高中數(shù)學(xué)人教B版第二章數(shù)列 市賽獲獎(jiǎng)

第二章第1課時(shí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542285)(A)A．5 B．6C．8 D．10[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋a9＝a1＋a1＋8d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2a5＝10，∴a2．等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542286)(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]設(shè)公差為d，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋4d＝10,a1＋3d＝7))，解得d＝2.\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等差中項(xiàng)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542287)(C)A．1 B．－1C．eq\r(2) D．±1[解析]由等差中項(xiàng)的定義可知，eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等差中項(xiàng)為eq\f(\r(2)＋1＋\r(2)－1,2)＝eq\r(2).4．{an}是首項(xiàng)為a1＝1，公差d＝3的等差數(shù)列，如果an＝22，則n等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542288)(C)A．6 B．7C．8 D．9[解析]由題意，得an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，又∵an＝22，∴3n－2＝22，∴n＝8.5．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，則a101的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542289)(D)A．49 B．50C．51 D．52[解析]由2an＋1＝2an＋1得an＋1－an＝eq\f(1,2)，∴{an}是等差數(shù)列首項(xiàng)a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)，∴an＝2＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋3,2)，∴a101＝eq\f(101＋3,2)＝52.6．等差數(shù)列{an}中，a5＝33，a45＝153，則201是該數(shù)列的第()項(xiàng)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542290)(B)A．60 B．61C．62 D．63[解析]設(shè)公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝33,a1＋44d＝153))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝21,d＝3)).∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.二、填空題7．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542291)[解析]a1＋a2＋a3＝15，a2＝5，d＝3，∴a5＝a2＋3d＝14，a4＋a5＋a6＝3a58．一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，最小角為40°，則最大角為140°.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542292)[解析]∵四邊形的四個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，最小角為40°，∴設(shè)其他內(nèi)角為40°＋d,40°＋2d,40°＋3d，∴40°＋(40°＋d)＋(40°＋2d)＋(40°＋3d)＝360°，解得d＝eq\f(100°,3)，∴最大角為40°＋3d＝40°＋3×eq\f(100°,3)＝140°.三、解答題9．已知等差數(shù)列6,3,0，…，試求此數(shù)列的第100項(xiàng).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542293)[解析]設(shè)此數(shù)列為{an}，則首項(xiàng)a1＝6，公差d＝3－6＝－3，∴an＝a1＋(n－1)d＝6－3(n－1)＝－3n＋9.∴a100＝－3×100＋9＝－291.10．已知等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a61＝217，試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542294)[解析]設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋15－1d＝33,a1＋61－1d＝217))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23,d＝4))，∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，∴153是所給數(shù)列的第45項(xiàng)．能力提升一、選擇題1．等差數(shù)列的首項(xiàng)為eq\f(1,25)，且從第10項(xiàng)開始為比1大的項(xiàng)，則公差d的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542295)(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))，∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).2．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542296)(C)A．11 B．12C．13 D．14[解析]設(shè)公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7,a1＋d＋6＝a1＋4d))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝2)).∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.3．已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1，又?jǐn)?shù)列{eq\f(1,an＋1)}是等差數(shù)列，則a11等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542297)(B)A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．－1[解析]令bn＝eq\f(1,an＋1)，由題設(shè)b3＝eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,3)，b7＝eq\f(1,a7＋1)＝eq\f(1,2)且{bn}為等差數(shù)列，∴b7＝b3＋4d，∴d＝eq\f(1,24).∴b11＝b7＋4d＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，又b11＝eq\f(1,a11＋1)，∴a11＝eq\f(1,2).4．若a≠b，兩個(gè)等差數(shù)列a，x1，x2，b與a，y1，y2，y3，b的公差分別為d1、d2，則eq\f(d1,d2)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542298)(C)A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)[解析]由題意可知：d1＝eq\f(b－a,3)，d2＝eq\f(b－a,4)，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(4,3)，故選C．二、填空題5．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542299)[解析]設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66)))，∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).6．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542300)[解析]設(shè)公差為d，則a3＋a8＝2a1＋9d3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9三、解答題7．一位同學(xué)喜歡觀察小動(dòng)物的活動(dòng)規(guī)律，他觀察到隨著氣溫的升高，一種昆蟲在相等的時(shí)間內(nèi)發(fā)出的啁啾聲次數(shù)也在逐漸增加．下表是他記錄的數(shù)據(jù)，34上方及40下方的數(shù)據(jù)變得模糊不清了．但是該同學(xué)記得氣溫每升高1℃他觀察一次，而且觀察到的數(shù)據(jù)成等差數(shù)列．請(qǐng)你為他補(bǔ)好這兩個(gè)數(shù)據(jù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542301)啁啾聲次數(shù)42040溫度/℃283234[解析]設(shè)昆蟲啁啾聲次數(shù)組成等差數(shù)列{an}，則a1＝4，a5＝20，溫度為34℃時(shí)，a7＝a1＋6d又因?yàn)閐＝eq\f(a5－a1,4)＝eq\f(16,4)＝4，所以a7＝4＋6×4＝28.若an＝40，則4＋(n－1)×4＝40.所以n＝10，所以溫度為37℃8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)確定.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542302)(1)求證：{eq\f(1,xn)}是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1＝eq\f(1,2)時(shí)，求x100的值．[解析](1)∵xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，n∈N*)，∴eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，∴eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2，n∈N