2020高考數(shù)學(xué)專題練習(xí)外接球

2020高考數(shù)學(xué)專題練習(xí)外接球1．正棱柱，長(zhǎng)方體的外接球球心是其中心例1：已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）D.32nA.16nB.20nCD.32n2．補(bǔ)形法（補(bǔ)成長(zhǎng)方體）C圖1cCBa圖2cCaB圖3POc圖4C圖1cCBa圖2cCaB圖3POc圖4例2:若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為,則其外接球的表面積是3.依據(jù)垂直關(guān)系找球心例3:已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面△ABC滿足32D.寸BA=BC=46，ZABC=n，若該三棱錐體積的最大值為32D.寸A.8nB.16nC.n3一、單選題i?棱長(zhǎng)分別為2、、':5的長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（）

A.4nA.4nC.24nD.48n2?設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為2.3，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A.12nB.28nC.44nD.60n3?把邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使得平面ABC丄平面ADC，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為（）A.32nB.27nC.18nD.9n4．某幾何體是由兩個(gè)同底面的三棱錐組成，其三視圖如下圖所示，則該幾何體外接球的面積為（）A.a2nA.a2nB.2a2nC.3a2nD.4a2n5?三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB丄平面BCD,BC=BD=2,AB=2CD=4—3，則球O的表面積為（）A.16nBA.16nB.32nC.60nD.64n6?如圖ABCD-ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方體，S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S,1111A，B，C，D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）1111

A．9nB.25n16C.49n16A．9nB.25n16C.49n16D.81n16167?已知球O的半徑為R,A,B,C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為2R，AB二AC二2，ZBAC二120。，則球°的表面積為（）A.16n9BA.16n9B.16nC.64nD.64n38?已知正四棱錐P-ABCD（底面四邊形ABCD是正方形，頂點(diǎn)P在底面的射影是底面的中心）的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為、而，若該正四棱錐的體積為50，則此3球的體積為（）A.A.18nB.8=6C.36nD.32*3n如圖，在△ABC中，AB=BC=、拓,ZABC=90。，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC二PD，連接PC，得到三棱錐P-BCD?若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）A.7nB則該球的表面積是（）A.7nB.5nC.3nD.n四面體A—BCD中，ZABC=ZABD=ZCBD=60。,AB=3,CB=DB=2，則此四面體外接球的表面積為（）A．19nA．19n219\嬴24C.17n將邊長(zhǎng)為2的正△ABC沿著高AD折起，使ZBDC=120。,若折起后A、B、C、D四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A.DA.D．n3在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.43而兀2443v43nA.43而兀2443v43n6C.43nD.43n二、填空題TOC\o"1-5"\h\z棱長(zhǎng)均為6的直三棱柱的外接球的表面積是.已知棱長(zhǎng)都相等正四棱錐的側(cè)面積為16運(yùn),則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為■15?已知三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為73，AB=2,AC二1,ZBAC二60。，則此球的表面積等于?16.在三棱錐A—BCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB丄BD，則|三棱錐A—BCD外接球的體積的最小值為.1．正棱柱，長(zhǎng)方體的外接球球心是其中心例1：已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A.16nB.20nC.24nD.32n【答案】C【解析】V=a2h=16,a=2,4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24,S=24n,故選C.補(bǔ)形法（補(bǔ)成長(zhǎng)方體）例2:若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為I3，則其外接球的表面積是【答案】9n【解析】4R2=3+3+3=9，S=4nR2=9n.依據(jù)垂直關(guān)系找球心例3:已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面△ABC滿足BA=BC=屈，ZABC=2，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（）A.8nb.16nC.nD.n33【答案】D【解析】因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以外接球的半徑是r=丄"12二方，設(shè)外接球2的半徑是R，球心O到該底面的距離d，如圖，則S=x6=3，BD=\-'3，由題設(shè)△ABC2V=—Sh=x6h=3，3△ABC6最大體積對(duì)應(yīng)的高為SD=h=3，故r2=d2+3，即R2=（3-R）2+3，解之得R=2,所以外接球的體積是4nR3=迺，故答案為D.33一、單選題?棱長(zhǎng)分別為2、占、后的長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（）

