高二物理競賽剛體課件

第一篇

力學第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動RotatingofaRigidBodyAboutaFixedAxis第1節(jié)剛體的平動和轉(zhuǎn)動第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律第3節(jié)剛體轉(zhuǎn)動的功和能第4節(jié)剛體的角動量定理和角動量守恒定律第5節(jié)滾動與進動TranslationandRotationofaRigidBody第1節(jié)剛體的平動和轉(zhuǎn)動1.剛體（大小和形狀不能忽略）大小和形狀都保持不變的物體。剛體內(nèi)任意兩質(zhì)點之間的距離保持不變。剛體可看成是各質(zhì)點間相對位置保持不變的特殊的質(zhì)點系。關(guān)于質(zhì)點系的力學規(guī)律都可用于剛體。質(zhì)心ABA'B'A"B"選哪個點來代表？2.剛體的平動質(zhì)心

連接剛體內(nèi)任意兩點的一條直線在運動的各個時刻的位置都彼此平行。剛體的這種運動稱為平動。

剛體作平動時，其上各個質(zhì)點的運動狀態(tài)完全相同，故可用任意一點的運動代表剛體整體的運動。通常用質(zhì)心的運動來代表整個剛體的運動。平動質(zhì)心：質(zhì)量分布的中心質(zhì)心的位矢N個質(zhì)點質(zhì)量m1,m2,,mN定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心注意密度均勻，形狀對稱的剛體：或質(zhì)心重心?幾何對稱中心質(zhì)點系的總質(zhì)量質(zhì)點系對應(yīng)的位矢質(zhì)心運動定理質(zhì)心的速度：質(zhì)心的加速度：設(shè)mi受力則：對所有質(zhì)點求和：0——質(zhì)心運動定理即：剛體的平動如同一質(zhì)點，只是將質(zhì)量全部集中于該點（質(zhì)心）,承受的所有外力。注意：質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。啞鈴炮彈演示：錐體上滾3.剛體的轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述轉(zhuǎn)軸剛體轉(zhuǎn)軸上各點都保持靜止轉(zhuǎn)動：剛體各點都繞同一直線

(轉(zhuǎn)軸)

作圓周運動。最簡單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置和方向都固定不變的轉(zhuǎn)動，稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。在同一時間間隔內(nèi),各點的位移不同，速度不同；用角量來描述轉(zhuǎn)動規(guī)律較為方便。但對軸的轉(zhuǎn)角相同，角速度相同！(1)

角位置定軸轉(zhuǎn)動的運動方程(3)

角速度(4)

角加速度單位：q

：弧度(rad)w：弧度/秒(rad·s-1)b弧度/秒(rad·s-2)2：(2)

角位移描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動的物理量dtdq=22dtddtdqwb==w轉(zhuǎn)軸剛體qq參考方向xppqrqr定軸轉(zhuǎn)動中角量與線量的基本關(guān)系角量的方向：右手螺旋法則矢量式對于定軸轉(zhuǎn)動，始終沿轉(zhuǎn)軸。1.力矩（1）在垂直oo

的平面內(nèi)（2）不在垂直oo

的平面內(nèi)oo.P對剛體繞oo軸的轉(zhuǎn)動無貢獻

總可分解成兩個分量：計算時,只需考慮的力矩,即Mz.第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(參考點在轉(zhuǎn)軸上)oo.P在軸上任選參考點O,則任一質(zhì)元A對O的角動量為:質(zhì)點系的角動量定理:(Z軸)轉(zhuǎn)軸剛體2.定軸轉(zhuǎn)動定律

只有力矩的z向分量對定軸轉(zhuǎn)動有作用!故求此分量Mz的表達式:

——轉(zhuǎn)動慣量(Z軸)轉(zhuǎn)軸剛體將Mz改寫為M，則——定軸轉(zhuǎn)動定律將Lz改寫為L，則——對定軸的角動量——剛體對定軸(z軸)的轉(zhuǎn)動慣量

由剛體上各質(zhì)元相對于固定轉(zhuǎn)軸的分布決定，與外力無關(guān)，是表征剛體轉(zhuǎn)動慣性的特征量。與牛頓第二定律比較：Jmm反映質(zhì)點的平動慣性定軸轉(zhuǎn)動定律:J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性Jm剛體對定軸的角動量:3.轉(zhuǎn)動慣量的計算（1）分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)（2）質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)(如:剛體)Mrdm在SI制中，J的單位：kg·m2質(zhì)量元dm

的計算方法如下：質(zhì)量為線分布：質(zhì)量為面分布：質(zhì)量為體分布：線密度面密度體密度例1.

