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2021-2022學(xué)年福建省漳州市和坑華僑中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.
B.
C.
D.參考答案:A略2.“關(guān)注夕陽(yáng)、愛(ài)老敬老”—某馬拉松協(xié)會(huì)從2013年開(kāi)始每年向敬老院捐贈(zèng)物資和現(xiàn)金.下表記錄了第x年與捐贈(zèng)的現(xiàn)金y(萬(wàn)元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),由此表中的數(shù)據(jù)得到了y關(guān)于x的線性回歸方程,則預(yù)測(cè)2019年捐贈(zèng)的現(xiàn)金大約是(
)34562.5344.5
A.5萬(wàn)元 B.5.2萬(wàn)元 C.5.25萬(wàn)元 D.5.5萬(wàn)元參考答案:C【分析】由已知求出,代入回歸直線的方程,求得,然后取,求得的值,即可得到答案.【詳解】由已知得,,所以樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入,得,即,所以,取,得,預(yù)測(cè)2019年捐贈(zèng)的現(xiàn)金大約是萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性回歸方程以及應(yīng)用,其中解答中熟記回歸直線的方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.在如圖所示的程序框圖中,若輸出i的值是3,則輸入x的取值范圍是()A.(4,10] B.(2,+∞) C.(2,4] D.(4,+∞)參考答案:A【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】由已知中的程序框圖可知:該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量i的值,模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,分析循環(huán)中各變量值的變化情況,可得答案.【解答】解:設(shè)輸入x=a,第一次執(zhí)行循環(huán)體后,x=3a﹣2,i=1,不滿足退出循環(huán)的條件;第二次執(zhí)行循環(huán)體后,x=9a﹣8,i=2,不滿足退出循環(huán)的條件;第三次執(zhí)行循環(huán)體后,x=27a﹣26,i=3,滿足退出循環(huán)的條件;故9a﹣8≤82,且27a﹣26>82,解得:a∈(4,10],故選:A4.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,4),若,則a=
A.4
B.3
C.2
D.1參考答案:C略5.對(duì)于命題:雙曲線的離心率為;命題:橢圓的離心率為,則是的(
)(A)充要條件
(B)充分不必要條件
(C)必要不充分條件
(D)既不充分也不必要條件參考答案:C略6.已知函數(shù),則A.函數(shù)在(-∞,0)上遞減
B.函數(shù)在(-∞,0)上遞增C.函數(shù)在R上遞減
D.函數(shù)在R上遞增參考答案:B略7.設(shè)變量x,y滿足約束條件
,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為(
)A.8
B.13
C.14
D.10參考答案:C略8.參考答案:A略9.函數(shù)的部分圖像大致為(
)
參考答案:C10.將一根長(zhǎng)為3m的木棒隨機(jī)折成三段,折成的這三段木棒能夠圍成三角形的概率是(
)(A) (B)
(C)
(D)參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.
參考答案:略12.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,是首項(xiàng)為12的等差數(shù)列.現(xiàn)已知a9>b9且a10>b10,則以下結(jié)論中一定成立的是
▲
.(請(qǐng)?zhí)顚?xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào))①;②;③;④.參考答案:①③略13.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則的值為
.參考答案:因?yàn)?,所以?4.已知,,則的值為_(kāi)_______.參考答案:略15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合,則雙曲線的離心率為.參考答案:【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合,可得一條漸近線的斜率為1,即b=a,即可求出雙曲線的離心率.【解答】解:∵雙曲線的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合,∴一條漸近線的斜率為1,即b=a,∴c=a,∴e==,故答案為.16.若函數(shù)為奇函數(shù),則______________.參考答案:-1517.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為直角三角形。∠ACB=900,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動(dòng)點(diǎn),則CP+PA1的最小值為_(kāi)__________參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx﹣ax(a∈R).(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線L的方程,并證明:除點(diǎn)A外,曲線y=f(x)都在直線L的下方;(2)若函數(shù)h(x)=ex+f(x)在區(qū)間(1,3)上有零點(diǎn),求a的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(1),f′(1),求出切線方程,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a=在x∈(1,3)上有實(shí)數(shù)根,設(shè)F(x)=,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出F(x)的最大值和最小值,從而求出a的范圍即可.【解答】解:(1)∵f′(x)=﹣a,∴f′(1)=1﹣a,∵f(1)=﹣a,∴L的方程是:y+a=(1﹣a)(x﹣1),即y=(1﹣a)x﹣1,設(shè)p(x)=f(x)﹣(1﹣a)x+1=lnx﹣x+1,則p′(x)=,若x>1,p′(x)<0,若0<x<1,p′(x)>0,故p(x)max=p(1)=0,p(x)≤0,∴f(x)≤(1﹣a)x﹣1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立,故除點(diǎn)A外,切線y=f(x)都在直線L的下方;(2)h(x)=ex+f(x)在區(qū)間(1,3)上有零點(diǎn),即a=在x∈(1,3)上有實(shí)數(shù)根,設(shè)F(x)=,則F′(x)=,設(shè)g(x)=ex(x﹣1)+1﹣lnx,則g′(x)=x(ex﹣),而y=ex﹣(x>0)的零點(diǎn)在(0,1)上,且y>0在(1,3)恒成立,∴g′(x)>0,即g(x)在(1,3)上都在,∴g(x)>g(1)=1,則F′(x)>0在(1,3)上恒成立,∴F(x)在(1,3)上遞增,故F(x)min=F(1)=e,F(xiàn)(x)max=F(3)=,∴F(x)∈(e,),故a∈(e,).19.(12分)如圖所示,ABC—A1B1C1是各條棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱,D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)求點(diǎn)C到平面AB1D的距離;