A.4nA.4nC.24nD.48n【答案】B【解析】殳長(zhǎng)方體的外接球半徑為R,由題意可知：（2R1=22+（：3）+（：5，則：R2=3,該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為S=4nR2=4nx3=12n.本題選擇B選項(xiàng).2?設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為2（3，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A.12nB.28nC.44nD.60n【答案】B【解析】設(shè)底面三角形的外接圓半徑為r，由正弦定理可得：2r=2^，則r=2，sin60。設(shè)外接球半徑為R，結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑R2=C'3）+22=7，外接球的表面積S=4nR2=28n.本題選擇B選項(xiàng).3?把邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使得平面ABC丄平面ADC，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為（）A.32nB.27nC.18nD.9n【答案】C【解析】把邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使得平面ABC丄平面ADC，則三棱錐D-ABC的外接球直徑為AC=3邁，外接球的表面積為4nR2=18n，故選C.某幾何體是由兩個(gè)同底面的三棱錐組成，其三視圖如下圖所示，則該幾何體外接球的面

積為（）A.a2n積為（）A.a2nB.2a2nC.3a2nD.4a2n【答案】C【解析】由題可知，該幾何體是由同底面不同棱的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成，其中底面是棱長(zhǎng)為f2a的正三角形，一個(gè)是三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐，另一個(gè)是棱長(zhǎng)為的正四面體，如圖所示：該幾何體的外接球與棱長(zhǎng)為的正方體的外接球相同，因此外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線’所以2R=^a2+a該幾何體的外接球與棱長(zhǎng)為的正方體的外接球相同，因此外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線’所以2R=^a2+a2+a2所以該幾何體外接球面積A2S=4nR2=4nx=3a2n，故選C.?三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB丄平面BCD,BC=BD=2,AB=2CD=4/3，則球O的表面積為（）A.16nBA.16nB.32nC.60nD.64n答案】D【解析】因?yàn)锽C【解析】因?yàn)锽C=BD=2,CD=2込所以cosZCBD=22+22-.??ZCBD=2n因此三角形BCD外接圓半徑為i—CD=2,sinZCBDAB2設(shè)外接球半徑為R，則R2=22+——=4+12=16，.??S=4nR2=64n，故選D.I2丿?如圖ABCD-A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方體，S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S,片，B],q,￡在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）片，B],q,￡在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．9n16254981B?nC?nD?—n161616答案】D【解析】如圖所示，連結(jié)【解析】如圖所示，連結(jié)AU，Bp，交點(diǎn)為M，連結(jié)SM,易知球心O在直線SM上，設(shè)球的半徑R=OS=x,在RtAOMB］中，由勾股定理有:即：(2即：(2-x》+]￥=x123，解得:9x=，則該球的表面積8(9\(9\2S=4nR2=4nx-18丿81n16本題選擇D選項(xiàng).7-已知球0的半徑為R‘A，‘C三點(diǎn)在球0的球面上球心0到平面ABC的距離為2r‘AB=AC=2，ZBAC=120。，則球O的表面積為（）A．16n9BA．16n9B.16nC.64nD.64n【答案】D【解析】由余弦定理得：BC=“4+4—2x2x2cosl20。=2^3，設(shè)三角ABC外接圓半徑為r，由正弦定理可得：=2r，則r=2，sin120。

如圖，設(shè)正方形ABCD的中點(diǎn)為E，正四棱錐P-ABCD的外接球心為O,底面正方形的邊長(zhǎng)為、：10,EA=.5,t正四棱錐的體積為50，.V=1xC10）xPE=50，3P-ABCD33貝PE二5，.OE=|5-R，球3在△AOE中由勾股定理可得：（5-R2+5=R2，解得R二3,.V、=4nR3=36n，故選球39.如圖，在△ABC中，AB=BC二<6,ZABC=90。，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC二PD，連接PC，得到三棱錐P-BCD?若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，貝該球的表面積是（）A.7nA.7nB.5nC.3n【答案】A【解析】由題意得該三棱錐的面PCD是邊長(zhǎng)為再的正三角形，且BD丄平面PCD，

