(diǎn)C1

、C2

處。最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力

發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處。危險點(diǎn)為C1

和C2。

對于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿,這兩點(diǎn)的危險程度是相同的?？扇∪我稽c(diǎn)C1

來研究。C1

點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)如圖，為平面復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。：4.強(qiáng)度分析（1）主應(yīng)力計(jì)算

（2）相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算第三強(qiáng)度理論,

第四強(qiáng)度理論

（3）強(qiáng)度計(jì)算

討論：

，

該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。1.

是橫截面上危險點(diǎn)的正應(yīng)力，是橫截面上危險點(diǎn)的切應(yīng)力。且橫截面不限于圓形截面。