(3)求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大小
參考答案:解析:(1)證明:取AB1的中點(diǎn)E,AB的中點(diǎn)F,連結(jié)DE、CF,由題意知B1D=AD,故DE⊥AB1,又CF⊥AB,CF//DE,故DE⊥AB
∴DE⊥平面ABB1A1,又DE平面AB1D,所以平面AB1D⊥ABB1A1.……(4分)
(2)建立如下圖所示坐標(biāo)系,則各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為:
,C(0,a,0)
D(0,a,),B1(0,0,a)設(shè)為平面AB1D一個(gè)法向量,所以即為所求的點(diǎn)到平面的距離.………………(8分)
(3)顯然平面ABC的一個(gè)法向量為(0,0,1),
則
即所求二面角的大小為.………………(12分)另解:(2)由(1)知CF//DE,DE平面AB1D,
∴CF//平面AB1D∴點(diǎn)C到平面AB1D的距離與點(diǎn)F到平面AB1D的距離相等過(guò)F作FG⊥AB1,垂足為G,則FG⊥平面AB1D.連結(jié)BE,則FG//BE,且FG=∴FG=a
即點(diǎn)C到平面AB1D的距離為a
(3)由S△ACF=S△ADE·cosα
20.已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|x﹣a|(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)<1的解集;(Ⅱ)若f(x)的最大值為6,求a的值.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義;絕對(duì)值不等式的解法.【專(zhuān)題】計(jì)算題;函數(shù)思想;方程思想;轉(zhuǎn)化思想;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.【分析】(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,去掉絕對(duì)值符號(hào),即可求不等式f(x)<1的解集;(Ⅱ)利用絕對(duì)值三角不等式推出f(x)的最大值為6的方程,即可求a的值.【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|當(dāng)x<﹣1時(shí),f(x)=﹣x﹣1+x﹣1=﹣2<1恒成立當(dāng)﹣1≤x≤1,f(x)=x+1+x﹣1=2x<1,當(dāng)x>1,f(x)=x+1﹣x+1=2<1,無(wú)解不等式f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|<1的解集是…(Ⅱ)f(x)=|x+1|﹣|x﹣a|≤|(x+1)﹣(x﹣a)|=|1+a|則|1+a|=6,所以a=5或a=﹣7…【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值的求法,絕對(duì)值不等式的解法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.21.已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為,,左頂點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,且△的面積為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線分別與軸交于點(diǎn).求證:以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),,并求出△面積的取值范圍.參考答案:(Ⅰ),,………………2分
又點(diǎn)在橢圓上,,,解得,或(舍去),又,,所以橢圓的方程為;………5分
(Ⅱ),,,方法一:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,為短軸的兩個(gè)端點(diǎn),則,,,,則以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),,……7分
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸榱銜r(shí),設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)(不妨設(shè)),則點(diǎn),由,消去得,所以,,所以直線的方程為,因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn),令得,即點(diǎn),同理可得點(diǎn),,,,同理,則以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),,………12分當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸榱銜r(shí),,△面積為,又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,△面積為,△面積的取值范圍是.………15分方法二:當(dāng),不為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),設(shè),則,由點(diǎn)在橢圓上,,所以直線的方程為,令得,即點(diǎn),同理可得點(diǎn),以為直徑的圓可化為,代入,化簡(jiǎn)得,令解得以為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn),,………12分,又,,△面積為,當(dāng),為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),,△面積為,△面積的取值范圍是.………15分22.(本小題滿分13分)已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心,焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)已知?jiǎng)又本€過(guò)點(diǎn),交拋物線于、兩點(diǎn).若直線的斜率為1,求的長(zhǎng);是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,說(shuō)明理由.參考答案:解:(Ⅰ)由題意,可設(shè)拋物線方程為.
…………1分由,得.拋物線的焦點(diǎn)為錯(cuò)誤!不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。,錯(cuò)誤!不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。.拋物線D的方程為.
…………3分(Ⅱ)設(shè),.直線的方程為:,
…………4分聯(lián)立,整理
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