曾謹(jǐn)言量子力學(xué)教程第3版考研練習(xí)題

1練習(xí)題一、選擇題光子和電子的波長都為5.0多少?（）[中南大學(xué)2009研]A．1B．3×1010C．3.3×10-11D．8.7×10-21【答案】A【解析】由德布羅意波長公式,波長相同則二者動量大小必定同，選A?？紤]如圖的電子干涉實驗，電子從距屏為L有兩個特別窄的狹縫（縫寬為電子的德布羅意波長數(shù)量級），觀察干涉圖樣的探測器置于屏的另一側(cè)L處．如果電子槍向上移動（沿y方向）離d，則干涉圖樣（）。[中南大學(xué)2009研]圖1-1A．向上移動距離dB．向下移動距離dC．向上移動距離d／2D．向下移動距離d／2【答案】B【解析】分析未移動前位于屏幕正中間的點，令偏上的光線為a，偏下的光線為b，未移動前，a和b的光程相等，電子槍上移后，a在狹縫左邊光程減小，b在狹縫右邊光程增加，為保證a和b光程再次相等，應(yīng)該使a在狹縫右邊光程相對于b在狹縫右邊光程增加，于是干涉圖樣只能下移．再考慮到狹縫與電子槍和屏幕距離相等，于是整個裝置具有對稱性，為保證a和b的光程相等，干涉圖樣只能向下移動距離d．上題中，如果電子槍開始以較太的能量向屏發(fā)射電子，則（ ）。[中南大學(xué)2009研]A．干涉圖樣中相鄰最大值之間的距離減小B．干涉圖樣向上移動C．干涉圖樣變藍(lán)D．干涉圖樣消失【答案】A解析】A項，由德布羅意波長公以及 可知，當(dāng)量E增加后，動量p增加，導(dǎo)致電子的德布羅意波減小，而干涉紋間距，因而增加電子能量將導(dǎo)致干涉條紋間距減小．B項，電C子能量增加并不會改變屏的特征光譜，不會變藍(lán)．D項，題中提到狹縫間距尺寸在德布羅意波長數(shù)量級，在電子能量變化不是很大時，電子波長應(yīng)該仍與狹縫間距相當(dāng)，干涉圖樣不會消失．題2中，如果兩縫之間距離加倍，則干涉圖樣中相鄰最大值之距離（ ）。[中南大學(xué)2009研]加倍為原來的四倍CD．不變【答案】C【解析】設(shè)狹縫間距為d，則由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距，則顯然當(dāng)d加倍時，必定導(dǎo)致條紋間距變?yōu)樵瓉淼亩种?。題2中，如果每個縫寬度加倍．則干涉圖樣中相鄰最大值之間離（ ）。[中南大學(xué)2009研]加倍為原來的四倍CD．不變【答案】D【解析】設(shè)狹縫間距為d，則由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距，則顯然條紋間距與縫的寬度無關(guān)，即條紋間距不變。題2中，如果只有一個縫的寬度加倍（原來兩縫寬度相同），則（ ）。[中南大學(xué)2009研A．干涉圖樣消失B．干涉圖樣中相鄰最大值之間距離改變C．干涉圖樣向變寬狹縫移動D．干涉圖樣的最大強度與最小強度之差減小【答案】D【解析】A項，縫寬度的變化并不會影響產(chǎn)生干涉圖樣的條件——BC項，縫寬度變化也不會影響光程，干涉圖樣位置也不會因此發(fā)生變化．D項，只改變一個縫的寬度將導(dǎo)致從縫射出的兩列光波振幅不同，因而最小強度無法變?yōu)?，最終導(dǎo)致干涉圖樣的最大強度與最小強度之差減小．題2中，如果探測器置于某一狹縫的旁邊，由此可確定某一電是否通過該狹縫，則（ ）。[中南大學(xué)2009研]A．干涉圖樣向裝探測器的狹縫移動BC．干涉圖樣消失【答案】C【解析】由題意，通過該狹縫的電子位置將會由于測不準(zhǔn)原理導(dǎo)致光子動量不確定，以至于電子波長和頻率會受到極大干擾，從狹射出的光波將不再是相干光，而干涉圖樣產(chǎn)生的重要條件之一就是參與干涉的光必須是相干光，因而干涉圖樣消失．二、填空題普朗克的量子假說揭示了微觀粒子 特性，愛因斯坦的量子假說揭示了光的 性。[中南大學(xué)2010研]【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克為解釋黑體輻射規(guī)律而提出量子假說，愛因坦后來將此應(yīng)用到了光電效應(yīng)上，并因此獲得諾貝爾獎，二人為解釋微觀粒子的波粒二象性作出了重大貢獻，這位量子力學(xué)的誕生奠定了基礎(chǔ)．對一個量子體系進行某一物理量的測量時，所得到的測量值肯定是 當(dāng)中的某一個，測量結(jié)果一般來說是不確定的．除非體系于 。