湖北省宜昌市興山縣古夫中學(xué)2022年度高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

湖北省宜昌市興山縣古夫中學(xué)2022年度高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，則x2+ax=0的解為0，1，利用韋達(dá)定理，求出a的值．【解答】解：由題意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故選A．2.函數(shù)的部分圖象如右圖所示，設(shè)是圖象的最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知一個(gè)簡(jiǎn)單幾何的三視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則該幾何體的體積為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A由三視圖知對(duì)應(yīng)的幾何體是底面半徑為、高為的圓錐與底面為直角邊長(zhǎng)為等腰直角三角形，側(cè)棱垂直底面，高為的三棱錐組成的組合體，圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，其表面積為+++=，解得=2，所以圓錐的底面半徑為6，母線(xiàn)長(zhǎng)為10，所以該幾何體的體積為=，故選A．4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是A．

B．C．

D．參考答案：D5.已知下列四個(gè)命題：，使得；

，都有；，都有；

，使得；A.,

B.,

C.,

D.,參考答案：A略6.設(shè)l，m，n表示三條直線(xiàn)，α，β，γ表示三個(gè)平面，則下列命題中不成立的是（）A．若m?α，n?α，m∥n，則n∥αB．若α⊥γ，α∥β，則β⊥γC．若m?β，n是l在β內(nèi)的射影，若m⊥l，則m⊥nD．若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，則l⊥β參考答案：D【考點(diǎn)】LP：空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系．【分析】在A中，由線(xiàn)面平行的判定定理得n∥α；在B中，由面面垂直的判定定理得β⊥γ；在C中，由三垂直線(xiàn)定理得m⊥n；在D中，l與β相交、平行或l?β．【解答】解：由l，m，n表示三條直線(xiàn)，α，β，γ表示三個(gè)平面，知：在A中，若m?α，n?α，m∥n，則由線(xiàn)面平行的判定定理得n∥α，故A正確；在B中，若α⊥γ，α∥β，則由面面垂直的判定定理得β⊥γ，故B正確；在C中，若m?β，n是l在β內(nèi)的射影，若m⊥l，則由三垂直線(xiàn)定理得m⊥n，故C正確；在D中，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，則l與β相交、平行或l?β，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．7.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A．B．

C．D．

參考答案：8.直線(xiàn)（）的傾斜角范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C因?yàn)樗灾本€(xiàn)的斜率，所以有．9.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且函?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，（其中是的導(dǎo)函數(shù)），若，，則的大小關(guān)系是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B10.定義集合運(yùn)算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設(shè)集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為

(

)

A．

0

B.

6

C.

12

D.

18參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．（Ⅰ）證明：（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3；（Ⅱ）a2+b2=5，ma+nb=5，求證：m2+n2≥5．參考答案：證明：（Ⅰ）因?yàn)?，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．

…………（Ⅱ）由柯西不等式知：，

即，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

…………（10分）

略12.若集合，，則

參考答案：13.若復(fù)數(shù)z=（1+i）?i2（i表示虛數(shù)單位），則=

．參考答案：﹣1+i【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出【解答】解：z=（1+i）?i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案為：﹣1+i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．14.橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，的小大為

．參考答案：15.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線(xiàn)畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體外接球的表面積為

．參考答案：16.已知，且，求的最小值________.參考答案：3【分析】將變形為，展開(kāi)，利用基本不等式解之．【詳解】解：已知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求代數(shù)式的最值；關(guān)鍵是變形為能夠利用基本不等式的形式．17.已知一個(gè)正六棱錐的高為10cm，底面邊長(zhǎng)為6cm，則這個(gè)正六棱錐的體積為_(kāi)______

