第三章 遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)

金融工程FinancialEngineering

授課人：王正文講師

武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院

郵箱：wzw13@第三章遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)第一節(jié)遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格遠(yuǎn)期價(jià)值是指遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值。關(guān)于遠(yuǎn)期價(jià)值的討論要分遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)和簽訂后兩種情形。

－在簽訂遠(yuǎn)期合約時(shí)，如果信息是對(duì)稱(chēng)的，而且合約雙方對(duì)未來(lái)的預(yù)期相同，對(duì)于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價(jià)格應(yīng)使遠(yuǎn)期價(jià)值在簽署合約時(shí)等于零。－在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，由于交割價(jià)格不再變化，多空雙方的遠(yuǎn)期價(jià)值將隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化而變化。

3.1.1遠(yuǎn)期價(jià)值、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格遠(yuǎn)期價(jià)格是指使遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)價(jià)值為零的交割價(jià)格。遠(yuǎn)期價(jià)格是理論上的交割價(jià)格。關(guān)于遠(yuǎn)期價(jià)格的討論也要分遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)和簽訂后兩種情形。

－一份公平合理的遠(yuǎn)期合約在簽訂的當(dāng)天應(yīng)使交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格。如果實(shí)際交割價(jià)格不等于這個(gè)理論上的遠(yuǎn)期價(jià)格，該遠(yuǎn)期合約價(jià)值對(duì)于多空雙方來(lái)說(shuō)就都不為零，實(shí)際上隱含了套利空間。－在遠(yuǎn)期合約簽訂之后，交割價(jià)格已經(jīng)確定，遠(yuǎn)期合約價(jià)值不一定為零，遠(yuǎn)期價(jià)格也就不一定等于交割價(jià)格。3.1.1遠(yuǎn)期價(jià)值、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格類(lèi)似地，在期貨合約中，我們定義期貨價(jià)格（FuturesPrices）為使得期貨合約價(jià)值為零的理論交割價(jià)格。但值得注意的是，對(duì)于期貨合約來(lái)說(shuō)，一般較少談及“期貨合約價(jià)值”這個(gè)概念?；谄谪浀慕灰讬C(jī)制，投資者持有期貨合約，其價(jià)值的變動(dòng)來(lái)源于實(shí)際期貨報(bào)價(jià)的變化。由于期貨每日盯市結(jié)算、每日結(jié)清浮動(dòng)盈虧，因此期貨合約價(jià)值在每日收盤(pán)后都?xì)w零。3.1.1遠(yuǎn)期價(jià)值、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。3.1.2遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。這是因?yàn)楫?dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升時(shí)，期貨價(jià)格通常也會(huì)隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤(rùn)進(jìn)行再投資。而當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌時(shí)，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場(chǎng)上融資以補(bǔ)充保證金。相比之下，遠(yuǎn)期合約的多頭將不會(huì)因利率的變動(dòng)而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠(yuǎn)期多頭更具吸引力，期貨價(jià)格自然就大于遠(yuǎn)期價(jià)格。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。3.1.2遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈負(fù)相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會(huì)高于期貨價(jià)格。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。3.1.2遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈負(fù)相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會(huì)高于期貨價(jià)格。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。3.1.2遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈負(fù)相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會(huì)高于期貨價(jià)格。3.1.3基本的假設(shè)與符號(hào)為分析簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本章的分析是建立在如下假設(shè)前提下的：1．沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收。2．市場(chǎng)參與者能以相同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金。3．遠(yuǎn)期合約沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)。4．允許現(xiàn)貨賣(mài)空。5．當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，市場(chǎng)參與者將參與套利活動(dòng)，從而使套利機(jī)會(huì)消失，我們得到的理論價(jià)格就是在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)下的均衡價(jià)格。6．期貨合約的保證金賬戶(hù)支付同樣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠(yuǎn)期和期貨的多頭或空頭地位。（一）基本的假設(shè)3.1.3基本的假設(shè)與符號(hào)本章將要用到的符號(hào)主要有：T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)間，單位為年。t：現(xiàn)在的時(shí)間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個(gè)日期開(kāi)始計(jì)算的，T-t代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期時(shí)間的剩余時(shí)間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T時(shí)的價(jià)格（在t時(shí)刻這個(gè)值是個(gè)未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時(shí)刻的價(jià)值，即t時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)值。（二）符號(hào)3.1.3基本的假設(shè)與符號(hào)本章將要用到的符號(hào)主要有：T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)間，單位為年。t：現(xiàn)在的時(shí)間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個(gè)日期開(kāi)始計(jì)算的，T-t代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期時(shí)間的剩余時(shí)間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T時(shí)的價(jià)格（在t時(shí)刻這個(gè)值是個(gè)未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時(shí)刻的價(jià)值，即t時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)值。（二）符號(hào)3.1.3基本的假設(shè)與符號(hào)F：t時(shí)刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價(jià)格和理論期貨價(jià)格，在本書(shū)中如無(wú)特別注明，我們分別簡(jiǎn)稱(chēng)為遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格。r：T時(shí)刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t時(shí)刻的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（年利率），在本書(shū)中，如無(wú)特別說(shuō)明，利率均為連續(xù)復(fù)利的年利率。（二）符號(hào)（續(xù)）第二節(jié)無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.2.1本章所用的定價(jià)方法為無(wú)套利定價(jià)法?；舅悸窞椋簶?gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進(jìn)行套利，眾多套利者這樣做的結(jié)果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價(jià)格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價(jià)格上升，直至套利機(jī)會(huì)消失，此時(shí)兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據(jù)兩種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系求出遠(yuǎn)期價(jià)格。16無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.2.117遠(yuǎn)期A價(jià)格：遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)價(jià)格為零的交割價(jià)格A:遠(yuǎn)期價(jià)格P1B:資產(chǎn)組合P3A:終值價(jià)值P2P1+ΔP=P2P2=P3根據(jù)無(wú)套利定價(jià)法，初值也應(yīng)該相等無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.2.1無(wú)收益資產(chǎn)：是指遠(yuǎn)期合約的標(biāo)的資產(chǎn)在從時(shí)刻t到遠(yuǎn)期合約到期時(shí)刻T之間不產(chǎn)生現(xiàn)金流收入。如貼現(xiàn)債券，在票面上不規(guī)定利率，發(fā)行時(shí)按某一折扣率，以低于票面金額的價(jià)格發(fā)行，到期時(shí)仍按照面額償還本金的債券。為了給無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)，我們構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金，K為遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約現(xiàn)金組合A標(biāo)的資產(chǎn)組合B18無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.2.1例如，為了給無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)，我們構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。19問(wèn)題：假設(shè)還存在第二種方法構(gòu)造組合A’和B’，那么這兩種方法得到的結(jié)果是否是唯一的？無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.2.1例如，為了給無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)，我們構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約現(xiàn)金組合A標(biāo)的資產(chǎn)組合B20