[中南大學(xué)2010研]【答案】本征值；定態(tài)【解析】物理量的測量值應(yīng)該對應(yīng)其本征值，對于非定態(tài)，由于它是各個本征態(tài)的混合態(tài)，這就導(dǎo)致物理量的測量值可以是它的各個本征值，測得各個本征值滿足一定概率分布，只有當(dāng)體系處于定態(tài)，即位于該物理量對應(yīng)的本征態(tài)，測得值才有可能為確定值．三、簡答題什么是定態(tài)？若系統(tǒng)的波函數(shù)的形式為，問Ψ（x，t）是否處于定態(tài)？[湖南大學(xué)2009研]答：體系能量有確定的不隨時間變化的狀態(tài)叫定態(tài)，定態(tài)的概率密度和概率流密度均不隨時間變化．不是，體系能量有E和-E兩個值，體系能量滿足一定概率分布而并非確定值．及其理由。[南京大學(xué)2009研]答：量子態(tài)的疊加原理：若 為粒子可能處于的態(tài)，那這些態(tài)的任意線性組合仍然為粒子可能處于的態(tài)．疊加系數(shù)不依賴于時空變量．因為量子態(tài)的疊加原理已經(jīng)明確說明了是任意線性組合，即表明了疊加系數(shù)不依賴于任何變量。四、計算題設(shè)一維諧振子的初態(tài)為即基態(tài)與第一激發(fā)疊加，其中θ為實參數(shù)。求t時刻的波函數(shù)ψ(x，t)。求t時刻處于基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的概率。-ψ(x，t)所需的最短時間tmin。[中科院2010研]解：（1）一維諧振子定態(tài)能量和波函數(shù)：任意時刻t的波函數(shù)可表示為已知t=0時刻的波函數(shù)是由得， ，n=0,1的本征態(tài)的相應(yīng)能量分別為：則任意時刻t的波函數(shù)可以表示為．t時刻處于基態(tài)的幾率為，處于第一激發(fā)態(tài)的幾．設(shè) 時刻粒子的波函數(shù)是，即可得，解得所以當(dāng)n=1時有最小時間，即 ．2練習(xí)題一、選擇題一維自由電子被限制在x和x+Δx處兩個不可穿透壁之間，Δx=0.5埃，如果E0是電子最低能態(tài)的能量，則電子的較高一級能態(tài)的能量是少？（ ）[中南大學(xué)2009研]2E0B．3E0C．4E0【答案】C【解析】一維無限深方勢阱中能級公式為，則可知，較級能量與基態(tài)能量比值為，由題意，基態(tài)能量為，則第一激發(fā)態(tài)能量為二、填空題自由粒子被限制在x和x＋1理．如果沒有給出其他資料，則粒子在x和x＋1／3之間的概率是 。[中南大學(xué)2010研A．025B．033C．011D．067【答案】B【解析】按照經(jīng)典力學(xué)，粒子處于空間的概率密度為常數(shù)，故概率與體積成正比，即所求概率為上題中，按照量子力學(xué)．處于最低能態(tài)的粒子在x和x+l/3之間被找到的概率是 A．019B．072C．033D．050【答案】A

。[中南大學(xué)2010研]【解析】取x所求概率即三、計算題在一維情況下，若用Pab（t）表示時刻t在a＜x＜b子的幾率．從薛定諤方程出發(fā)，證明其中J（x,t）是幾率流密度．對于定態(tài)，證明幾率流密度與時間無關(guān)．[華南理工大2009研設(shè)t時刻粒子的波函，波函數(shù)滿足薛定諤方程：對（1）兩端取復(fù)共軛得，（2）做運算得上式兩邊同除以移項得，則幾率流密度公式為，上式可表示為 ，兩端積分得：又由于t時刻在區(qū)間（a，b）內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為：代入上式可得，（b）對于定態(tài)波函數(shù)，代入幾率流密度方可得，是一個與t無關(guān)的量，故定態(tài)的幾率流密度與時間無關(guān)．是線性諧振子的本征波函數(shù)，并此本征態(tài)對應(yīng)的本征能量．式中A為歸一化常數(shù)[華南理工大2009研]解：已知線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)和本征能量為，，本題中波函數(shù)本題中波函數(shù)所以 是線性諧振子的本征波函數(shù)，對應(yīng)量子數(shù)n=2，因此容易得到其，本征能量為質(zhì)量為m的粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出哈密頓算符，求解定態(tài)薛定諤方程．當(dāng)粒子處于狀態(tài)ψ（x）=ψ2（x）時，求測量粒子能量時的可能取得及相應(yīng)的概率．