2022天津徐莊子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022天津徐莊子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；類似地有命題：在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為M，則有.上述命題是()A．真命題B．增加條件“AB⊥AC”才是真命題C．增加條件“M為△BCD的垂心”才是真命題D．增加條件“三棱錐A－BCD是正三棱錐”才是真命題參考答案：A因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，將S△ABC、S△BCM、S△BCD分別表示出來，可得故選A.2.下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是（）A．y=e﹣x B．y=x3 C．y=lnx D．y=|x|參考答案：B【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．【解答】解：對于選項(xiàng)A，y=ex為增函數(shù)，y=﹣x為減函數(shù)，故y=e﹣x為減函數(shù)，對于選項(xiàng)B，y′=3x2＞0，故y=x3為增函數(shù)，對于選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0，不為R，對于選項(xiàng)D，函數(shù)y=|x|為偶函數(shù)，在（﹣∞．0）上單調(diào)遞減，在（0，∞）上單調(diào)遞增，故選：B．3.己知集合，，則A∩B=（

）A.(－1,4) B.(0,3] C.[3,4) D.(3,4)參考答案：C【分析】先求出集合A，B，由此能求出.【詳解】由變形，得，解得或，∴或.又∵，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.4.已知，存在，使得則等于A．46

B．76

C．106

D．110參考答案：D略5.右圖是計(jì)算函數(shù)的值的程序框圖，則在①、②、③處應(yīng)分別填入的是

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，參考答案：B略6.已知函數(shù)：①；②；③；④；則下列函數(shù)圖象（第一象限部分）從左到右依次與函數(shù)序號(hào)的對應(yīng)順序是(A)②①③④

(B)②③①④

(C)④①③②

(D)④③①②參考答案：D根據(jù)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象可知選D.7.已知F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)且，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A.(1,2] B.[2+)

C.(1,3]

D.[3，+)參考答案：C【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線及其幾何性質(zhì).H6解析：由定義知：|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=2a+|PF2|，+4a+|PF2|

≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)=|PF2|，即|PF2|=2a時(shí)取得等號(hào),設(shè)P（x0，y0）（x0a），由焦半徑公式得：|PF2|=-ex0-a=2a，，又雙曲線的離心率e＞1，∴e∈（1，3]，故選C．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，均值定理的應(yīng)用已知為球的直徑，是球面上兩點(diǎn)，且若球的表面積為，則棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．

【答案】A【解析】【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球.G8

解析：如圖，由題意球O的表面積為64π，可得球的半徑為：4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=，∠PAC=∠PBC=，AO⊥PC，BO⊥PC，∴PC⊥平面AOB，BP=BC=4，∴S△OAB=×AB×h=×6×=3，∴棱錐A﹣PBC的體積V=×PC×S△OAB==．故選：A．【思路點(diǎn)撥】由題意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=，∠PAC=∠PBC=，求出棱錐A﹣PBC的體積．8.設(shè)分程和方程的根分別為和，函數(shù)，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略9.已知函數(shù)．（1）求方程的解集；（8分）（2）當(dāng)，求函數(shù)的值域。（6分）參考答案：（1）解法一：由，得

1分由，得，（）

4分由，得，，（）．

7分所以方程的解集為

8分解法二：

4分由，得，，，

所以方程的解集為

8分（2）因?yàn)?/p>

所以

所以

12分所以

14分10.如圖，在棱長為1的正方體的對角線上任取一點(diǎn)P，以為球心，為半徑作一個(gè)球設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖象最有可能的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則的值是

．參考答案：12.若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為＿參考答案：13.已知△ABC中，，△ABC所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得，則△ABC面積的最大值為

▲

．參考答案：14.已知A，B，C三點(diǎn)在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的，則球O的表面積為．參考答案：π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；球．【分析】設(shè)出球的半徑，小圓半徑，通過已知條件求出兩個(gè)半徑，再求球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為r，O′是△ABC的外心，外接圓半徑為R=，∵球心O到平面ABC的距離等于球半徑的，∴得r2﹣r2=3，得r2=．球的表面積S=4πr2=4π×=π．故答案為：π．【點(diǎn)評】本題考查球O的表面積，考查學(xué)生分析問題解決問題能力，空間想象能力，是中檔題．15.已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若BA，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為_____.參考答案：{－1，0，1}16.雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為_________________。參考答案：或

17.設(shè)定義在上的奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為

▲

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，其中。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12(1)當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間：，單調(diào)遞減區(qū)間：；(2)解析：（1）定義域?yàn)?，…?分①當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞增；……4分②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減。函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：，單調(diào)遞減區(qū)間：………………7分（2）對任意恒成立令，所以………………10分在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，……12分.【思路點(diǎn)撥】可通過判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，遇到不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，可先分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答.19.（本小題滿分12分）如圖四邊形是菱形，平面，為的中點(diǎn)．求證：

（１）∥平面；（２）平面平面

參考答案：（1）PC//OQ

（2）BD⊥AC,BD⊥PA20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD，進(jìn)一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中點(diǎn)為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進(jìn)一步求出向量的坐標(biāo)，再求出平面PCD的法向量，設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，由求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得當(dāng)時(shí)，M點(diǎn)即為所求．【解答】（Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中點(diǎn)為O，連接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），則，，設(shè)為平面PCD的法向量，則由，得，則．設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，則=；（Ⅲ）解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，則有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，為平面PCD的法向量，∴，即，解得．綜上，存在點(diǎn)M，即當(dāng)時(shí)，M點(diǎn)即為所求．21.選修4—1：幾何證明選講 如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點(diǎn)，過C的直線交直線AB于E，交過A點(diǎn)的切線于D，BC∥OD.(Ⅰ)求證：DE是圓O的切線；(Ⅱ)如果AD=AB=2，求EB.參考答案：略22.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)。（1）求證AM//平面BDE；

（2）求二面角A-DF-B的大??；（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60°。參考答案：（1）見解析

（2）60°

（3）P是AC中點(diǎn)(1)記AC與BD的交點(diǎn)為N,連接NE,∵N.M分別是AC.EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形ANEM是平行四邊形，

∴AM∥NE?！咂矫鍮DE，平面BDE，

∴AM