設(shè)三棱錐P-BDC外接球的球心為O,△PCD外接圓的圓心為O］，則OO］丄面PCD，?四邊形OO］DB為直角梯形,由BD=、疔，O］D=］，及OB=OD，得OB=￥，?外接球半徑為R=￥7??該球的表面積S=4nR2=4nx=7n.故選A.4CB=DB=2，則此四面10.四面體A—BCD中，ZABC=ZABD=/CBD=60。CB=DB=2，則此四面體外接球的表面積為（）A.19nA.19n2口l"38nB.24C.17n【答案】A解析】解析】?-△BCD的外接圓半徑r=互=BE，F(xiàn)E=^33■/ZABC=ZABD=60。，可得AD=AC二訂，可得AF二厲，二AF丄FB，二AF丄BCD,??四面體A—BCD咼為AF=、［6.設(shè)外接球R，O為球心，OE=m，可得：r2+m2=R2……①,C6一兀）+EF2=R2②由①②解得：四面體外接球的表面積：S=4n由①②解得：四面體外接球的表面積：S=4nR2=19n?2故選A．11?將邊長(zhǎng)為2的正△ABC沿著高AD折起，使ZBDC=120。，若折起后A、B、C、D四點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\z都在球O的表面上，則球O的表面積為（）1313A.—nB.7nC.—nD.—n223【答案】B【解析】ABCD中，BD=1,CD=1,ZBDC=120。,底面三角形的底面外接圓圓心為M，半徑為r，由余弦定理得到BC二込，再由正弦定理得到_=2rnr=1，sin120。見圖示：AD是球的弦，DA仝，將底面的圓心M平行于AD豎直向上提起，提起到AD的高度的一半，即為球心的位置°，二OM二亙，在直角三角形OMD中，應(yīng)用勾股定理得到OD,2OD即為球的半徑.???球的半徑OD；1+3=''7.該球的表面積為4nxOD2=7n；故選B.4212?在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為（）22A．43、五2443j43n6CA．43、五2443j43n6C．43nD.43n【解析】分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F，連接相應(yīng)的線段CE,ED,EF,由條件，AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC與△ADB，都是等腰三角形，AB丄平面ECD，二AB丄EF，同理CD丄EF，二EF是AB與CD的公垂線,球心G在EF上，推導(dǎo)出AAGB^ACGD，可以證明G為EF中點(diǎn)，DE八25—9=4,DF二3,EF=<16-9=萬(wàn),斗，球半徑DG=2故選D.二外接球的表面積為S=4nXDG斗，球半徑DG=2故選D.二、填空題棱長(zhǎng)均為6的直三棱柱的外接球的表面積是.【答案】84n【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為r=-x—=-x皂=2翻,2sin60°2侖則外接球的半徑R：32+G汀*9+12*21,則外接球的表面積為S=4nR2=4nx21=84n.已知棱長(zhǎng)都相等正四棱錐的側(cè)面積為1673，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為【答案】（32-16叮3）n（rS_【解析】設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為a，則4—a2=16石，解得a=4.其中MN=4,PM=PN=2、豆PE=2、遼.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由APFO=△PEN，得巴=PO，即r=2<2-r,ENPN22典解得r==76—\2，V3+1二內(nèi)切球的表面積為S=4nr2=4n('6—<2)=^32—16f3)n.已知三棱柱ABC—A1BQ的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為73,AB=2,AC=1,ABAC=60。，則此球的表面積等于.【答案】8n【解析】???三棱柱ABC-A1BC1的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為73,AB=2,AC=1,ZBAC-60°,2x2x1xsin60oxAA^=-/3,AA]=2,?:BC2=AB2+AC2—2AB-ACcos60°=4+1-2,BC=\3,設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則=2r,.r=1,sin60°???外接球的半徑為*1+1=遼，二球的表面積等于4nx(込1=8n?故答案為8n.16.在三棱錐A—BCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB丄BD，則三棱錐A—BCD外接球的體積的最小值為.