其中ψ1（x）和ψ2（x）第一激發(fā)態(tài)．若上式的ψ（x）是t=0的波函數(shù)．[華南理工大學(xué)2010研]解：（a）如圖建立坐標(biāo)系，圖2-1設(shè)，哈密頓算符波函數(shù)滿足薛定諤方程當(dāng)時，當(dāng)時，令，則的通解可表示為利用邊界條件得， 由歸一化可解得，定態(tài)薛定諤方程的解為對應(yīng)的定態(tài)能量為當(dāng)粒子處于態(tài)時，能量的可能值及幾率為：幾率1/4；幾率3/4任意時刻t的波函數(shù)可以表示為下面形式，其中，在此題中，故任意時刻t的波函數(shù)，其中粒子的一維運動滿足薛定諤方程： ．若ψ1（x，t）和ψ2（x，t）與時間無關(guān)．若勢能V不顯含時間t程，并寫出含時薛定諤方程的通解形式．[華南理工大學(xué)2011研]解：證：取式（1）之復(fù)共軛，得即=0所以與時間無關(guān)．設(shè)代入薛定諤方程，分離變量后，得E為既不依賴t，也不依賴r的常數(shù)．這樣，所以因此，通解可以表示為其中，是滿足不含時的薛定諤方程勢阱：V（x）=－V0[δ（x+a）+δ（x－a）]，其中V0＞0，a＞0．推導(dǎo)在x=a處波函數(shù)的連接條件．對于偶宇稱的解，即ψ（－x）=ψ（x），滿足的方程，并用圖解法說明本征值的數(shù)目．[華南理工大學(xué)2011研]解：（1）薛定諤方程可表示為為方程的奇點，在x=a對上述方程積分得出（2）由題意知當(dāng)x＞a時，因此解為當(dāng)-a＜x＜a時， 因此解為結(jié)合x=a處的邊界條件和此處的波函數(shù)連續(xù)條件，可得化去A，C后可得，此即能量本征值所要滿足的方程．圖2-2所以滿足此方程的本征值只有一個．驗證球面波滿足自由粒子的薛定諤方程：（注：，其中代表僅與角度有關(guān)的微分算符）[2008研]解：故（1）則故 （2）=E （3）由（1）（2）（3）式可得，此所需證明方程.一粒子在一維無限深勢阱中運動，求粒子的能和對應(yīng)的波函數(shù)．[湖南大學(xué)2009研]解：由一維定態(tài)薛定諤方程有又在邊界處應(yīng)該滿足連續(xù)條件故，0＜x＜2a由歸一化條件有故對應(yīng)能量為設(shè)一維簡諧振子的初始（t=0）波函數(shù)為其中φn（x）為簡諧振子的三個（n=0，1，2）最低能量的定態(tài)波函數(shù)．試求系數(shù)A=?t時刻的波函數(shù)φ（x，t）；t時刻的能量平均值．[南京大學(xué)2009研解：（1）由波函數(shù)的正交歸一化條件有故.（2）一維諧振子能量為故t時刻波函數(shù)為.（3）各自對應(yīng)概率為， ，t時刻粒子能量平均值為.設(shè)無外勢場時，質(zhì)量為μ能量為E＞0寫．試導(dǎo)出決定S波（l=0）波函數(shù)的常微分方程；求出所有S波的球面波波函數(shù)；計算對應(yīng)于S波解的速度流矢量并作出圖示．[南京大學(xué)2009研]解：（1）無外勢場可看做有心勢場的特殊情況。則粒子在球坐標(biāo)系中薛定諤方程為在s波情況下，l=0,,令，則.（2），故對應(yīng)波函數(shù)為其中A為歸一化系數(shù)．（3）概率概率流密度公式為球坐標(biāo)系中明顯與角度無關(guān)，故對應(yīng)概率流密度的三個分量為而 ,故 ，同理.設(shè)粒子從x=-∞入射，進入一維階躍勢場：當(dāng)x＜0時，V（x）=0；而當(dāng)x＞0時，V（x）=V0（V0＞0）．如果粒子能量E＞V0，試寫出波動方程式并求解；求透射系數(shù)；求反射系數(shù)并求與透射系數(shù)之和．[南京大學(xué)2009研解：（1）粒子波動方程為令則方程的解為，其中第一部分為入射波，第二部分為反射波，此即透射波函數(shù)．由波函數(shù)連續(xù)及波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)有，即解得則波函數(shù)為 ，其中.由概率流密度公式可知入射波函數(shù)概率流密度為反射波函數(shù)概率流密度為透射波函數(shù)概率流密度為透射系數(shù)即.顯然R+T=1.一質(zhì)量為m的粒子，可在寬為at=0的初始時刻其波函數(shù)為其中A為實常數(shù)．求A使ψ（x，0）滿足歸一化條件．如果進行能量測量，則能得到哪些能量值?的概率又是多少?再計算能量的平均值?求t時刻的波函數(shù)ψ（x，t）．