求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動

慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過環(huán)心。解：若是半徑為R的薄圓筒（不計厚度）結(jié)果如何？OdmOR在圓環(huán)上取質(zhì)量元dm結(jié)果形式不變例2.

求質(zhì)量為m,

半徑為R,厚為l

的均勻圓盤的

轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：lr取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),其質(zhì)量為：顯然：轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱（面）對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。例3.如圖所示,一個均勻半圓薄板的質(zhì)量為m,半徑為R.以其直徑邊為轉(zhuǎn)軸,它的轉(zhuǎn)動慣量多大？解:取窄條狀面元dS.設(shè)面密度為.dShdhd對應(yīng)的弧長為Rd?X例4.求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒

對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLo解：取如圖坐標dm=dx以質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸的J：可見：同一物體繞不同的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同！ABL/2L/2CXo以棒一端為轉(zhuǎn)軸的J：（3）平行軸定理

JC是通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，

JA是通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量

兩軸平行，相距L/2。上述結(jié)論可以推廣：——平行軸定理

若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行,相距為d,剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：ABLC231mLJA=2121mLJC=一些常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：細棒細棒薄圓環(huán)或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體4.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用長的易控些，理由見下頁

長桿哪個易控些？為什么？短鉛筆小實驗小實驗竿子長些還是短些安全？例:已知qqmB()A()LmLL2LOOq

從小傾角處靜止釋放兩勻直細桿地面短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)求兩者瞬時角加速度之比bb1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122b根據(jù)MJbbMJJM解：例5.一根長為L、質(zhì)量為m的均勻細直棒,其一端

有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平

面內(nèi)轉(zhuǎn)動。

最初棒靜止在水平位置，

求它由此下擺角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O

的力矩。XOgdmdmxmmmgC合力矩：

棒上取質(zhì)元dm,當棒處在

下擺角時,重力矩為：重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。XOgdmdmxmgC又：即：mgCXOxc例6.質(zhì)量為m、長為L的勻質(zhì)細桿水平放置,一端為鉸鏈，另一端用繩懸掛。求剪斷繩子瞬時,桿的角加速度以及鉸鏈的支撐力。.解：剪斷時細桿繞O點的力矩為o根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律質(zhì)心平動：例7.

在半徑為R,質(zhì)量為m，J=mR2的滑輪上掛一細繩，細繩兩端各掛兩物m1>m2。m2m1解：m1、m2作為質(zhì)點處理滑輪作剛體處理,m1gT1m2gT2T1T2根據(jù)牛頓定律：y由定軸轉(zhuǎn)動定律：聯(lián)立解得：

求:兩物的加速度a及滑輪的角加速度.動畫第3節(jié)剛體轉(zhuǎn)動的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.剛體的轉(zhuǎn)動動能wOviviri

mi多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系的動能定義為:所以，轉(zhuǎn)動的剛體的動能為:2.力矩的功力在這段元位移中所做的功是:即:力對轉(zhuǎn)動剛體所做的功用力矩的功來計算!所以，3.

剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能定理在剛體的轉(zhuǎn)動過程中,合外力矩M對剛體所做的功為:即：

合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量——剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能定理4.剛體的重力勢能yhihcxOMCmi質(zhì)元mi的勢能：整個剛體的勢能：剛體的重力勢能5.機械能守恒定律

對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運動過程中只有保守內(nèi)力做功,則此系統(tǒng)的機械能守恒。它的全部質(zhì)量都集中

在質(zhì)心時所具有的勢能XOmgC例10.一根長為L,質(zhì)量為m的均勻細直棒,一端有一

固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)

動。

最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時的角加速度和角速度。解：（用機械能守恒定律重解P20例5)在棒擺動過程中系統(tǒng)的機械能守恒。設(shè)棒在水平位置時重力勢能為零，由機械能守恒知:與前面解得的結(jié)果一致!1.剛體的角動量剛體上的任一質(zhì)元繞固定軸做圓周運動時相對于轉(zhuǎn)軸上任意一點O的角動量在軸上的分量的大小均為：故，剛體對此軸的角動量為：即：剛體對定軸的角動量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動

慣量J和角速度的乘積。簡寫為：第4節(jié)剛體的角動量定理和角動量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis質(zhì)點的角動量定理為對質(zhì)點系任意一質(zhì)點定軸方向0對質(zhì)點系:由上可得：定軸轉(zhuǎn)動定律——剛體繞定軸的角動量定理2.