在組合A中，Ke-r（T－t）的現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，投資期為（T－t）。到T時(shí)刻，其金額將達(dá)到K。這是因?yàn)椋篕e-r（T－t）er（T－t）=K

在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，這筆現(xiàn)金剛好可用來(lái)交割換來(lái)一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時(shí)刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無(wú)套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時(shí)刻的價(jià)值必須相等。

即t時(shí)刻價(jià)值f：

f+Ke-r（T－t）=S

無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.2.121當(dāng)前價(jià)值價(jià)值改變量未來(lái)價(jià)值

在組合A中，Ke-r（T－t）的現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，投資期為（T－t）。到T時(shí)刻，其金額將達(dá)到K。這是因?yàn)椋篕e-r（T－t）er（T－t）=K

在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，這筆現(xiàn)金剛好可用來(lái)交割換來(lái)一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時(shí)刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無(wú)套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時(shí)刻的價(jià)值必須相等。

即t時(shí)刻價(jià)值f：

f+Ke-r（T－t）=S

f=S－Ke-r（T－t）

（3.1）

該公式表明，無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額?；蛘哒f(shuō),一單位無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭等價(jià)于一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和Ke-r（T－t）單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債的資產(chǎn)組合。

無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.2.122無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理3.2.2由于遠(yuǎn)期價(jià)格就是使遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的交割價(jià)格，即當(dāng)=0時(shí)，=。據(jù)此可令式（3.1）中的=0，則遠(yuǎn)期價(jià)格F：

(3.2)

這就是無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理（Spot-ForwardParityTheorem），或稱(chēng)現(xiàn)貨期貨平價(jià)定理（Spot-FuturesParityTheorem）。23為了證明無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理，我們用反證法證明等式不成立時(shí)的情形是不均衡的。若K>Ser（T－t），即交割價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。在這種情況下，套利者可以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r

借入S現(xiàn)金，期限為T(mén)－t。然后用S購(gòu)買(mǎi)一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣(mài)出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時(shí)刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來(lái)K現(xiàn)金，并歸還借款本息Ser（T－t），這就實(shí)現(xiàn)了