[中南大學(xué)2010研]解（1）無限深方勢阱中粒子的本征波函數(shù)為初始時刻波函數(shù)可化為由歸一化條件有解得A=.無限深方勢阱中粒子的本征能量為.故粒子可能測能量即測得能量的平均值為.t時刻波函數(shù)為.3練習(xí)題一、選擇題量子諧振子的能量是（ ）[中南大學(xué)2010研A．En＝hω（n＋1/2）En＝?ω（n＋1/2）C．En＝hv（n＋1/2）D．En＝?v（n＋1/2）【答案】A【解析】由于諧振子的哈密頓算符為,而 本征值為于是諧振子能量為．下面關(guān)于厄米算符的定義式中．正確的為（ ）[中南大學(xué)2010研]A．B．C．D．【答案】A【解析】量子力學(xué)中力學(xué)量對應(yīng)的算符必須為厄米算符，這是因為力學(xué)量算符的本征值必須為實數(shù)．厄米算符定義式為 二、填空題力學(xué)量算符必須是 算符，以保證它的本征值為 [中南大學(xué)2010研]【答案】厄米；實數(shù)【解析】力學(xué)量的測量值必須為實數(shù)，即力學(xué)量算符的本征值必須為實數(shù)，而厄米算符的本征值為實數(shù)，于是量子力學(xué)中就有了一條基本假設(shè)——量子力學(xué)中所有力學(xué)量算符都是厄米算符．在量子力學(xué)原理中．體系的量子態(tài)用希爾伯特空間中的 來描述．而力學(xué)量用 描述．力學(xué)量算符必為 算符，以保其 為實數(shù)．[中南大學(xué)2010研]【答案】函數(shù)矢量；張量（一般是二階張量，即矩陣）；厄米；本征值【解析】希爾伯特空間中的函數(shù)矢量對應(yīng)體系的量子態(tài)，力學(xué)量對應(yīng)張量，一般情況下力學(xué)量對應(yīng)二階張量，也就是矩陣．力學(xué)量算符必須保證其厄米性，否則將導(dǎo)致測量值即其本征值不是實數(shù)，這顯然不符合事實．當(dāng)對體系進行某一力學(xué)量?的測量時．測量結(jié)果一般來說是確定的．測量結(jié)果的不確定性來源于 ．[中南大學(xué)2010研]【答案】測量的干擾【解析】當(dāng)我們對物理量進行測量時，不可避免地對體系施加影響，而這影響將導(dǎo)致體系的波函數(shù)發(fā)生變化，這最終導(dǎo)致對物理量的測量的不確定性．三、簡答題寫出角動量的三個分量，的對易關(guān)系．[湖南大學(xué)2009研]答：這三個算符的對易關(guān)系為，，量子力學(xué)中的力學(xué)量算符有哪些性質(zhì)?為什么需要這些性質(zhì)[京大學(xué)2009研]答：量子力學(xué)中力學(xué)量算符為厄米算符，因而具有所有厄米算符的性質(zhì)．符為厄米算符．四、計算題1．對于角動量算符，的表達(dá)式．[Lz,L±]和[L2,L±]證明：若f是L2和Lz的共同本征態(tài)，則L±f也是L2和Lz的本征態(tài)．在球坐標(biāo)系中，求解Lz的本征方程．[華南理工大學(xué)2010研]解：（a）由得，，同理可得則的三個分量之間的關(guān)系通式為：，其中是符號．（b）若是和的共同本征函數(shù)，可設(shè)＝，則，可見是和的共同本征函數(shù)，本征值分別為．（c）在球坐標(biāo)中，，代入 的本征方程 得利用周期性邊界條件可得由歸一化條件可得 ，則 的本征態(tài)為相應(yīng)的本征方程為．2．（1）對于任意的厄米算符，證明其本征值為實數(shù)．證明厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交．對于角動量算符，證明它是厄米算符，并且求解其本方程．[華南理工大學(xué)2011研]解：（1）證：對于厄米算符 ，因為存在，所以，即本征值為實數(shù)．（2）證： ．（3）因為．設(shè)本征方程為C為積分常數(shù)，可由歸一化條件決定．又因為波函數(shù)滿足周期性邊界條件的限制，由此可得，即角動量z分量的本征值為是量子化的，相應(yīng)本征函數(shù)記為．再利用歸一化條件可得，即為其本征函數(shù)．相應(yīng)的征方程為．3．（1）設(shè)算符對易，證明；（2）試將表示成的線性疊加．其中為單位算符[中科院2010研]證：利用化簡可得：解：4．（1）求算符和的對易關(guān)系．（2）證明，其中．[北京航空航天大學(xué)2008研]解：即算符與不對易．證：則 得證．一粒子處于勢場V（x）中，且勢V（x）沒有奇點．