北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)命題、證明及平行線的判定定理提高

命題、證明及平行線的判定定理（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.了解定義、命題的含義，會(huì)區(qū)分命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論；.體會(huì)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉出反例、推理；.了解公理和定理的定義，并能正確的寫出已知和求證，掌握證明的基本步驟和書寫格式；.掌握平行線的判定方法，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用這些結(jié)論.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、定義與命題.定義：一般地，用來說明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做定義要點(diǎn)詮釋：（1）定義實(shí)際上就是一種規(guī)定.（2）定義的條件和結(jié)論互換后的命題仍是真命題.命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.要點(diǎn)詮釋：（1）命題的結(jié)構(gòu)：命題通常由條件（或題設(shè)）和結(jié)論兩部分組成條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一般地，命題都可以寫成"如果……那么……”的形式其中“如果”開始的部分是條件，“那么”后面是結(jié)論.（2）命題的真假：對(duì)于真命題來說，當(dāng)條件成立時(shí)，結(jié)論一定成立；對(duì)于假命題來說，當(dāng)條件成立時(shí)，不能保證結(jié)論正確，即結(jié)論不成立.要點(diǎn)二、證明的必要性要判斷一個(gè)命題是不是真命題，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進(jìn)行推理.推理的過程叫做證明.要點(diǎn)三、公理與定理.公理：通過長(zhǎng)期實(shí)踐總結(jié)出來，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理要點(diǎn)詮釋：歐幾里得將“兩點(diǎn)確定一條直線”等基本事實(shí)作為公理.定理：通過推理得到證實(shí)的真命題叫做定理.要點(diǎn)詮釋：證明一個(gè)命題的正確性要按已知、求證、證明的順序和格式寫出其中“已知”是命題的條件，“求證”是命題的結(jié)論，而“證明”則是由條件（已知）出發(fā)，根據(jù)已給出的定義、公理、已經(jīng)證明的定理，經(jīng)過一步一步的推理，最后證實(shí)結(jié)論（求證）的過程要點(diǎn)四、平行公理及平行線的判定定理1.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.要點(diǎn)詮釋：⑴平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì).⑵公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一.（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.2.平行線的判定定理判定方法1:同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：「Z3=Z2??AB#CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：「Z1=Z2??AB〃CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：??Z4+Z2=180°??AB#CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）要點(diǎn)詮釋：平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.【典型例題】類型一、定義與命題1.說出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷它是真命題還是假命題：（1）在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊；（2）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（3）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且有任意一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.【答案與解析】解：（1）先把這個(gè)命題寫成“如果……那么……”的形式：如果在同一個(gè)三角形中，有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.條件：同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等；結(jié)論：這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊相等它是真命題.（2）原命題可以寫成：如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.條件：兩個(gè)三角形有兩個(gè)角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個(gè)三角形全等它是真命題.（3）原命題可以寫成：如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且有任意一角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.條件：兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且有任意一角對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個(gè)三角形相似它是假命題，反例：如下圖：【總結(jié)升華】要判斷一個(gè)命題是假命題,只要能夠舉出一個(gè)例子,使之具備命題的條件,而不具備命題的結(jié)論,就可以說明這一命題是假命題，這種例子通常稱為反例.舉一反三：【變式】下列語(yǔ)句中，哪些是命題，哪些不是命題，如果是命題的話，請(qǐng)指出是真命題還是假命題？（1）三角形的三條高交于一點(diǎn)；（2）解方程x2—2x—3=0； ⑶1+2W3.【答案】（2）不是命題；（1）（3）是命題，其中（1）是真命題，（3）是假命題.【變式2】下列真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）直線a、b、c、d,如果a〃b、c〃b、c〃d,則a〃d.（2）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直（3）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.（4）在同一平面內(nèi)，如果兩直線都垂直于同一條直線，那么這兩直線平行.A.1個(gè)B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】B類型二、公理、定理及證明往2.證明：對(duì)頂角相等.【思路點(diǎn)撥】如果題目中沒有明確出“條件”和“結(jié)論”，應(yīng)先寫出已知、求證、證明，如果需要的話并畫出圖形，再證明.【答案與解析】已知：如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,N1和N2是對(duì)頂角.證明：?「N1和N2是對(duì)頂角（已知），??OA與OB互為反向延長(zhǎng)線（對(duì)頂角的意義）.??NAOB是平角（平角的定義）.同理，NCOD也是平角.AZ1和N2都是NAOC的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）.?.N1=N2（等角的補(bǔ)角相等）.【總結(jié)升華】“對(duì)頂角相等”是一個(gè)定理，而不是公理.舉一反三：【變式】證明：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.