K－Ser（T－t）

的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。

無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理3.2.224若K<Ser（T－t），即交割價(jià)值小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。套利者就可進(jìn)行反向操作，即賣(mài)空標(biāo)的資產(chǎn)，將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，期限為T(mén)-t，同時(shí)買(mǎi)進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時(shí)刻，套利者收到投資本息Ser（T－t），并以K現(xiàn)金購(gòu)買(mǎi)一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣(mài)空時(shí)借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Ser（T－t）-K的利潤(rùn)。無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理3.2.225無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理3.2.226無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理3.2.227遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)3.2.3

遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。

設(shè)F為在T時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)*為在T*時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格,r為T(mén)時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,r*為T(mén)*時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)而言，從無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式可知,

兩式消除掉S后，（3.3）28遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)3.2.329基期價(jià)格當(dāng)期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率當(dāng)期時(shí)長(zhǎng)基期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率基期時(shí)長(zhǎng)遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)3.2.3

遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。

設(shè)F為在T時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)*為在T*時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格,r為T(mén)時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,r*為T(mén)*時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)而言，從無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式可知,

兩式消除掉S后，（3.3）30遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)3.2.331案例無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格期限結(jié)構(gòu)目前，3個(gè)月期和6個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為3.99%與4.17%。某支不支付紅利的股票3個(gè)月期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為20元，該股票6個(gè)月期的遠(yuǎn)期價(jià)格為？根據(jù)題意F=20,r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5可以得出6個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)該為：F*=F*er*(T*-t)-r(T-t)=20.22第三節(jié)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)32

支付已知現(xiàn)金收益的標(biāo)的資產(chǎn)是指在遠(yuǎn)期合約到期前會(huì)產(chǎn)生完全可預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流的資產(chǎn)，例如支付已知現(xiàn)金紅利的股票。

仍然采用無(wú)套利定價(jià)法給支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)。構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke–r(T-t)的現(xiàn)金。組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從當(dāng)前時(shí)刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.3.133組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。在組合B中，由于標(biāo)的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來(lái)償還負(fù)債的本息，因此在T時(shí)刻，該組合的價(jià)值也等于一單位標(biāo)的證券。因此，在t時(shí)刻，這兩個(gè)組合的價(jià)值應(yīng)相等，即

(3.4)從組合的角度考慮，式（3.4）說(shuō)明一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)和(I+Ke–r(T-t))單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債構(gòu)成。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值3.3.1343.3.135案例支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值目前，6個(gè)月期和1年期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為4.17%與4.11%。市場(chǎng)上一種10年期國(guó)債現(xiàn)貨價(jià)格為990元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為1001元，該債券在6個(gè)月和12個(gè)月后都將收到60元利息，且第二次付息在遠(yuǎn)期二月交割之前，求該合約的價(jià)值。根據(jù)題意，可以先算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值I=60*e-4.17%*0.5+60*e-4.11%*1=116.35進(jìn)一步可以得到遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值：f=S-I-Ke-r(T-t)=-87.04相應(yīng)的合約的價(jià)值為87.04.支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格3.3.2

令f=0,K=F,根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，我們可從式中求得：（3.5）這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式。式（3.5）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。36反證法：

假設(shè)，即交割價(jià)格高于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。則套利者可以進(jìn)行如下操作：以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入現(xiàn)金S買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)，并賣(mài)出一份交割價(jià)為K的遠(yuǎn)期合約，將在T-t期間從標(biāo)的資產(chǎn)獲得的現(xiàn)金收益以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸出至T時(shí)刻。這樣，到T時(shí)刻，套利者將標(biāo)的資產(chǎn)用于交割得到現(xiàn)金收入K，還本付息，同時(shí)得到的本利收入。最終套利者在T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。

支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格3.3.237如果，即交割價(jià)格低于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。則套利者可以進(jìn)行反向操作：借入標(biāo)的資產(chǎn)賣(mài)掉，得到現(xiàn)金收入S以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸出，同時(shí)買(mǎi)入一份交割價(jià)為K的遠(yuǎn)期合約。在T時(shí)刻，套利者可得到貸款本息收入，同時(shí)付出現(xiàn)金K換得一單位標(biāo)的證券，用于歸還標(biāo)的證券的原所有者，并把該標(biāo)的證券在T-t期間的現(xiàn)金收益的終值同時(shí)歸還原所有者。這樣，該套利者在T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。