假設(shè)ψn（x）與ψm（x）是束縛態(tài)的波函數(shù)，相應(yīng)的本征能量色En≠Em明這兩個波函數(shù)對應(yīng)的態(tài)矢正交．[武漢大學(xué)2008研]解：由題意III并在方程兩邊同時積分有考慮到哈密頓算符的厄米算符性質(zhì)并利用式II有又，則III設(shè)粒子本征波函數(shù)完備集為，則由正交歸一化條件有IV態(tài)矢為 ，態(tài)矢為即VIV、V代入III有此即，亦即兩個波函數(shù)對應(yīng)態(tài)矢正交．一體系初始時刻的態(tài)為（1）求（ψ，其中x＋iy．如果對z測量，能得到哪些結(jié)果？相應(yīng)的概率又是多少？如果對z進行了測量，并得到結(jié)果lz＝－?，計算不確定度△Lx和△Ly及它們的乘積△Lx△Ly．[中南大學(xué)2010研]解：（1）由公式可得故．由題意，m＝1，0,1而本征值為 ，故可能測得值為．于是有．因此．4練習(xí)題一、選擇題對力學(xué)量?進行測量．要能得到確定結(jié)果的條件是（ ）[中南學(xué)2010研]A．體系可以處于任一態(tài)B．體系必須處于?宏觀態(tài)C．力學(xué)量?必須是守恒量D．體系必須處于?【答案】D【解析】于定態(tài)，而處于定態(tài)的條件即體系處于力學(xué)量對應(yīng)的本征態(tài).二、簡答題什么是費米子?什么是玻色子?兩者各自服從什么樣的統(tǒng)計分布規(guī)律?[湖南大學(xué)2009研]答：費米子是自旋為半奇數(shù)的粒子，玻色子是自旋為整數(shù)的粒子.費米子遵守費米-狄拉克統(tǒng)計規(guī)律，玻色子遵從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律.三、計算題設(shè)限制在邊長為L已知的，其中基態(tài)是非簡并的，而第一激發(fā)態(tài)與第二激發(fā)態(tài)都是3重簡并的.具體而言，基態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E（1）與；激發(fā)態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E（2）與：第2激發(fā)態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E（3）與,．且前三個單粒子能級是等間隔的.設(shè)由4個上述單粒子構(gòu)成的全同粒子體系，限制在邊長為L的立方體中.計算體系的較低的2個本征能量及相應(yīng)的簡并度.[武漢大學(xué)2008研]解：題中并未給出粒子是費米子還是玻色子，故分兩種情況討論由題意I粒子為費米子此時粒子應(yīng)該遵守泡利不相容原理，每個波函數(shù)最多容下兩個粒子.體系最低能量對應(yīng)波函數(shù)有其簡并度為6.體系第一激發(fā)態(tài)能量其簡并度為粒子為玻色子體系最低能量,其簡并度為1.體系第一激發(fā)態(tài)能量為 ,其簡并度為3.5練習(xí)題一、選擇題中心力場中，算符2和z的共同征函數(shù)為Ylm（θ，φ），則關(guān)于這兩個算符的本征值方程正確的式子是（ ）[中南大學(xué)2010研]A．B．C．D．【答案】C【解析】角動量的平方算符以及叫動量算符在z方向分量有著共同本征波函數(shù)，即球諧函數(shù)，它們滿足如下關(guān)系二、計算題設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值.[華南理工大學(xué)2009研]解：氫原子的定態(tài)能量為由氫原子所處的態(tài)函數(shù)所以氫原子能量的取值為 ，幾率為1，能量的平均值為；角動量平方的取值為，幾率為1，其平均值為；角動量z分量的取值為：1/4，3/4，其平均值＝己知氫原子的徑向波函數(shù) ，其中a為波爾半徑.求歸一化常數(shù)A。1 己知連帶勒讓德函數(shù)P0＝cosθ，P1＝sinθ，求氫原子的歸一化本征函數(shù)ψ210，ψ211，ψ211 對于本征態(tài)ψ21－1，其對應(yīng)的能量、角動量、角動量z少?[華南理工大學(xué)2011研]解：（1）.本征函數(shù)可以表示為所以.對于本征態(tài) ，其對應(yīng)的能量為角動量角動量的z分量.設(shè)t＝0時刻氫原子處于狀態(tài)，其中，φ）是氫原子哈密頓算符的正交歸一化本征波函數(shù)求：（1）t＝0時刻，體系能量的平均值.t＝0時刻，體系角動量平方L2的平均值.t＝0時刻，體系角動量x分量Lx的平均值.