【答案】已知:求證:證明:如圖，△ADEs^ABC, AE：已知:求證:證明:'△ADEQaBC-k?「△ADEMABC.\AE:AC=AD:AB=DE:BC=k???(AE+AD+DE):(AC+AB+BC)=k類型三、平行公理及平行線的判定,,,△ADE:C△ABC-k類型三、平行公理及平行線的判定3.(2015春?無(wú)錫)一副直角三角板疊放如圖所示，現(xiàn)將含45°角的三角板ADE固定不動(dòng)，把含30°角的三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)Na(a=ZBAD且0°<a<180°),使兩塊三角板至少有一組邊平行.(1(1)如圖①，a=。時(shí)，BC〃DE；(2)請(qǐng)你分別在圖②、圖③的指定框內(nèi)，各畫一種符合要求的圖形，標(biāo)出a,并完成各項(xiàng)；圖③中a=。時(shí)，；圖③中a=。時(shí)，〃填空：圖②中a=。時(shí)，【思路點(diǎn)撥】(1)利用兩直線平行同位角相等，并求得a=45°-30°=15°；(2)利用平行線的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)不變量求得旋轉(zhuǎn)角即可.【答案與解析】解：(1)圖①中a=15°時(shí)，BC〃DE,.?BC〃DE,.??N1=NB=60°,VZ1=ZD+Za,ZD=45°,?.Na=15°a=NCAD-NCAB=45°-30°=15°.(2)圖②中a=60°時(shí)，BC〃DA,VZBAC=30°,Za=60°,.??NDAC=90°=NC,.??NDAC+NC=180°,.??BC〃DA；圖③中a=105°時(shí)，BC〃EA.VZa=105°,ZDAE=45°,.??NEAB=60°,VZB=60°,.??NEAB=NB,???BC〃EA.故答案為：(1)15；(2)60；BC；DA；105；BC；【總結(jié)升華】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，學(xué)生主要看清是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并判斷旋轉(zhuǎn)角為多少度，難度不大，但易錯(cuò).舉一反三:【變式】一個(gè)學(xué)員在廣場(chǎng)上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（）.A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確畫出示意圖.圖B顯然不同向，因?yàn)槁肪€不平行.圖C中，N1=180°T30°=50°,路線平行但不同向.圖D中，N1=180°T30°=50°,路線平行但不同向.只有圖A路線平行且同向，故應(yīng)選A.?（2016春太倉(cāng)市期末）如圖，四邊形ABCD中，NA=NC=90°,BE平分NABC,DF平分NADC,則BE與DF有何位置關(guān)系？試說明理由.3尸 C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和NA=NC=90°,得NABC+NADC=180°；根據(jù)角平分線定義、等角的余角相等易證明和BE與DF兩條直線有關(guān)的一對(duì)同位角相等，從而證明兩條直線平行.【答案與解析】解：BE〃DF.理由如下：VZA=ZC=90°,.??NABC+NADC=180°VBE平分NABC,DF平分/ADC,AZ1=Z2=yNABC,N3=N4—■NADC,?，./1+/34(NABC+NADC)弓X180°=90°,XN1+NAEB=90°

.??N3=NAEB.??BE〃DF【總結(jié)升華】此題運(yùn)用了四邊形的內(nèi)角和是360°、角平分線定義、等角的余角相等和平行線的判定，考察的知識(shí)點(diǎn)較多，只有熟練掌握，才能運(yùn)用自如.舉一反三：試判斷直線AB、【變式1】已知，如圖，BE平分ZABD,DE平分NCDB,且Z1與Z試判斷直線AB、解：AB〃CD解：AB〃CD,理由如下：??,BE平分NABD,DE平分NCDB,.ZABD=2Z1,ZCDB=2Z2.又二Z1+Z2=90°,.ZABD+ZCDB=180°???AB〃CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.【變式2】（2015?長(zhǎng)春一模）如圖，直線a與直線b被直線c所截，b，c,N1=70°.若使直線b與直線a平行，則可將直線b繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)垂足為點(diǎn)A,20°20°解：?「b，c,AZ2=90°.?/N1=70°,a〃b,.直線b繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)=90°-70°=20°.故選D.命題、證明及平行線的判定定理（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題.下列說法中是真命題的有（）.①一條直線的平行線只有一條.②過一點(diǎn)與已知直線平行的直線只有一條.③因?yàn)閍〃b,c〃d,所以a〃d.④經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè).如果兩個(gè)角的一邊在同一直線上，另一邊互相平行，則這兩個(gè)角（）.A.