支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格3.3.238支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格3.3.239案例支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價(jià)值假設(shè)黃金現(xiàn)價(jià)為每盎司733美元，其存儲(chǔ)成本為每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為4%。則一年期黃金期貨的理論價(jià)格為？F=(S-I)e-r(T-t)=(733-I)e4%*1

I=-2e-4%*1=-1.92F=764.91第四節(jié)支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)40為了給支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)，我們可以構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金；組合B：?jiǎn)挝蛔C券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。組合B由于獲得的紅利收入全部都再投資于該證券，擁有的證券數(shù)量隨著紅利的不斷發(fā)放而增加，所以在時(shí)刻T，正好擁有一單位標(biāo)的證券。支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)3.441因此在t時(shí)刻兩個(gè)組合的價(jià)值也應(yīng)相等，即：（3.6）根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，我們可根據(jù)式（3.6）算出支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格：（3.7）這就是支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式。式（3.7）表明，支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與已知收益率之差計(jì)算的現(xiàn)貨價(jià)格在T時(shí)刻的終值。支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)3.442支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)3.443案例

S&P500股指期貨定價(jià)

2007年9月20日，美元3個(gè)月期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為3.77%，S&P500指數(shù)預(yù)期紅利收益率為1.66%。當(dāng)S&P500指數(shù)為1518.75點(diǎn)時(shí)，2007年12月期到期的S&P500指數(shù)期貨SPZ07相應(yīng)的理論價(jià)格為多少？由于S&P500指數(shù)期貨總在到期月的第三個(gè)星期五到期，故此2007年9月20日距SPZ07期貨到期時(shí)間為3個(gè)月，，因此可以得到理論價(jià)格為：F=Se（r-q)(T-t)=1526.78第五節(jié)遠(yuǎn)期與期貨價(jià)格的一般結(jié)論44完美市場(chǎng)條件下的持有成本模型3.5.1注意，這里所謂的完美市場(chǎng)，就是我們?cè)诒菊碌谝还?jié)中所討論的基本假設(shè)成立的市場(chǎng)。從直覺(jué)上理解，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益，投資者A計(jì)劃出售一單位標(biāo)的資產(chǎn)，以下兩種方法應(yīng)該是等價(jià)的：1.在當(dāng)前t時(shí)刻賣(mài)出一份遠(yuǎn)期價(jià)格為F的遠(yuǎn)期合約，合約到T時(shí)刻交割必定能獲得F；2.在當(dāng)前t時(shí)刻立刻出售獲得S，并以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r貸出，這樣在T時(shí)刻可以獲得確定性收入。由于t時(shí)刻兩種投資的價(jià)值都為S，T時(shí)刻的兩種確定性收入應(yīng)相等：如果實(shí)際價(jià)格高于或低于上述理論價(jià)格F，市場(chǎng)上就存在套利機(jī)會(huì)。

45

我們可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念來(lái)概括遠(yuǎn)期價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系。持有成本的基本構(gòu)成如下：持有成本＝保存成本＋無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利息成本－標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益保存成本：標(biāo)的資產(chǎn)存儲(chǔ)過(guò)程中產(chǎn)生的成本。例如黃金和白銀等在存儲(chǔ)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生成本，通常是設(shè)了現(xiàn)貨價(jià)格的一個(gè)比例。

完美市場(chǎng)條件下的持有成本模型3.5.146舉例來(lái)說(shuō)，不支付紅利的股票沒(méi)有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r

；股票指數(shù)的資產(chǎn)紅利率為q，其持有成本就為r-q；貨幣的收益率為rf，所以其持有成本是r-rf；對(duì)黃金和白銀等投資性商品而言，若其存儲(chǔ)成本與現(xiàn)貨價(jià)格的比例為u，則其持有成本就為r＋u；依此類(lèi)推。所以，如果我們用c表示持有成本，遠(yuǎn)期價(jià)格就為:

（3.8）相應(yīng)地：（3.9）

完美市場(chǎng)條件下的持有成本模型3.5.147非完美市場(chǎng)條件下的遠(yuǎn)期定價(jià)3.5.2無(wú)收益資產(chǎn)：是指遠(yuǎn)期合約的標(biāo)的資產(chǎn)在從時(shí)刻t到遠(yuǎn)期合約到期時(shí)刻T之間不產(chǎn)生現(xiàn)金流收入。1.