時刻，體系所處的狀.[北京航空航天大學(xué)2008研]解：（1）由題意可知n＝2,3故t＝0時，體系能量平均值為.由題意知l＝1,2則 ，的平均值為.由關(guān)系式有 ①而②另外，由正交歸一條件有③故t＝0時 平均值為.時刻體系所處的狀態(tài)為.設(shè)氫原子處于狀態(tài)：測得該原子的能量的可能值為多少?相應(yīng)的概率又為多少?測得的角動量分量的可能值和相應(yīng)概率為多少?[湖南大學(xué)2009研]解：（a）氫原子能級為玻爾半徑.故氫原子可能能量為，對應(yīng)概率為對應(yīng)概率為（b）而可能取值為故可能取值有，對應(yīng)概率，對應(yīng)概率，對應(yīng)概率氫原子處在基態(tài)，求：r的平均值；動能的平均值；動量的概率分布函數(shù)。[湖南大學(xué)2009研]【提示：，】解：（1）r的平均值即5.10仿照5.3節(jié)，在直角坐標(biāo)系中求解二維各向同性諧振子的能級和簡并度，與三維各向同性諧振子比較.[上]3.9題由維里定理(為勢能關(guān)于r的冪次)有動能平均值,而氫原子基態(tài)能量為，其中玻爾半徑故5.10仿照5.3節(jié)，在直角坐標(biāo)系中求解二維各同性諧振子的能級和簡并度， 與三維各向同性諧振子比較.[上]3.9題5.10仿照5.3節(jié)，在直角坐標(biāo)系中求解二維各向同性諧振子的能級和簡并度，與三維各向同性諧振子比較.6練習(xí)題求電荷為q的一維諧振子在外加均勻電場E中的能級，哈密頓量為H＝[中科院2008研]解：記 ，，則哈密頓量可時的哈密頓量相比，相差一常數(shù)，且x，p換為 ，，對易關(guān)系變，而這不影響原有的能級，所以7練習(xí)題一、選擇題下面哪組是泡利矩陣（ ）[中南大學(xué)2010研A．B．C．D．【答案】A【解析】泡利矩陣必須滿足以下對易關(guān)系最終推導(dǎo)出泡利矩陣只能為再由.，二、計算題在和 的共同表象中，算符的矩陣為LX＝，求 的征值和歸一化的本征函數(shù)，并將矩陣LX對角化.[華南理工大2009研]解：（1）設(shè)的本征方程為其中本征函容易解得的本征值和相應(yīng)的本征態(tài)矢分別為：。（2）將表象中 的三個本征矢并列，得到從表象表象變換矩陣 利用變換公式,得到的對角化矩陣 .質(zhì)量為m的粒子處于角頻率為ω的一維諧振子勢中。寫出在坐標(biāo)表象中的哈密頓算符，本征值及本征函數(shù)（一化）.寫出在動量表象中的哈密頓算符.證明在動量表象中，哈密頓算符的矩陣元為.[華南理工大學(xué)2010研]解：（a）在坐標(biāo)表象中一維諧振子的哈密頓算符為本征值和波函數(shù)：在動量表象中坐標(biāo)算符可表示為 ，則一維諧振子的勢能為則哈密頓算符為證：在動量表象中哈密頓的矩陣元可表示為設(shè)已知在和的共同表象中，算符和的矩陣分別為試在Sy取值為的本征態(tài)下求Sx的可能取值和相應(yīng)概率及Sx的平均值.[北京航空航天大學(xué)2009研]解： 可能取得的值有和－，設(shè)的本征態(tài)矢為則由可以解得 .同理由可以解得 時態(tài)矢為 ，概率為 ，態(tài)矢為 ，概率。平均值為求一寬度為a能量表象中的矩陣元[湖南大學(xué)2009研]【提示：，解：【注：題中所給積化和差公式有誤，正確的積化和差公式為】在勢阱內(nèi)有定態(tài)方程，①處于定態(tài)時有E>0,設(shè)則有由于勢函數(shù)滿足V（x）＝V（－x），則波函數(shù)滿足奇宇稱或偶宇稱。滿足偶宇稱時有 ，注意到①有1,2,3則,再考慮到歸一化條件 有注意到波函數(shù)乘以一個常數(shù)描述的仍為同一個狀態(tài)，則.同理，對奇宇稱有，綜合（1）（2）討論有波函數(shù)本征能量 ，.矩陣元即若m＝n，可得到若 ，則可得8練習(xí)題計算題σx，σy，σz，表象中求σx和σy的歸一化本征函數(shù)。若（cosα,cosβ,cosγ）為某一方向余弦，證明算符σn＝σxcosα＋σycosβ＋σzcosγ的本征值為±1，說明其物理意義。對于兩個電子組成的體系，若用|↑〉和|↓〉分別表示單電子自旋平方和自旋z分量的共同本征態(tài)，證明態(tài)矢量|X〉＝|↑↓〉＋|↓↑系總自旋平方的本征態(tài)。[華南理工大學(xué)2010研]解：（1）在表象中，由和由的本征方程，很容易求得的本征值與本征矢：.