相等 B.互補(bǔ)C.互余D.相等或互補(bǔ).（2015?黔南州）如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）人.若a〃b,b〃c,則a〃c B.若N1=N2,則a〃cC.若N3=N2,則b〃cD.若N3+N5=180°,則a〃c.一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（）.A.第一次向右拐40°,第二次向右拐140°.B.第一次向右拐40°,第二次向左拐40°.C.第一次向左拐40°,第二次向右拐140°.D.第一次向右拐140°,第二次向左拐40°..（2016春?莒縣期末）如圖，下列條件中不能判定AB〃CD的是（）.A.Z3=Z4 B.Z1=Z5 C.Z1+Z4=180° D.Z3=Z5.（紹興）學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖，（1）—（4））:從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（）.①兩直線平行，同位角相等.②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.③同位角相等，兩直線平行.④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空題

TOC\o"1-5"\h\z.在同一平面內(nèi)的三條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是 ..（2015春?高密市）如圖，在下列條件中：①NDAC=NACB；②NBAC二NACD；③NBAD+NADC=180°；④NBAD+NABC=180°.其中能使直線AB〃CD成立的.規(guī)律探究：同一平面內(nèi)有直線a1,a2，a3…，a100，若a1，a2，a2〃a3，a3，a4…，按此規(guī)律，a1和a100的位置是 ..已知兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角為40°,則另一個(gè)角的度數(shù)是 ..（2016春?吳興區(qū)期末）如圖，EFLAB于點(diǎn)F,CDXAB于點(diǎn)D,E是AC上一點(diǎn)，N1=N2,則圖中互相平行的直線有 對(duì)..如圖，ABXEF于點(diǎn)G,CDXEF于點(diǎn)H,GP平分NEGB,HQ平分NCHF,則圖中互相平行的直線有 .三、解答題.如圖，N1=60°,N2=60°,N3=100°,要使AB〃EF,N4應(yīng)為多少度?說明理由..(2015春泗陽(yáng))如圖，四邊形ABCD中，NA=NC=90°,BE平分NABC交CD于E,DF平分NADC交AB于F.(1)若NABC=60°,則NADC=°,NAFD=°；(2)求證：BE〃DF..如圖，把一張長(zhǎng)芳形紙條ABCD沿AF折疊，已知/人口8=20°,那么NBAF為多少度時(shí)，才能使AB/〃BD?.如圖所示，由N1=N2,BD平分NABC,可推出哪兩條線段平行，寫出推理過程，如果推出另兩條線段平行，則應(yīng)將以上兩條件之一作如何改變？【答案與解析】一、選擇題.【答案】A；【解析】只有④是真命題，其它均是假命題..【答案】D；.【答案】C；【解析】人、若@〃卜"5〃。，則@〃如利用了平行公理，正確；B、若/1=/2,則@〃的利用了內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，正確；C、N3=N2,不能判斷匕〃一錯(cuò)誤；D、若/3+/5=180°,則@〃如利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，正確；故選C..【答案】B；.【答案】D；【解析】N3和N5是同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角相等，不能判定兩直線平行..【答案】C；【解析】解決本題關(guān)鍵是理解折疊的過程，圖中的虛線與已知的直線垂直，過點(diǎn)P的折痕與虛線垂直.二、填空題.【答案】0或1或2或3個(gè)；.【答案】②③；【解析】①NDAC二NACB利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到AD〃BC,錯(cuò)誤；②NBAC二NACD利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到AB〃CD,正確；③NBAD+NADC=180°利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到AB〃CD,正確；④NBAD+NABC=180°利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到AD〃BC,錯(cuò)誤；故答案為：②③.【答案】匕〃4。。；【解析】為了方便，我們可以記為a1±a2#a3±a4#a5±a6#a7±a8#a9±a10^#a97±a98#a99±a100，因?yàn)閍ja/a3,所以a1±a3,而a3±a4,所以a/a/a(同理得a5#a8//a9,a9〃a12〃a13,…，接著這樣的規(guī)律可以得.〃%〃/。，所以a4/。..【答案】40°或140°；.【答案】2；【解析】EF/CD,ED/CB..【答案】AB/CD,GP/HQ；【解析】理由：???AB±EF,CDXEF.AZ