剛體繞定軸的角動量定理內(nèi)外J不變J變化合外力矩M

對剛體繞定軸的沖量矩為：即:對某一定軸的外力矩在某段時間內(nèi)的累積效果為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。(微分形式)剛體繞定軸的角動量定理：(積分形式)簡寫為當合外力矩則——角動量守恒討論（1）當L=常量，若J=常量，則

=常量，即：剛體保持恒定的角速度轉(zhuǎn)動。當L=常量，若J常量，J=常量，則

常量?；騄（2）此定律可推廣到含多個質(zhì)點、多個剛體的系統(tǒng)3.

角動量守恒定律旋轉(zhuǎn)演示：直升機模型演示：離心節(jié)速器例11.

如圖，質(zhì)量為

M

半徑為

R

的轉(zhuǎn)臺初始角速度為0,有一質(zhì)量為m

的人站在轉(zhuǎn)臺的中心,若他相對于轉(zhuǎn)臺以恒定的速度u沿半徑向邊緣走去,求人走了t

時間后,轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度。（豎直軸所受摩擦阻力矩不計）解：人與轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)對軸角動量守恒設(shè)t

時刻人走到距轉(zhuǎn)臺中心r=ut

處，轉(zhuǎn)臺的角速度為

.OOuvmm碰前碰后例12.勻質(zhì)細棒質(zhì)量為m,長為2l,可在鉛直平面內(nèi)繞通過其中心的水平軸O自由轉(zhuǎn)動.開始時棒靜止于水平位置,一質(zhì)量為m'的小球,以速度u垂直落到棒的端點,且與棒作彈性碰撞,

碰撞時間極短.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球為系統(tǒng).在碰撞過程中,對軸O的外力矩只有小球的重力矩mgl.因碰撞時間極短,此重力矩對時間的累積可忽略不計.

于是,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸O的角動量守恒:以順時針轉(zhuǎn)動時的角動量方向為正,則由角動量守恒得:因作彈性碰撞,故在碰撞過程中機械能守恒:

于是,系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸O的角動量守恒OOuvmm碰前碰后由(1)(2)解得:m(黏土塊)yxhPθOM光滑軸勻質(zhì)圓盤（水平）R例13.如圖示，一黏土塊從高處落下打到一剛體圓盤上，與圓盤一起運動，接觸點為P，圓盤可繞過中心垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。已知：h，R，M=2m，=60.求：碰撞的瞬間盤的

P點轉(zhuǎn)到x軸時,盤的解：m由靜止下落：(1)mPhv

對(m+盤)系統(tǒng),碰撞中重力對O軸力矩可忽略,系統(tǒng)角動量守恒：(2)小球?qū)ΧㄝS的角動量的大?。?3)對（m+M+地球）系統(tǒng)，mmg·OMR令P與x軸重合時EP=0，則：(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：(4)只有重力做功，機械能守恒.(1)(2)例14、一人手持長為的輕棒的一端打擊巖石，使棒由運動變?yōu)殪o止，為了避免手受到劇烈的沖擊。請問：此人應(yīng)當用棒的哪一點去打擊巖石才會受力最??？解：打擊前，棒的運動可看成繞手握端的定軸轉(zhuǎn)動，為滿足打擊時手受力最小，即手受力為零。于是打擊過程中棒只受巖石的反作用力，該力使棒的質(zhì)心速度降為零，棒的轉(zhuǎn)動速度也降為零。設(shè)打擊時間為，打擊點與手握端的距離為（動量定理）（角動量定理）解得：剛體的非定軸的運動1.滾動S=2RAcccRAA0可看成軸平動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動合成運動方程質(zhì)心平動定軸轉(zhuǎn)動注意：10角量是對質(zhì)心而言的，可以證明：b=w=RaRvcc30S=R20切點的速度v0=0

！是瞬時靜止的。這個點稱為瞬心。2.進動：陀螺在繞本身的對稱軸線轉(zhuǎn)動的同時，對稱軸還將繞豎直軸OZ轉(zhuǎn)動,這種回轉(zhuǎn)現(xiàn)象稱為進動。進動產(chǎn)生的原因：重力對O點的力矩為，的方向：的方向與一致L