2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2教案新人教版必修2202202262105

PAGEPAGE8圓的標(biāo)準(zhǔn)方程●三維目標(biāo)1．知識與技能(1)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)會由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的半徑和圓心坐標(biāo)，能根據(jù)條件寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)會判斷點與圓的位置關(guān)系．2．過程與方法(1)進一步培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的能力．(2)加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解和加強待定系數(shù)法的運用．(3)增強學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識．3．情感、態(tài)度與價值觀(1)培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、合作交流的意識．(2)在體驗數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．●重點難點重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點與圓的位置關(guān)系．難點：會根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．重難點突破：以圓的定義為切入點，結(jié)合坐標(biāo)法，讓學(xué)生導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考慮到不同條件下求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的難度，教學(xué)時，可借助具體實例，通過讓學(xué)生“看一看、想一想、練一練”等方式熟悉圓心、半徑與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系，逐步理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)的重要性，自然形成待定系數(shù)法的解題思路，在突出重點的同時化解難點．【課前自主導(dǎo)學(xué)】課標(biāo)解讀1.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征．(重點)2.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點、難點)3.掌握點與圓的位置關(guān)系．(易錯點)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【問題導(dǎo)思】1．在平面內(nèi)，圓是如何定義的？【提示】在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合．2．在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，以(1,2)為圓心以2為半徑的圓能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4來表示？【提示】能．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)以C(a，b)為圓心，r(r>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原點為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2.點與圓的位置關(guān)系【問題導(dǎo)思】點A(1,1)，B(3,0)，C(eq\r(2)，eq\r(2))同圓x2＋y2＝4的關(guān)系如圖所示，則|OA|，|OB|，|OC|同圓的半徑r＝2什么關(guān)系？【提示】|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.點與圓的位置關(guān)系設(shè)點P到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則點與圓的位置關(guān)系對應(yīng)如下：位置關(guān)系點在圓外點在圓上點在圓內(nèi)d與r的大小關(guān)系d＞rd＝rd＜r【課堂互動探究】直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心為點A(－2,3)，半徑為eq\r(2)；(2)經(jīng)過點A(5,1)，圓心為點C(8，－3)．【思路探究】只要有確定的圓心與半徑，就可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【自主解答】(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x＋2)2＋(y－3)2＝2.(2)法一圓的半徑為|AC|＝eq\r(5－82＋1＋32)＝5，圓心為(8，－3)．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－8)2＋(y＋3)2＝25.法二設(shè)圓的方程為(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，∵點A(5,1)在圓上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－8)2＋(y＋3)2＝25.直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般先從確定圓的兩個要素入手，即首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2013·咸陽高一檢測)圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則由題意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.【答案】A點與圓的位置關(guān)系已知一個圓的圓心在點C(－3，－4)，且經(jīng)過原點．(1)求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判斷點P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圓的位置關(guān)系．【思路探究】eq\x(直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程)eq\o(→,\s\up17(分析))eq\x(點與圓心的距離同半徑的關(guān)系)→eq\x(下結(jié)論)【自主解答】(1)∵圓心是C(－3，－4)，且經(jīng)過原點，∴圓的半徑r＝eq\r(－3－02＋－4－02)＝5，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.(2)∵eq\r(－1＋32＋0＋42)＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)＜5，∴P1(－1,0)在圓內(nèi)；∵eq\r(1＋32＋－1＋42)＝5，∴P2(1，－1)在圓上；∵eq\r(3＋32＋－4＋42)＝6＞5，∴P3(3，－4)在圓外．判斷點P(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系有幾何法和代數(shù)法兩種：(1)對于幾何法，主要是利用點與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系作出判斷：①d>r，點在圓外；②d＝r，點在圓上；③d<r，點在圓內(nèi)．(2)對于代數(shù)法，主要把點的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，具體判斷如下：①當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2時，點在圓內(nèi)；②當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2時，點在圓上；③當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2時，點在圓外．點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－1或a>1 B．－1<a<1C．0<a<1 D．a(chǎn)＝±1【解析】由題意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，解得－1<a<1.【答案】B待定系數(shù)法或幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程．【思路探究】思路一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，利用A，B及圓心所在位置求參數(shù)a，b，r.思路二：設(shè)圓的圓心坐標(biāo)C(a,2－a)，利用|AC|＝|BC|求a及圓的半徑．思路三：利用圓的幾何性質(zhì)：弦AB的中垂線與直線x＋y－2＝0的交點必為圓心，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【自主解答】法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二設(shè)點C為圓心，∵點C在直線x＋y－2＝0上，∴可設(shè)點C的坐標(biāo)為(a,2－a)．又∵該圓經(jīng)過A，B兩點，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r(a－12＋2－a＋12)＝eq\r(a＋12＋2－a－12)，解得a＝1.∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三由已知可得線段AB的中點坐標(biāo)為(0,0)，kAB＝eq\f(1－－1,－1－1)＝－1，∴弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，∴AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圓心為(1,1)，圓的半徑為eq\r(1－12＋[1－－1]2)＝2，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.1．