2021-2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市育才私立學(xué)校高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021-2022學(xué)年河南省安陽(yáng)市育才私立學(xué)校高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則函數(shù)存在極值的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)無(wú)極值，則恒成立，即，即，作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：則陰影部分的面積為，則由幾何概型的概率公式，可得函數(shù)無(wú)極值的概率為，所以函數(shù)有極值的概率為，故選A.

2.設(shè)函數(shù)且，則（

）A．1

B．2

C．3

D．6參考答案：C3.已知集合則（

）參考答案：A4.設(shè)，函數(shù)，則使的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A因?yàn)?，所以要使，?則，即，，所以，又，函數(shù)單調(diào)遞減，所以不等式的解為，選A.5.已知集合，集合（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則=

（

）A． B．

C． D．參考答案：A略6.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)成立（其中的導(dǎo)函數(shù)），若，，則的大小關(guān)系是

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.設(shè)滿足約束條件，則的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，四邊形MENF的面積最?。虎鬯倪呅蜯ENF周長(zhǎng)L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐C′﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號(hào)為（）A．①④ B．② C．③ D．③④參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD'B'．②四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可．③判斷周長(zhǎng)的變化情況．④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．【解答】解：①連結(jié)BD，B'D'，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正確．②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=時(shí)，此時(shí)MN長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最?。寓谡_．③因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變小．當(dāng)x∈[，1]時(shí)，EM的長(zhǎng)度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯(cuò)誤．④連結(jié)C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿切蜟'EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．所以四個(gè)命題中③假命題．所以選C．9.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)成立.若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為

．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】利用定積分計(jì)算陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由題意，y=lnx與y=ex關(guān)于y=x對(duì)稱，∴陰影部分的面積為2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形的面積為e2，∴落到陰影部分的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、和體積的比值得到．12.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是．參考答案：（，0）考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用數(shù)形結(jié)合的思想，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個(gè)零點(diǎn)，也就是f（x）=g（x）﹣k，即y=﹣k與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，只要求出f（x）的最小值即可．解答：解：如圖所示，∵f（x）=（x≥0）∴令f′（x）=0，則x=1，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為f（1）=，∴﹣k=即k=，∴k的取值范圍是（，0）點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．13.在平行四邊形中，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為

參考答案：

14.若(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：15.若對(duì)恒成立，且存在，使得成立，則m的取值范圍為

．參考答案：(－∞,6)以代入得，消去得，若，則單調(diào)遞增，，則.

16.已知，則_______.參考答案：因?yàn)?，所以?！敬鸢浮俊窘馕觥?7.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為

．參考答案：總事件數(shù)為，目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標(biāo)事件共20中，所以。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CD1的中點(diǎn)，AA1=AD=1，AB=2．．（1）求證：EF∥平面BCC1B1；（2）求證：平面CD1E⊥平面D1DE；（3）在線段CD1上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，若存在，求的值，不存在，說(shuō)明理由．

參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）過(guò)F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，推導(dǎo)出EBMF是平行四邊形，從而EF∥BM，由此能證明EF∥平面BCC1B1．（2）推導(dǎo)出D1D⊥CE，CE⊥DE，從而CE⊥平面D1DE，由此能證明平面CD1E⊥平面D1DE．（3）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段CD1上存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且=．【解答】證明：（1）過(guò)F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，∵F是CD1的中點(diǎn)，∴FM∥C1D1，F(xiàn)M=C1D1，（2分）又∵E是AB中點(diǎn)，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四邊形，∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1內(nèi)，∴EF∥平面BCC1B1．（4分）（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD內(nèi)，∴D1D⊥CE在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，∴DE2+CE2=4=CD2，（6分）∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE，∵CE在平面CD1E內(nèi)，∴平面CD1E⊥平面D1DE．（8分）解：（3）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，則C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）平面D1DE的法向量為=（﹣1，1，0），設(shè)=（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），則Q（0，2λ，1﹣λ），設(shè)平面DEQ的法向量為=（x，y，z），則，令y=1，則=（﹣1，1，），（10分）∵二面角Q﹣DE﹣D1為45°，∴cos45°===，由于0＜λ＜1，∴﹣1，∴線段CD1上存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且=．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用．19.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.（1）求cosB；（2）若，求△ABC的面積.參考答案：（1）（2）【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)可得，利用余弦定理即可得到的值。（2）結(jié)合（1）可得以及邊的長(zhǎng)，利用面積公式即可得到答案?！驹斀狻拷猓海?）因?yàn)?，所以，?

又因?yàn)?，所?

（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，在中，，所?/p>

所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的邊角互化以及余弦定理與面積公式，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。20.已知函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）分離參數(shù)得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情況討論求出右側(cè)函數(shù)的最大值或最小值，從而得出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ），∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e2，f（e2））處的切線與直線2x+y=0垂直，∴f′（e2）==，解得m=2，∴，∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，e）．

（Ⅱ）∵恒成立，即，①當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，lnx＜0，則恒成立，令，則g′（x）=，再令，則h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)遞減，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（0，1）內(nèi)遞增，g（x）＜g（1）=2∴k≥2．②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，lnx＞0，則恒成立，由①可知，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，故，所以g（x）在（1，+∞）內(nèi)遞增，g（x）＞g（1）=2?k≤2；

綜合①②可得：k=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．21.已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=pan（P≠0），請(qǐng)寫出數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知得數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為p的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=