2021-2022學(xué)年上海市青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2021-2022學(xué)年上海市青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在同一坐標(biāo)系中，方程與（）的曲線大致是

參考答案：A2.設(shè)函數(shù),則（

）A.為f(x)的極大值點(diǎn)

B.為f(x)的極小值點(diǎn)C.為f(x)的極大值點(diǎn)

D.為f(x)的極小值點(diǎn) 參考答案：D3.對任意的實(shí)數(shù),直線與圓的位置關(guān)系是(

)A．相離

B．相切

C．相交

D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能參考答案：C4.某體育彩票規(guī)定：從01到36共36個(gè)號中抽出7個(gè)號為一注，每注2元.某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號，從21至30中選1個(gè)號，從31至36中選1個(gè)號，組成一注，則這人把這種特征的號買全，至少要花（）A、3360元

B、6720元

C、4320元

D、8640元參考答案：D5.已知復(fù)數(shù)，那么等于(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：C略6.已知數(shù)列{an}滿足，設(shè)數(shù)列{bn}滿足，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】先利用數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系求得,進(jìn)而得到,再利用裂項(xiàng)相消法求出即可【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,作差可得,,,檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),,符合,故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)特性求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和,考查運(yùn)算能力7.已知向量、的夾角為，，，則等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C8.一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中（

）A.

B.C.AB與CD所成的角為 D.AB與CD相交參考答案：C略9.若，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球的表面積為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一批熱水器共有98臺，其中甲廠生產(chǎn)的有56臺，乙廠生產(chǎn)的有42臺，用分層抽樣從中抽出一個(gè)容量為14的樣本，那么甲廠應(yīng)抽得的熱水器的臺數(shù)是▲.參考答案：812.如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，若∠BAO+∠BFO=90°，則該橢圓的離心率是．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】先作出橢圓的右焦點(diǎn)F′，根據(jù)條件得出AB⊥BF′．再求出A、B、F′的坐標(biāo)，由兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)得出a，b、c的關(guān)系建立關(guān)于離心率e的方程，解方程求得橢圓C的離心率e．【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，由題意得A（﹣a，0）、B（0，b），F(xiàn)′（c，0），∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，∴∠BAO+∠BF′O=90°，∴?=0，∴（a，b）?（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得

e=，故答案為：．13.已知直線與函數(shù)和的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|的最小值為3，則______．參考答案：1設(shè)。令因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以=0的根為。函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，填1.【點(diǎn)睛】構(gòu)造|AB|關(guān)于的函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，在開區(qū)間的最值問題，在導(dǎo)數(shù)等于0處。

14.若函數(shù)f（x）=x+（x＞2）在x=a處取最小值，則a=．參考答案：3考點(diǎn)：基本不等式．專題：計(jì)算題．分析：將f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等號成立的條件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4當(dāng)x﹣2=1時(shí)，即x=3時(shí)等號成立．∵x=a處取最小值，∴a=3故答案為：3點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，注意“一正、二定、三相等”，屬于基礎(chǔ)題．15.已知點(diǎn)F是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，若橢圓C上存在兩點(diǎn)P、Q滿足=2，則橢圓C的離心率的取值范圍是

．參考答案：[，1）設(shè)P（（x1，y1），Q（x2，y2），F(xiàn)（﹣c，0），直線PQ：y=k（x+c），可得y1=﹣2y2．由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0…②，…③由①②③得b2+a2k2=8c2，?8c2≥b2=a2﹣c2?9c2≥a2即可求解解：設(shè)P（（x1，y1），Q（x2，y2），F(xiàn)（﹣c，0），直線PF：y=k（x+c）．∵P、Q滿足=2，∴y1=﹣2y2…①由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0…②，…③由①②得，代入③得b2+a2k2=8c2，?8c2≥b2=a2﹣c2?9c2≥a2?，∴橢圓C的離心率的取值范圍是[，1）故答案為[，1）16.若函數(shù)f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣2，0）對稱，x1，x2分別是f（x）的極大值和極小值點(diǎn)，則x1﹣x2=．參考答案：2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】函數(shù)f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣2，0）對稱，可得f″（﹣2）=0，f（﹣2）=0，可得a，b，進(jìn)而得出極值點(diǎn)，即可得出．【解答】解：函數(shù)f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）=﹣x3+（1﹣a）x2+（a﹣b）x+b．f′（x）=﹣3x2+2（1﹣a）x+（a﹣b），f″（x）=﹣6x+2（1﹣a），∵函數(shù)f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣2，0）對稱，∴f″（﹣2）=0，f（﹣2）=0，∴12+2﹣2a=0，3（4﹣2a+b）=0，解得a=7，b=10．∴f（x）=﹣x3﹣6x2﹣3x+10．令f′（x）=﹣3x2﹣12x﹣3=﹣3（x2+4x+1）=0，解得，令f′（x）＞0，解得，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得x，或x，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴f（x）的極大值和極小值點(diǎn)分別為=x1，=x2．∴x1﹣x2=2．故答案為：2．17.已知等差數(shù)列中，若，則．