（2）的本征方程可得，，故能取兩個值：.（3）在耦合角動量表象中，總自旋與的共同本征其中則題中，故是的本征態(tài).兩個質(zhì)量為m的粒子處于一個邊長為a＞b＞c盒子中.求下列條件該體系能量最低態(tài)的波函數(shù)（只寫出空間部分）及對應(yīng)能量.非全同離子；零自旋全同離子；自旋為1／2的全同離子中國科學(xué)院2010研]解：單粒子在邊長a＞b＞c的盒子中的定態(tài)波函數(shù)和定態(tài)能量為當(dāng)兩粒子是非全同離子時，體系能量最低的波函數(shù)為對應(yīng)能量為。系能量最低的函波數(shù)是對應(yīng)能量為。對于自旋為1/2的。自旋對應(yīng)的本征函數(shù)有4個：，，，。已知是交換反對稱的，要配對稱的空間波函數(shù)；，，是交換對稱的，要配反對稱的空間波函數(shù)。所以體系能量最低的態(tài)對應(yīng)的波函數(shù)是：對應(yīng)能量。Z方向的均勻磁場B中運動（只考慮自旋），在tX方向，求在t＞0時的自旋波函數(shù)以及Sy的平均值.[北京航空航天大學(xué)2008研解：在 和表象下由 可以解得時態(tài)矢為即t＝0時刻電子自選波函數(shù) ＝ ＝，其中α和β分別為朝上和朝下時的波函數(shù)。電子由于自旋產(chǎn)生的能量對應(yīng)哈密頓量為故α和β狀態(tài)為 的本征態(tài)，對應(yīng)本征值為和t＞0時刻電子自旋波函數(shù)應(yīng)為寫成矩陣形式即而平均值即：.設(shè)有三個自旋算符S0，S2，S3組成的系統(tǒng)，其哈密頓量為H＝AS1·S2＋BS2·S3＋BS3·S1，試給出系統(tǒng)的力學(xué)量完全集；求解能級；給出每一個能級的簡并度.為書寫簡單計，可令約化普朗克常數(shù)[南京大學(xué)2009研]解：哈密頓量為其中,，故系統(tǒng)的力學(xué)量完全集為能量與無關(guān)，可由完全確定時，能量為時，能量為時，能量為 。當(dāng)完全確定時，能級簡并度將僅由可取值個數(shù)確定，時，，可取值的個數(shù)為2，故簡并度為2時，，可取值個數(shù)為2，故簡并度為2時，，可取值個數(shù)為4，故簡并度為4.設(shè)Sx、Sy與Sz是自旋為1/2的粒子的沿x、y與zΦ是某一角度.寫出粒子的自旋算符Sx，、Sy與Sz在Sz-式；將述算符的乘積化簡為粒子自旋算符的線組合武漢大學(xué)2008研]解：（1），， .（2）由公式且令I(lǐng)其中n為正整數(shù)則上式即II題中 ，利用公式III則IV結(jié)合II、IV有所求即.。對于一個限制在邊長為L的立方體中的自旋為1/2、質(zhì)量為m的粒子，計算基態(tài)與第二激發(fā)態(tài)的本征能量及相應(yīng)的本征態(tài)波函數(shù).[武漢大學(xué)2008研]解：這是一個三維方勢阱問題，，例子波函數(shù)為S,S為自旋波函數(shù)可分離變量得最終解得，代表例子自旋朝上和朝下兩種狀由于粒子自旋此時并不會對粒子能量產(chǎn)生影響故粒子能量基態(tài)對應(yīng)波函數(shù)為對應(yīng)波函數(shù)有對應(yīng)波函數(shù)有考慮一自旋量于救s＝1的粒子，忽略空間自由度，并假定粒子處在外磁場中（為x軸的單位矢量），粒子的哈米頓算符為H＝gB·S若虬S2，Sz同本征矢|s，m1＞為基，求自旋算符S示.。如果初始時刻t＝0粒子的態(tài)為|11＞，求在t＞0后粒子的態(tài)?發(fā)現(xiàn)粒子處在|1-1＞態(tài)的概率是多少?[中南大學(xué)2010研解：（1）由于， ，故由于哈密頓量為則能量本征態(tài)對應(yīng)于本征態(tài).解得而故t＞0后粒子的態(tài)為.由于故所求概率為9練習(xí)題一、選擇題在量子力學(xué)中．對每一個物理量A，都有一個厄米算符?與之對應(yīng)，若體系處在由波函數(shù)ψ（r，t）描述的態(tài)中．則在t時刻．對物理A測量時所得的平均值A(chǔ)．t為（ ）。[中南大學(xué)2010研]A．B．C．D．【答案】B【解析】物理量平均值定義為，分別為物理量本征值及取值概率，而 ，并考慮到正交歸一化條件和力量算符的厄米性，于是．二、填空題體系處在用歸一化波函數(shù)ψ（x）描述的狀態(tài)．且此波函數(shù)可以力學(xué)量A所對應(yīng)的厄米算符?的本征函數(shù)系展開．