存在交易成本的時(shí)候，假定每一筆交易的費(fèi)率為Y，那么不存在套利機(jī)會(huì)的遠(yuǎn)期價(jià)格就不再是確定的值，而是一個(gè)區(qū)間：

2.借貸存在利差的時(shí)候，如果用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，對(duì)非銀行的機(jī)構(gòu)和個(gè)人，一般是rb>rl。這時(shí)遠(yuǎn)期和期貨的價(jià)格區(qū)間為：

483.存在賣(mài)空限制的時(shí)候，因?yàn)橘u(mài)空會(huì)給經(jīng)紀(jì)人帶來(lái)很大風(fēng)險(xiǎn)，所以幾乎所有的經(jīng)紀(jì)人都會(huì)扣留賣(mài)空客戶(hù)的部分所得作為保證金。假設(shè)這一比例為X，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：

如果上述三種情況同時(shí)存在，遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：

完全市場(chǎng)可以看成是的特殊情況。非完美市場(chǎng)條件下的遠(yuǎn)期定價(jià)3.5.249消費(fèi)性資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)3.5.3本書(shū)的討論焦點(diǎn)是金融標(biāo)的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品，金融標(biāo)的資產(chǎn)屬于投資性資產(chǎn)。所謂投資性資產(chǎn)是指投資者主要出于投資目的而持有的資產(chǎn)，如股票、債券等金融資產(chǎn)和黃金、白銀等資產(chǎn)。－由于投資性資產(chǎn)的投資決策不受消費(fèi)等其他目的的影響，投資者所關(guān)注的是金融資產(chǎn)中所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)收益特征而非金融產(chǎn)品本身，因此標(biāo)的資產(chǎn)及其期貨之間存在高度的可替代性，只要相對(duì)價(jià)格水平不合理，投資者隨時(shí)可在這兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。所以，在這樣的市場(chǎng)上，只要沒(méi)有其他的制度制約套利行為，期貨的定價(jià)就成為一個(gè)純粹的風(fēng)險(xiǎn)收益問(wèn)題，相應(yīng)地?zé)o套利原則和持有成本模型就成為遠(yuǎn)期定價(jià)的基本原理。

50消費(fèi)性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費(fèi)目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對(duì)于消費(fèi)性資產(chǎn)來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)期定價(jià)公式不再適用，而是轉(zhuǎn)化為：原因在于消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)具有消費(fèi)價(jià)值，而遠(yuǎn)期卻無(wú)法即時(shí)消費(fèi)，消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)與其遠(yuǎn)期之間并不具有完全的可替代性。因此即使在遠(yuǎn)期價(jià)值相對(duì)偏低的時(shí)候投資者也不會(huì)輕易出售現(xiàn)貨，購(gòu)買(mǎi)遠(yuǎn)期，從而使得單純基于風(fēng)險(xiǎn)收益考慮的金融無(wú)套利原則不再完全有效。消費(fèi)性資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)3.5.351第六節(jié)遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系52同一時(shí)刻遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系3.6.1無(wú)套利條件下，。可以從三個(gè)角度分析F和S之間的關(guān)系：第一，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)沒(méi)有收益、已知現(xiàn)金收益較小、或已知收益率小于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格應(yīng)高于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)的已知現(xiàn)金收益較大或已知收益率大于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格應(yīng)小于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格。在遠(yuǎn)期（期貨）到期日，遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格將收斂于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格（這是套利行為決定的）。

53第二，標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)同一時(shí)刻的遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格起著重要的制約作用，正是這種制約關(guān)系決定了遠(yuǎn)期（期貨）是無(wú)法炒作的。但是，如果現(xiàn)貨市場(chǎng)規(guī)模不夠大，現(xiàn)貨價(jià)格無(wú)法形成對(duì)遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格的有效制約，遠(yuǎn)期（期貨）市場(chǎng)就遲早會(huì)因惡性投機(jī)而出問(wèn)題。

同一時(shí)刻遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系3.6.154第三，對(duì)式（3.8）進(jìn)行變換，可得在現(xiàn)實(shí)生活中，大量實(shí)證研究表明，在面臨新的市場(chǎng)信息沖擊時(shí)，投資者越來(lái)越多地先在遠(yuǎn)期（期貨）市場(chǎng)上進(jìn)行操作，使得新信息往往先在遠(yuǎn)期（期貨）市場(chǎng)上得到反映，然后才傳達(dá)至現(xiàn)貨市場(chǎng)，從而使得F反過(guò)來(lái)具有引領(lǐng)S價(jià)格變化的信號(hào)功能。當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格對(duì)當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格的這種引領(lǐng)作用也被稱(chēng)為遠(yuǎn)期（期貨）的“價(jià)格發(fā)現(xiàn)”