cm3．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知，為兩非零有理數(shù)列（即對(duì)任意的，均為有理數(shù)），為一無(wú)理數(shù)列（即對(duì)任意的，為無(wú)理數(shù)）.（1）已知，并且對(duì)任意的恒成立，試求的通項(xiàng)公式.（2）若為有理數(shù)列，試證明：對(duì)任意的，恒成立的充要條件為.（3）已知，，對(duì)任意的，恒成立，試計(jì)算.參考答案：(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)．試題分析：(1)直接運(yùn)用題設(shè)中的條件解方程求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用充分必要條件進(jìn)行求解；(3)依據(jù)題設(shè)條件和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行綜合求解（3），∴，∴或∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴∴為有理數(shù)列，∵，∴，∴，∵為有理數(shù)列，為無(wú)理數(shù)列，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴，∴考點(diǎn)：數(shù)列與三角變換等知識(shí)的綜合運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】數(shù)列推證題是上海市高考?？碱}型之一,也是上海市高考必考的重要考點(diǎn).解答這類(lèi)問(wèn)題的思路依據(jù)題設(shè)條件,綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.本題的解答過(guò)程中,所有計(jì)算與求解都是推理論證能力的體現(xiàn)和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.如第一問(wèn)中的求數(shù)列的通項(xiàng)公式,則是運(yùn)用方程思想建立方程進(jìn)行求解的;再如第二和第三問(wèn)中的證明和計(jì)算求解的過(guò)程也是通過(guò)建立方程組來(lái)實(shí)現(xiàn)的.19.（16分）某固定在墻上的廣告金屬支架如圖所示，根據(jù)要求，AB至少長(zhǎng)3米，C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD的長(zhǎng)小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，將支架的總長(zhǎng)度表示為y的函數(shù)，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．（注：支架的總長(zhǎng)度為圖中線(xiàn)段AB、BD和CD長(zhǎng)度之和）（2）如何設(shè)計(jì)AB，CD的長(zhǎng)，可使支架總長(zhǎng)度最短．參考答案：【考點(diǎn)】：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【專(zhuān)題】：應(yīng)用題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：（1）△BCD中，CD=x，BC=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的關(guān)系式；（2）設(shè)y﹣1=t（t≥0.5），則原式l=4t++5.5，利用基本不等式求出結(jié)果．解：（1）由CD=x，則BD=x﹣0.5，設(shè)BC=y，則支架的總長(zhǎng)度為AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理x2+y2﹣2xycos60°=（x﹣0.5）2，化簡(jiǎn)得y2﹣xy+x﹣0.25=0，即x=

①…（4分）記l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5（﹣0.5＜x＜0.5或x＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由題中條件得2y≥3，即y≥1.5，設(shè)y﹣1=t（t≥0.5）則原式l=4t++5.5

…（10分）∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+有且僅當(dāng)4t=，即t=時(shí)成立，∴y=+1，∴x=，∴當(dāng)AB=，CD=時(shí)，金屬支架總長(zhǎng)度最短．…（16分）【點(diǎn)評(píng)】：本題借助三角形的余弦定理建立函數(shù)解析式，考查函數(shù)的最值問(wèn)題，是中檔題．20.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)，若二面角P-CD-A為，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求異面直線(xiàn)PC與AB所成角的大??；（Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：（I）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．由已知得且，又因?yàn)镋是的中點(diǎn)，則且，所以四邊形FAEO平行四邊形，∴又因?yàn)槠矫?，平面平?/p>

4分（Ⅱ）因?yàn)榈酌鍭BCD

又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，，又因?yàn)锳D=2，又因?yàn)锳B//CD……

…9分（Ⅲ）【法一】：設(shè)平面的距離為，因，所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．作于，因?yàn)?，則,則，因所以……13分 【法二】因，所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．作于，連結(jié)，因，則為的中點(diǎn)，故所以平面，所以平面平面，作于，則平面，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為平面的距離。又，所以……………13分

略21.如圖：已知四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為３的正方形，面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、、．（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．參考答案：（1）解1：取AB中點(diǎn)T，連接MT、NT，

①

……

2分

②

……

4分由①②得所以

……

6分解2：分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則得,

……

4分

……6分

（2）由（1）得，則

，…

2分解得，即.

……

3分取平面AMB的一個(gè)法向量為 ……

4分設(shè)平面AMN的法向量，又,由，取平面AMN的一個(gè)法向量，………………

5分設(shè)二面角為，則………………

7分=

……略22.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在直線(xiàn)l1：y=﹣1上，點(diǎn)M滿(mǎn)足，，點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l2：y=kx+m與曲線(xiàn)C有唯一公共點(diǎn)P，且與直線(xiàn)l1：y=﹣1相交于點(diǎn)Q，試探究，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則點(diǎn)N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點(diǎn)，由直線(xiàn)l2：y=kx+m與曲線(xiàn)C有唯一公共點(diǎn)P知，直線(xiàn)l2與曲線(xiàn)C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)l2的方程為，令y=﹣1得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對(duì)x0恒成立，必須有，即可得出．解法2：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線(xiàn)C有唯一公共點(diǎn)P知，直線(xiàn)l2與曲線(xiàn)C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)斜率，得到直線(xiàn)l2的方程為，令y=﹣1得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得以PQ為直徑的圓方程為：，由于在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則點(diǎn)N必為（0，1）或（0，﹣1），進(jìn)一步確定即可．解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲線(xiàn)C的方程式為x2=4y．（2）解法1：由曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則點(diǎn)N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點(diǎn)，由直線(xiàn)l2：y=kx+m與曲線(xiàn)C有唯一公共點(diǎn)P知，直線(xiàn)l2與曲線(xiàn)C相切，由得，∴，∴直線(xiàn)l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對(duì)x0恒成立，必須有，解得n=1，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（0，1）．解法2：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線(xiàn)C有唯一公共點(diǎn)P知，直線(xiàn)l2與曲線(xiàn)C相切，由得，∴，∴直線(xiàn)l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴以PQ為直徑的圓方程為：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分別令x0=2和x0=﹣2，由點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上得y0=1，將x0，y0的值分別代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x