即認(rèn)為是歸一的，則決定系數(shù)ck的表達(dá)式為 [中南大學(xué)2010研]【答案】【解析】由題意 ，在上式兩邊乘以 并積分得，考慮到正交歸一化條件有是算符?的本征值，則力學(xué)量A的平均值?。?[中南大學(xué)2010研]【答案】【解析】由平均值定義式以及正交歸一化條件有。題1中當(dāng)對體系進行力學(xué)量A測量時，測量結(jié)果一般來說是不定的．但測量得到某一結(jié)果an的概率為 。[中南大學(xué)2010研]【答案】 ，為確定【解析】由題意，在上式兩邊乘以并積分得，考慮到正交歸一化條件有而概率應(yīng)該為 ，為定值．三、計算題一粒子在力學(xué)量的三個本征函數(shù)所張成三維子空間中運動，其能量算符和另一力學(xué)量算符的形式如其中a，b為實數(shù)．求的本征值和相應(yīng)的歸一化本征矢（用|u1>，|u2>和|u3>示）：證明的平均值不隨時間變化．[北京航空航天大學(xué)2008研解：（1）由，令 ＝ 可得I由久期方程可得解得能量算符的三個本征值II將II式中各個值代入I式中可以得時態(tài)矢 ，即時態(tài)矢 ，即態(tài)矢 ，即 （2）顯然，故，III其中k為的平均值而其中為3行的任意列矩陣，則＝0，k＝0 IVIV式可知，即的平均值不隨時間變化．設(shè)質(zhì)量為m的粒子處于勢場V（x）＝－Kx中，K為非零常數(shù)。在動量表象中求與能量E對應(yīng)的本征波函數(shù)ΦE（p）．[學(xué)2008研]解：顯然勢場不含時，屬于一維定態(tài)問題，而也屬于正冪級數(shù)故有定態(tài)方程I式中,令則I式可以化為令 ，上方程可化簡為IIII式解得則其中C為歸一化常數(shù)．基矢有兩個：{φ1，φ2}，算有如下性質(zhì)：Q表象的本征值和本征函數(shù)；已知粒子狀態(tài)為，求測量力學(xué)量的可能值及相的概率和平均值。[湖南大學(xué)2009研]解：（1）先算出該算符在Q表象中的矩陣元。設(shè)其本證函數(shù)為則有①由久期方程 ，解得 ,再代回①可得，對應(yīng)本征函數(shù)為，對應(yīng)本征函數(shù)為．（2）粒子的力學(xué)量可能取值即其本征值．由題意時，相應(yīng)概率為時，相應(yīng)概率為．HamiltonianH，坐標(biāo)算符為x。利用利用能量本征態(tài)的完全性關(guān)系，將用E。，表出，其是能量本征值為E。，的本征矢．[武漢大學(xué)2008研]解：，則。利用，可得。于是 ，即 ．10練習(xí)題一、簡答題1．假設(shè)體系的哈密頓算符不顯含時間，而且可以分為兩部分：一部分是，它的本征值（非簡并）和本征函數(shù)已知：另一部分很小，可以看作是加于上的微擾.寫出在非簡并狀態(tài)下考慮一修正下的波函數(shù)的表達(dá)式?及其包括了一級、二級能量的修正的能級表達(dá)式．[湖南大學(xué)2009研]答：一級修正波函數(shù)為二級近似能量為其中.二、計算題設(shè)基態(tài)氫原子處于弱電場中，微擾哈密頓量為，其中λ，T為常數(shù).求很長時間后（t>>T）電子躍遷到激發(fā)態(tài)的概率中科院2010研]已知，a基態(tài)其中為玻耳半徑.已知，基態(tài)基態(tài)電子躍遷到下列哪個激發(fā)態(tài)的概率等于零?簡述理由。(a)ψ200； (b)ψ211； (c)ψ21-1； (d)ψ200解：（1）根據(jù)躍遷幾率公式其中.可知，必須先求得根據(jù)題意知，氫原子在t>0時所受微擾為氫原子初態(tài)波函數(shù)為根據(jù)選擇定則，終態(tài)量子數(shù)必須是記由初態(tài)到末態(tài)的躍遷矩陣元為將 代入躍遷幾率公式（2）基態(tài)電子躍遷到、、的幾率均為0，因不符合躍遷的選擇定則。粒子在一維無限深勢阱中運動.設(shè)該體系受到=λδ（x－a）的擾作用.利用微擾理論求第n能級的準(zhǔn)至二級的近似表達(dá)式.指出所得結(jié)果的適用條件.[中科院2010研解：（1）一維無限深方勢阱體系的零級近似波函數(shù)和零級近似能量： 求到二級，矩陣元一般形式則第n能級的二級近似能量.（2）結(jié)果適用的條件是 ， 即 .一體系未受微擾作用時只有三個能級：E01，E02及E03，現(xiàn)在受到微擾 的作用，微擾矩陣元為H′11=H′22=H′33=a，H′12=H′21=0，H′13=H′31=b，H′23=H′32=c；a，b和c都是實數(shù).用微擾公式