給定條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般有兩種方法：(1)用待定系數(shù)法，其一般步驟如下：①根據(jù)題意，設(shè)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；③解方程組，求出a，b，r的值；④將a，b，r的值代入所設(shè)的方程，即為所求圓的方程．這種方法體現(xiàn)了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本題法一、法二．(2)由圓的幾何性質(zhì)直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后代入標(biāo)準(zhǔn)式寫方程．這種方法要充分利用圓的幾何性質(zhì)，但計算相對較容易．如本題法三．2．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)和半徑，為此常用到圓的以下幾何性質(zhì)：(1)弦的垂直平分線必過圓心．(2)圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點一定是圓心．(3)圓心與切點的連線長是半徑長．(4)圓心與切點的連線必與切線垂直．把本例條件“圓心在直線x＋y－2＝0上”換成“圓心在x軸上”，求相應(yīng)問題．【解】∵圓心在x軸上，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，由題意可知(a－1)2＋1＝(a＋1)2＋1，解得a＝0，∴圓的半徑r＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝2.【易錯易誤辨析】求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時以“形”代“數(shù)”致誤已知某圓圓心在x軸上，半徑為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【錯解】如圖，由題設(shè)知|AB|＝8，|AC|＝5.在Rt△AOC中，|OC|＝eq\r(|AC|2－|OA|2)＝eq\r(52－42)＝3.∴C點坐標(biāo)(3,0)，∴所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝25.【錯因分析】上述求解的錯誤在于以“形”代“數(shù)”只畫出了圓心在x軸正半軸的情況，沒有畫出圓心在x軸負(fù)半軸的情況而產(chǎn)生漏解．【防范措施】借助圖形解決數(shù)學(xué)問題，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究問題，就應(yīng)考慮到幾何圖形的各種情況，本題出錯就是由于考慮問題不全面所致．【正解】由題意設(shè)|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝eq\r(|AC|2－|AO|2)＝eq\r(52－42)＝3，如圖所示．∴圓心坐標(biāo)為(3,0)或(－3,0)．∴所求圓的方程為(x±3)2＋y2＝25.【課堂小結(jié)】1．確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組求a，b，r或直接求出圓心(a，b)和半徑r.另依據(jù)題意適時的運用圓的幾何性質(zhì)解題可以化繁為簡，提高解題效率．2．討論點與圓的位置關(guān)系可以從代數(shù)特征(點的坐標(biāo)是否滿足圓的方程)或幾何特征(點到圓心的距離與半徑的關(guān)系)去考慮，其中利用幾何特征較為直觀、簡捷．【當(dāng)堂達標(biāo)檢測】1．圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圓心坐標(biāo)是()A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)【解析】結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)形式可知，圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－1)．【答案】B2．以原點為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝eq\r(2)【解析】以原點為圓心，2為半徑的圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝4.【答案】B3．圓心為(1,1)且與直線x＋y＝4相切的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【解析】由題意知，圓心到直線的距離即為圓的半徑，即r＝eq\f(|1＋1－4|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.【答案】A4．已知兩點P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q為直徑端點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外．【解】由已知條件及圓的性質(zhì)可知，圓心M在直徑PQ的中點處，∴圓心M的坐標(biāo)為(0,1)，半徑r＝eq\f(1,2)|PQ|＝eq\f(1,2)×eq\r(－5－52＋6＋42)＝5eq\r(2).∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝eq\r(2－02＋2－12)＝eq\r(5)<r，∴點A在圓內(nèi)．∵|BM|＝eq\r(1－02＋8－12)＝eq\r(50)＝r，∴點B在圓上．∵|CM|＝eq\r(6－02＋5－12)＝eq\r(52)>r，∴點C在圓外.【課后知能檢測】一、選擇題1．(2014·溫州高一檢測)點P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是()A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都不對【解析】將點P的坐標(biāo)代入圓的方程的等號的左邊，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故點P在圓外．【答案】B2．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由題意可知，圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故選D.【答案】D3．圓心為(0,4)，且過點(3,0)的圓的方程為()A．x2＋(y－4)2＝25B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25D．(x＋4)2＋y2＝25【解析】由題意，圓的半徑r＝eq\r(0－32＋4－02)＝5，則圓的方程為x2＋(y－4)2＝25.【答案】A4．已知點A(3，－2)，B(－5,4)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100【解析】圓心為AB的中點(－1,1)，半徑為eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(3＋52＋－2－42)＝5，∴圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝25.【答案】B5．已知一圓的圓心為點A(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則圓的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52【解析】如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，圓的半徑r＝eq\r(2－02＋－3－02)＝eq\r(13).故所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13.【答案】B二、填空題6．與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且過點P(－1,1)的圓的方程是________．【解析】圓(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圓心為(2，－3)，設(shè)圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由點P(－1,1)在圓上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.故所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25.【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝257．點P(1，－1)在圓x2＋y2＝r的外部，則實數(shù)r的取值范圍是________．【解析】由題意得12＋(－1)2>r，即r<2，又r>0，故r的取值范圍是(0,2)．【答案】(0,2)8．(2014·蘇州高一檢測)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為________．【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，易知eq\r(a－52＋－12)＝eq\r(a－12＋－32)，解得a＝2.所以圓心為(2,0)，半徑長為eq\r(10)，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.【答案】(x－2)2＋y2＝10三、解答題9．求以直線2x＋y－4＝0與兩坐標(biāo)軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程．【解】令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，所以直線與兩坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)為A(0,4)和B(2,0)，|AB|＝eq\r(0－22＋4－02)＝eq\r(20)，以A為圓心過B的圓方程為x2＋(y－4)2＝20，以B為圓心過A的圓方程為(x－2)2＋y2＝20.10．已知點A(1,2)和圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，試分別求滿足下列條件的實數(shù)a(1)點A在