參考答案：11三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列{},為其前項(xiàng)的和，．(I)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(II)若，求數(shù)列{}的前項(xiàng)的和．參考答案：解：（Ⅰ）依題意……2分解得

.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

，

，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，……………7分

數(shù)列的前項(xiàng)的和.………………10分略19.（12分）在雅安發(fā)生地震災(zāi)害之后，救災(zāi)指揮部決定建造一批簡易房，供災(zāi)區(qū)群眾臨時(shí)居住，房形為長方體，高2.5米，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側(cè)用2.5米高的復(fù)合鋼板，兩種鋼板的價(jià)格都用長度來計(jì)算（即鋼板的高均為2.5米，用長度乘以單價(jià)就是這塊鋼板的價(jià)格），每米單價(jià)：彩色鋼板為450元，復(fù)合鋼板為200元，房頂用其他材料建造，每平方米材料費(fèi)為200元，每套房材料費(fèi)控制在32000元以內(nèi)。（1）設(shè)房前面墻的長為，兩側(cè)墻的長為，一套簡易房所用材料費(fèi)為p，試用。（2）一套簡易房面積S的最大值是多少？當(dāng)S最大時(shí)，前面墻的長度是多少？參考答案：解：（1）依題得，

（2）

又因?yàn)?，解?/p>

,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)S取得

最大值。答：每套簡易房面積S的最大值是100平方米，當(dāng)S最大時(shí)前面墻的長度是米。20.已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù))．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；（2）當(dāng)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù)．（3）若，且對任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（1），當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，又，故，當(dāng)時(shí)，取等號

-------4分（2）易知，故，方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)．設(shè)=，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增．又，，作出與直線的圖像，由圖像知：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根； -------10分（3）當(dāng)時(shí)，在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于即，故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，恒成立，即在時(shí)恒成立．在時(shí)是減函數(shù)

-------16分（其他解法酌情給分）

略21.已知圓C經(jīng)過A（3，2）、B（1，6），且圓心在直線y=2x上．（Ⅰ）求圓C的方程．（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，3）與圓C相切，求直線l的方程．參考答案：【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，解方程組即可求出圓心及半徑，從而得到圓C的方程．（Ⅱ）根據(jù)已知設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)d=r即可求出直線斜率k，從而求出直線方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圓心在直線y=2x上，故可設(shè)圓心C（a，2a），半徑為r．則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圓C經(jīng)過A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓C的圓心為C（2，4），半徑r=．直線l經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，3），①若直線斜率不存在，則直線l：x=﹣1．圓心C（2，4）到直線l的距離為d=3＜r=，故直線與圓相交，不符合題意．②若直線斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圓心C（2，4）到直線l的距離為d==．∵直線與圓相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直線l的方程為2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．22.(本題滿分12分)過點(diǎn)C(0,1)的橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為.橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)、B(－a,0)．過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長；(2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：·為定值．參考答案：解：(1)由已知得b＝1，e＝＝，解得a＝2，所以橢圓方程為＋y2＝1橢圓的右焦點(diǎn)為(，0)，此時(shí)直線l的方程為y＝－x＋1，代入橢圓方程化簡得7x2－8x＝0.解得x1＝0，x2＝，代入